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1. Was ist der Mittelwert von 2006 und 6002? Allgemeine

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Übungen zum Kaenguru-Wettbewerb, Aufgaben von 2006, Klassenstufe 9 - 10, G.Theiser
1. Was ist der Mittelwert von 2006 und 6002?
Allgemeine Berechnung eines Mittelwerts:
Summe aller Zahlen dividiert durch deren Anzahl. Hier konkret:
20066002
=4004 Antwort : 4004.
2
2. Wie viele vierstellige Zahlen mit vier voneinander verschiedenen Ziffern sind
durch 2006 teilbar?
Alle durch 2006 teilbaren Zahlen sind Vielfache davon. Also untersuchen wir
alle vierstelligen Vielfachen von 2006:
1. 2006 selbst hat wegen der beiden Nullen nicht vier von einander
verschiedene Ziffern. Scheidet also aus!
2. 2006⋅2=4012 passt!
3. 2006⋅3=6018 passt!
4. 2006⋅4=8024 passt!
Alle weiteren Vielfachen von 2006 sind 5 - und mehrstellig. Daher ist die
Antwort : 3!
3. Eine Kreislinie wurde in vier Bögen geteilt, die die Längen 2, 5, 6 und x haben.
Wie lang ist x, wenn der Bogen der Länge 2 zu einem Winkel von 30° gehört
(s. Abb.)?
Ein Bogen der Länge 1 gehört zu 15°, einer der Länge 13 gehört daher zu
13⋅15=195° . Ein Bogen der Länge x entspricht daher einem Winkel von
360−195=165° . Dieser Winkel muss wiederum einer Bogenlänge von
165
=11 entsprechen. Antwort : 11.
15
4. Wie oft erscheinen im Laufe eines Tages, also zwischen 00:00 und 23:59, alle
vier Ziffern der diesjährigen Jahreszahl 2006 in irgendeiner Reihenfolge
gleichzeitig auf dem Display einer Digitaluhr, die nur Stunden und Minuten
anzeigt?
Wir untersuchen alle Anordnungen der 4 Ziffern 2,0,0,6 in solchen
Reihenfolgen, die einer Uhrzeit entsprechen:
1. 00 : 26 ja (00 : 62 nein)
2. 02 : 06 ja (02 : 60 nein)
3. 20 : 06 ja
4. 06 : 02 ja
5. 06 : 20 ja (60 : 02 usw. nein)
Antwort : 5 mal.
5. Welcher der folgenden Werte ist der größte?
(A)
(B)
(C)
73 % von 37 ; 64 % von 46; 55 % von 55;
(D)
(E)
46 % von 64; 37 % von 73
Die Prozentanteile werden durch Multiplikation z.B. von 0.73⋅37 usw.
berechnet. An Stelle der Berechnungen lassen sich jedoch die gegebenen
Zahlen, deren „Summe“ jeweils „110“ ergibt, als Seitenlängen von Rechtecken
auffassen. Deren Produkt ist jeweils der Flächeninhalt. Somit ist klar: das
Quadrat 55 x 55 ist das flächengrößte unter allen Rechtecken mit dem
gleichen Umfang.
Antwort : C, 55% von 55!
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Übungen zum Kaenguru-Wettbewerb, Aufgaben von 2006, Klassenstufe 9 - 10, G.Theiser
6. Die Uhr meiner Großmutter Ida geht pro Stunde 1 Minute vor, die meines
Großvaters Udo eine halbe Minute pro Stunde nach. Als ich neulich bei den
Großeltern zu Besuch war, habe ich beim Abschied beide Uhren genau gestellt
und versprochen, wiederzukommen, wenn die Zeitdifferenz der beiden Uhren
genau 3 Stunden beträgt. Wie lange müssen die Großeltern auf mich warten?
Die Zeitdifferenz beider Uhren beträgt pro Stunde 1.5 Minuten.
Die Zeitdifferenz von 3 Stunden entspricht 180 Minuten, das sind 120 mal 1.5
Minuten. Also müssen die Uhren 120 Stunden laufen, das sind 5 Tage.
Antwort : 5 Tage.
7. Für ein Theaterspiel, das unsere Klasse zum Schulfest aufführen will, habe ich
eine Fahne zu nähen, wie sie rechts abgebildet ist. Sie besteht aus drei gleich
breiten Streifen, die in zwei, drei bzw. vier jeweils gleich große Teile geteilt
sind. In welchem Größenverhältnis stehen die Flächeninhalte der beiden
Stoffsorten (dunkel zu hell) zueinander?
