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Jens Eggert Die 16 Bundesländer

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Prof. Dr. Holger K¨
osters
Wintersemester 2014/2015
¨
Ubersicht
zur Stochastik
Warnung
–
–
–
–
–
–
Dies ist eine vorl¨
aufige Fassung, die kleinere und gr¨oßere Fehler enthalten kann.
Bitte melden Sie mir (auch offensichtliche) Unklarheiten und Unrichtigkeiten: koesters@...
¨
Dies ist eine skizzenhafte Ubersicht
ohne Erl¨auterungen, Begr¨
undungen, Beweise usw.
¨
Die Verwendung dieser Ubersicht
kann den Besuch der Vorlesung nicht ersetzen!
¨
Diese Ubersicht
wird in unregelm¨
aßigen Abst¨anden aktualisiert.
Indem Sie weiterlesen, erkl¨
aren Sie sich mit diesen Nutzungsbedingungen einverstanden.
Abk¨
urzungen:
W. := Wahrscheinlichkeit(s)
0
Einfu
¨ hrung
Stochastik.
• altgriechisch στ o´χoς Ziel / Vermutung; altgriechisch στ oχαστ ικ´
oς
gut im Vermuten“
”
• Lehre von den Gesetzm¨
aßigkeiten des Zufalls (Widerspruch? )
• Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der math. Beschreibung, Untersuchung und Auswertung
von zufallsabh¨
angigen Vorg¨
angen befasst; Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik
• u
ur die erste ( elementare“) Vorlesung u
¨blicherweise Bezeichnung f¨
¨ber Wahrscheinlichkeitstheorie
”
und mathematische Statistik
Eigenschaften zufallsabh¨
angiger Vorg¨
ange.
• es gibt mehrere m¨
ogliche Versuchsausg¨
ange (Ergebnisse)
• jede Durchf¨
uhrung liefert genau ein Ergebnis
• es ist nicht vorhersagbar, welches Ergebnis eintritt
• das Experiment kann (zumindest im Prinzip) unter den gleichen Bedingungen wiederholt werden
Beispiele: Gl¨
ucksspiele, Anzahl von radioaktiven Zerf¨allen / Unf¨allen / Erdbeben, . . .
Mathematische Beschreibung (einfacher) zufallsabh¨
angiger Vorg¨
ange.
• Menge Ω der m¨
oglichen Versuchsausg¨
ange (Ergebnisse)
• Zahlen (ω), ω ∈ Ω, die die Chance des Eintretens“ der einzelnen Versuchsausg¨ange beschreiben
”
(Wahrscheinlichkeiten); Idee: Wahrscheinlichkeit ≈ relative H¨aufigkeit
Beispiel: Der M¨
unzwurf mit einer verbogenen M¨
unze (mit den Seiten Kopf“ und Zahl“) l¨asst sich durch
”
”
die Menge Ω = {Kopf, Zahl} und die Zahlen (Kopf) = p, (Zahl) = 1 − p beschreiben. Dabei bedeutet
(Kopf) = p, dass f¨
ur großes n bei n W¨
urfen der M¨
unze etwa np mal Kopf“ auftritt
”
Bemerkungen.
• Beschreibung der Wirklichkeit durch ein mathematisches Modell
• jedes Modell beruht auf vereinfachenden Annahmen
• die Wahl des Modells l¨
asst sich nicht rein logisch“ begr¨
unden
”
• die Wahl des Modells h¨
angt h¨
aufig von der Zielsetzung ab
Graphik: Modellbildungsprozess
1
Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten.
1. theoretische Argumente
– Symmetrie
– Unabh¨
angigkeit
– Verteilungsfamilien, Beispiel: Gauß’sche Glockenkurve“
”
2. statistische Experimente
– unbekannte Wahrscheinlichkeiten / Parameter anhand von Beobachtungen sch¨atzen
– Beispiel: M¨
unzwurf mit einer verbogenen M¨
unze
p := hN (Kopf) =
HN (Kopf)
N
(N = Anzahl der Beobachtungen)
3. subjektive Wahrscheinlichkeiten
¨
– pers¨
onliche Einsch¨
atzungen / Uberzeugungen
– Expertenbefragung
4. Kombination der vorherigen Methoden, z. B. von 1. + 2.
– theoretische Argumente → Reduktion auf eine Verteilungsfamilie
– statistische Experimte → Sch¨
atzung von unbekannten Parametern
1
1.1
Wahrscheinlichkeitsr¨
aume
Diskrete Wahrscheinlichkeitsr¨
aume
Mit diskreten W.r¨
aumen lassen sich einfache zufallsabh¨angige Vorg¨ange beschreiben, bei denen die Menge
der Versuchsausg¨
ange abz¨
ahlbar (d. h. endlich oder abz¨ahlbar-unendlich) ist.
Definition 1.1. Es seien Ω = ∅ eine abz¨
ahlbare Menge und : Ω → [0, 1] eine Abbildung mit der Eigenschaft
ω∈Ω (ω) = 1. Dann heißt das Tripel (Ω, P(Ω), P) mit P : P(Ω) → R, P(A) :=
ω∈A (ω)
diskreter W.raum (zum Paar (Ω, p)).
Bemerkung 1.2. Wegen (ω) ≥ 0 f¨
ur alle ω ∈ Ω h¨angt der Wert der Summen ω∈Ω (ω) und
(auch f¨
ur abz¨
ahlbar-unendliches Ω bzw. A) nicht von der Wahl der Summationsreihenfolge ab.
ω∈A
(ω)
Im Folgenden seien (Ω, ) und (Ω, P(Ω), P) wie in Definition 1.1, sofern nichts anderes angegeben ist.
Bezeichnungen 1.3.
Es seien ω ∈ Ω und A ∈ P(Ω).
Ω
ω
(ω)
A
P(A)
P
{ω}
P({ω}) = (ω)
Ω
∅
A mit P(A) = 1
A mit P(A) = 0
Ergebnismenge / Ergebnisraum / Grundmenge / Grundraum / Stichprobenraum
Ergebnis
W. des Ergebnisses ω
W.dichte / W.funktion
Ereignis
W. des Ereignisses A
W.verteilung / W.maß
Elementarereignis
Elementar-W.
sicheres Ereignis
unm¨
ogliches Ereignis
fast sicheres Ereignis
fast unm¨
ogliches Ereignis
A tritt ein.
A tritt nicht ein.
Es erscheint ein Ergebnis ω ∈ A.
Es erscheint ein Ergebnis ω ∈ A.
Bemerkung 1.4. Ist Ω endlich und (ω) = 1/|Ω| f¨
ur alle ω ∈ Ω, so heißt die zugeh¨orige W.verteilung P
(diskrete) Gleichverteilung auf Ω, kurz UΩ . In diesem Fall gilt
P(A) =
Anzahl der f¨
ur A g¨
unstigen F¨alle
|A|
=
|Ω|
Anzahl der m¨oglichen F¨alle
∀A ⊂ Ω,
und die Bestimmung von W. l¨
asst sich auf die Bestimmung von Anzahlen zur¨
uckf¨
uhren.
2
Beispiele 1.5.
(a) 1-facher Wurf eines ‘fairen’ W¨
urfels; W. f¨
ur gerade Augenzahl?
Ω = {1, . . . , 6} (ω
gew¨
urfelte Augenzahl), (ω) := 1/|Ω| ∀ ω ∈ Ω oder P := Gleichvtlg. auf Ω
1
(Beg¨
undung: Symmetrie); A : Augenzahl gerade“, A = {2, 4, 6}, P(A) = |A|
|Ω| = 2
”
(b) 4-facher Wurf eines ‘fairen’ W¨
urfels; W. f¨
ur gerade Augensumme?
Ω = {1, . . . , 6}4 = {(ω1 , ω2 , ω3 , ω4 ) : ωi ∈ {1, . . . , 6} f¨
ur i = 1, 2, 3, 4} (ωi Augenzahl im i-ten Wurf),
(ω) := 1/|Ω| ∀ ω ∈ Ω oder P := Gleichvtlg. auf Ω (Beg¨
undung: Symmetrie); A : Augensumme
”
1
gerade“, A = {ω ∈ Ω : ω1 + . . . + ω4 gerade}, P(A) = |A|
=
|Ω|
2
(c) 1-facher Wurf eines ‘gezinkten’ W¨
urfels
Ω wie in (a); (ω) = pω ; dabei sind pω , ω = 1, . . . , 6, unbekannte Parameter mit pω ∈ [0, 1],
die z. B. anhand von Beobachtungen bestimmt werden m¨
ussen
ω
pω = 1,
(d) 4-facher Wurf eines ‘gezinkten’ W¨
urfels
Ω wie in (b); (ω) = pω1 pω2 pω3 pω4 (Begr¨
undung: u
¨ber relative H¨aufigkeiten); dabei sind pω , ω = 1, ..., 6,
wie in (c)
(e) Ziehung einer Kugel aus einer Urne mit 5 roten und 2 blauen Kugeln
Ω = {rot, blau} (ω
Farbe der gezogenen Kugel), (rot) = 75 , (blau) =
auf der Ebene der Kugeln)
2
7
(Beg¨
undung: Symmetrie
(f) Drei identische faire M¨
unzen werden gleichzeitig geworfen.
Ω = {0, 1, 2, 3} (ω
Anzahl der auftretenden K¨opfe); (0) = 81 , (1) = 38 , (2) =
(Begr¨
undung: u
¨ber Hilfsmodell mit 3 nummerierten Kugeln ¨ahnlich wie in (b))
3
8,
(g) Ein fairer W¨
urfel wird solange geworfen, bis die erste Sechs auftritt.
