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Kreisel, Bedeutung der Zentrifugalmomente was bedeuten die

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Kreisel, Bedeutung der Zentrifugalmomente
 was bedeuten die Zentrifugal- bzw. Deviationsmomente, also die Außerdiagonalelemente des Trägheitstensors?
 Annahme:
- hantelförmiger Körper aus zwei Massenpunkten (m)
- im Abstand 2r
- an einer masselosen Stange
- Rotation um eine Achse z, die oben und unten gelagert ist.
 die obere Lagerung ist federnd gehaltert
 Kraftwirkungen auf die Lager machen sich bemerkbar
1. symmetrische Lage
 fällt die Achse z mit einer Symmetrieachse der Hantel zusammen, dann sind


 und L parallel
 schlichter Lauf; die obere Federhalterung bleibt in Ruhe.




hantelförmiger Körper aus zwei Massenpunkten
an einer masselosen Stange
ruhiger Lauf um die Achse des größten Trägheitsmoments


 und L sind parallel gerichtet.
Beispiel: Kreisel, Deviationsmomente
1
2. geneigte Lage
 neigt man die Hantel um einen Winkel  gegen die z-Achse
 Halterung gerät bei Drehung des Körpers in Schlingerbewegung
 verantwortlich: Deviationsmomente
 Körper wird durch Lager gezwungen, um eine Achse zu rotieren,
die nicht mit einer Haupträgheitsachsen zusammenfällt
 Lagermomente
 Achse der Hantel ist  gegen Drehachse geneigt

 L steht senkrecht auf der Hantelachse

 L wird bei Rotation zu ständiger Richtungsänderung gezwungen
 hat das Auftreten von Lagermomenten zur Folge
Beispiel: Kreisel, Deviationsmomente
2
mathematische Behandlung


 Lagerung legt  im Raum fest -   (0,0,  z )
 Drehimpuls berechnet sich:
L   J
  x   xx
L   L y     J xy
 L   J
 z   xz
 J xy
J yy
 J yz
 J xz   0     z J xz 
   

 J yz    0      z J yz 
J zz    z    z J zz 
 Trägheitstensor ergibt sich aus:
  
J   (r 2  r  r )dm
 Tensorkomponenten erhält man durch Integration von:
 y2  z2

Integrand    xy
  xz

 xy
z  x2
 yz
2
 xz 

 yz 
x 2  y 2 
J xx   ( y 2  z 2 )dm ; J yy   ( z 2  x 2 )dm ; J zz   ( x 2  y 2 )dm
- Trägheitsmomente bezüglich der Achsen x, y und z
J xy   xydm ;
J xz   xzdm ;
J yz   yzdm
- Deviations- oder Zentrifugalmomente
 im Beispiel (Hantel) genügt eine Summation über die beiden Massenpunkte
anstelle der Integration:
J xz  m  ( x1 z1  x2 z2 )  2m  x1 z1
J yz  2m  y1 z1
J zz  2m  ( x12  y12 )
(Vereinfachung wegen der Symmetrie der Punkte zu 0)
Beispiel: Kreisel, Deviationsmomente
3
 bei der Rotation bleibt z1 konstant, x1 und y1 ändern sich laufend
 wir nehmen eine Rotation mit konstantem  z an
 in Kugelkoordinaten r ,  und    z t kann man schreiben:
x1  r  sin   cos  z t
y1  r  sin   sin  z t
z1  r  cos
 die beiden Deviationsmomente ergeben sich damit zu:
J xz  mr 2  sin 2  cos  z t
J yz  mr 2  sin 2  sin  z t
 für das Trägheitsmoment bzgl. der z-Achse ergibt sich
J zz  2mr 2  sin 2   const.
(unabhängig von t)
 Bei der Drehung „versucht” die Hantel, sich parallel zur xy-Ebene einzustellen, da
die an ihr angreifenden Zentrifugalkräfte ein Drehmoment ausüben. Die Lagerung
erzwingt jedoch ein gleich großes rücktreibendes Drehmoment von der Größe
 M x   L x 


  
M a   M y    L y 
 M   L 
 z  z
mit
 L     z J xz 
  x 

L   L y      z J yz 
L    J 
 z   z zz 
und der Bedingung, dass  z  const. und J zz  const. (beide zeitunabhängig)
ergibt sich
 M x   L x     z J xz 



   
M a   M y    L y      z J yz 
 M   L   0 
 z  z 


 M a liegt offenbar in der xy-Ebene.
 Setzt man J xz  mr 2  sin 2  cos  z t und J yz  mr 2  sin 2  sin  z t in die Gleichung

für M a ein, ergibt sich
Beispiel: Kreisel, Deviationsmomente
4
 sin  z t 



2
M a  mr  z sin 2    cos  z t 


0


oder dem Betrage nach
M a  mr 2 z2  sin 2
 Dieses so genannte Lagermoment wächst quadratisch (!) mit der Kreisfrequenz
der Rotation (hohe Belastung der Lager!)
 Lagermoment verschwindet, wenn die Hantel parallel zur z-Achse (   0 )
oder senkrecht zu ihr steht (   90 ).
 schlichter Lauf um die Hauptträgheitsachse
(keine Lagerbelastung)
 Lager-Drehmomente haben ihre Ursache in den Deviationsmomenten des
Trägheitstensors
 vorhanden, wenn Drehung nicht um eine Hauptträgheitsachse

 Drehimpulsvektor L wird ständig zu einer Richtungsänderung gezwungen
 Das Moment ist letztendlich auf Kräfte seitens der Lager zurückzuführen
(Kräftepaar auf die Achse)
 
mit z  F

   
M a  z1  F1  z2  F2

M a  2  z1  F1 ;
F1 
M a mr 2 z2 sin 2 2mr 2 z2 sin  cos


z1
2r cos
2r cos
F1  mr z2 sin 
für beispielsweise   45 
F1  m 2 R z2 

4
 r  2 R ; sin  
1
2
2
1
2  mR z2
2
Beispiel: Kreisel, Deviationsmomente
5
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Gesundheitswesen
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