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Simulation und Modellierung
in der Biomechanik
Martin Mössner
martin.moessner@uibk.ac.at
30. Okt. 2014
Stichworte
Bewegungsgleichungen
Körpermodelle
Muskelmodelle
Kräfte
Vorwärtsdynamik
Inverse Dynamik
Parameteridentifizierung
…
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
2
1
Ziele
Theoretische Grundlagenforschung:
Nachvollziehen von Bewegung im Sport
Studium der Bewegungsformen im Sport:
Vorhersage von Eigenschaften (z.B. Kräfte)
Einflüsse aller Art: Materialien (Ski), Umwelt (Schnee),
Bewegungen (Hocke), Physiologie (Muskelkräfte), …
Anwendungen:
Performance: optimale Bewegung
Sicherheit: Reduktion des Verletzungsrisikos
Studium gefährlicher oder hypothetischer Bewegungen
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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Wechselspiel Experiment und Simulation
Experiment liefert Eingangsdaten für Simulation
Eperiment liefert Modellierungsansätze / Ideen für
Simulation
Simulation liefert Bewegung und Kräfte bei Ausübung
einer Sportart
Ergebnisse müssen in speziellen Situationen durch
Experiment überprüfbar / validierbar sein
Validierte Simulationen können zur Vorhersage von
sportlicher Bewegung genutzt werden
Simulationsergebnisse regen zu weiteren Messungen
an
…
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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2
Typische Vorgangsweise
1. Schritt: Bewegung wird durch Messung möglichst
vollständig, d.h. in allen Einzelheiten, erfasst.
2. Schritt: Situation wird durch Mehrkörpermodell
modelliert und Bewegung duch Lösen der
Bewegungsgleichung bestimmt.
3. Schritt: Anpassung und/oder Validierung der Simulation
durch Vergleich mit Messwerten aus Schritt 1.
Schritt 1-3 ergeben eine validierte Simulation, welche eine
tatsächlich stattgefundene Bewegung simuliert.
Schritt 4: Anwendung: Einzelne Parameter der Simulation
werden verändert und die Veränderung der Bewegung
studiert.
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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2D-Bewegungsgleichungen
M · a = ∑ Fi
Newton Gleichungen
I · α = ∑ Ti
Euler Gleichungen
M
s
v = s′
a = v′
Fi
I
φ
ω = φ′
α = ω′
Ti
Masse
Position
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Kräfte
Trägheitsmoment
Drehwinkel
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Drehmomente
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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3
3D-Bewegungsgleichungen
M · v′ = ∑ Fi
Newton Gleichungen
I·ω′ + ω × (I·ω) = ∑ Ti
Euler Gleichungen
M
s
v = s′
a = v′
Fi
I Trägheitsmoment
φ Drehwinkel
ω Winkelgeschwindigkeit
α Winkelbeschleunigung
Ti Drehmomente
Masse
Position
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Kräfte
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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Äußere Kräfte in der Biomechanik
Kräfte, die von außen auf den Sportler bzw. das Sportgerät
wirken
Gewichtskraft
FW = m · g
Reibungskraft
FF = µ · FN
Luftwiderstand
FD = ½ · ρ · CD · A · v2
Luftauftrieb
FL = ½ · ρ · CL · A · v2
Magnus Kraft
FM = ½ · ρ · CM · A · r · ω × v
Kontaktkräfte:
Boden, Schnee, Zusammenstoß
…
Beachte: Kräfte sind Vektoren (Betrag, Richtung)
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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4
Innere Kräfte in der Biomechanik
Kontaktkräfte zw. Segmenten / Knochen
Muskelkräfte, Kräfte in Bändern und Sehnen
Verformungswiderstand:
z.b.: Verfromung von Knochen, Biegung des Ski,
Dämpfung durch Sportschuh
Kräfte zw. Sportler und Sportgerät
Kontaktkräfte bei Impacts (Landung) und Unfällen
…
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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Beispiel: Freier Fall mit Luftreibung
Bewegungsgleichung
m a = FW + FD = - m g + ½·ρ·CdA v2
a = c + d·v2
Schwerkraft:
Luftwiderstand:
c = - g = -10 m/s2
d = ½·ρ·CdA / m
= 0.5·1.1·0.6 / 1 = 0.33 1/m
Setze:
dann
s’ = v
v′ = c + d·v2
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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5
Beispiel: Freier Fall mit Luftreibung
s′ = v,
v′ = c + d·v2
c=-10 m/s2, d=0.33 1/m
Numerische Lösung:
t1=t0+∆t, s1=s0+∆t·v0,
v1=v0+∆t·(c+d·v02)
Im Detail mit Schrittweite ∆t = 0.5:
t0 = 0.0
t1 = 0.0 + 0.5 = 0.5
s0 = 3.0
s1 = 3.0 + 0.5·0.0 = 3.0
v0 = 0.0
v1 = 0.0 + 0.5·(-10.0+0.33·0.02) = -5.0
t2 = 0.5 + 0.5 = 1.0
s2 = 3.0 + 0.5·(-5.0) = 0.5
v2 = -5.0 + 0.5·(-10+0.33·(-5.0)2) = -5.87
usw.
