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Dr. M. J. Sauer
WS 2014 / 2015
Seminar: Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie
Basis – Vorlesung II: Kolmogoroff-Axiome für endliche W-Räume.
Laplace-Räume
Teil A
Ergebnisräume, Ereignisse, Verknüpfung von Ereignissen
Zwei unterscheidbare Münzen und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. In einem 3-Tupel werden zunächst die Ergebnisse der Münzwürfe und dann das Ergebnis des Würfelwurfs notiert.
(a) Geben Sie den Ergebnisraum an.
(b) Geben Sie die folgenden Ereignisse an:
A: Es erscheint zweimal Kopf und eine ungerade Zahl.
B: Es erscheint die Zahl 3.
C: Es erscheint genau einmal Kopf und eine durch 2 teilbare Zahl.
(c) Ermitteln Sie die folgenden Ereignisse:
(c1) Genau eines der Ereignisse A, B, C tritt ein.
(c2) Keines der Ereignisse A, B, C tritt ein.
(c3) Das Ereignis „A und B“ tritt ein.
(c4) Das Ereignis „A und C“ tritt ein.
(c5) Das Ereignis „B und C“ tritt ein.
(c6) Genau zwei der Ereignisse A, B, C treten ein.
(c7) Alle drei Ereignisse A, B, C treten ein.
(c8) Das Ereignis „A oder C, nicht aber B“ tritt ein.
Teil B
Die Abbildung P aus der Definition in Abschnitt 2.2
Aufgabe 1 (Ergebnisräume)
Eine Münze wird drei Mal nacheinander geworfen. Sei
Ω = { KKK , KKZ , KZK , KZZ , ZKK , ZKZ , ZZK , ZZZ }
der Ergebnisraum. Ziel: Wir wollen ein W-Maß P : P ( Ω ) → ℝ +0 definieren.
Dazu setzen wir zunächst die Funktionswerte von P für die acht einzelnen Ergebnisse wie folgt fest:
7
1
5
P ( KKK ) = , P ( KKZ ) = 0, P ( KZK ) = , P ( KZZ ) =
,
25
25
25
3
1
8
P ( ZKK ) = , P ( ZKZ ) = , P ( ZZK ) = 0, P ( ZZZ ) =
.
25
25
25
(a)
Definieren Sie mittels der obigen Festsetzungen eine Abbildung P : P ( Ω ) → ℝ +0 .
Hinweis: Sie müssen nur angeben, wie P ( A ) für eine Teilmenge A von Ω (also für
A ∈ P ( Ω ) ) definiert werden muss.
(b)
(c)
(d)
Zeigen Sie, dass die in (a) definierte Abbildung P : P ( Ω ) → ℝ +0 ein W-Maß ist (also die
Kolmogoroff-Axiome erfüllt).
Berechnen Sie P ( Es fällt zwei Mal "Kopf") .
Berechnen Sie P ( "Kopf" fällt beim zweiten Wurf ) .
Aufgabe 2 (Rechenregeln in W-Räumen)
Sei ( Ω, P ( Ω ) , P ) ein endlicher W-Raum.
In Abschnitt 2.2 der Basis-Vorlesung II werden fünf rechenregeln für endliche W-Räume vorgestellt.
Beweisen Sie die folgenden (äußerst wichtigen) Rechenregeln (4) und (5)!
Rechenregel (4): Für A1 ,… , An ∈ P ( Ω ) mit Ai ∩ A j = ∅ für i ≠ j gilt:
P ( A1 ∪ … ∪ An ) = P ( A ) + … + P ( An ) .
[Hinweis: Vollständige Induktion.]
Rechenregel (5): Für A, B ∈ P( Ω ) gilt:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) .
[Hinweis zum Beweis von (5): Eine pfiffige Skizze hilft weiter.]
Teil C
Gemischte Aufgaben zu Laplace-Räumen
Wir wissen (Abschnitt 2.3): In Laplace-Räumen haben wir folgende einfache Formel zur Berechnung
von Wahrscheinlichkeiten.