1 1 2 1 1 1 10 5
⋅  ⋅  ⋅ = = von der ganzen
2 3 3 3 2 3 18 9
4
Fahne. Also sind die hellen Teile zusammen
von der ganzen Fahne. Die
9
dunklen Teile zu den hellen verhalten sich daher wie 5 zu 4.
Antwort :
5 : 4.
Die dunklen Teile sind in Summe
8. Beim Einkauf für die Schuldisco stellen wir fest, dass es für die Chips, die wir
besorgen sollen und die pro Packung 1,20 € kosten, einen Mengenrabatt gibt.
An jeder Packung ist ein Coupon, drei Coupons kann man gegen eine Packung
Chips tauschen. Wie viele Chipspackungen bekommen wir maximal für 18 €?
Wir kaufen mal 18 : 1.2=15 Packungen. Für je 3 davon bekommen wir eine
weitere als Rabatt, also 5 Packungen dazu. Von den 5 Packungen holen wir
uns für 3 wieder eine Rabattpackung, welche mit den restlichen 2 (von den 5) 3
weiter Packungen für 1 Rabattpackung ergeben. Somit haben wir insgesamt
15+ 5+ 1 + 1 = 22 Chipspackungen erhalten.
Antwort : 22.
x
1 . Was ist unmöglich?
9. Für zwei reelle Zahlen x und y gilt
y
x
muss jedenfalls positiv sein, d.h. x und y müssen entweder
y
beide positiv oder beide negativ sein. Damit ist es aber unmöglich, dass deren
Produkt x⋅y0 ist, weil sie dazu unterschiedliche Vorzeichen bräuchten!
Antwort : x⋅y0 ist unmöglich!
Der Quotient
10.Wie groß ist der Flächeninhalt der schraffierten Fläche (in m²)?
Das ganze Quadrat hat die Fläche 21². Das kleine in der Mitte die Fläche 2².
Die Differenz ist 21² – 2². Die schraffierte Fläche ist ein Viertel davon.
212−22 212⋅21−2
=
Antwort :
nach der Formel: (a+b)(a-b) = a² – b².
4
22
Seite 2
Übungen zum Kaenguru-Wettbewerb, Aufgaben von 2006, Klassenstufe 9 - 10, G.Theiser
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11.Welche ist die 50. Zahl in der Folge 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, ...
Die Anzahl der Ziffern (bei abgeschlossenen Zifferngruppen) lässt sich als
arithmetische Reihe ausdrücken:
n
1234...= ⋅[2 a1n−1⋅d ] und soll 50 ergeben. Daher die
2
n n1
n
⋅[2n−1⋅1]=
=50 . Diese lässt sich zwar so nicht
Ansatzgleichung
2
2
für natürliche Zahlen n lösen. Für n=9 ergibt sich 45 und für n=10 ergibt sich
55. Aber daraus folgt, dass die 50. Zahl 10 sein muss.
Antwort : 10.
12.Azubi Kalle dekoriert sein erstes Schaufenster. Kleine quadratische
Mosaiksteinchen von 1 cm² Größe sind zu einem großen Quadrat aufzukleben,
insgesamt 169 Stück. Kalle rechnet sich die Seitenlänge des großen
Quadrates aus und klebt entsprechend. Aber er hat sich verrechnet. 25 Steine
bleiben übrig, die er nun (um die Quadratform beizubehalten) ansetzen will, wie
es die Zeichnung zeigt. Wie breit muss der Streifen sein?
Er hat 169 – 25 = 144 Steinchen verbraucht, was einem Quadrat von 12
Steinchen Seitenlänge entspricht. Die restlichen 25 Steine können in einem
Streifen der Breite 1 angeordnet werden: 12 + 1+ 12 = 25.
Antwort : 1 cm.
13.Angenommen, wir wissen, dass für die reellen Zahlen a und b die
Ungleichungen a + b > 0 und a + 2b < 0 beide gelten. Welcher der folgenden
Terme kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen?
Wir formen beide Ungleichungen um: (1) a > -b und (2) a < -2b
Angenommen b ist positiv, daher -b und -2b negativ. Auf der Zahlengerade gilt
dann:
a
0
-2b
-b
bzw.
-b
-2b
1. a kann nicht gleichzeitig > -b und < -2b sein. Daraus folgt, dass b jedenfalls
negativ sein muss (und a positiv) , damit -b und -2b auf der positiven
Zahlengerade liegen und a dazwischen liegen kann.