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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Beispiel: Freier Fall mit
Luftreibung
s′ = v, v′ = c + d·v2
c=-10 m/s2 d=0.33 1/m
Lösung wie vorhin
Wahl der Schrittweite ∆t ?
Bilder: ∆t = 0.5 und 0.01 s
s grün
v rot
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Baumgartners Sprung
Bekannte Daten:
Starthöhe: 39045 m
Freier Fall: 36529 m
Fallzeit:
259 s
Max. Geschw.: 1349 km/h
Annahmen:
m = 85 kg,
CdA = 0.551 m2 (freier Fall)
= 8 m2 (Schirm)
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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Baumgartners
Sprung
Bewegungsgleichung:
m a = - m g + ½·ρ·CdA v2
ρ siehe pdf von Wikipedia
Erhalte:
s(t=0 s) = 39 km
s(t=259 s) = 2.5 km
v(t=50 s) = 1305 km/h
v(t=259 s) = 200 km/h
v(t=300 s) = 14 m/s
a 1-2 g
ρ 1 g/m3
1 kg/m3
Werte gut getroffen!
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DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie
aus: Lind & Sanders
t Fahrzeit
s gefahrene
Wegstrecke
Hangabtreibende Kraft
Reibungskraft
Normalkraft
Luftwiderstand
FW = m · g · sin α
FF = – µ · FN
FN = m · g · cos α
FD = – ½ · ρ · CD · A · v2
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DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie
m · a = FW + FF + FD
m·a = m·g·sin α – µ·m·g·cos α – ½·ρ·CD·A·v2
a = g· (sin α – µ·cos α) – ½·ρ·CD·A·v2 / m
s′ = v
v′ = a = c – d · v2
Abkürzungen:
c = g · ( sin α – µ · cos α )
d = ½ · ρ · CD · A / m
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8
DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie
Analytische Lösung
s′ = v
v′ = a = c – d · v2
c = g · ( sin α – µ · cos α )
v=
c 
⋅ 1 −
d  e2
2
cd ⋅t +γ


+1
t
s = s0 + ∫ v(t ) dt = s0 +
0
d = ½ · ρ · CD · A / m
 cd + dv 
0 
γ = ln

 cd − dv0 
c
1  1 + e −γ
t − ln
d d  1 + e −γ − 2 cd ⋅t



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DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie
Nummerische Lösung
s′ = v
v′ = a = c – d · v2
Ersetze Ableitungen durch Differenzenquotient
s′
(s1-s0) / ∆t
v′
(v1-v0) / ∆t
s1 = s0 + ∆t · s′
v1 = v0 + ∆t · v′
Kombination mit Differentialgleichung
s1 = s0+∆t·v0
v1 = v0+∆t·a0 = v0+∆t·(c – d·v02)
s2 = s1+∆t·v1
v2 = v1+∆t·a1 = v1+∆t·(c – d·v12)
Berechne v1,s1 aus s0,v0, berechne v2,s2 aus s1,v1, usw.