Ω = {1, 2, 3, . . .} = N (ω
Anzahl der Versuche bis zur ersten Sechs); (n) = ( 65 )n−1 ·
(Begr¨
undung: u
ur den n-fachen W¨
urfelwurf ¨ahnlich wie in (b))
¨ber Hilfsmodell f¨
(3) =
1
6
1
8
(n ∈ N)
Bemerkung 1.6.
Da Ereignisse formal Teilmengen von Ω sind, k¨onnen wir mit Hilfe mengentheoretischer Operationen
aus gegebenen Ereignissen A, B, Cn (n ∈ N) weitere Ereignisse konstruieren:
Modell
Bezeichnung
Interpretation
Komplement / Gegenereignis
Durchschnitt
Vereinigung
symmetrische Differenz
mengentheoretische Differenz
A tritt nicht ein.
A und B treten ein.
A oder B treten ein.
Entweder A oder B tritt ein.
A tritt ein, B tritt nicht ein.
Cn
(abz¨
ahlbarer) Durchschnitt
Alle Ereignisse Cn treten ein.
Cn
(abz¨
ahlbare) Vereinigung
Mindestens ein Ereignis Cn tritt ein.
Cm
limes superior
Unendliche viele Ereignisse Cn treten ein.
Cm
limes inferior
Fast alle Ereignisse Cn treten ein.
c
A
A∩B
A∪B
A∆B
A\B
∞
n=1
∞
n=1
∞
∞
lim sup Cn :=
n→∞
n=1 m=n
∞ ∞
lim inf Cn :=
n→∞
n=1 m=n
Es gelten dann die u
¨blichen Rechenregeln:
∞
∞
Cn )c =
(Ac )c = A, (A ∪ B)c = Ac ∩ B c , (A ∩ B)c = Ac ∪ B c , (
n=1
∞
Cnc , (
n=1
n=1
∞
Cn )c =
Cnc , . . .
n=1
Satz 1.7 (Eigenschaften von W.verteilungen).
F¨
ur jede diskrete W.verteilung P gilt:
(1) ∀A ⊂ Ω : P(A) ≥ 0
(2) P(Ω) = 1
(3) ∀A1 , . . . , An ⊂ Ω : A1 , . . . , An paarweise disjunkt ⇒ P(
(3’) ∀A1 , A2 , . . . ⊂ Ω : A1 , A2 , . . . paarweise disjunkt ⇒ P(
3
n
i=1 Ai )
∞
i=1 Ai )
=
=
n
i=1 P(Ai )
∞
i=1 P(Ai )
(Additivit¨
at)
(σ-Additivit¨
at)
(4) ∀A ⊂ Ω : P(Ac ) = 1 − P(A)
(5) ∀A ⊂ Ω : P(A) ≤ 1
(6) P(∅) = 0
(7) ∀A, B ⊂ Ω : A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) (Monotonie)
(8) ∀A1 , . . . , An ⊂ Ω : P(
(8’) ∀A1 , A2 , . . . ⊂ Ω : P(
n
i=1 Ai ) ≤
∞
i=1 Ai ) ≤
n
i=1 Ai ) =
n
at)
i=1 P(Ai ) (Subadditivit¨
∞
at)
i=1 P(Ai ) (σ-Subadditivit¨
n
k−1
k=1 (−1)
1≤i1 <...<ik ≤n P(Ai1
(9) ∀A1 , . . . , An ⊂ Ω : P(
∩ . . . ∩ Ai k )
(Siebformel von Sylvester-Poincar´e / Einschluss-Ausschluss-Prinzip)
Beweisidee.
(1) – (3’) m¨
ussen mit der Definition von P gezeigt werden,
(4) – (9) k¨
onnen auf (1) – (3’) zur¨
uckgef¨
uhrt werden.
Bemerkungen.
(1) – (3’) zeigen, dass P ein W.maß auf (Ω, P(Ω)) ist.
(4) – (9) sind allgemeine Eigenschaften von W.maßen.
Spezialf¨
alle von (9).
n = 2: P(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 )
n = 3: P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) − P(A1 ∩ A2 ) − P(A1 ∩ A3 ) − P(A2 ∩ A3 ) + P(A1 ∩ A2 ∩ A3 )
Satz 1.8 (Charakterisierung der σ-Additivit¨at). Es sei Ω = ∅ eine beliebige nicht-leere Menge.
F¨
ur eine Abbildung P : P(Ω) → R mit den Eigenschaften (1) – (3) sind ¨
aquivalent:
(a) P ist σ-additiv, d. h. f¨
ur jede Folge (An )n∈N paarweise disjunkter Teilmengen von Ω gilt
∞
∞
P( n=1 An ) = n=1 P(An ).
(b) (Stetigkeit von unten) F¨
ur jede aufsteigende Folge (An )n∈N von Teilmengen von Ω gilt
∞
limn→∞ P(An ) = P( n=1 An ).
(c) (Stetigkeit von oben) F¨
ur jede absteigende Folge (An )n∈N
∞
limn→∞ P(An ) = P( n=1 An ).
von Teilmengen von Ω gilt
(d) (Stetigkeit in ∅) F¨
ur jede absteigende Folge (An )n∈N von Teilmengen von Ω mit
gilt limn→∞ P(An ) = 0.
∞
n=1
An = ∅
Exkurs: Kombinatorik.
Motivation. Liegt die Gleichverteilung auf Ω (Ω endlich) vor, so m¨
ussen wir zur Berechnung von P(A)
die Anzahl der Elemente von Ω sowie von A bestimmen.
Problemstellung. Aus einer Menge mit n Elementen (o. E. {1, . . . , n}) wird k-mal ein Element ausgew¨
ahlt. Wie viele M¨
oglichkeiten gibt es?
Satz 1.9. Die Anzahl der M¨
oglichkeiten, aus einer Menge mit n Elementen k-mal ein Element auszuw¨
ahlen, ist durch die folgende Tabelle gegeben:
mit Ber¨
ucksichtigung der Reihenfolge
ohne Ber¨
ucksichtigung der Reihenfolge
mit Wiederholung ohne Wiederholung
n!
(Fall II)
nk (Fall I)
(n−k)!
n+k−1
n
(Fall
IV)
(Fall
III)
k
k
Dabei sei im Fall ohne Wiederholung“ stets k ≤ n vorausgesetzt.
”
Falls mit Ber¨
ucksichtigung der Reihenfolge / ohne Ber¨
ucksichtigung der Reihenfolge ausgew¨ahlt wird,
sprechen wir auch von geordneten Stichproben / ungeordneten Stichproben.
Fall I (Geordnete Proben mit Wiederholung)
ΩI = {(ω1 , . . . , ωk ) : ωi ∈ {1, . . . , n} f¨
ur i = 1, . . . , k} =: {1, . . . , n}k
(ωi Auswahl im iten Schritt)
|ΩI | = n · n · . . . · n = nk
Fall II (Geordnete Proben ohne Wiederholung)
ΩII = {(ω1 , . . . , ωk ) : ωi ∈ {1, . . . , n} f¨
ur i = 1, . . . , k und ωi = ωj f¨
ur 1 ≤ i < j ≤ k}
(ωi Auswahl im iten Schritt)
n!
|ΩII | = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = (n−k)!
4
Fall III (Ungeordnete Proben ohne Wiederholung)
ΩIII = {(ω1 , . . . , ωk ) : ωi ∈ {1, . . . , n} f¨
ur i = 1, . . . , k und ω1 < . . . < ωk }
(ωi das it-kleinste ausgew¨
ahlte Element)
n
n!
|ΩIII | = (n−k)!
k! = k
ΩIII = {{ω1 , . . . , ωk } : ωi ∈ {1, . . . , n} f¨
ur i = 1, . . . , k und ωi = ωj f¨
ur 1 ≤ i < j ≤ k}
({ω1 , . . . , ωk } Menge der ausgew¨ahlten Elemente)
n
Alternative II: ΩIII = {(ω1 , . . . , ωn ) : ωi ∈ {0, 1} f¨
ur i = 1, . . . , n und
i=1 ωi = k}
(ωi gibt an, ob i ausgew¨
ahlt worden ist)
Alternative I:
Fall IV (Ungeordnete Proben mit Wiederholung)
ΩIV = {(ω1 , . . . , ωk ) : ωi ∈ {1, . . . , n} f¨
ur i = 1, . . . , k und ω1 ≤ . . . ≤ ωk }
(ωi das it-kleinste ausgew¨
ahlte Element)
|ΩIV | = n+k−1
k
ΩIV = {{{ω1 , . . . , ωk }} : ωi ∈ {1, . . . , n} f¨
ur i = 1, . . . , k}
({{ω1 , . . . , ωk }} Multimenge der ausgew¨ahlten Elemente)
n
Alternative II: ΩIV = {(ω1 , . . . , ωn ) : ωi ∈ N0 f¨
ur i = 1, . . . , n und
i=1 ωi = k}
(ωi gibt an, wie oft i ausgew¨
ahlt worden ist)
Alternative I:
(Dabei verwenden wir {{ · }} zur Notation von Multimengen; dies ist keine Standardnotation!)
Bemerkung 1.10. Die Problemstellung l¨
asst sich unterschiedlich interpretieren:
1. Urnenmodell
Aus einer Urne mit n Nummern (mit den Zahlen 1 – n) wird k-mal gezogen.
