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Crashkurs als Vorbereitung für Hochschulmathematik (Oder: Was

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Crashkurs als Vorbereitung für Hochschulmathematik
(Oder: Was man unbedingt wissen sollte!)
Markus Sprecher
21. September 2013
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
2
2
Aussagenlogik, Berechnen und Beweisen
2
2.1
Was ist ein Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Allgemeine Beweisstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.1
Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.2
Beweis durch Widerspruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3
Beweis durch vollständige Induktion (nicht Intuition!) . . . . . . . . . . . . . .
7
Wie beweist man, dass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.1
zwei Ausdrücke A und B gleich sind? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.2
zwei Aussagen äquivalent sind? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Berechnungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
2.4
3
4
5
Mengen
9
3.1
Definition, Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.3
Operationen auf den Elementen einer Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Komplexe Zahlen
12
4.1
Konstruktion der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2
Konstruktion der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.3
Eigenschaften der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.4
Exponentialfunktion und Polarformdarstellung der komplexen Zahlen . . . . . . . . . .
15
Lösungen
17
5.1
Zu Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5.2
Zu Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1
5.3
1
Zu Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Einleitung
Dieses Dokument soll den Einstieg in die Hochschulmathematik erleichtern. Dieser Einstieg ist aus zwei
Gründen für Studenten des 1. Semesters schwierig: Einerseits kommen viele neue Definitionen, Begriffe,
Konzepte, Sätze und Beweise auf einen zu, andererseits ist auch die Art und Weise wie Mathematik betrieben wird häufig etwas anderes als man es aus der Mittelschule her kennt.
Die wichtigsten Methoden und Herangensweisen für Mathematikaufgaben werden im Kapitel 2 besprochen. Es werden bewusst einfache Beispiele gemacht um den Fokus auf die mathematischen Methoden
zu lenken.
Die mathemathischen Vorkenntnisse der Studenten im 1. Semester sind sehr unterschiedlich. Der Gymistoff ist von Kanton zu Kanton anders. Zudem treffen Studenten aus allen möglichen Schwerpunktfächern
zusammen. In den Kapiteln 3 und 4 werden zwei für die Hochschulmathematik sehr wichtigen Grundlagen (Mengen und komplexe Zahlen) für Studenten besprochen, denen diese Vorkenntnisse fehlen.
2
Aussagenlogik, Berechnen und Beweisen
Man kann Mathematikaufgaben grob in zwei Kategorien einteilen: Berechnungs- und Beweisaufgaben.
Beispiel 1. Berechnungsaufgaben:
• Berechnen Sie 3 · 7
1
• Berechnen Sie ∑∞
n=1 n2
•
∞
1
−∞ x2 +1 dx
Beispiel 2. Beweisaufgaben:
• Beweisen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
• Zeigen Sie, dass jedes nichtkonstante Polynom eine komplexe Nullstelle hat.
• Gilt
∞
1
−∞ x2 +1 dx
< ∞?
Für Mathematiker sind Beweisaufgaben zentral, währendem für Anwender der Mathematik (z.b Ingenieure) Berechnungsaufgaben mehr von Interesse sind. In jedem Fall empfiehlt es sich aber für das globale
Verständnis einer Theorie einzelne Herleitungen nachzuvollziehen und selber bewiesen zu haben. Dies
hilft einem auch im Hinblick auf Berechnungsaufgaben.
2
Abbildung 1: Beispiel eines Fehlers der entsteht beim Lösen einer Aufgabe wenn man die Theorie noch
nicht verstanden hat.
2.1
Was ist ein Beweis
Bevor wir uns über Beweismethoden Gedanken machen, definieren wir, was ein Beweis eigentlich genau
ist.
Definition 1. Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit
bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden,
und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind.
Definition 2. Ein Axiom ist eine grundlegende Aussage, die ohne Beweis angenommen wird.
Aber was ist denn eigentliche eine Aussage genau?
Definition 3. Eine Aussage ist eine Formulierung, die entweder wahr oder falsch ist.