2. 2a + b kann dann nur mehr positiv sein!
3. a + 3b kann nur mehr negativ sein!
4. 2a + 3b kann dann als einziger Term je nach Größe von a positiv oder
negativ sein!
Antwort : 2a + 3b.
14.Eine taktlose Person fragt Lady Agnes, wie alt sie sei. Hoheitsvoll antwortet
diese: „Sollte ich genau 100 Jahre alt werden, so ist mein augenblickliches
Alter – angegeben in Jahren – vier Drittel der Hälfte der bis zu jenen 100
verbleibenden Jahre." Wie alt ist die Lady?
4 100− x
⇒ x=40
Das augenblickliche Alter sei x. Dann gilt: x= ⋅
3
2
Antwort : 40.
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15.Das Rechteck, das rechts abgebildet ist, ist in sechs Quadrate geteilt, dessen
kleinstes, schwarzes eine Seitenlänge von 1 cm hat. Wie lang ist die Seite des größten
Quadrats?
x+1
x
Zunächst beschriften wir die Skizze wie
nebenan gezeigt.
Die Länge der obersten Seite ist 2x+1.
Die Länge der untersten Seite ist 3x-5. x+1
Beide Seiten sind gleich lang:
2x+1 = 3x+5
daher : x = 6 cm.
Die Seitenlänge des größten Quadrats
ist x+1 = 7 cm.
x-2
Antwort : 7 cm.
x
1
x-1
x-2
x-2
x-1
16.Wie viele verschiedene (nicht zueinander kongruente) gleichschenklige Dreiecke mit
dem Flächeninhalt 1 haben eine Seite mit der Seitenlänge 2?
1.Lösung: Grundlinie c = 2.
h = 1!
c=2
2.+3.Lösung:
2
2
2
2
Die beiden gleichen Seiten sind a = b = 2.
Für die Grundlinie gibt es dabei 2 Möglichkeiten.
Antwort : 3.
17.In der Rechenaufgabe steht jeder Buchstabe für eine Ziffer, verschiedene Buchstaben
für verschiedene Ziffern. Es gibt zwei Lösungen. Welche Werte nimmt G in diesen
Lösungen an?
K A N
1. Lösung: G = 1 , daher N = 4, daher A = 8, K = 6
+K A G
2. Lösung: G = 9 , daher N = 8, daher A = 5, K = 6
+K N G
20 0 6
Antwort : 1 und 9.
18.Zwei kongruente gleichseitige Dreiecke werden, wie in der Abbildung, so übereinander
geschoben, dass die Seiten zueinander parallel sind und als Figur, die beiden
Dreiecken gemeinsam ist, ein Sechseck entsteht. Wenn der Umfang eines Dreiecks u
ist, dann ist der Umfang des Sechsecks ...
Die abgeschnittenen fett gezeichneten Seiten werden
wie nebenan gezeigt auf das andere Dreieck geklappt.
So erkennt man, dass das Sechseck 2 Seiten eines
gleichseitigen Dreiecks bedeckt. Der Umfang des
Sechsecks ist also 2/3 u.
2u
Antwort :
3
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19.Für die positiven reellen Zahlen a, b, c, d und e sollen folgende Gleichungen gelten:
e
= ...
ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = 5. Dann ist
a
Wir drücken aus und setzen der Reihe nach ein:
2
3 3
4 2⋅4 8
5 5⋅3
15
e 15
b=
⇒ c= = ⋅a ⇒ d = =
=
⇒ e= = ⋅a= ⋅a ⇒
=
a
b 2
c 3a 3a
d
8
8
a 8
Antwort :
e 15
=
a 8
20.Ein regelmäßiges Fünfeck wird durch eine Gerade in zwei Teile zerlegt. Welche der
folgenden Figuren kann gewiss nicht entstehen?
Es kann entstehen: ein Dreieck,
Trapez, Fünfeck und Sechseck.
Nicht entstehen kann ein
Parallelogramm.
Antwort : Parallelogramm.
21.Die Familie Kernig, bestehend aus Frau Kernig, Herrn Kernig und einigen Kindern, hat
das beeindruckende Durchschnittsalter von 18 Jahren. Lässt man den 38-jährigen
Herrn Kernig bei der Berechnung aus so sinkt das Durchschnittsalter der verbleibenden
Personen auf gerade einmal 14 Jahre. Wie viele Kinder hat Familie Kernig?