– mit / ohne Zur¨
ucklegen mit / ohne Wiederholung
– mit / ohne Ber¨
ucksichtigung der Reihenfolge
2. Teilchen-F¨
acher-Modell
k Teilchen werden auf n F¨
acher (mit den Nummern 1 – n) verteilt.
– mit / ohne Mehrfachbelegung mit / ohne Wiederholung
– unterscheidbare / nicht-unterscheidbare Teilchen mit / ohne Ber¨
ucksichtigung der Reihenfolge
Zusammenhang: W¨
ahle f¨
ur die einzelnen Teilchen die F¨acher, in die die Teilchen hineingelegt werden.
Die Anzahl der M¨
oglichkeiten, aus einer n-elementigen Menge eine k-elementige Teilmenge auszuw¨ahlen,
ist nach Satz 1.9 (Fall III) durch den Binomialkoeffizienten gegeben. Diese Aussage l¨asst sich wie folgt
verallgemeinern:
Bemerkung 1.11. Die Anzahl der M¨
oglichkeiten, eine n-elementige Menge in r nummerierte Teilmengen
zu zerlegen, wobei die 1. Teilmenge n1 Elemente, die 2. Teilmenge n2 Elemente, . . . , die r-te Teilmenge
nr Elemente enth¨
alt, ist durch
n!
=:
n1 ! · n2 ! · . . . · nr !
n
n1 n2 · · · nr
(Multinomialkoeffizient)
gegeben.
Beispiele 1.12.
(a) (Lotto) Sie geben beim Lotto 6 aus 49“ (mit Superzahl) einen Tipp ab. Wie groß ist die W. f¨
ur
”
die Gewinnklassen I, II, III, . . . ?
(b) (W¨
orter ) Aus einem Alphabet mit n Buchstaben“ werden W¨orter“ der L¨ange n gebidet, wobei
”
”
Buchstaben mehrfach verwendet werden d¨
urfen. Wie groß ist die W., dass ein rein zuf¨alliges Wort
keinen Buchstaben doppelt enth¨
alt?
(c) (Murmeln) 6 nicht-unterscheidbare Murmeln werden auf 3 unterscheidbare Dosen verteilt.
Wie viele M¨
oglichkeiten gibt es?
(d) (Murmeln) 6 nicht-unterscheidbare Murmeln werden auf 3 nicht-unterscheidbare Dosen verteilt.
Wie viele M¨
oglichkeiten gibt es?
(e) (W¨
orter ) Aus den Buchstaben des Wortes ANANAS werden W¨orter“ der L¨ange 6 gebidet, wobei
”
jeder Buchstabe h¨
ochstens so oft verwendet werden darf, wie er im Wort ANANAS vorkommt.
Wie viele M¨
oglichkeiten gibt es?
..
.
5
Beispiele f¨
ur diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Bernoulliverteilung.
Es wird ein (u. U. komplexes) Zufallsexperiment durchgef¨
uhrt, und es interessiert die Frage, ob dabei
ein bestimmtes Ereignis“ eintritt oder nicht.
”
Definition 1.13 (Bernoulli-Verteilung). Sei p ∈ [0, 1]. Die diskrete W.-verteilung zu Ω = {0, 1} und
(1) = p, (0) = 1 − p heißt Bernoulli-Verteilung zum Parameter p.
Interpretation: 1
Ereignis“ tritt ein / Treffer“; 0
”
”
Ereignis“ tritt nicht ein / Niete“; p
”
”
Erfolgs-W.
Binomialverteilung.
Frage: Ein Bernoulli-Experiment (d. h. ein Zufallsexperiment, das sich durch eine Bernoulli-Verteilung
beschreiben l¨
asst) wird n-mal ( unabh¨
angig voneinander“) wiederholt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
”
treten genau k Treffer auf? (0 ≤ k ≤ n)
Antwort: Das n-stufige Bernoulli-Experiment l¨asst sich durch
Ω = {0, 1}n
(ω) = (ω1 , . . . , ωn ) = pω1 (1 − p)1−ω1 · · · pωn (1 − p)1−ωn = pk(ω) (1 − p)n−k(ω)
und
n
beschreiben, wobei k(ω) := i=1 ωi die Anzahl der Treffer bezeichne. Es interessiert dann das Ereignis
n
Ak := {ω ∈ Ω : i=1 ωi = k}; seine W. ist P(Ak ) = nk pk (1 − p)n−k .
Definition 1.14 (Binomialverteilung).
Sei n ∈ N und p ∈ [0, 1]. Die durch
(k) :=
n
k
pk (1 − p)n−k
(k = 0, . . . , n)
gegebene diskrete W.verteilung auf {0, . . . , n} heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p,
kurz B(n, p) = Bn,p .
Interpretation: Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Treffer“ bei unabh¨angigen Versuchs”
wiederholungen.
Frage: Aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln wird n-mal mit Zur¨
ucklegen gezogen.
Mit welcher W. wird genau k-mal eine rote Kugel gezogen? (0 ≤ k ≤ n)
Antwort 1: Wir nehmen an, dass die roten Kugeln von 1 bis r, die schwarzen Kugeln von r + 1 bis r + s
durchnummeriert sind. Dann ist Ω = {1, . . . , r + s}n , Ak = {(ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω : |{i : ωi ≤ r}| = k} und
P(Ak ) =
n k n−k
r s
|Ak |
= k
=
|Ω|
(r + s)n
n
k
k
n−k
s
r
r+s
r+s
,
d. h. es ergibt sich die Binomial-W. Bn,r/(r+s) ({k}).
Antwort 2: Da mit Zur¨
ucklegen gezogen wird, interessiert hier die Anzahl der Treffer bei n unabh¨angigen
k
n−k
r
r
s
Versuchswiederholungen (mit Erfolgs-W. r+s
). Die gesuchte W. ist also Bn,r/(r+s) ({k}) = nk r+s
.
r+s
Hypergeometrische Verteilung.
Frage: Aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln wird n-mal ohne Zur¨
ucklegen gezogen.
Mit welcher W. wird genau k-mal eine rote Kugel gezogen? (0 ≤ k ≤ n ≤ r + s)
Antwort: Wir nehmen an, dass die roten Kugeln von 1 bis r, die schwarzen Kugeln von r + 1 bis r + s
durchnummeriert sind und das Ergebnis in aufsteigend sortierter Reihenfolge angegeben wird. Dann ist
Ω = {(ω1 , . . . , ωn ) ∈ {1, . . . , r + s}n : ω1 < . . . < ωn }, Ak = {(ω1 , . . . , ωn ) ∈ Ω : |{i : ωi ≤ r}| = k} und
P(Ak ) =
Dabei sei (wie u
¨blich)
k
j
|Ak |
=
|Ω|
r
k
s
n−k
r+s
n
.
:= 0 gesetzt, falls j < 0 oder j > k gilt.
Definition 1.15 (Hypergeometrische Verteilung).
Seien r, s ∈ N und 1 ≤ n ≤ r + s. Dann heißt die durch
(k) :=
r
k
s
n−k
r+s
n
(k = 0, . . . , n)
gegebene diskrete W.verteilung auf {0, . . . , n} hypergeometrische Verteilung mit den Parametern n, r, s,
kurz H(n, r, s) = Hn,r,s .
Beachte, dass die Wahl und die Reihenfolge der Parameter in der Literatur hier nicht einheitlich ist –
so werden auch n, r + s, r oder r + s, r, n als Parameter verwendet.
6
Approximation der hypergeometrischen Verteilung durch die Binomialverteilung.
Sind in der obigen Situation r und s sehr groß“ im Vergleich zu n, so sollte es keine Rolle spielen, ob
”
mit oder ohne Zur¨
ucklegen gezogen wird.
Satz 1.16. Sind (rN )N ∈N , (sN )N ∈N Folgen nat¨
urlicher Zahlen mit limN →∞ rN = ∞, limN →∞ sN = ∞
und limN →∞ rN /(rN + sN ) = p und ist n ∈ N fest, so gilt limN →∞ H(n, rN , sN )({k}) = B(n, p)({k})
f¨
ur alle k = 0, . . . , n.
Poisson-Verteilung.
Frage: Was verh¨
alt sich die W. f¨
ur (genau) k Treffer, wenn man die Anzahl n der unabh¨angigen Versuchswiederholungen vergr¨
oßert und zugleich die Erfolgs-W. pn verkleinert, so dass limn→∞ (npn ) = λ ∈ [0, ∞[ ?
Antwort: F¨
ur jedes feste k ∈ N0 gilt
lim
n→∞
n k
p (1 − pn )n−k
k n
= e−λ
λk
.
k!
Definition 1.17 (Poisson-Verteilung).
Sei λ ∈ [0, ∞[. Die durch
λk
(k ∈ N0 )
k!
gegebene diskrete W.verteilung auf N0 heißt Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ, kurz P(λ) = Pλ .
(k) := e−λ
Bemerkung 1.18. Die Poisson-Verteilung liefert ein Modell zur Beschreibung der Anzahl der Ereignisse
(Telefonanrufe, Unf¨
alle, Erdbeben, E-Mails, Druckauftr¨age, Rechnerabst¨
urze, . . . ) in einem festen Zeitraum.
Approximation der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung.
Satz 1.19 (Poisson’scher Grenzwertsatz). Ist (pn )n∈N eine Folge in [0, 1] mit limn→∞ (npn ) = λ ∈ [0, ∞[,
so gilt limn→∞ B(n, pn )({k}) = P(λ)({k}) f¨
ur alle k ∈ N0 .
Geometrische Verteilung.
Frage: Ein Bernoulli-Experiment wird unabh¨
angig voneinander“ wiederholt, bis der erste Treffer auftritt.