Natürliche könnte man nun alles noch genauer hinterfragen. Dies ist aber nicht Ziel dieses Crashkurses. Wir machen stattdessen einige Beispiele.
Beispiel 3. Mögliche Aussagen:
• Es regnet.
• x = 5.
• Eine quadratische Gleichung hat mindestens eine Lösung.
Ob die Aussage war oder falsch ist hängt häufig vom Kontext ab. Z.b ist die Aussage „Es regnet. “je
nach Wetter und genauem Ort wahr oder falsch. Ob eine quadratische Gleichung eine Lösung hat hängt
davon ab, welche Zahlen man in Betracht zieht. Währenddem eine quadratische Gleichung in reellen
Zahlen manchmal keine Lösung hat (z.b. x2 + 1 = 0), gibt es in komplexen Zahlen immer eine Lösung.
Solche Aussagen (wo nicht klar ist, was gemeint ist) gilt es zu vermeiden.
3
Aufgabe 1. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
• Alle Primzahlen sind ungerade.
• Eine quadratische Gleichung hat höchstens 7 verschiedene Lösungen.
Im Folgenden bezeichnen wir mit A und B zwei beliebige Aussagen. Aus A und B lassen sich neue
Aussagen konstruieren. Wir geben einige Beispiele an und definieren wann die Aussage wahr ist (in den
anderen Fällen ist die Aussage falsch).
• „A ist falsch “
Diese Aussage ist wahr, falls A falsch ist. Die Aussage „A ist falsch “wird auch die Negation von A
genannt.
• „A und B “
Diese Aussage ist wahr, falls sowohl A als auch B wahr ist. Es wird häufig die Notation A ∧ B
verwendet. (Niemals aber A + B, denn das Pluszeichen ist ausschliesslich für die Addition zweier
Zahlen zu verwenden.)
• „A oder B “
Diese Aussage ist wahr, falls die Aussage A, die Aussage B oder beide Aussagen wahr sind. Im
Gegensatz zum üblichen Sprachgebrauch, wie z.b. die Aussage „Ich werde Elektrotechnik oder
Materialwissenschaften studieren “, ist also „A oder B “ wahr wenn sowohl A als auch B wahr sind.
• „Aus A folgt B“. (Wir verwenden im Folgenden die Notation A ⇒ B)
Diese Aussage ist wahr, falls immer wenn A gilt, auch B gelten muss.
• „A ist äquivalent (gleichbedeutend) mit B“. (Wir verwenden im Folgenden die Notation A ⇔ B)
Diese Aussage ist wahr, falls A ⇒ B und B ⇒ A gilt. Man findet auch häfig die Formulierung „A
gilt genau dann wenn B gilt “vor.
Aufgabe 2. Was ist die Negation der Aussage „Alle Autos sind grün“?
Aufgabe 3. An einem kanadischen Bahnhof ist das Plakat in Abbildung 2 auf Seite 5 zu finden. Ein
Zeitgenosse (mit hoher Wahrscheinlichkeit kein Mathematiker) hat daraufhin geschrieben: „Blind people
can legally be trains in Canada“. Welche Aussage macht das Plakat in den letzten beiden Zeilen und
welche Schlussfolgerung zieht der Zeitgenosse? Ist dieser Schluss zulässig?
Aufgabe 4. Welche der Folgenden Aussagen sind richtig
• Sei x ∈ R dann gilt x > 0 oder x < 0.
• Es regnet ⇒ 1 + 1 = 2.
• Aus x2 = 25 folgt x = 5.
4
Abbildung 2: Schild an einem kanadischen Bahnhof. (Quelle:www.reddit.com)
• Seien A und B zwei Aussagen dann gilt:
(A ⇒ B) ⇔ („B gilt nicht “ ⇒ „A gilt nicht “)
Aufgabe 5. Implikationen
Im Folgenden seien a, b, c reelle Zahlen. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
i) (ac = bc) ⇒ (a = b).
ii) (a = b) ⇒ (ac = bc).
iii) (c = 0 und ac = bc) ⇒ (a = b).