Satz: Sei (Ω , P(Ω), P) ein Laplace-Raum und E ein Ereignis in Ω .Dann gilt:
E
P (E ) =
,
Ω
anschaulich: P (E ) =
Anzahl der für E günstigen Fälle
Anzahl der möglichen Fälle
.
Teil (a):
Ein Würfel aus Holz, dessen Seitenflächen rot gefärbt sind, wird in 729 gleich große Würfel zerlegt.
Man mischt diese Würfel und legt sie in einen Sack. Aus dem Sack wird ein Würfel zufällig gezogen. Man berechne:
P ( Der gezogene Würfel hat genau zwei rote Seitenflächen )
P ( Der gezogene Würfel hat genau drei rote Seitenflächen )
Teil (b):
Ein Würfel wird viermal nacheinander geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p, dass mindestens einmal eine „Sechs“ fällt!
Hinweis:
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit p soll auf zwei Arten berechnet werden – und zwar
- zum Einen durch direkte Argumentation,
- zum Anderen durch Argumentation mittels des Gegenereignisses!
Teil (c): [Geburtstagsproblem]
Lösen Sie das Geburtstagsproblem! [Siehe das zweite Beispiel aus Abschnitt 1.3, Teil (b).]
Geben Sie insbesondere die Lösungen für n = 22 und n = 23 an!
Teil (d): [Olympia-Lotterie 1972]
Bei der Olympia-Lotterie 1971 wurde eine 7-stellige Gewinnzahl wie folgt bestimmt:
Eine Trommel enthält 70 Kugeln, die so beschriftet sind, dass jede der zehn Ziffern von 0 bis 9 sieben Mal vorkommt.
Nach dem Mischen werden sieben Kugeln gleichzeitig entnommen und mittels einer geeigneten Vorrichtung zufällig zu einer 7-stelligen Zahl angeordnet.
Berechnen Sie:
P(9 6 3 0 2 5 8) ,
P(4 4 4 4 4 4 4) ,
P(„Die Ziffern sind paarweise verschieden.“) !
Teil D
Der Ursprung der W-Theorie: Das Problem des Chevalier de Méré
Der französische Offizier und Schriftsteller George Brossin Chevalier de Méré vermutete, dass beim
gleichzeitigen Werfen dreier nicht unterscheidbarer Spielwürfel die Chancen für das Auftreten der
Augensumme 11 und für das Auftreten der Augensumme 12 gleich groß sein müssen.
Seine theoretische Überlegung war: Sowohl für die Augensumme 11 wie auch für die Augensumme 12 gibt es jeweils sechs Möglichkeiten, nämlich
- für die Augensumme 11: 1-4-6, 1-5-5, 2-3-6, 2-4-5, 3-3-5, 3-4-4;
- für die Augensumme 12: 1-5-6, 2-4-6, 2-5-5, 3-3-6, 3-4-5, 4-4-4.
Chevalier de Méré beobachtete aber in der Spielpraxis, dass die Augensumme 11 häufiger auftrat als
die Augensumme 12.
Chevalier de Méré teilte in einem Brief diesen vermeintlichen „Widerspruch“ Blaise Pascal mit und
bat um eine Lösung.
Schreiben Sie nun an Stelle von Blaise Pascal einen Brief (mathematisch präzise und sprachlich klar)
mit einer Lösung des Problems an den Chevalier de Méré! Hinweise:
- In Abwandlung des Originals soll Ihr Brief mit den Augensummen 9 und 10 argumentieren!
- Geben Sie dabei insbesondere den (richtigen) Laplace-Raum und den vom Chevalier de Méré
benutzten Raum in mathematisch korrekter Form an.
- Wie viele Elemente hat der de- Méré-Raum; wie viele Elemente hat der Laplace-Raum?
[Eine Einschränkung: Bitte nicht in Französisch oder Latein schreiben.]
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Gesundheitswesen
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