”
Mit welcher W. geschieht dies im k-ten Versuch?
Antwort: Das k-stufige Bernoulli-Experiment l¨asst sich durch
Ω = {0, 1}k
und
(ω) = (ω1 , . . . , ωk ) = pω1 (1 − p)1−ω1 · · · pωk (1 − p)1−ωk
beschreiben. Es interessiert dann das Ereignis Ak := {(0, . . . , 0, 1)}; seine W. ist P(Ak ) = (1 − p)k−1 p.
Definition 1.20 (Geometrische Verteilung).
Sei p ∈ ]0, 1]. Die durch
(k) := (1 − p)k−1 p
(k ∈ N)
gegebene diskrete W.verteilung auf N heißt geometrische Verteilung mit dem Parameter p, kurz G(p) = Gp .
Interpretation: Die geometrische Verteilung beschreibt die Anzahlen der Versuche bis zum ersten Treffer“
”
bei unabh¨
angigen Versuchswiederholungen.
Beachte, dass die Literatur hier nicht einheitlich ist – h¨aufig wird auch die um 1 verschobene Verteilung
auf N0 als geometrische Verteilung bezeichnet.
Beispiel: Statistische Physik.
n Teilchen k¨
onnen sich in N Zellen (mit den Nummern 1 – N ) befinden; jeder Zelle ist ein Energieniveau
E ∈ {E1 , . . . , Ed } zugeordnet. Es seien Ij und Nj die Menge bzw. die Anzahl der Zellen vom Energied
d
niveau Ej (j = 1, . . . , d); j=1 Ij = {1, . . . , N }, j=1 Nj = N .
Mikrozustand : Welche / Wie viele Teilchen sind in den einzelnen Zellen?
Makrozustand : Wie viele Teilchen gibt es zu den einzelnen Energieniveaus Ej ?
7
Es interessiert nun die Frage, mit welchen W. die einzelnen Makrozust¨ande auftreten, wenn die Verteilung
auf der Menge der Mikrozust¨
ande durch die Gleichverteiung gegeben ist. Es sei A das Ereignis, dass es
d
(genau) nj Teilchen vom Energieniveau Ej gibt (j = 1, . . . , d); j=1 nj = n.
• Maxwell-Boltzmann-Statistik: Teilchen sind unterscheidbar, Mehrfachbelegungen sind erlaubt.
→ es ergibt sich die Multinomialverteilung
• Fermi-Dirac-Statistik: Teilchen sind nicht unterscheidbar, Mehrfachbelegungen sind verboten.
→ es ergibt sich die verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung
• Bose-Einstein-Statistik: Teilchen sind nicht unterscheidbar, Mehrfachbelegungen sind erlaubt.
→ ...
Zufallsgr¨
oßen auf diskreten W.r¨
aumen.
Wir haben inzwischen einige Beispiele kennen gelernt, bei denen wir uns nur f¨
ur einen speziellen Aspekt
interessiert haben (z. B. f¨
ur die Anzahl der Treffer bei der Herleitung der Binomialverteilung und der hypergeometrischen Verteilung) und dadurch von einem komplizierten W.raum zu einem einfacheren W.raum
u
¨bergehen konnten. Dies ist ein allgemeines Prinzip:
Definition 1.21. Es seien (Ω, P(Ω), P) ein diskreter W.raum und X : Ω → X eine Abbildung mit Werten
in einer abz¨
ahlbaren Menge X . Dann heißt X Zufallsgr¨
oße oder Zufallsvariable (mit Werten in X ), und
die Abbildung PX : P(X ) → R, mit PX (A) := P(X −1 (A)), A ⊂ X , heißt induzierte Verteilung (oder auch
nur Verteilung) von X unter P.
Interpretation: Zufallsgr¨
oßen verarbeiten“ / verdichten“ die Information u
¨ber den Ausgang eines Zufalls”
”
experimentes.
Lemma 1.22. In der Situation von Definition 1.21 ist PX eine diskrete W.verteilung auf X .
1.2
Allgemeine Wahrscheinlichkeitsr¨
aume
Motivation.
Es gibt Anwendungen, in denen diskrete W.r¨aume nicht ausreichen:
1. Eine faire“ M¨
unze wird unendlich oft geworfen. → Ω = {0, 1}N (0 Zahl, 1 Kopf)
”
2. Zu einem rein zuf¨
alligen“ Zeitpunkt innerhalb einer Stunde passiert etwas. → Ω = [0, 1]
”
Hier stellt sich das Problem, dass es auf P(Ω) keine geeigneten“ W.maße gibt. Wir wollen dies am Beispiel
”
des unendlich-fachen M¨
unzwurfs diskutieren.
Problemstellung. Sei Ω = {0, 1}N := {(ωn )n∈N : ωn ∈ {0, 1} f¨
ur alle n ∈ N}; dies ist u
¨berabz¨ahlbar.
Existiert eine Abbildung P : P(Ω) → [0, 1] mit den folgenden Eigenschaften?
(i) ∀A ∈ P(Ω) : P(A) ≥ 0
(ii) P(Ω) = 1
(iii) ∀A1 , A2 , . . . ∈ P(Ω) : A1 , A2 , . . . paarweise disjunkt ⇒ P(
∞
i=1
Ai ) =
∞
i=1
P(Ai ) (σ-Additivit¨
at)
(iv) ∀A ∈ P(Ω) ∀m ∈ N : P(σm (A)) = P(A) (Invarianz )
Dabei sei f¨
ur jedes m ∈ N σm : Ω → Ω die Abbildung, die die m-te Komponente umkehrt“:
”
σm ((ωn )n∈N ) := (˜
ωn )n∈N mit ω
˜ n := 1−ωn f¨
ur n = m und ω
˜ n := ωn f¨
ur n = m. σm (A) := {σm (ω) : ω ∈ A}.
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf diese Problemstellung; insbesondere ist hier Ω = {0, 1}N :
Lemma 1.23. Wenn es eine Abbildung P mit den Eigenschaften (i) – (iv) gibt, dann gilt P({ω}) = 0
f¨
ur alle ω ∈ Ω.
Satz 1.24 (Vitali 1905). Eine Abbildung P mit den Eigenschaften (i) – (iv) gibt es nicht.
Problem: Es gibt kein geeignetes“ W.maß P : P(Ω) → [0, 1] zur Beschreibung des unendlich-fachen
”
M¨
unzwurfs.
L¨
osung: Ersetze die Potenzmenge P(Ω) durch ein kleineres Mengensystem F, welches die Mengen
{ω ∈ Ω : ωm = ω ∗ } (f¨
ur m ∈ N, ω ∗ ∈ {0, 1}) sowie die Mengen ∅ und Ω enth¨alt und abgeschlossen
∞
∞
c
unter , ∪, ∩, \, ∆, n=1 , n=1 ist, und suche eine Abbildung P : F → [0, 1], so dass die Eigenschaften
(i) – (iv) f¨
ur Mengen in F erf¨
ullt sind.
8
σ-Algebren.
Definition 1.25. Sei Ω = ∅. Ein Mengensystem F ⊂ P(Ω) heißt σ-Algebra u
¨ber Ω, falls gilt:
(i) Ω ∈ F
(ii) ∀A ∈ F : Ac ∈ F
(iii) ∀A1 , A2 , . . . ∈ F :
∞
k=1
An ∈ F
Bemerkung 1.26. Verlangt man in Definition 1.25 anstelle von (iii) nur ∀A1 , . . . , An ∈ F :
so heist F Algebra u
¨ber Ω. Jede σ-Algebra ist eine Algebra.
Bemerkung 1.27. Jede σ-Algebra ist abgeschlossen unter den Operationen c , ∪, ∩, \, ∆,
n
k=1
Ak ∈ F,
∞
n=1 ,
∞
n=1 .
Bemerkung 1.28. Ist Ω = ∅ und E ⊂ P(Ω) beliebig, so ist
σ(E) :=
{F : F σ-Algebra u
¨ber Ω, die E enth¨alt}
die kleinste σ-Algebra u
alt; es heißt dann σ(E) die von E erzeugte σ-Algebra und E
¨ber Ω, die E enth¨
Erzeuger von Ω.
Beispiele 1.29 (Beispiele f¨
ur σ-Algebren).
(a) Ω abz¨
ahlbar, E = {{ω} : ω ∈ Ω} ⇒ σ(E) = P(Ω)
(b) Ω = Rd , E = {]a, b] ⊂ Rd : a, b ∈ Rd ∧ a < b} ⇒ σ(E) = Borel’sche σ-Algebra Bd
Hier ist a < b :⇔ ai < bi f¨
ur alle i = 1, . . . , d und ]a, b] := {x ∈ Rd : ai < xi ≤ bi f¨
ur alle i = 1, . . . , d}.
σ(E) enth¨
alt alle offenen [abg.] Mengen und wird umgekehrt von allen offenen [abg.] Mengen erzeugt.
F¨
ur jede Teilmenge ∅ = Ω ⊂ Rd ist BdΩ := {Ω ∩ B : B ∈ Bd } eine σ-Algebra u
¨ber Ω.
(c) I beliebige Indexmenge, (Ωi )i∈I Familie von Mengen = ∅, (Fi )i∈I Familie von zugeh¨origen σ-Algebren.
Ω = i∈I Ωi , E = {{ω ∈ Ω : ωi ∈ Ai } : i ∈ I, Ai ∈ Fi } ⇒ σ(E) = Produkt-σ-Algebra i∈I Fi
Wahrscheinlichkeitsmaße.
