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D-MATH
Prof. Alessandra Iozzi
Analysis I D-ITET
HS 2014
Serie 4
1.
a) Zeige mittels vollständiger Induktion die Bernoullische Ungleichung: für jede
reelle Zahl x ≥ −1 und jede nicht-negative, ganze Zahl n ≥ 0 gilt
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
b) Die Dreiecksungleichung besagt, dass für u, v ∈
Ê
|u + v| ≤ |u| + |v|.
Zeige mittels Induktion für n ≥ 2 die Ungleichung
wobei ui ∈
|u1 + u2 + · · · + un | ≤ |u1| + |u2 | + · · · + |un |,
Ê für alle i ∈ {1, . . . , n}, n ∈ Æ.
c) Zeige mittels vollständiger Induktion die Gleichheit
n
k3 =
k=1
n(n + 1)
2
2
.
2. Bestimme die folgenden Grenzwerte (falls vorhanden):
1
a) limx→0 e− x2 ,
√
√
b) limx→∞ ( x + 1 − x),
c) limx→0(x · sin( x1 )),
√
√
d) limx→∞ cos( π2 + x − x − 1),
e) limx→∞ sin
√2x−1
( x+1)3
.
Abgabe: Donnerstag mittag (bis 13:00), 16. Oktober 2014, in den Fächlein des jeweiligen Übungsleiters im HG F 28.
3. Online-Aufgaben
Abgabe der Multiple-Choice Aufgaben: Donnerstag abend (bis 20:00), 16. Oktober
2014.
Es sind jeweils mehrere Antworten möglich.
Bitte wenden!
1. Der Grenzwert von limx→0
1+x
x
+
x−1
x
ist...
(a) ∞.
(b) 0.
(c) 1.
(d) 2.
(e) Existiert nicht.
2. Satz. Alle Pferde haben dieselbe Farbe.
Beweis. Sei P (n) die Aussage, dass in jeder Ansammlung von n Pferden alle Pferde
dieselbe Farbe haben. Offensichtlich ist P (1) wahr.
Im k-ten Induktionsschritt nehmen wir an, dass P (k) wahr sei, und beweisen P (k+1).
Dazu betrachten wir eine beliebige Gruppe von k+1 Pferden. Schicken wir eines weg,
so bleiben k Pferde über, die also alle die gleiche Farbe haben. Holen wir das Pferd
zurück und schicken ein anderes weg, so bleiben wieder k Pferde über, die dann auch
alle die gleiche Farbe haben. Pferde ändern ihre Farbe nicht, also muss dies dieselbe
Farbe wie die der ersten Gruppe sein. Somit haben alle k + 1 Pferde die gleiche Farbe.
Damit gilt P (k) für alle k ≥ 1.
Wo liegt der Fehler in diesem Induktionsbeweis?
(a) Der Induktionsanfang fehlt.
(b) Der Induktionsanfang ist falsch.
(c) Der Induktionsschritt ist für k = 1 falsch.
(d) Der Induktionsschritt ist für alle k ∈
Æ falsch.
Æ
(e) Vollständige Induktion lässt sich nur anwenden, wenn es für jedes n ∈
eine
Aussage zu beweisen gibt. Da es nur endlich viele Pferde gibt, ist das hier nicht
der Fall.
Siehe nächstes Blatt!
3. Die Asymptote(n) der Funktion f (x) :=
x2 +2x−4
x+2
ist / sind...
(a) Die Funktion g(x) = x und die vertikale Gerade bei x = −2.
(b) Nur die Funktion g(x) = x.
(c) Nur die vertikale Gerade bei x = −2.
(d) Die Funktion f (x) besitzt keine Asymptoten.
(e) Es existiert eine Asymptote, jedoch keine von den oben erwähnten.
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