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D-CHEM
Prof. Dr. F. Da Lio
Mathematik III
HS 2014
Musterlösung 4
1.
a) Wir suchen die Lösung der homogenen Wärmeleitungsgleichung
ut − uxx = 0,
x ∈ (0, π), t > 0 ,
mit homogener Randbedingung
u(0, t) = u(π, t) = 0,
t ≥ 0,
und Anfangsbedingung
u(x, 0) = T0 (x),
x ∈ [0, π] .
Mit dem Separationsansatz u(x, t) = X(x)T (t) folgt
T (t)
X (x)
=
= K = konst.
T (t)
X(x)
Wegen den Randbedingung X(0) = X(π) = 0 besitzt die Gleichung X = KX
nur für K = −ω 2 < 0 nicht triviale Lösungen der Form,
X(x) = a cos(ωx) + b sin(ωx) .
Zudem folgt aus der Randbedingung, dass ω = n für n ∈ N sowie a = 0. Wir
erhalten die Fundamental-Lösungen
Xn (x) = bn sin(nx) ,
sowie
2
Tn (t) = Ce−n t .
Damit ist der Ansatz für u(x, t)
∞
2
bn sin(nx)e−n t .
u(x, t) =
n=1
Die Anfangsbedingung liefert
∞
u(x, 0) =
bn sin(nx) = T0 (x) .
(1)
n=1
Um das zu lösen, brauchen wir die Theorie der Fourierreihen, die in der nächsten
Vorlesung vorbesprochen wird.
Bitte wenden!
b) Falls T0 (x) = 3 sin(2x) − sin(3x), bekommen wir aus der Gleichung (1)
∞
bn sin(nx) = 3 sin(2x) − sin(3x) .
u(x, 0) =
n=1
Deshalb verschwinden alle Koeffizienten bn ausser b2 = 3 und b3 = −1. Die
Lösung ist somit
u(x, t) = 3 sin(2x)e−4t − sin(3x)e−9t .
2. Zunächst ignorieren wir die Anfangsbedingung und betrachten die partielle Differentialgleichung mit den Randbedingungen
vt − 2vxx = 0 x ∈ (0, π), t > 0 ,
v(0, t) = 10 t ≥ 0 ,
v(π, t) = 5 t ≥ 0 .
(2)
Eine partikuläre Lösung von (2) ist
up (x) = 10 −
5
x,
π
die unabhängig von t ist. Also ist die allgemeine Lösung gegeben durch
u(x, t) = 10 −
5
x + U (x, t),
π
wobei U die allgemeine Lösung des homogenen Problems
Ut − 2Uxx = 0
x ∈ (0, π), t > 0 ,
U (0, t) = U (π, t) = 0 t ≥ 0 ,
U (x, 0) = sin(100x)
x ∈ [0, π]
(3)
ist. Um (3) zu lösen, gehen wir wie in der Aufgabe 1 vor und bekommen
∞
2
cn e−2n t sin(nx) .
U (x, t) =
n=1
Die Anfangsbedingung liefert
∞
U (x, 0) =
cn sin(nx) = sin(100x) .
n=1
Deshalb verschwinden alle Koeffizienten cn ausser c100 = 1. Die Lösung ist somit
u(x, t) = 10 −
5
x + e−20000t sin(100x).
π
Siehe nächstes Blatt!
3. Mit dem Separationsansatz u(x, t) = v(x)w(t) folgt
1 w (t)
v (x)
=
= λ = konst.
4 w(t)
v(x)
Wegen den Randbedingungen v(0) = v(2π) = 0, besitzt die Gleichung v − λv = 0
nur für λ < 0 nicht triviale Lösungen der Form
√
√
v(x) = C1 cos(x −λ) + C2 sin(x −λ).
√
Zudem folgt aus der Randbedingung, dass C1 = 0 sowie −λ = k2 für k ∈ N. Daher
erhalten wir die Fundamental-Lösungen
vk (x) = sin
k
x ,
2
sowie
wk (t) = ak cos(kt) + bk sin(kt).
Damit ist der Ansatz für u(x, t)
∞
u(x, t) =
[ak cos(kt) + bk sin(kt)] sin
k=1
k
x .
2
Wir nehmen an, dass wir den Ableitungsoperator mit der Summe vertauschen können,
und wir bekommen
∞
ut (x, t) =
k
x .
2
k [−ak sin(kt) + bk cos(kt)] sin
k=1
Die Anfangsbedigungen liefern
∞
u(x, 0) =
ak sin
k=1
und
k
x
2
∞
ut (x, 0) =
kbk sin
k=1
=
√
k
x
2
π sin(2x)
= 0.
Daher sehen wir, dass alle Koeffizienten bk und ak ausser a4 =
gesuchte Lösung ist somit
√
u(x, t) = π cos(4t) sin(2x).
√
π verschwinden. Die
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