Definition 1.30. Sei Ω = ∅ und F eine σ-Algebra u
¨ber Ω.
P : F → [0, 1] heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf F, falls gilt:
(i) ∀A ∈ F : P(A) ≥ 0
(ii) P(Ω) = 1
(iii) ∀A1 , A2 , . . . ∈ F : A1 , A2 , . . . paarweise disjunkt ⇒ P(
∞
k=1
Ak ) =
∞
k=1
P(Ak ) (σ-Additivit¨
at)
Bemerkung 1.31. Verlangt man in Definition 1.30 nur, dass F eine Algebra u
¨ber Ω ist, und ann
n
stelle von (iii) nur ∀A1 . . . , An ∈ F : A1 , . . . , An paarweise disjunkt ⇒ P( k=1 Ak ) =
k=1 P(Ak )
(Additivit¨
at), so heißt P Wahrscheinlichkeitsinhalt auf F. Jedes W.maß ist ein W.inhalt.
Bemerkung 1.32. Sei Ω = ∅ und F eine σ-Algebra u
ur beliebige W.maße auf F,
¨ber Ω. Satz 1.7 gilt f¨
wenn man u
asst. Auch Satz 1.8 gilt analog f¨
ur Funktionen P : F → [0, 1].
¨berall nur Mengen aus F zul¨
∞
Insbesondere gilt also f¨
ur ein W.maß auf F limn→∞ P(An ) = P( n=1 An ) f¨
ur jede aufsteigende Folge
∞
(An )n∈N in F und limn→∞ P(An ) = P( n=1 An ) f¨
ur jede absteigende Folge (An )n∈N in F.
Wir verwenden (ohne Beweis) das folgende Ergebnis aus der Maßtheorie:
Satz 1.33. Sei Ω = ∅, sei F eine σ-Algebra u
¨ber Ω, und sei E ⊂ P(Ω) ein ∩-stabiler Erzeuger von F,
d. h. aus A, B ∈ E folgt A ∩ B ∈ E. Sind P und Q zwei W.maße auf F, die auf E u
¨bereinstimmen, so folgt
P = Q.
9
Beispiele 1.34 (Beispiele f¨
ur W.maße).
(a) Ist Ω = ∅ abz¨
ahlbar und ist : Ω → R eine Abbildung mit (ω) ≥ 0 f¨
ur alle ω ∈ Ω und ω∈Ω (ω) = 1,
so ist die Abbildung P : P(Ω) → [0, 1] mit P(A) := ω∈A (ω) ein W.maß auf P(Ω), das diskrete
W.maß mit der Z¨
ahldichte .
(Umgekehrt ist jedes W.maß auf P(Ω) von dieser Gestalt.)
(b) Ist ∅ = Ω ⊂ Rd und ist : Ω → R eine Abbildung mit −1 (B) ∈ BdΩ f¨
ur alle B ∈ B, (ω) ≥ 0 f¨
ur alle
ω ∈ Ω und Ω (x) dλλd (x) = 1, so ist die Abbildung P : BdΩ → [0, 1] mit P(A) := A (x) dλλd (x) = 1
ein W.maß auf BdΩ , das stetige W.maß mit der Lebesgue-Dichte .
(Allerdings ist nicht jedes W.maß auf BdΩ von dieser Gestalt.)
Dabei bezeichnet λλd das (d-dimensionale) Lebesgue-Maß, dies ist das eindeutig bestimmte Maß“ λλd :
”d
Bd → [0, ∞] mit den Eigenschaften (i) und (iii) wie in Definition 1.30 sowie λλd (]a, b]) = i=1 (bi − ai )
f¨
ur jeden d-dimensionalen Quader ]a, b]. Anschaulich ordnet λλd jeder messbaren“ Menge
”
ihr d-dimensionales Volumen zu. Weiter bezeichnet Ω (x) dx das Lebesgue-Integral von u
¨ber Ω;
die Bedingung ≥ 0 sowie die Messbarkeitsbedingung −1 (B) ∈ BdΩ f¨
ur alle B ∈ B stellen sicher,
dass das Integral definiert ist. Wir wollen das Lebesgue-Integral hier nicht einf¨
uhren, sondern uns auf
den Hinweis beschr¨
anken, dass das Lebesgue-Integral f¨
ur in Anwendungen auftretende Integranden in
der Regel mit dem (iterierten) Riemann-Integral u
¨bereinstimmt. Außerdem sei angemerkt, dass die
σ-Additivit¨
at von P direkt aus den Konvergenzs¨atzen f¨
ur das Lebesgue-Integral folgt; dies ist einer
der wesentlichen Gr¨
unde f¨
ur die Verwendung des Lebesgue-Integrals anstelle des Riemann-Integrals.
Beispiele f¨
ur W.verteilungen auf (R1 , B1 ) mit Lebesgue-Dichten:
Lebesgue-Dichte
f (x) =
1
b−a
1
a,b
Name der W.verteilung
Gleichverteilung auf a, b
(x)
f (x) = λe−λx 1 (0,∞) (x)
f (x) =
2
2
√ 1
e−(x−µ) /2σ
2πσ 2
Parameter
U(a, b) −∞ < a < b < +∞
Exponentialverteilung E(λ)
λ>0
Normalverteilung N (µ, σ 2 )
µ ∈ R, σ ∈ (0, ∞)
Ist allgemeiner Ω ∈ Bd mit λλd (Ω) ∈ (0, ∞), so heißt das W.maß P auf (Rd , Bd ) mit der Lebesgue-Dichte
f (x) := λλd1(Ω) 1 Ω (x) (stetige) Gleichverteilung auf Ω, kurz UΩ . In diesem Fall gilt
P(A) =
λλd (A ∩ Ω)
λλd (Ω)
∀A ⊂ Ω,
und die Bestimmung von W. l¨
asst sich auf die Bestimmung von Volumina zur¨
uckf¨
uhren.
(c) I beliebige Indexmenge, (Ωi )i∈I Familie von Mengen = ∅, (Fi )i∈I Familie von zugeh¨origen σ-Algebren,
(Pi )i∈I Famile von zugeh¨
origen W.maßen. Dann existiert genau ein W.maß P auf
i∈I Fi , so dass
f¨
ur alle endlichen Teilmengen J ⊂ I und alle Wahlen Aj ∈ Fj , j ∈ J
P(
{ω ∈ Ω : ωj ∈ Aj }) =
j∈J
gilt. P heißt Produktmaß, kurz
i∈I
Pj (Aj )
j∈J
Pi .
Die Existenz des Produktmaßes wird f¨
ur endliche Indexmengen in der Maßtheorie und f¨
ur unendliche
Indexmengen in der Wahrscheinlichkeitstheorie bewiesen. Die Eindeutigkeit des Produktmaßes folgt
aus Satz 1.33.
Wahrscheinlichkeitsr¨
aume.
Definition 1.35 (Kolmogoroff 1933).
Ein W.raum ist ein Tripel (Ω, F, P) mit Ω = ∅, F σ-Algebra u
¨ber Ω, P W.maß auf F.
Wir bezeichnen die Elemente von Ω als Ergebnisse, die Elemente von F (und nur diese!) als Ereignisse
(oder auch als messbare Mengen) und die Werte von P als Wahrscheinlichkeiten. Ferner bezeichnen wir P
oft auch als W.maß auf (dem messbaren Raum) (Ω, F).
10
Beispiele 1.36 (Beispiele f¨
ur W.r¨
aume).
1. (unendlich-facher M¨
unzwurf )
Ω := {0, 1}N
F := (P({0, 1}))N := Produkt-σ-algebra zu den σ-Algebren P({0, 1})
P := (U({0, 1}))N := Produktmaß zu den W.maßen U({0, 1})
(Bemerkung: Dieses W.maß P besitzt die o. a. Eigenschaften (i) – (iv) f¨
ur Mengen in F.)
2. (zuf¨
alliger Zeitpunkt)
Ω := [0, 1]
F := B[0,1]
P := U([0, 1])
Mit W.maßen k¨
onnen wir arbeiten, indem wir Summen bzw. Integrale berechnen (z. B. in Beispiel 1.34
(a) und (b)) oder auf die erzeugenden Ereignisse der σ-Algebra bzw. auf die charakterisierenden Eigenschaften des W.maßes zur¨
uckgehen (z. B. in Beispiel 1.34 (b) und (c)):
Beispiel 1.37. Mit welcher W. erscheint beim unendlich-fachen M¨
unzwurf mit einer fairen M¨
unze
unendlich oft Kopf?
Beschreibung von W.verteilungen auf (R, B)
B).
Definition 1.38. Ist P ein W.maß auf (R, B), so heißt die Funktion F : R → R, F (x) = P(]−∞, x])
Verteilungsfunktion von P.
Satz 1.39.
(a) Ist P ein W.maß auf (R, B) und ist F die Verteilungsfunktion zu P, so ist F monoton wachsend und
rechtsseitig stetig mit limx→−∞ F (x) = 0 und limx→+∞ F (x) = 1.
(b) Ist F : R → R eine Funktion mit den in (a) genannten Eigenschaften, so existiert genau ein W.maß
P auf (R, B), so dass F die Verteilungsfunktion zu P ist.
Beweisidee. Teil (a) folgt leicht aus den Rechenregeln f¨
ur W.maße (Satz 1.7 / Satz 1.8). Die Existenz
in Teil (b) wird in der Maßtheorie gezeigt (oder folgt aus Satz 1.46); die Eindeutigkeit in Teil (b) folgt
wieder aus Satz 1.33.