Alter V=38 ... Vater, Alter M ... Mutter, Summe Alter aller Kinder ... K
Summe M + K = z, Anzahl aller Personen : x
38z
=18
Mittelwert des Alters : Gleichung 1:
x
z
=14
Ohne den Vater :
Gleichung 2:
x−1
Nach Lösung des Gleichungssystems erhalten wir für x = 6.
Die Anzahl der Kinder ist somit 4.
Antwort : 4.
22.Aus vier Holzstückchen der Länge 1 lege ich ein rechtwinkliges Dreieck, wozu ich
genau eines der Hölzer geeignet in zwei Teile zerschneide. Dann ist der Flächeninhalt
dieses rechtwinkligen Dreiecks gleich ...
Beim Zerschneiden eines Holzstückchens entstehen 2 Teile: 1 – x, und x.
Es gibt für die Anordnung der Holzstückchen als rechtwinkliges Dreieck 3
Möglichkeiten:
(1) Hypotenuse: 1+1=2 ;
längere Kathete : 1+x ; kurze Kathete : 1-x
(2) Hypotenuse: 1+1-x=2-x ; längere Kathete : 1+x ; kurze Kathete : 1
(3) Hypotenuse: 1+1+x=2+x ; längere Kathete : 1;
kurze Kathete : 1-x
Prüfung, ob es sich bei diesen Anordnungen um rechtwinklige Dreiecke handeln kann:
zu (1) 22=1 x 21−x 2 ⇒ x=1 ... kann nicht sein!
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1
... ist möglich!
3
−1
2
2
2
⇒ x=
Zu (3) 2 x  =1 1−x 
... ist nicht möglich!
3
1x ⋅1 4 1 2
= ⋅ =
Der Flächeninhalt bei (2) ist dann A=
2
3 2 3
2
Antwort :
3
2
2
2
Zu (2) 2− x  =1 x  1
⇒
x=
y=
2
x+
3
23.Der Schnittpunkt der beiden Graphen y = 2x + 3 und y = kx - 3 befindet sich im ersten
Quadranten, und zwar unterhalb der Gerade y = 5. Was trifft dann für k zu?
y
Aus dem nebenstehenden Graph erkennen wir:
y=5
5
Die Gerade y = kx – 3 geht durch den Punkt
S
(0 | -3) . Damit ihr Schnittpunkt mit der Geraden
y = 2x + 3 unterhalb der Geraden y = 5 liegt,
4
muss sie steil genug sein, d.h. konkret einen
Anstieg größer als 8 haben, was aus dem rosa
3
strichlierten Steigungsdreieck abzulesen ist.
2
Antwort : k > 8.
8
1
x
-1
0
-3
1
2
1
24.Beim Lösen einer Känguruaufgabe zieht Carolin die folgenden richtige Schlüsse:
1) Wenn die Antwort A) richtig ist, dann ist auch B) richtig.
2) Wenn Antwort C) falsch ist, dann ist auch B) falsch.
3) Wenn Antwort B) falsch ist, dann ist weder D) noch E) richtig.
Welche der Antworten ist wahr? (Dabei ist zu berücksichtigen, dass bei den
Känguruaufgaben stets nur genau eine der Antworten richtig ist.)
1.  A=r ∧ B=r  kann nicht sein, denn es ist gibt nur eine richtige Antwort.
Daraus folgt, dass A falsch ist.
2. Wenn C falsch ist, dann ist wegen 2) auch B falsch und wegen 3) auch D und E.
Dann wäre alles falsch. Das kann aber nicht sein. Daher muss C richtig sein.
B kann nicht richtig sein, denn dann wäre C falsch und damit wäre auch wegen 2) B
selbst falsch. Also:
Antwort : C ist richtig.
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25.Zum Lesenlernen haben wir für meinen kleinen Bruder Leo Buchstabenkärtchen, auf
Vorder- und Rückseite ist je ein Buchstabe. Als ich einmal das Wort MISSISSIPPI lege
und alle 11 Kärtchen in derselben Reihenfolge umdrehe, ist auf der Rückseite gerade
KILIMANJARO zu lesen. Leo dreht die Kärtchen wieder um und schiebt sie
anschließend durcheinander. Nun ist auf der Vorderseite PSISIMISSPI zu lesen.
Welches könnte die zugehörige Rückseite sein?
M I S S I S S I P P I
K I L I M A N J A R O
P S I S I M I S S P I
1.Versuch:
A N J A M K I L I R O
2.Versuch:
A N MA I K O L I R J
Der 2. Versuch ist richtig. Antwort : D.
