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Mathematik für¨Okonomen 1 Was man beherrschen muss! - WWZ

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Universit¨
at Basel
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum
¨
Mathematik fu
1
¨ r Okonomen
Was man beherrschen muss!
Thomas Zehrt
Inhalt:
1. Fundamentale Techniken
2. Folgen, Reihen, Finanzmathematik
3. Funktionen in einer Variablen
4. Funktionen in zwei Variablen
5. Extremwertaufgaben
6. Integration
2
Fundamentale Techniken
3
L¨
osen von Gleichungen und Ungleichungen
• Bestimme alle L¨
osungen einer quadratischen
Gleichung (z.B. mit Mitternachtsformel oder
quadratischer Erg¨
anzung).
3x2 − 7x + 12 = 0.
• Bestimme alle L¨
osungen einer rationalen Gleichung.
x−4
= 5.
x+3
• Bestimme alle L¨
osungen einer Gleichung, in
der (mindestens) eine Betragsfunktion vorkommt.
|x + 3| = 5.
• Bestimme alle L¨
osungen einer linearen Ungleichung.
−x + 3 < 5.
• Bestimme alle Lo
¨sungen einer Ungleichung, in
der (mindestens) eine Betragsfunktion vorkommt.
|x − 1| < 5.
4
Sichere Umgang mit den elementaren Funktionen
Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Symmetrien, Periodizit¨
at, Verhalten im Unendlichen,
Graph
• Polynome
• rationale Funktionen
• Winkelfunktionen (sin, cos, tan)
• Exponentialfunktionen (ax, ex)
• Logarithmen (log, ln)
5
Ableiten von Funktionen
• Bestimmen Sie die Ableitung einer beliebigen
Funktion y = f (x).
f (x) = x2 − x − 3
2
f (x) = sin(x2 − 12) · ex
3
f (x) = ln(x2 − 12) + 2(ln(x))
• Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen einer beliebigen Funktion z = f (x, y).
f (x, y) = x2y − xy 2 − 3y
2
2
f (x, y) = sin(x2 − 12y) · ex · ey
2
(ln(y))3
f (x, y) = ln(x − 12) + 2
6
Teil 1: Folgen, Reihen
und Finanzmathematik
7
Zentrale Begriffe:
beschr¨
ankt, (streng) monoton und konvergent
Fundamentalaufgaben
• Bestimmen Sie die Grenzwerte lim an fu
¨ r die
n→∞
Folgen:
n2 − n + 1
an =
−n
n+1
n
n+3
an =
n−6
n
3
an = 2 +
4
• Geometrische Reihen
– Wann konvergiert eine unendliche geometrische Reihe und was ist ihr Wert?
∞
qk = ?
k=0
– Berechnen Sie
∞
k=0
2007
k=0
2
5
k
∞
2
5
k
k=2
2007
k=1
2
5
k
2
5
k
8
• Finanzmathematik
– Zinseszinsrechnung
– Rentenformel
– Barwertbestimmung
9
Teil 2: Differentialrechnung fu
¨ r Funktionen
in einer Variablen
10
Zentrale Begriffe:
Funktion, beschr¨
ankte Funktion, monotone Funktion, gerade und ungerade Funktion, Differenzenquotient, Differentialquotient, Ableiten, lokale Extrema, globale Extrema, Sattelpunkte, Wendestellen, konvexe und konkave Funktionen, Grenzwerte wichtiger Funktionen, Stetigkeit, Typen von
Unstetigkeitsstellen, (totales) Differential, TaylorPolynome, Wachstumsraten, Elastizit¨
aten
Fundamentalaufgaben
• Gegeben sei eine differenzierbare Funktion y =
f (x) auf ganz R. Bestimmen Sie alle lokalen Extrema, deren Typ und alle Sattelpunkte.
• Gegeben sei eine differenzierbare Funktion y =
f (x) auf dem Intervall [a, b]. Bestimmen Sie die
globalen Extrema.
11
Teil 3: Differentialrechnung fu
¨ r Funktionen
in zwei Variablen
12
Zentrale Begriffe:
Graphische Darstellung (direktes Bild, Graph und
Niveaulinien), partielle Ableitungen, partielle Elastizit¨
aten, (totales) Differential, Kettenregel, implizite Differentiation, homogene Funktionen, Satz
von Euler, geometrische Eigenschaften homogener Funktionen
Fundamentalaufgaben
• Gegeben sei eine differenzierbare Funktion z =
f (x, y). Bestimmen Sie df (allgemein). Bestimmen Sie ∆f und df , wenn sich x von x0 auf x1
und y von y0 auf y1 ¨
andert.
• Gegeben sei eine Funktion z = f (x, y). Entscheiden Sie, ob f homogen ist und bestimmen Sie
gegebenenfalls den Grad von f .
13
Teil 4: Extremwertaufgaben
14
Zentrale Begriffe:
Geometrische Deutung der partiellen Ableitungen (erster und zweiter Ordnung), Lagrange-Multiplikator, Herleitung der Lagrange-Methode
Fundamentalaufgaben
• Gegeben sei eine differenzierbare Funktion z =
f (x, y) auf ganz R2. Bestimmen Sie alle lokalen
Extrema, deren Typ und alle Sattelpunkte.
• Gegeben sei eine differenzierbare Funktion z =
f (x, y) auf ganz R2 und eine Nebenbedingung
φ(x, y) = 0.
Bestimmen Sie alle Kandidaten fu
¨ r lokale Extremalstellen von f unter der gegebenen Nebenbedingung.
Hinweis: Eine genauere Untersuchung der mo
¨glichen Extremalstellen wird nicht verlangt.
15
Teil 5: Integration
16
Zentrale Begriffe:
Bestimmtes Integral, Fl¨
acheninhalt zwischen zwei
Funktionsgraphen, unbestimmtes Integral, Stammfunktion, Hauptsatz der Integralrechnung mit Beweis fu
¨ r monoton wachsende Funktionen
Fundamentalaufgabe
Berechnen Sie die Fl¨
ache, die von den Graphen
(einfacher) Funktionen eingeschlossen wird.
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Gesundheitswesen
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