Aufgabe 6. Falscher Beweis
Jemand behauptet er habe bewiesen, dass 1 = 0 gilt, dazu startet er mit zwei gleich grossen Zahlen a und
5
b und verwendet folgende Herleitung:
|·a
a=b
a2 = ab
| + a2 − 2ab
2(a2 − ab) = a2 − ab
| : (a2 − ab)
|−1
2=1
1=0
Müssen die Mathematikbücher nun neu geschrieben werden oder ist etwas am Beweis falsch?
2.2
Allgemeine Beweisstrategien
Die meisten Sätze oder Lemmas sind von der Form
A1 , . . . , Am ⇒ B,
dabei nennt man die Aussagen A1 , . . . , Am die Voraussetzungen und B die Aussage des Satzes.
Beispiel 4. Der Satz aus Analysis I: „Sei (xn )n∈N eine reelle Zahlenfolge, die monoton und beschränkt ist.
Dann ist (xn )n∈N konvergent“ hat zwei Vorraussetzung A1 := „(xn )n∈N ist monoton“ und A2 := „(xn )n∈N
ist beschränkt“, sowie eine Folgerung B := „(xn )n∈N ist konvergent“.
Wir stellen drei häufige Beweisstrategien vor um solche Sätze oder Lemmas zu zeigen. Es gäbe natürlich noch mehr.
2.2.1
Direkter Beweis
Man benützt die Voraussetzungen A1 , . . . , Am , Axiome und bereits bewiesene Aussagen und folgert dadurch immer wieder neue Aussagen bis man die gewünschte Aussage B gezeigt hat.
Beispiel 5. Wir möchten zeigen, dass
n ungerade ⇒ n2 ungerade.
Nach Definition ist n ungerade falls eine natürliche Zahl k existiert mit n = 2k + 1. Daraus folgt n2 =
(2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1, n2 ist also ebenfalls ungerade.
2.2.2
Beweis durch Widerspruch
Anstatt eine Aussage B direkt zu beweisen wird die Negation von B sowie die Aussagen A1 , . . . , Am betrachtet und daraus weitere Schlussfolgerungen gemacht. Ziel ist es einen Widerspruch zu einem Axiom
oder einer der Annahmen zu erhalten. Daraus folgt dann, dass die Aussage B richtig sein muss. Hier wird
also der letzte Punkt von Aufgabe 4 angewendet.
6
Beispiel 6. Um zu beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, geht man zuerst von der Negation
(dass es endlich viele Primzahlen gibt) aus. Dann benutzt man die Endlichkeit der Menge der Primzahlen
und kann daraus einen Widerspruch folgern.
Aufgabe 7. Beweisen Sie folgende Aussage Ist p = 2 eine Primzahl, so ist p ungerade.
2.2.3
Beweis durch vollständige Induktion (nicht Intuition!)
Manchmal muss man eine Aussage in Abhängigkeit einer natürlichen Zahl beweisen. Man kann daher die
Aussage B aufteilen in Aussagen B1 , B2 , . . . . Ziel eines Induktionsbeweises ist es die Aussage für einen
kleinen Wert (z.b n0 = 0 oder n0 = 1) zu zeigen und dannach für alle n
n0 , dass
Bn ⇒ Bn+1
gilt.
Beispiel 7. Wir möchten für alle n ∈ N\{0} zeigen, dass
n
∑ j=
j=1
n(n + 1)
2
gilt. Für n = 1 ist die Aussage richtig, da
1
∑ j=1=
j=1
Wir nehmen nun an, dass die Aussage für ein n
n+1
n
∑ j = ( ∑ j) + (n + 1) =
j=1
j=1
1(1 + 1)
.
2
1 gilt, dann folgt
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
+ (n + 1) =
,
2
2
die Aussage gilt also auch für (n + 1).
Aufgabe 8. Zeigen Sie:
n
∑ i2 =
i=1
2.3
Wie beweist man, dass
2.3.1
zwei Ausdrücke A und B gleich sind?