Bemerkungen 1.40.
(a) Nach Satz 1.39 besteht eine 1:1-Beziehung zwischen W.maßen auf (R, B) und Verteilungsfunktionen.
(b) Die diskreten W.maße entsprechen Sprung-Funktionen“. (Bemerkung: Die Menge der Sprungstellen
”
ist abz¨
ahlbar, kann aber dicht in R liegen.)
(c) Die stetigen W.maße mit (st¨
uckweise) stetigen Lebesgue-Dichten entsprechen stetigen und (st¨
uckweise)
stetig differenzierbaren Funktionen.
(d) Es gibt weitere W.maße, z. B. die Cantor-Verteilung. [. . . ]
Zufallsgr¨
oßen auf allgemeinen W.r¨
aumen.
Definition 1.41. Es seien (Ω, F, P) ein allgemeiner W.raum, (X , A) ein messbarer Raum und X : Ω → X
ur alle A ∈ A.
eine F-A-messbare Abbildung (kurz: X : (Ω, F) → (X , A)) d. h. es gelte X −1 (A) ∈ F f¨
Dann heißt X Zufallsgr¨
oße oder Zufallsvariable (mit Werten in (X , A)), und die Abbildung PX : A → R,
mit PX (A) := P(X −1 (A)), A ∈ A, heißt induzierte Verteilung (oder auch nur Verteilung) von X unter P.
Interpretation: Zufallsgr¨
oßen verarbeiten“ / verdichten“ die Information u
¨ber den Ausgang eines Zufalls”
”
experimentes.
Lemma 1.42. In der Situation von Definition 1.41 ist PX eine W.verteilung auf (X , A).
Bemerkung 1.43. Es seien (Ω, F, P) ein W.raum, (X , A) ein Messraum und E ⊂ P(X ) ein Erzeuger
von A. Dann ist eine Abbildung X : Ω → X genau dann F-A-messbar, wenn X −1 (E) ∈ F f¨
ur alle E ∈ E
gilt.
Beispiel 1.44. Es seien (Ω, F, P) ein W.raum und X : Ω → R eine Abbildung; auf R wird – wenn nichts
anderes angegeben ist – die Borel-σ-algebra B zugrunde gelegt. Dann ist X eine Zufallsgr¨oße genau dann,
wenn X −1 (]−∞, c]) = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ c} ∈ F f¨
ur alle c ∈ R gilt. Insbesondere gilt:
• F¨
ur (Ω, F) = (R1 , B1 ) ist jede monotone Funktion eine Zufallsgr¨oße.
• F¨
ur (Ω, F) = (Rd , Bd ) ist jede stetige Funktion eine Zufallsgr¨oße.
11
Beispiel 1.45 (Bestimmung von Verteilungen von Zufallsgr¨oßen).
Sei (Ω, F, P) = (R, B, E(λ)).
(a) F¨
ur die Zufallsgr¨
oße X : Ω → R, X(ω) := ω gilt PX = G(1 − e−λ ).
(b) F¨
ur die Zufallsgr¨
oße X : Ω → R, X(ω) := ω 1/α (α > 0) gilt PX = W(α, λ1/α ).
Dabei heißt f¨
ur α > 0, β > 0 das W.maß zur Lebesgue-Dichte
Weibull-Verteilung mit den Parametern α und β.
α,β (x)
α
:= αβ(βx)α−1 e−(βx) 1 (0,∞) (x)
Satz 1.46.
(a) Ist (Ω, F, P) = (]0, 1[, B(]0, 1[), U(]0, 1[)), ist F eine Verteilungsfunktion und ist G(u) := inf{x ∈ R :
F (x) ≥ u} die sog. Pseudo-Inverse von F , so ist PG das W.maß zur Verteilungsfunktion F .
(b) Ist P ein W.maß auf (R, B) mit einer stetigen Verteilungsfunktion F , so gilt PF = U(]0, 1[).
2
2.1
Bedingte Wahrscheinlichkeiten, Unabh¨
angigkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
H¨aufig stehen gewisse Teilinformationen u
ugung.
¨ber den Ausgang eines Zufallsexperimentes zur Verf¨
Beispiel 2.1 (Ziegenproblem). Es gibt 3 T¨
uren, hinter denen der Moderator 1 Auto sowie 2 Ziegen
versteckt hat. Der Spieler w¨
ahlt eine T¨
ur. Der Moderator o¨ffnet eine andere T¨
ur, hinter der sich eine Ziege
befindet, und bietet dem Spieler an, die T¨
ur zu wechseln. Soll der Spieler darauf eingehen?
Beispiel 2.2 (Kugelziehung). Aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln wird 2× ohne Zur¨
ucklegen gezogen. Wie groß ist die W., dass in der 2. Ziehung rot“ gezogen wird, wenn in der 1. Ziehung
”
schwarz“ gezogen worden ist?
”
Die Betrachtung relativer H¨
aufigkeiten f¨
uhrt auf die folgende Definition:
Definition 2.3 (Bedingte Wahrscheinlichkeit).
Ist (Ω, F, P) ein W.raum und ist B ∈ F ein Ereignis mit P(B) > 0, so heißt f¨
ur jedes Ereignis A ∈ F
P (A | B) :=
P (A ∩ B)
P (B)
(elementare) bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B / gegeben B.
Anschaulich beschreibt P (A | B) die Chance des Eintretens von A, wenn man schon weiß, dass B eintritt.
Lemma 2.4. Ist (Ω, F, P) ein W.raum und ist B ∈ F mit P(B) > 0, so ist die Abbildung
P( · | B) : F → R
A → P(A | B)
ein W.maß auf F mit P (B | B) = 1 und P(B c | B) = 0.
Bemerkung. Insbesondere bleiben damit alle Rechenregeln auch f¨
ur bedingte Wahrscheinlichkeiten g¨
ultig.
Bemerkung. Ist Ω = ∅ beliebig, so heißt eine Familie (Bi )i∈I von nicht-leeren Teilmengen von Ω
Zerlegung oder Partition von Ω, falls gilt:
– i∈I Bi = Ω.
– F¨
ur alle i, j ∈ I mit i = j gilt Bi ∩ Bj = ∅.
Eine Zerlegung (Bi )i∈I von Ω heißt abz¨
ahlbar, falls die Indexmenge I abz¨ahlbar ist.
Wir werden im Folgenden – bei gegebenem W.raum (Ω, F, P) – nur Zerlegungen mit Bi ∈ F betrachten;
wir schreiben daf¨
ur kurz (Bi )i∈I ⊂ F.
Satz 2.5 (Satz von der totalen W.). Ist (Ω, F, P) ein W.raum und (Bi )i∈I ⊂ F eine abz¨
ahlbare Zerlegung
von Ω mit P(Bi ) > 0 f¨
ur alle i ∈ I, so gilt f¨
ur jedes A ∈ F
P(A) =
P(A|Bi ) P(Bi ) .
i∈I
Satz 2.6 (Formel von Bayes). Ist (Ω, F, P) ein W.raum und (Bi )i∈I ⊂ F eine abz¨
ahlbare Zerlegung von Ω
mit P(Bi ) > 0 f¨
ur alle i ∈ I, so gilt f¨
ur alle i ∈ I und alle A ∈ F mit P(A) > 0
P(Bi | A) =
P(A | Bi ) P(Bi )
.
j∈I P(A | Bj ) P(Bj )
12
Die Formel von Bayes wird h¨
aufig bei der Untersuchung von Ursache-Wirkungs-Beziehungen verwendet:
Beispiel 2.7 (Medizinischer Test). Eine Krankheit kommt bei 1 % der Bev¨olkerung vor. Um zu untersuchen, ob eine Person von dieser Krankheit betroffen ist, wird ein Schnelltest verwendet:
– Ist die Person krank, so ist der Test m.W. 98 % positiv.
– Ist die Person gesund, so ist der Test m.W. 4 % positiv.
Der Schnelltest wird nun im Rahmen einer Routine-Untersuchung bei einer Person durchgef¨
uhrt.
1. Mit welcher W. ist das Testergebnis positiv?
(→ Satz von der totalen W.)
2. Mit welcher W. liegt die Krankheit vor, wenn das Testergebnis positiv ist?
(→ Bayes-Formel – oder auch Definition, wenn 1. schon gel¨ost ist)
Im Allgemeinen sind R¨
uckschl¨
usse von bedingten W.en auf kausale Zusammenh¨ange allerdings unzul¨assig.
Satz 2.8 (Multiplikationsformel).
Ist (Ω, F, P) ein W.raum und sind A1 , . . . , An ∈ F mit P(A1 ∩ . . . ∩ An−1 ) > 0, so gilt
P(A1 ∩ . . . ∩ An ) = P(A1 ) · P(A2 | A1 ) · P(A3 | A1 ∩ A2 ) · . . . · P(An | A1 ∩ . . . ∩ An−1 ) .
Beispiel 2.9. Mit welcher W. erhalten beim Skat der 1. Spieler und der 2. Spieler jeweils 2 Buben?
