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1.Was sind Zinsen? Verleiher von Kapital bekommt nach einiger Zeit

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1.Was sind Zinsen?
Verleiher von Kapital bekommt nach einiger Zeit sein Geld vom Schuldner
mit einer Verleihgebuhr zuruck; Verleihgebuhr sind die Zinsen.
In einer Marktwirtschaft bestimmt sich die H¨ohe der Zinsen nach Angebot
und Nachfrage nach Darlehen (geliehene Geldsumme).
Bsp. fur Zinsen:
Habenszinsen: Zins den ein Kreditinstitut fr die Einlage von Geldern an den
Anleger zahlt
Soll Zinsen: ist der vom Kreditinstitut beanspruchte Zins fr die Bereitstellung
von Krditen an ihre Kunden
2.Besprechen 4 wesentliche Zinssatze in der Finanzwirtschaft:
Dabei habndelt es sich um stochastische Zinss¨atze. (stochastisch...zufallsabhangig)
es wird aber angenomen dass der Prozentsatz const. ist weil es dann einfacher
wird damit zu rechnen.
Modelle f¨
ur verschieden Typen von risikofreien (-weil stochastisch) Zinss¨atzen:
i.) Schatzzinsen-Treasury Rates: der Staat bezahlt f¨
ur Kredite, die er in eigener
W¨
ahrung aufgenommen hat
ii.) Libor- Zinsen-London InterBank Offer Rate: jener Zins zudem eine Bank
bereit ist einer anderen Bank Geld zu leihen; Die Libor Rates werden t¨aglich
aus get¨
atigten Gesch¨
aften ermittelt und ver¨offentloicht.
iii.) Forward Rate: aktuelle Zinssatz f¨
ur zuk¨
unftige Darlehen. Sie werden
aus den aktuellen Nullkuponzinsen fr eine knftige Periode bestimmt. d.h.: sie
entsprechen nicht dem tatschlichen zuknftigen Zinsniveau.
iv.) Nullkuponzinsen- ist jener Zins der heute get¨atigt und n- Jahre l¨auft
Herleitung der Zinseszinsformel:
Kn = K0 (1 + i)n ...leicht
Bsp.: 5-j¨
ahrige Schatzzinsen werden mit 5% p.a verzinst
d.h.: ein Betrag von z.B. 100 $ w¨achst zum Endwert K5 = 100 ∗ 1.055 = 127.63$
1
Bemerkung: (1+i) ist der Zinsfaktor
Endwert: Kn = K0 q n durch diskontieren erh¨alt man K0 = Kn q −1
Herleiung der stetigen Verzinsungsformel:
Kapital f¨
ur m- periodische unterj¨ahrige Verzinsung:
K = K0 (1 +
i m
)
m
sezte jetzt: n = mi
und lasse dann die Zinsperiode ins unendliche laufen ... Euler
damit gilt:
Kn = K0 ein
3 Wichtiges .Grundlegendes Finazinstrument: Anleihen auch Bonds
Anleihen sind festverzinsliche Wertpapiere
Wertpaier = Urkunde, die das Mieteigentum an einem Unternehmen zusichert.
Viele Anleihen bieten periodisch Kupons an. Kupon = Abschnitt eines Wertpaiers der zur Einl¨
osung eines Gewinnanteils berechtigt.
Theoretischer Preis einer Anleihe anhand eines Bsp.:
Eine 2-j¨
ahrige Staatsanleihe mit einem Grundkapital von 100 $
bietet halbj¨
ahrig Kupons von 6 % p.a.
Tabelle:
Laufzeit Nullkuponzinsen
(years)
(in %)
0.5
5
1
5.8
1.5
6.4
2
6.8
Die 6% beziehen sich auf das Grundkapital 100$ Diese 100$ sind eigentlich
der Hauptbestandteil dieser Anleihe, die Kuponzahlungen stellen zustzlich zum
Zinsertrag einen weiteren Anreiz dar diese Anleihe zu kaufen.
Um den ersten Wert vom Kupon von 3$ zu berechnen diskontieren wir 5
Prozent fr ein halbes Jahr:
d.h.: 3e−0.5∗0.05
Um den Barwert vom zweiten Kupon von 3 zu erhlaten diskomtieren wir 5.8
Prozent fur 1 jahr, ...usw.
damit erhalten wir fur den heutigen Wert 98.39$
3e−0.5∗0.05 + 3e−1∗0.058 + 3e−1.5∗0.064 + 3e−2∗0.068 = 98.39$
2
3.1. Bond Yield
Frage: Wie schaut der durchschnittliche Ertragszinssatz aus?
sei y der durchschnittliche Ertragszinssatz, dann gilt:
3e−0.5y + 3e−y + 3e−1.5y + 103e−2y = 98, 39$
nichtlin. Glsys.: durch Newton- Verfahren erhalten wir: y = 6.76%
3.2.Par Yield
Frage: Gesucht sind die durchschnittlichen Kuponzahlungen.
Wahl von Kuponzahlungen damit Barwert der Anleihe gleich dem Grundkapital
ist
e−0.05∗0.5
c
c
c
c
+ e−0.058∗1.0 + e−0.064∗1.5 + (100 + )e−0.068∗2 = 100$
2 2
2
2
c = 6.87
4. Bestimmung von Nullkuponzinsen
Tabelle:
Bsp.: mit einem Hauptkapital von 100 $
Time of Maturity Annual Coupon Bond Price
(years)
0.25
0
97.5
0.5
0
94.9
0
90.0
1
1.5
8
96.0
2
12
101.6
Du weisst den Preis von 97.5$ zum F¨alligkeitszeitpunkt sollst du 100$ zur¨
uckbekommen.
Daraus ergibt sich die Verzinsung.
1.Anleihe : 97.5e0.25x = 100$ ... x1 = 10.127%2.Anleihe : x2 = 10.469%3.Anleihe : x3 = 10.539%
die vierte Anleihe dauert 1.5 Jahre. Die Zahlungen an die Anleihe sind wie
gegeben:
3
6 months: 4$
1 year: 4$
1.5 year: 104$
die Diskontierungsraten kennen wir bereits schon, damit gilt f¨
ur eine Anleihe
von 96$ :
4e−0.5∗0.10469 + 4e−0.10536 + 104e−1.5∗R = 96$
e−1.5R = 0.85196
damit R = 0.10681
f¨
ur die 2-j¨
ahrige Nullzinsen analog
R = 10.808%
4
f¨
ur R als Nullzins
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