26.Von 2 Quadraten der Seitenlänge 1 ist eines um 45° gegenüber dem anderen gedreht,
so dass es mit einer Seite auf der Diagonale des anderen zu liegen kommt. Wie groß
ist der Flächeninhalt der gemeinsamen, grau markierten Fläche?
Die Diagonale beträgt d =  1212=  2 . Das restliche Stück
beträgt daher d −1=  2−1 .
Von der halben Quadratfläche 0.5 ist also die Hälfte eines
kleineren Quadrats mit der Seitenlänge d – 1 abzuziehen:
2
1  2−1
Der Flächeninhalt beträgt: A= − 
=...=  2−1
2
2
Antwort :  2−1
1
1
1
d-1
27.In der Hexenschule lernt Junghexe Jule im Modul „Heilkunde für Hexen" aus den
Stoffen A, B, C , D und E Schönheits-, Heil-, und Liebestränke zu mixen. Die Stoffe
sind unter stetigem Rühren in einen Mischkolben zu schütten und einige Zeit
durchzumengen. Die Reihenfolge des Hineinschüttens der Stoffe bestimmt dabei,
welches Elixier entsteht. Bei Strafe des eigenen Untergangs darf D dabei nie vor A
untergemischt werden. Wie viele Elixiere können so entstehen?
Es geht um alle Anordnungen der 5 Buchstaben A,B,C,D und E , wo D nicht vor A
vorkommt.
1. Die Anzahl aller Anordnungen (Permutationen) beträgt 5! = 1.2.3.4.5 = 120.
2. Ermittlung aller Anordnungen, wo D vor A kommt:
DABCE :
alle Anordnungen von ABCE mit D davor: 4! = 24
BDACE :
alle Anordnungen von ACE :
3! = 6
CDABE :
alle Anordnungen von ABE :
3! = 6
EDABC :
alle Anordnungen von ABC :
3! = 6
BCDAE :
CBDAE :
BEDAC :
CEDAB :
BCEDA :
alle Anordnungen von AE :
alle Anordnungen von AE :
alle Anordnungen von AC und BE davor:
alle Anordnungen von AB und CE davor:
alle Anordnungen von BCE:
2! = 2
2! = 2
2x2! = 4
2x2! = 4
3! = 6 Gesamtzahl: 60
Übungen zum Kaenguru-Wettbewerb, Aufgaben von 2006, Klassenstufe 9 - 10, G.Theiser
Seite 8
3. Die Anzahl aller Anordnungen, wo D nicht vor A kommt: 120 – 60 = 60.
Antwort : 60.
28.Basis einer Pyramide mit der Spitze S ist das regelmäßige Fünfeck ABCDE, die
Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke. Dann ist ASC = ?
1. Das Dreieck ASC entspricht dem Dreieck
ABC, da alle 3 Seiten gleich groß sind!
2. Der Winkel ASC entspricht daher dem Winkel
ABC!
3. Das Dreieck ABM ist gleichschenkelig mit dem Winkel
AMB = 72° (= 360/5). Der Winkel ABM ist daher 54°.
4. Der Winkel ABC ist das Doppelte, 108°. Dieser Wert
entspricht auch dem Winkel ASC.
C
M
Antwort : 108°.
72°
A
B
(180-72)/2 = 54°
29.Wenn die Summe dreier Zahlen x, y und z mit x > y > z > 0 gleich 20 ist, dann ist ...
Ausprobieren zeigt ...
Antwort : keine der Aussagen A – D richtig.
30.Ein Würfel soll bemalt werden, und zwar jede Seite mit genau einer von sechs
verschiedenen Farben. Wie viel verschiedene Würfel können dabei entstehen? (Zwei
Würfel sind verschieden, wenn sie nicht durch eine geeignete Drehung in
Übereinstimmung gebracht werden können.)
Die Anzahl aller Anordnungen von 6 verschiedenen Farben beträgt 6! = 720.
Nimmt man jedoch einen bestimmten Würfel mit 6 verschiedenen Flächen her und
dreht ihn jeweils 4 mal um jede der 6 Flächen, also 24 verschiedene Positionen, so
entspricht jede Position einer anderen Anordnung von den 720 möglichen, wenn man
sich den Würfel in sein Netz immer auf die gleiche Weise aufgebreitet vorstellt.
Das heißt : Die 720 möglichen Anordnungen vermögen nur 1/24 von 720 = 30 „echt“
verschiedene Würfel zu „erzeugen“, welche nicht mehr durch irgend eine Drehung in
einander übergeführt werden können.
Antwort : 30.
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