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
Von der Mittelschule her wird einem die Methode bekannt sein, dass man mit der Gleichung A = B startet
und auf beiden Seiten solange diesselben Operation durchführt bis man auf eine korrekte Gleichung
stösst.
7
Beispiel 8. Wir möchten beweisen, dass für alle q = 1 die Gleichung
q3 − 1
= q2 + q + 1
q−1
gilt.
Wir wenden die oben beschriebene Methode an:
q3 − 1
q−1
= q2 + q + 1
(1)
(q3 − 1) = (q − 1)(q2 + q + 1)
3
3
2
2
(q − 1) = (q + q + q) − (q + q + 1)
q3 − 1
= q3 − 1.
(2)
(3)
(4)
Die obige Methode ist zwar grundsätzlich nicht falsch, aber es ist kein Beweis im eigentlichen Sinne.
Man beginnt mit der Aussage die man beweisen soll und kommt auf eine wahre Aussage. Ein Beweise
würde von unten nach oben gehen. Eine logisch besser strukturierte Methode ist mit dem Ausdruck A
zu beginnen und so lange Äquivalenzumformungen macht bis man schlussendlich auf den Ausdruck B
gelangt, z.b so:
q3 − 1 (q − 1)(q2 + q + 1)
=
= q2 + q + 1.
q−1
q−1
2.3.2
zwei Aussagen äquivalent sind?
Nach Definition gilt
(A ⇔ B) ⇔ (A ⇒ B und B ⇒ A).
Dies ist auch meistens die Methode um die Aquivalenz zweier Aussagen A und B zu beweisen, dass heisst
man startet einmal mit der Aussage A und folgert daraus B und einmal mit B und folgert daraus A.
Aufgabe 9. Eine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 a, b, c ∈ R mit a = 0 hat genau dann zwei
verschiedene Lösungen x1 , x2 ∈ R wenn gilt b2 − 4ac > 0. (Beweisen Sie diese Aussage einmal mit und
einmal ohne quadratisches Ergänzen.)
2.4
Berechnungsaufgaben
Zu Berechnungsaufgaben gibt es weniger zu sagen als für Beweisaufgaben. Beherrscht man die Theorie,
sollte jeweils klar sein, was zu rechnen ist. Es liegt jedoch in der Natur des Menschen sich häufig zu
„verrechnen “und Flüchtigkeitsfehler zu machen. Dies stellte auch schon Albert Einstein fest. Obwohl es
häufig sehr aufwändig ist auf das Resultat zu kommen, kann man meistens sehr einfach nachprüfen ob
das Resultat stimmt. Möchte man z.b. die Primfaktorzerlegung von 2013 wissen, so braucht man wahrscheinlich einige Zeit bis man auf 2013 = 3 · 11 · 61 kommt. Man kann aber sehr einfach das Resultat
8
nachprüfen, indem man zuerst überprüft, dass 3, 11 und 61 Primzahlen sind und die drei Zahlen miteinander multipliziert 2013 ergeben.
3
3.1
Mengen
Definition, Grundlagen
Definition 4. Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer
Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge.
Wir verwenden Grossbuchstaben für Mengen und Kleinbuchstaben für Elemente. Falls x ein Element
von A ist, so schreibt man x ∈ A falls nicht schreibt man x ∈
/ A.
Beispiel 9. Beispiele für Mengen:
• Menge der Studenten in diesem Raum
• N = {0, 1, . . . } (natürliche Zahlen)
• Z = {. . . , −1, 0, 1, . . . } (ganze Zahlen)
• Q, R, C (rationale, reelle bzw. komplexe Zahlen)
9
• Die Menge der Tripel (x1 , x2 , x3 ) die das Gleichungssystem
x1 + 2x2 + 3x3
= 0
4x1 + 5x2 + 6x3
= 0
7x1 + 8x2 + 9x3
= 0
erfüllen.
Man kann z.b. schreiben 3 ∈ N,
2
3
∈ Q oder 1 + i ∈
/ R.
Eine Menge kann ein Element nur einmal enthalten oder anders ausgedrückt ein Objekt ist entweder Element einer Menge oder nicht. Es gilt also z.b. {1, 1, 3} = {1, 3}.