(→ Berechnung mit Hilfe eines zweistufigen Zufallsexperimentes)
Die Multiplikationsformel erlaubt es, in einem gegebenen W.raum W.en als Produkt von bedingten W.en
zu berechnen. Umgekehrt l¨
asst sich diese Formel zur Konstruktion von W.r¨aumen (zur Beschreibung
mehrstufiger Zufallsexperimente) verwenden; sie ist in diesem Zusammenhang auch als Pfadregel bekannt
(→ W.b¨
aume):
Satz 2.10. Es seien Ω1 , . . . , Ωn abz¨
ahlbare Mengen = ∅, 1 eine W.dichte auf Ω1 und f¨
ur alle k = 2, . . . , n
und alle (ω1 , . . . , ωk−1 ) ∈ Ω1 × · · · × Ωk−1 k | ω1 ,...,ωk−1 eine W.dichte auf Ωk . Setze Ω := Ω1 × · · · × Ωn ,
F := P(Ω1 ) ⊗ · · · ⊗ P(Ωn ) = P(Ω) und Xk : Ω −→ Ωk , Xk (ω1 , . . . , ωn ) := ωk (k-te Projektion);
k = 1, . . . , n. Dann existiert genau ein W.maß P auf (Ω, F), so dass
P(X1 = ω1 ) =
1 (ω1 )
f¨
ur alle ω1 ∈ Ω1
und
P(Xk = ωk | X1 = ω1 , . . . , Xk−1 = ωk−1 ) =
k | ω1 ,...,ωk−1 (ωk )
f¨
ur alle ωk ∈ Ωk
f¨
ur alle k = 2, . . . , n und alle (ω1 , . . . , ωk−1 ) ∈ Ω1 × · · · × Ωk−1 mit P(X1 = ω1 , . . . , Xk−1 = ωk−1 ) > 0.
Es gilt dann
P(X1 = ω1 , . . . , Xk = ωk ) =
1 (ω1 ) 2 | ω1 (ω2 ) · · · k | ω1 ,...,ωk−1 (ωk )
f¨
ur alle k = 1, . . . , n und alle (ω1 , . . . , ωk ) ∈ Ω1 × · · · × Ωk .
Dabei seien (wie auch im Folgenden) f¨
ur Abbildungen X : Ω → X , Y : Ω → Y und Elemente a ∈ X , b ∈ Y
{X = a} := X −1 ({a}), {X = a, Y = b} := X −1 ({a}) ∩ Y −1 ({b}) etc. Treten diese Mengen als Argumente
von W.maßen auf (was voraussetzt, dass diese Menge Ereignisse sind! ), so lassen wir die Mengenklammern
in der Regel weg.
Beispiel 2.11 (Ziegenproblem). [. . . ] ⇒ Es empfiehlt sich zu wechseln.
2.2
Unabh¨
angigkeit
Beispiel 2.12. Aus einer Urne mit 3 roten und 3 schwarzen Kugeln wird zweimal nacheinander gezogen;
es interessieren die Ereignisse A: 2. Kugel rot“ und B: 1. Kugel schwarz“.
”
”
Ziehen ohne Zur¨
ucklegen: [. . . ] P(A|B) = 53 < 12 = P(A) ⇒ A und B sind stoch. abh¨angig“
”
Ziehen mit Zur¨
ucklegen: [. . . ] P(A|B) = 21 = 21 = P(A) ⇒ A und B sind stoch. unabh¨angig“
”
Beachte P(A|B) = P(A) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B); die rechte Gleichung bleibt auch im Fall P(B) = 0
sinnvoll und zeigt, dass stoch. Unabh¨
angigkeit“ eine symmetrische Eigenschaft in A, B ist.
”
13
Definition 2.13 (Unabh¨
angigkeit von Ereignissen). Sei (Ω, F, P) ein W.raum.
(i) Zwei Ereignisse A, B ∈ F heißen (stochastisch) unabh¨
angig unter P, falls P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
gilt.
(ii) Eine Familie (Ai )i∈I von Ereignissen in F heißt paarweise (stochastisch) unabh¨
angig unter P, falls
P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai ) · P(Aj )
f¨
ur alle i, j ∈ I mit i = j.
(iii) Eine Familie (Ai )i∈I von Ereignissen in F heißt (stochastisch) unabh¨
angig unter P, falls
P(Ai1 ∩ . . . ∩ Aim ) = P(Ai1 ) · . . . · P(Aim )
f¨
ur alle m ∈ N und alle paarweise verschiedenen Indizes i1 , . . . , im ∈ I.
Statt zu sagen, dass die Familie (Ai )i∈I [paarweise] unabh¨angig unter P ist, sagen wir etwas k¨
urzer auch,
dass die Ai (i ∈ I) [paarweise] unabh¨
angig unter P sind.
Bemerkungen 2.14.
(a) Stochastische Unabh¨
angigkeit kann vorliegen, obwohl ein Zusammenhang“ zwischen den Ereignissen
”
besteht (in dem Sinne, dass das Eintreten von B Einfluss darauf hat, ob bzw. wie das Eintreten von A
zustande kommt).
Beispiel: Beispiel 2.12 (ohne Zur¨
ucklegen), A : zweimal gleiche Farbe“, B : 1. Kugel schwarz“.
”
”
(b) Aus Unabh¨
angigkeit folgt nat¨
urlich paarweise Unabh¨angigkeit.
Umgekehrt folgt aus paarweiser Unabh¨
angigkeit im Allgemeinen nicht Unabh¨angigkeit.
Gegenbeispiel: 2-facher W¨
urfelwurf (mit einem fairen W¨
urfel),
A : 1. Augenzahl gerade“, B : 2. Augenzahl gerade“, C : Augensumme gerade“
”
”
”
(c) Um die Unabh¨
angigkeit von n > 2 Ereignissen A1 , . . . , An ∈ F nachzuweisen, ist es nicht ausreichend,
P(A1 ∩ . . . ∩ An ) = P(A1 ) · . . . · P(An ) zu zeigen.
Gegenbeispiel: 3-facher M¨
unzwurf (mit einer fairen M¨
unze),
A : mind. 2 mal Kopf“, B : 1. Ergebnis Kopf“, C : 2. Ergebnis = 3. Ergebnis“
”
”
”
Um etwa die Unabh¨
angigkeit von 3 Ereignissen nachzuweisen, sind 4 Gleichungen zu zeigen. [. . . ]
(d) Teilfamilien von unabh¨
angigen Familien von Ereignissen sind wieder unabh¨angig.
Definition 2.15 (Unabh¨
angigkeit von Zufallsgr¨oßen). Sei (Ω, F, P) ein W.raum. Eine Familie von Zufallsgr¨oßen Xi : (Ω, F) → (Xi , Ai ) (i ∈ I) heißt unabh¨
angig unter P, wenn f¨
ur jede Wahl von Mengen Ai ∈ Ai ,
i ∈ I, die Ereignisse Xi−1 (Ai ) unabh¨
angig unter P sind.
Statt zu sagen, dass die Familie (Xi )i∈I unabh¨angig unter P ist, sagen wir etwas k¨
urzer auch, dass die Xi
(i ∈ I) unabh¨
angig unter P sind.
Bemerkungen 2.16.
(a) Um die Unabh¨
angigkeit von n > 2 Zufallsgr¨osen X1 , . . . , Xn (wobei Xi : (Ω, F) → (Xi , Ai )) nachzuweisen, reicht es aus, P(X1−1 (A1 ) ∩ . . . ∩ Xn−1 (An )) = P(X1−1 (A1 )) · . . . · P(Xn−1 (An )) f¨
ur jede Wahl
von Mengen Ai ∈ Ai , i = 1, . . . , n, zu zeigen.
(b) Teilfamilien von unabh¨
angigen Familien von Zufallsgr¨oßen sind wieder unabh¨angig.
Satz 2.17. In der Situation von Definition 2.15 sei zu jedem i ∈ I Ei ein ∩-stabiler Erzeuger von Ai .
Dann sind die Zufallsgr¨
oßen Xi : (Ω, F) → (Xi , Ai ) (i ∈ I) unabh¨
angig unter P, wenn f¨
ur jede Wahl
von Mengen Ei ∈ Ei , i ∈ I, die Ereignisse Xi−1 (Ei ) unabh¨
angig unter P sind.
Korollar 2.18. Sei (Ω, F, P) ein W.raum, und seien A1 , . . . , An Ereignisse.
(a) A1 , . . . , An sind unabh¨
angig genau dann, wenn 1 A1 , . . . , 1 An unabh¨
angig sind.
(b) Sind A1 , . . . , An unabh¨
angig und ist Bi ∈ {Ai , Aci }, i = 1, . . . , n, so sind auch B1 , . . . , Bn unabh¨
angig.
14
Korollar 2.19. Sei (Ω, F, P) ein W.raum.
(a) Sind X1 , . . . , Xn Zufallsgr¨
oßen Werten in abz¨
ahlbaren Mengen X1 , . . . , Xn , so sind X1 , . . . , Xn unabh¨
angig genau dann, wenn f¨
ur alle x1 ∈ X1 , . . . , xn ∈ Xn
n
n
{Xi = xi }) =
P(
i=1
P(Xi = xi )
i=1
gilt.
(b) Sind X1 , . . . , Xn reellwertige Zufallsgr¨
oßen, so sind X1 , . . . , Xn unabh¨
angig genau dann, wenn
f¨
ur alle x1 , . . . , xn ∈ R
n
n
{Xi ≤ xi }) =
P(
i=1
P(Xi ≤ xi )
i=1
gilt.
Beispiel 2.20. Ist Z eine Zufallsgr¨
oße mit Werten in C
R2 , die gleichverteilt auf dem Einheitskreis
K := {z ∈ C : |z| ≤ 1} ist, so sind R := |Z| und U := arg Z unabh¨angige Zufallsgr¨oßen.
Satz 2.21 (Getrennte Verarbeitung).
