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1. Was ist ein Signal? Ein Signal ist eine Raum-Zeit-Funktion (f(x, y

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1. Was ist ein Signal?
Ein Signal ist eine Raum-Zeit-Funktion (f (x, y, z, t)). Andere Definition: Kombination von Nachrichtentr¨
ager (Schall, elektromagnetische Welle etc.) und Nachricht
¨
(Information im Zustand der Ubertragung).
Außerdem: zeitlich / ¨
ortlich ver¨
anderliche physikalische Gr¨
oße, deren Parameter Nachrichten darstellen k¨
onnen
2. Was ist das Ziel der Signalverarbeitung?
• mathematische Verarbeitung von Daten, Informationen, Wissen (verbunden
mit Kommunikation)
• konkrete Aufgabe: Signale (Messwerte) aus Natur und Technik sollen gewonnen, u
¨bertragen, ausgewertet werden
• Problem: Signal und Rauschen unterscheiden
• benutzt Naturwissenschaft zum Modellieren
• benutzt Ingeneurswissenschaft zum Erkl¨
aren
3. Was sind die Aufgaben signalverarbeitender Systeme?
• Gewinnung von Informationen durch Bildung von Kenngr¨
oßen/Kennfunktionen
¨
(z.B. Suche eines +/- Ubergangs)
• Kompression von Signalen (z.B. Shannon-Fano-Code)
• Signalverbesserung (z.B. Pseudofarbgebung)
4. Was charakterisiert weißes Rauschen?
• Amplituden unabh¨
angig (echter Zufallscharakter)
• arithmetischer Mittelwert = 0
• gleichm¨
aßiger Frequenzgehalt
5. Was ist Stationarit¨
at?
• Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ¨
andert sich bei zeitlicher Verschiebung nicht
• schwach: Mittelwert und Varianz ¨
andern sich nicht (→ sind zeitunabh¨
angig)
• erkennbar an gleicher H¨ohe der Diagonalen in Martini-Diagramm
6. Was ist Ergodizit¨
at?
Bei ergodischen Signalen ist es egal, ob ich statistische Gr¨
oßen aus einem lang
andauernden Signal oder aus vielen kurzzeitigen Signalen bilde.
7. Was ist der Vorteil von orthogonalen Basisfunktionen?
Die Matrix zum Berechnen der Koeffizienten hat bis auf der Hauptdiagonalen nur
Nullen. Damit k¨
onnen die Koeffizienten viel leichter berechnet werden.
1
8. Wann kann ich Statistik betreiben?
Wenn ich viel gemessen habe (Schar zuf¨
alliger Signale muss vorhanden sein)
9. Schreiben Sie eine harmonische Funktion auf!
f (t) = A · cos(ωt + φ0 )
(A Amplitude, φo Nullphasenwinkel, ω Periodenl¨
ange)
anderes Beispiel: harmonisches Funktionssystem cas: cas(α) = cos(α) + sin(α)
10. Was ist das Prinzip der Fourier-Reihenentwicklung?
Jede periodische Funktion kann als unendliche Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen verschiedener Frequenzen ausgedr¨
uckt werden.
11. Was charakterisiert die Walsh-Funktionen?
• rechteckf¨
ormig
• Wertebereich zwischen -1 und +1
• Nulldurchg¨
ange nicht ¨
aquidistant
• k¨
onnen kombiniert werden
¨
12. Was bringt der Ubergang
vom Original- in den Spektralbereich?
Eventuell ist Spektrum anschaulicher und einfacher zu interpretieren.
13. Was ist der Zusammenhang zwischen Fourierreihen, Fouriertransformation und
diskreter Fouriertransformation?
• Fourierreihen nur f¨
ur periodische Signale
Zeitfunktion (diskret/kontinuierlich) −→ Fourierwerte
• Fouriertransformation nur f¨
ur aperiodische, abklingende Signale:
Zeitfunktion (diskret/kontinuierlich) −→ Spektrum (kontinuierlich)
• diskrete Orthogonaltransformation (z.B. Fouriertransformation)
diskretes Signal −→ Spektrum (diskret)
14. Wie sind Fourier- und Walshtransformation zu interpretieren?
Ich frage nach dem Gehalt, der gemeinsamen Fl¨
ache.
15. Wann benutze ich Walsh-Transformation, wann Fourier-Transformation?
Walsh-Transformation f¨
ur gerade“ Signale (z.B. Rechteckfunktion). Fourier-Transformation
”
f¨
ur alles, was mit Sinus- und Kosinusfunktionen angen¨
ahert werden kann.
2
Originalsignal
200
100
0
0
500
Signal
aus Spektrum mit 1500
8 Werten
1000
2000
2500
0
500
Signal
aus Spektrum mit 32
Werten
1000
1500
2000
2500
0
500
Signal
aus Spektrum mit 64
Werten
1000
1500
2000
2500
0
500
Signal1000
aus Spektrum mit 128
Werten
1500
2000
2500
0
500
2000
2500
200
150
100
200
100
0
200
100
0
200
100
0
1000
1500
Abbildung 1: Signale
16. Wie sehen frequenzbandbegrenzte Signale aus?
Siehe Aufgabe 32: f¨
ur ein Signal s mit N = 2048 Messwerten wird ein WalshSpektrum s′ gebildet (s′ = N1 · DW T · s). Nun werden die ersten K Koeffizienten
u
¨bernommen und die restlichen auf Null gesetzt. Transfomiert man nun mit s =
DW T · s′ zur¨
uck, erh¨
alt man ein frequenzbandbegrenztes Signal.
17. Wie transformiere ich?
Ich multipliziere einen Signalvektor mit einer Transformationsmatrix (orthogonal)
und erhalte ein Spektrum. (eventuell Transformationsmatrix angeben)
18. Was macht die DOT aus?
• DCT: Energiekompaktheit: viel Informationen in wenig Koeffizienten
• DCT: Algorithmen: gerade/ungerade
• DCT: Basisfunktionen f¨
ur die DCT sind Teilmenge der Tschebyscheff-Polynome
3
• DOT: l¨
asst große/breite Korrelation verschwinden und b¨
undelt diese in wenige
Koeffizienten ⇒ Signalkompression durch Elimination kleiner Koeffizienten
sehr aussichtsreich.
19. Was sind die Unterschiede bzw. Gemeinsamkeiten von Korrelation und Faltung?
Korrelation ist Funktion der Verschiebung, Faltung nicht. Faltung (Filterung) ist
Grundlage jeglicher Digitaltechnik. Wichtig: nie falten im Zeitbereich (Faltungstheorem).
20. Was macht die Karhunen-Lo´eve-Transformation?
Sie entkorreliert Kan¨
ale und reduziert dadurch Kanalanzahl.
4
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