Die leere Menge (Notation: ∅) ist diejenige Menge, welche keine Elemente enthält. Im Folgenden bezeichnen wir mit A und B zwei beliebige Mengen. Aus A und B lassen sich neue Mengen konstruieren.
Wir geben einige Beispiele an und definieren welche Elemente zur neuen Menge dazugehören.
• A ∩ B (A geschnitten mit B)
Diese Menge enthält alle Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.
• A ∪ B(A vereinigt mit B)
Diese Menge enthält alle Elemente, die zu A oder B (insbesondere auch dijenigen Elemente die zu
beiden Mengen) gehören.
• A\B (A ohne B)
Diese Menge enthält alle Elemente, die zu A aber nicht zu B gehören.
Um eine neue Menge einzuführen kann man folgende Notation verwenden (hier am Beispiel der Menge
der geraden ganzen Zahlen):
A
Name der
neuen Menge
:= {
|
2n
n∈Z
}.
Beschreibung der Elemente
Spezifikation der Variabel(n)
unter Verwendung von Variabel(n)
Man kann eine Menge auch dadurch definieren indem man sagt wann genau ein Objekt ein Element der
10
Menge ist (hier am Beispiel der Menge aller Primzahlen):
p ∈ P ⇔ (p ∈ N und p hat genau zwei positive Teiler).
Definition 5. Eine Menge A ist eine Teilmenge von B (wir verwenden die Notation A ⊆ B) falls für alle
x ∈ A auch x ∈ B gilt.
Definition 6. Zwei Mengen A und B sind identisch (man schreibt A=B) falls x ∈ A genau dann gilt wenn
x ∈ B gilt.
Aufgabe 10. Beweisen Sie
1. A = B ⇔ (A ⊆ B und B ⊆ A).
(Diese Aussage wird häufig dazu verwendet um zu zeigen, dass zwei Mengen identisch sind.)
2. {2q|q ∈ Q} = Q
3. R
Q (d.h. R ist keine Teilmenge von Q).
Aufgabe 11. Was für Probleme gibt es bei folgender „Definition “
Q=
a
|a, b ∈ Z
b
für die rationalen Zahlen Q?
3.2
Abbildungen
Definition 7. Eine Abbildung einer Menge A in eine Menge B ordnet jedem Element aus A ein Element
aus B zu.
Um eine Abbildung zu definieren verwenden wir die Notation „A → B“ um zu kennzeichnen, dass die
Abbildung die Menge A in die Menge B abbildet, und „→ “um zu definieren auf welches Element aus B
ein Element aus A abgebildet wird.
Beispiel 10. Die Abbildung f : Z → N (dass heisst von Z in N) sei definiert durch x → f (x) := x2 . Es
wird also jede ganze Zahl auf sein Quadrat abgebildet.
Beachte, dass für eine Abbildung f : A → B nicht zu jedem Element b ∈ B ein Element a ∈ A existieren
muss, sodass f (a) = b gilt und dass zwei Elemente a1 , a2 ∈ A existieren können mit f (a1 ) = f (a2 ).
Aufgabe 12. Sei f die Abbildung aus Beispiel 10.
• Finde b ∈ N sodass kein a ∈ Z existiert mit f (a) = b.
• Finde a1 , a2 ∈ Z mit f (a1 ) = f (a2 ).
11
3.3
Operationen auf den Elementen einer Mengen
Häufig definiert man Operationen auf den Elementen einer Menge wie z.b „+“(Addition) und „·“(Multiplikation).
Definition 8. Eine Operation auf einer Menge A ist eine Abbildung A × A → A.
Definition 9. Die Menge A × A ist die Menge aller geordneten Paare aus A, dass heisst A × A :=
{(a, b)|a ∈ A, b ∈ A}.
