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Marie-Luise VOLGGER, Professionalisierung für

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Stochastische Finanzmärkte
Vorlesung: Prof. Dr. Thorsten Schmidt
Übung: Dipl.-Math. oec. Yves Läßig
WS 14/15
www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima
Übung 3
Abgabetermin Hausaufgaben: 03.11.2014
(im Büro Reichenhainer Str. 41/716 oder – deutlich markiert – im Briefkasten von Frau Schönyan
neben Büro 41/713)
Aufgabe 1. Der Manager eines Fonds für Biotechnologie hat in zwei aufstrebende Unternehmen
mit ähnlichen Geschäftsfeldern investiert. Die Aktienkurse der beiden Unternehmen betragen aktuell S01 = 107,50 e und S02 = 113,00 e. Der Manager geht davon aus, dass sich mittelfristig
nur eines der beiden Unternehmen am Markt durchsetzen kann. Allerdings kann er mit seinen
heutigen Kenntnissen nicht absehen, welches der beiden Unternehmen dies sein wird.
Daher möchte der Manager den Fonds durch den Kauf einer Option absichern, die es ihm ermöglicht, in einem Jahr die Anteile am schlechteren der beiden Unternehmen für mindestens 105,84
e pro Aktie zu verkaufen.
(a) Geben Sie formal und grafisch die gewünschte Auszahlungsstruktur der Option an.
(b) Ein Broker bietet dem Manager die gewünschte Option zum Preis von 38,37 e an. Außerdem bietet der Broker die folgenden weiteren Preise an:
Produkt
Minimumoption auf S 1 und S 2
Call auf S 1 mit Strike K = 105,84
Call auf S 2 mit Strike K = 105,84
Maximum-Call auf S 1 und S 2 mit Strike K = 105,84
Preis in e
62,43
21,03
36,24
57,27
Prüfen Sie, ob es sich bei einem Zins von 5% p. a. im Sinne der Arbitragefreiheit um einen
fairen Preis handelt.
(c) Wir nehmen an, dass bei festem Zins von r = 0,05 für die Aktien folgende Szenarien mit
positiver Wahrscheinlichkeit möglich sind




67,26 für ω = ω1
203,40 für ω = ω1
1
2
S1 (ω) = 111,80 für ω = ω2
und
S1 (ω) = 88,20 für ω = ω2 .




182,75 für ω = ω3
32,52 für ω = ω3
Ist der um die Option mit Preis 38,37 e erweiterte Markt arbitragefrei?
(d) Ein weiterer Broker bietet Ihnen an, für eine Maximumoption auf S 1 und S 2 einen Betrag
in Höhe von 156,50 e zu zahlen. Würden Sie dieses Geschäft abschließen?
Aufgabe 2. Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) mit Ω = {ω1 , ω2 , ω3 }, F =
P(Ω) und einem Wahrscheinlichkeitsmaß P mit P(ωi ) > 0 für i = 1,2,3. Wir betrachten einen
einperiodigen Finanzmarkt mit einer risikolosen Anlage mit π0 = 1 und S0 = 1 + r sowie einer
Aktie mit π1 = 6 und folgenden Szenarien am Ende der Periode


12 für ω = ω1
S1 (ω) = 6 für ω = ω2 .


1 für ω = ω3
(a) Charakterisieren Sie alle r > −1 für die das Modell arbitragefrei ist.
(b) Geben sie für alle anderen r Arbitragemöglichkeiten an.
(c) Bestimmen Sie die Menge M der äquivalenten Martingalmaße.
Aufgabe 3. Wir betrachten einen Markt mit einer risikolosen Anlage und zwei Aktien. Der
Preisvektor zum Zeitpunkt t = 0 sei π
¯ = (1,2,4). Der risikolose Zinsatz betrage r = 0,1 und
zum Zeitpunkt t = 1 seien die Szenarien ω1 und ω2 denkbar. Es gelten S 1 (ω1 ) = 5, S 1 (ω2 ) = 1,
S 2 (ω1 ) = 8 sowie S 2 (ω2 ) = 3.
Ist dieser Markt arbitragefrei? Falls nicht, gebe man eine Arbitragemöglichkeit an sowie einen
alternativen Preisvektor π
˜ , für den der Markt arbitragefrei ist.
Hausaufgabe 1. (Fin+Math) 3 Punkte. Gegeben sei ein einperiodiges Modell mit einer risikolosen Anlage mit festem Zins r = 1/9 und zwei Aktien. Die Preise der Aktien zum Zeitpunkt
t = 0 seien S01 = 54 bzw. S02 = 36. Am Ende der Periode sind drei Szenarien mit folgenden
Aktienkursen denkbar




90 für ω = ω1
30 für ω = ω1
1
2
S1 (ω) = 50 für ω = ω2
und
S1 (ω) = 40 für ω = ω2 .




30 für ω = ω3
60 für ω = ω3
Dabei gelte P(ωi ) > 0 für i = 1,2,3.
(a) Bestimmen Sie ein äquivalentes Martingalmaß.
(b) Der Markt wird erweitert um eine dritte Aktie mit Preis S03 = 45. Es gelten weiterhin
S13 (ω2 ) = 44 und S13 (ω3 ) = 24. Für welches S13 (ω1 ) ist das erweiterte Modell arbitragefrei?
Hausaufgabe 2. (Fin+Math) 5 Punkte. Wir betrachten erneut einen einperiodigen Finanzmarkt mit einer risikolosen Anlage mit Zins r = 0 und zwei Aktien mit S01 = 4 und S02 = 3. Dieses
Mal sind vier Szenarien für die Entwicklung der beiden Aktien mit positiver Wahrscheinlichkeit
denkbar und es gelten




2
für
ω
=
ω
0 für ω = ω1


1




4 für ω = ω
2 für ω = ω
2
2
S11 (ω) =
und
S12 (ω) =
.


5
für
ω
=
ω
5
für
ω
=
ω
3
3






4 für ω = ω
2 für ω = ω
4
4
(a) Charakterisieren Sie die Menge der äquivalenten Martingalmaße M.
Wir erweitern den Markt nun um eine dritte Aktie mit S03 = 4 und


4 für ω = ω1



2 für ω = ω
2
.
S13 (ω) =
4 für ω = ω3



8 für ω = ω
4
(b) Prüfen Sie zunächst, ob die Auszahlung der dritten Aktie durch die bisherigen Produkte
auf dem Finanzmarkt replizierbar ist.
Stellt die Dynamik dieser dritten Aktie damit eine neue Information über Arbitragefreiheit
auf dem Markt dar?
(c) Bestimmen Sie das äquivalente Martingalmaß auf dem um die dritte Aktie erweiterten
Markt.
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