Sei (Ω, F, P) ein W.raum. Sind Xi : (Ω, F) → (Xi , Ai ) (i ∈ I) unabh¨
angige Zufallsgr¨
oßen, ist (Ik )k∈K eine
Partition von I und ist f¨
ur jedes k ∈ K fk : ( i∈Ik Xi , i∈Ik Ai ) → (Yk , Bk ) eine messbare Abbildung,
so sind Yk := fk ◦ (Xi )i∈Ik : (Ω, F) → (Yk , Bk ) (k ∈ K) unabh¨
angige Zufallsgr¨
oßen.
2.3
Unabh¨
angigkeit und Produktmaße
Motivation. Sei (Ωi , Fi , Pi )i∈I eine Familie von W.r¨aumen. Finden wir dann einen W.raum (Ω, F, P)
und unabh¨
angige Zufallsgr¨
oßen Xi : (Ω, F) → (Ωi , Fi ), i ∈ I, mit PXi = Pi f¨
ur alle i ∈ I ?
Satz 2.22 (Charakterisierung der Unabh¨
angigkeit von Zufallsgr¨oßen mittels Verteilungen).
Ist (Ω, F, P) ein W.raum und ist Xi : (Ω, F) → (Xi , Ai ), i ∈ I, eine Familie von Zufallsgr¨
oßen, so ist
die Familie (Xi )i∈I unabh¨
angig genau dann, wenn P(Xi )i∈I = i∈I PXi gilt.
Korollar 2.23. Ist (Ωi , Fi , Pi )i∈I eine Familie von W.r¨
aumen und (Ω, F, P) := ( i∈I Ωi , i∈I Fi , i∈I Pi ),
so sind die Projektionen Xi : Ω → Ωi , ω → ωi unabh¨
angige Zufallsgr¨
oßen mit PXi = Pi f¨
ur alle i ∈ I.
Endliche Produktmaße.
Lemma 2.24 (Produktdichten).
(a) Sei Pi ein diskretes W.maß auf (Ωi , P(Ωi )), Ωi = ∅ abz¨
ahlbar, mit der Z¨
ahldichte i , i = 1, . . . , n.
n
Dann ist das Produktmaß P1 ⊗ · · · ⊗ Pn durch das diskrete W.maß auf ( ni=1 Ωi , i=1 P(Ωi )) =
n
n
ahldichte (ω1 , . . . , ωn ) := 1 (ω1 ) · · · n (ωn ) gegeben.
( i=1 Ωi , P( i=1 Ωi )) mit der Z¨
(b) Sei Pi ein stetiges W.maß auf (R, B) mit der Lebesgue-Dichte i , i = 1, . . . , n. Dann ist das Produktn
maß P1 ⊗ · · · ⊗ Pn durch das stetige W.maß auf ( ni=1 R, i=1 B) = (Rn , Bn ) mit der Lebesgue-Dichte
(ω1 , . . . , ωn ) := 1 (ω1 ) · · · n (ωn ) gegeben.
Korollar 2.25 (Charakterisierung der Unabh¨angigkeit von Zufallsgr¨oßen mittels Dichten).
(a) Seien X1 , . . . , Xn Zufallsgr¨
oßen mit Werten in abz¨
ahlbaren Mengen X1 , . . . , Xn , und seien
Z¨
ahldichten auf X1 , . . . , Xn . Dann sind X1 , . . . , Xn unabh¨
angig mit den Z¨
ahldichten
genau dann, wenn (X1 , . . . , Xn ) die Z¨
ahldichte 1 (x1 ) · · · n (xn ) auf X1 × · · · × Xn hat.
1, . . . , n
1, . . . , n
(b) Seien X1 , . . . , Xn reellwertige Zufallsgr¨
oßen, und seien 1 , . . . , n Lebesgue-Dichten auf R1 .
Dann sind X1 , . . . , Xn unabh¨
angig mit den Lebesgue-Dichten 1 , . . . , n genau dann, wenn (X1 , . . . , Xn )
die Lebesgue-Dichte 1 (x1 ) · · · n (xn ) auf Rn hat.
Warnung: Die Lebesgue-Dichte einer Rd -wertigen Zufallsgr¨
oße ist nur bis auf eine λλd -Nullmenge eindeutig bestimmt.
15
Unendliche Produktmaße.
Wir betrachten hier nur den Fall I = N, Pi diskretes W.maß ∀ i ∈ I. Wir beginnen (etwas allgemeiner)
mit einer Variante von Satz 2.10:
Satz 2.26. Es seien Ωn , n ∈ N abz¨
ahlbare Mengen = ∅, 1 eine W.dichte auf Ω1 und f¨
ur alle k ≥ 2
und alle (ω1 , . . . , ωk−1 ) ∈ Ω1 × · · · × Ωk−1 k | ω1 ,...,ωk−1 eine W.dichte auf Ωk . Setze Ω := ∞
k=1 Ωk ,
∞
F := k=1 P(Ωk ) und Xk : Ω → Ωk , Xk ((ωn )n∈N ) := ωk (k-te Projektion), k ∈ N. Dann existiert genau
ein W.maß P auf (Ω, F), so dass
P(X1 = ω1 , . . . , Xk = ωk ) =
1 (ω1 ) 2 | ω1 (ω2 ) · · · k | ω1 ,...,ωk−1 (ωk )
f¨
ur alle k ∈ N und alle (ω1 , . . . , ωk ) ∈ Ω1 × · · · × Ωk .
Korollar 2.27. Es seien Pn , n ∈ N, diskrete W.maße auf abz¨
ahlbaren Mengen Ωn , n ∈ N. Dann existiert
∞
das Produktmaß k=1 Pk .
Faltungen von W.maßen.
Definition 2.28. Sind P1 , P2 W.maße auf (R, B) und ist S : R2 → R, (x, y) → x+y die Summenabbildung,
so heißt das W.maß P1 ∗ P2 := (P1 ⊗ P2 )S auf (R, B) Faltung von P1 und P2 .
Bemerkung 2.29. Sind X1 , X2 unabh¨
angige reellwertige Zufallsgr¨oßen mit den Verteilungen P1 , P2 ,
so hat X1 + X2 die Verteilung P1 ∗ P2 .
Lemma 2.30.
(a) Sind X1 , X2 unabh¨
angige Zufallsgr¨
oßen mit Werten in abz¨
ahlbaren Mengen X1 , X2 ⊂ R und Z¨
ahldichten 1 , 2 , so hat X1 + X2 die Z¨
ahldichte
(x) :=
1 (y) 2 (x
− y)
y∈X1 :x−y∈X2
auf X := {x1 + x2 : x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 }.
(b) Sind X1 , X2 unabh¨
angige reellwertige Zufallsgr¨
oßen mit Lebesgue-Dichten
die Lebesgue-Dichte
(x) :=
1 (y) 2 (x
1, 2,
so hat X1 + X2
− y) dλλ(dy) .
Beispiel 2.31. F¨
ur alle n, m ∈ N und alle p ∈ [0, 1] gilt B(n, p) ∗ B(m, p) = B(n + m, p).
(Beweis: mit Hilfe der anschaulichen Bedeutung der Binomialverteilung)
2.4
0–1–Gesetze
Lemma 2.32 (Lemma von Borel-Cantelli).
Sei (Ω, F, P) ein W.raum, und sei (An )n∈N ⊂ F eine Folge von Ereignissen.
1. (1. Borel-Cantelli-Lemma)
∞
Aus n=1 P(An ) < ∞ folgt P(lim supn→∞ An ) = 0.
2. (2. Borel-Cantelli-Lemma)
Ist die Folge (An )n∈N unabh¨
angig, so gilt: Aus
∞
n=1
P(An ) = ∞ folgt P(lim supn→∞ An ) = 1.
Bemerkung. Ist (Ω, F, P) ein W.raum und ist (An )n∈N ⊂ F eine unabh¨angige Folge, so gilt also:
•
∞
n=1
P(An ) < ∞ ⇔ P(lim supn→∞ An ) = 0.
•
∞
n=1
P(An ) = ∞ ⇔ P(lim supn→∞ An ) = 1.
Es ist bemerkenswert, dass nur die W. 0 und 1 auftreten k¨onnen!
Beispiel 2.33. Mit welcher W. erscheint beim unendlich-fachen M¨
unzwurf mit einer fairen M¨
unze
(vgl. Beispiel 1.37) unendlich oft Kopf ?
16
Definition 2.34.
Es seien (Ω, F, P) ein W.raum und Xn : (Ω, F) → (Xn , An ), n ∈ N, eine Folge von Zufallsgr¨oßen.
Ein Ereignis A ∈ F heißt asymptotisch f¨
ur (Xn )n∈N , wenn f¨
ur alle n ∈ N ein Ereignis Bn ∈
k≥n Fk
mit A = {(Xk )k≥n ∈ Bn } existiert. Es sei T = T ((Xn )n∈N ) das System aller asymptotischen Ereignisse
f¨
ur (Xn )n∈N .
Bemerkungen 2.35. In der Situation von Definition 2.34 gilt:
(i) T ist eine σ-Algebra.
(ii) Ist An ∈ An , n ∈ N, so gilt lim supn→∞ {Xn ∈ An } ∈ T , lim inf n→∞ {Xn ∈ An } ∈ T .
(iii) Ist (Xn , An ) = (R, B), n ∈ N, so gilt {ω ∈ Ω : limn→∞
1
n
n
k=1
Xk (ω) existiert} ∈ T .
Satz 2.36 (0–1–Gesetz von Kolmogorov). Ist in der Situation von Definition 2.34 die Folge (Xn )n∈N
unabh¨
angig, so gilt P(A) ∈ {0, 1} f¨
ur alle A ∈ T .
17
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