Auf den Mengen N, Z, Q, R und C gibt es eine allgemein übliche Addition und Multiplikation, z.b.
wird bei der Addition das Paar (1, 3) auf das Element 4 abgebildet, da 1 + 3 = 4 gilt. Auf anderen Mengen
sollte man jeweils zuerst definieren was mit einer Addition (oder Multiplikation) genau gemeint ist, z.b.
ist nicht klar was mit einer Addition auf der Menge aller Studenten in diesem Raum gemeint ist.
Definition 10. Eine Menge A mit einer Operation ∗ heisst abgeschlossen bezüglich ∗ falls
(x ∈ A und y ∈ A) ⇒ x ∗ y ∈ A.
Zum Beispiel ist die Menge der geraden natürlichen Zahlen abgeschlossen bezüglich der Addition,
da für zwei gerade Zahlen 2n und 2m folgt, dass 2n + 2m = 2(n + m) ebenfalls gerade ist. Die Menge
der ungeraden natürlichen Zahlen ist aber nicht abgeschlossen bezüglich der Addition, da z.b 1 und 3
ungerade sind 1 + 3 = 4 aber nicht.
Aufgabe 13. Abgeschlossenheit
1. Sind die ungeraden natürlichen Zahlen abgeschlossen bezüglich der Multiplikation.
2. Was ist falsch an folgondem Satz: „Die Lösungen der quadratischen Gleichung x2 − 3x + 2 = 0
sind 1 + 2“.
3. Eine Menge A ⊆ Z sei abgeschlossen bezüglich Addition und Subtraktion und enthalte die Elemente
6 und 10. Beschreibe alle möglichen Mengen A.
4. (schwierig) Beschreibe alle Teilmengen von Z die abgeschlossen sind bezüglich der Addition und
Subtraktion.
4
Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen C sind eine Erweiterung der reelen Zahlen R. Um die Konstruktion dieser Erweiterung besser zu verstehen, schauen wir uns zuerst die Konstruktion der Erweiterung der natürlichen
Zahlen N zu den ganzen Zahlen Z an. Dannach kommen wir zum eigentlichen Thema dieses Kapitels,
der Konstruktion der komplexen Zahlen.
12
Abbildung 3: Disput zweier Zahlen
4.1
Konstruktion der ganzen Zahlen
Hier wird jeweils eine Gleichung angeschaut die keine Lösung in N hat, z.b. x + 1 = 0. Dann wird eine
neue Zahl eingeführt als Lösung einer solchen Gleichung und schliesslich eine Erweiterung(Z) für N,
also z.b. −1 als Lösung von x + 1 = 0. Weiter sei (−n) := n · (−1) für alle n ∈ N {0} und
Z := {−n|n ∈ N\{0}} ∪ N.
Die Rechenregeln (Assoziativgesetz:(a + b) + c = a + (b + c), Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c,
etc.) sollen immer noch gelten, z.b. soll immer noch 0 · x = 0 und 1 · x = x gelten. Daraus folgt z.b.
(−a)·(−b) = (−a)·(−b)+0 = (−a)·(−b)+a·((−b)+b) = ((−a)+a)·(−b)+a·b = 0·(−b)+a·b = a·b,
also die altbekannte Regel „minus mal minus gibt plus“.
(Bemerkung: Es gibt auch andere Möglichkeiten die ganzen Zahlen zu konstruieren und Zusammenhänge
zu beweisen.)
Die Herleitung für komplexe Zahlen funktioniert ähnlich wie die Herleitung für ganze Zahlen.
4.2
Konstruktion der komplexen Zahlen
Da x2
0 für alle x ∈ R hat die Gleichung x2 + 1 = 0 keine Lösung x ∈ R. Wir definieren i als Lösung
dieser Gleichung. Es gilt also i2 = −1. Wir setzen zudem
C := {a + bi|a, b ∈ R}.
Aufgabe 14. Komplexe Zahlen 1
• Zeigen Sie, dass C abgeschlossen ist bezüglich Addition und Multiplikation.
• Bestimmen Sie die Lösung(en) x der quadratischen Gleichung 2x2 + 2x + 5 = 0 in C.
