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1 Aufgabe 1: • Was versteht man unter einer trigonometrischen

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Aufgabe 1:
• Was versteht man unter einer trigonometrischen Darstellung einer
komplexen Zahl z ∈ C ?
• Wie lauten alle L¨osungen z ∈ C der Gleichung z 3 = 1 ?
• Welche der nachfolgenden vier Aussagen sind wahr und welche sind
falsch?
a) arccos(cos(α)) = α (α ∈ IR)
b) Re(z) =
z+z
2
(z ∈ C)
c) arg(1 − j) = arccos
√1
2
d) cos2 (z) + sin2 (z) = 1 (z ∈ C)
• Wie lautet die Funktionsvorschrift sowie der Definitions- und
Wertebereich der komplexen Tangenshyperbolicusfunktion?
(2+2+4+4=12 Punkte)
Probeklausur Mathematik I Dez. 2006
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Probeklausur Mathematik I Dez. 2006
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Aufgabe 2:
• F¨
ur welche x, y ∈ IR ist die Gleichung
y=
1
−1
| cosh(2x)|
1+
1 − tanh2 (2x)
sinnvoll? L¨osen Sie (falls m¨oglich) nach x auf und skizzieren Sie
anschließend die Menge aller (x, y) f¨
ur die die Gleichung erf¨
ullt ist.
• Geben Sie ein gr¨oßtm¨ogliches Definitionsintervall D ⊆ IR mit 1 ∈ D
und eine geeignete Zielmenge W ⊆ IR an, so daß f : D → W durch
f (x) :=
1
−1
| cosh(2x)|
1+
1 − tanh2 (2x)
(x ∈ D)
eine wohldefinierte, bijektive Abbildung beschreibt. Wie lautet die
Funktionsvorschrift f¨
ur f −1 : W → D ?
(9+3=12 Punkte)
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Probeklausur Mathematik I Dez. 2006
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Aufgabe 3:
Es sei eine rationale Funktion f : C \ {−j} → C \ {1} definiert durch
f (z) :=
z−j
z+j
(z ∈ C \ {−j}) .
• Skizzieren Sie K(0, 1)\{−j} sowie deren Abbild unter f und begr¨
unden
Sie Ihre Skizze.
• Skizzieren Sie dar¨
uber hinaus die Menge
M := z ∈ C \ {−j}
Re
j
z+j
>
1
2
und begr¨
unden Sie auch diese Skizze!
(8+4=12 Punkte)
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Aufgabe 4:
Geben Sie Real- und Imagin¨arteil aller komplexen L¨osungen z der Gleichung
√
cos(2z) = 2 1 − 2 · sin(z)
an!
Hinweis: Vereinfachen Sie zun¨achst den obigen Ausdruck mittels der aus der
Vorlesung bekannten Beziehung:
sin2 (z) =
1 − cos(2z)
2
(12 Punkte)
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Aufgabe 5:
Zeigen Sie, daß f¨
ur jede komplexe Zahl z ∈ dom(tan) gilt:
cos(2z) =
1 − tan2 (z)
1 + tan2 (z)
(12 Punkte)
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Aufgabe 6:
F¨
ur welche λ ∈ C besitzt die Gleichungssystem
2z1 +
z2 −
z3 = λ · z1
−z1 + 0 · z2 +
z3 = λ · z2
z1 +
z2 + 0 · z3 = λ · z3
komplexe L¨osungen z1 , z2 , z3 ∈ C mit z1 = 0 oder z2 = 0 oder z3 = 0 ? Geben
Sie jeweils f¨
ur diese λ die Menge aller zugeh¨origen L¨osungstripel (z1 , z2 , z3 )
an!
(12 Punkte)
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Gesundheitswesen
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