13
4.3
Eigenschaften der komplexen Zahlen
Für eine komplexe Zahl a + bi wir a der Real- und b der Imaginärteil genannt. Die Abbildung die einer
komplexen Zahl den Realteil (bzw. Imaginärteil) zuordnet wird mit Re (bzw. Im) bezeichnet.
√
Definition 11. Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + bi ∈ C ist definiert als |z| = a2 + b2 .
Nach Carl-Friedrich-Gauss(1777-1855) können die komplexen Zahlen durch Pfeile (oder manchmal
auch durch die Punkte) in der Ebene dargestellt werden. Der entsprechende Pfeil zur Zahl z = a + bi zeigt
vom Ursprung zum Punkt mit Koordinaten (Re(z), Im(z)) = (a, b). Die Addition kann dann als aneinanderhängen der Pfeile (durch paralleles Verschieben) aufgefasst werden. Der Betrag einer komplexen ist
dann die Länge des Pfeils.
Abbildung 4: Carl-Friedrich-Gauss
Abbildung 5: Gausssche Zahlenebene
Aufgabe 15. Komplexe Zahlen 2
• Zeigen Sie, dass der Betrag des Produkts gleich dem Produkt der Beträge zweier komplexer Zahlen
ist.
Wir wissen nun, wie man komplexe Zahlen addiert und multipliziert doch wie funktioniert das Potenziern mit komplexen Zahlen? Was ergibt zum Beispiel ii ? Es gibt keine Möglichkeit das Potenzieren für
beliebige komplexe Zahlen so zu definieren, dass alle Potenzgesetze, dass heisst
(ab)c = ac bc , ab+c = ab · ac und abc = ab
c
für alle a, b, c ∈ C erfüllt sind. Deshalb wird die Potenzierung ab häfig nur in Folgenden Fällen erlaubt:
• a > 0 und b ∈ C
• a = 0 und b
0 (insbesondere b ∈ R)
14
Abbildung 6: Diskussion zwischen der 2. und 3. Potenz über Religion.
• a ∈ C\{0} und b ∈ Z.
Zum Beispiel ergibt der Ausdruck ii keinen Sinn. Das Ergebnis im zweiten und dritten Fall sollte klar
sein. Wir versuchen nun das Ergebnis für den ersten Fall zu berechnen. Sei also a > 0 und b = c + di.
Wegen den Potenzgesetzen gilt
ac+di = eln(a)
c+di
= ec ln(a)+d ln(a)i = eln(a)c eln(a)di = ac eln(a)di .
Wir können uns daher zuerst auf das Auswerten eines Ausdrucks der Form eiϕ mit ϕ ∈ R konzentrieren.
Um diesen Ausdruck berechnen zu können, machen wir einen kleinen Exkurs zur eulerschen Zahl e
und der Exponentialfunktion exp. Die Ausführungen sind sehr kurz gehalten und meistens ohne Beweis.
Genauer wird das Thema in der Vorlesung Analysis I untersucht.
4.4
Exponentialfunktion und Polarformdarstellung der komplexen Zahlen
Die eulersche Zahl e, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783), kann
definiert werden als
e := lim 1 +
n→∞
n
1
n
≈ 2.718.
Die Exponentialfunktion für natürliche Zahlen exp : N → R ist gegeben durch
N
n → en := e · . . . · e .
(5)
n mal
Diese Definition kann auf rationale Zahlen erweitert werden, für reelle Zahlen (und vor allem komplexe
Zahlen) bekommt man dann aber Probleme. Aus diesem Grund wird die Exponentialfunktion exp : C →
C durch die Reihe
∞
C
x→
k=0
15
xk
∑ k!
Abbildung 7: Leonhard Euler
definiert. Man kann zeigen, dass die Reihe für alle x ∈ C konvergiert, die üblichen Gesetze der Exponentialfunktion erfüllt (z.b. exp(x + y) = exp(x) · exp(y) und, dass sie auf N mit der Definition 5 übereinstimmt.
Da wir eiϕ berechnen möchten setzen wir bi in die Exponentialfunktion ein und erhalten wegen i2 = −1
∑
ϕ k ik
k=0 k!
(6)
in f ty 2l+1
ϕ 2l (−1)l
ϕ
(−1)l
+i ∑
.
(2l)!
l=0
l=0 (2l + 1)!
(7)
∞
exp(iϕ) =
∞
=
∑
Die neuen Ausdrücke sind gerade die Reihenentwicklungen von Cosinus und Sinus, dass heisst
cos(x) =
∑
x2l (−1)l
l=0 (2l)!
(8)
sin(x) =
x2l+1 (−1)l
.
l=0 (2l + 1)!
(9)
∞
∞
∑
Insgesamt gilt also
eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ).
Insbesondere gilt |eiϕ | = 1. In der komplexen Ebene liegt eiϕ auf dem Einheitskreis mit Winkel ϕ gegenüber der positiven reelen Achse. Umgekehrt lässt sich jede komplexe Zahl z ∈ C in der Form z = r · eiϕ
(wird Polarform genannt) mit r, ϕ ∈ R darstellen. Die alte Darstellung z = a + bi heisst die kartesische
Normalform.
Aufgabe 16. Polarform und Potenzen mit komplexen Zahlen.
16
• Zeigen Sie wiederum dass der Betrag eines Produkts gleich dem Produkt der Beträge zweier komplexer Zahlen ist. Verwenden Sie diesmal aber die Polarform anstatt die kartesische Normalform.
• Schreiben Sie i in Polarform.
Um die nützlichkeit der komplexen Zahlen zu demonstrieren beweisen wir zum Abschluss die Additionstheoreme für Cosinus und Sinus.
Beispiel 11. Seien α, β ∈ R dann gilt
sin(α + β ) = sin(α) cos(β ) + sin(β ) cos(α) und
cos(α + β ) = cos(α) cos(β ) − sin(α) sin(β ).
Beweis: Sei z1 = cos(α) + i sin(α) und z2 = cos(β ) + i sin(β ). Dann gilt einerseits
z1 z2 = eiα eiβ = ei(α+β ) = cos(α + β ) + i sin(α + β ),
andererseits ist
z1 z2 = (cos(α)+i sin(α))(cos(β )+i sin(β )) = (cos(α) cos(β )−sin(α) sin(β ))+i(sin(α) cos(β )+sin(β ) cos(α)).
Durch Vergleich der beiden Ausdrücke erhalten wir das Gewünschte.
5
Lösungen
Under construction!
5.1
Zu Kapitel 2
5.2
Zu Kapitel 3
5.3
Zu Kapitel 4
7
7 Wir nehmen an, dass p nicht ungerade ist. Also ist p gerade und besitzt somit die Zahl 2 als Teiler. Dann
hat p aber einen Teiler ungleich 1, p und ist somit (per Definition der Primzahlen) keine Primzahl.
9 Wir setzen A=„Eine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 a, b, c ∈ R mit a = 0 hat zwei verschiedene
Lösungen „und B=„b2 − 4ac > 0“. Es gilt zu zeigen, dass
A ⇔ B.
Dazu müssen zwei „Richtungen “(„⇒ “und „⇐ “) bewiesen werden.
17
„⇒ “ Mit dem Satz von Vieta gilt dann x1 + x2 = −b/a und x1 x2 = c/a und somit
b2 − 4ac = a2
b
a
2
−4
c
a
= a2 ((x1 + x2 )2 − 4x1 x2 ) = a2 (x1 − x2 )2 > 0.
„⇐ “ Wir rechnen nach, dass
x1 =
√
−b + b2 − 4ac
2
und
x2 =
√
−b − b2 − 4ac
.
2
Lösungen der quadratischen Gleichung sind. Um es gleich für x1 und x2 gleichzeitig zu zeigen
verwenden wir das Symbol ±.
axi2 + bxi + c
√
√
2
−b ± b2 − 4ac
−b ± b2 − 4ac
= a
+b
+c
2a
2a
√
√
(b2 − ±2b b2 − 4ac + b2 − 4ac) + 2b(−b ± b2 − 4ac) + 4ac
=
4a
= 0
18
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Seele and Geist
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