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9
DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie:
Lösung für konstante Hangneigung
s′ = v
v′ = c – d · v2
c = g · ( sin α – µ · cos α )
d = ½ · ρ · CD · A / m
sneu = s + ∆t · v
vneu = v + ∆t · ( c – d · v2 )
skifahrer1.xls
Grenzgeschwindigkeit
v = sqrt( c / d )
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DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie:
Damenabfahrt in Whistler
GPS Messung
Sensor am Kopf
der Abfahrerin
Aufzeichnung von
t, x, y, h
während WC Training
daraus s und α(s)
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie:
Lösung für variable Hangneigung
Wie vorhin, jedoch
Hangneigung α ändert sich entlang der Fahrstrecke
α(s) durch einzelne
Messpunkte gegeben
Benötige:
- kontinuierliche Funktion
- zeitliche Zuordnung
α(s(t))
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie:
Lineare Interpolation
Lineare Interpolation
y( x) = y 0 +( y1 − y0 ) ⋅
x − x0
x1 − x0
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DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie:
Lineare Interpolation für Hangneigung
Lineare Interpolation
s (m)
s − s3
α ( s) =α 3+(α 4 − α 3 ) ⋅
s4 − s3
α(50), α(70), α(90) = ?
i=3: s3 = 30, α3 = 10
s4 = 110, α4 = 16
α (°)
0
5
10
8
30
10
110
16
150
15
250
17
…
α(50) = 10 + (16-10) · ((50-30) / (110-30)) = 11.5°
α(70) = 10 + (16-10) · ((70-30) / (110-30)) = 13.0°
α(90) = 10 + (16-10) · ((90-30) / (110-30)) = 14.5°
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DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie:
Lösung variable Hangneigung
Implementiere Interpolation
für α(s), sonst wie bei
konstanter Hangneigung
skifahrer2.xls
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12
DGL des Skifahrers entlang der Fahrlinie:
Hangneigung
Geschwindigkeit
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Luftwiderstand: Frontfläche A
Umrisspolygon
P = { (xi, yi) , i=1,..,n }
A = Σ ½(yi+1+yi) · (xi+1-xi)
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Luftwiderstand: Frontfläche A
Vera für
Fischbacher
H (m)
1.73
1.63
A (m2)
0.4722
0.4550
1.47
1.16
0.96
0.4216
0.3341
0.2728
Zwischenwerte durch lineare Interpolation
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Luftwiderstandsbeiwert CD
Messung des Luftwiderstands
im Windkanal
Sportler samt Austrüstung im
Windkanal
Einfluss der Haltung
Beiwert hängt ab von
Art des Anzugs, Stellung und
Strömungsgeschwindigkeit
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Luftwiderstand Marathon
Beim Laufen in Gruppen zeigen Windkanalmessungen
eine signifikante Reduktion des CD Wertes
Günstige Formationen: Y Formation, eine od. zwei Linien
Manche Athleten verlangen von ihren Hasen,
dass sie in vorgegebener Formation laufen
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Energieverbrauch im Sport
Laufen / Gehen
e=k·v
k = 4.32 J·kg-1·m-1
E=k·m·s
Marathon (m=60kg): E = 11 MJ
Compendium of Physical Activities: Classification of Enery Costs of Human Activities.
Medcine & Science in Sports & Exercise 25(1) 71-80 (1993)
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15
Marathon: Einfluss Luftwiderstand
v (m/s)
T
FD (N)
PD (W)
Pmech (W)
Laufen
5.7
2:02:22
6.4
37
280
Laufen
4.0
2:55:49
3.2
13
185
Laufen
3.0
3:54:25
1.8
5
140
Skaten
12.0
0:58:36
28.4
341
FD=½·ρ·CD·A·v2 ED=FD·s PD=ED/T Pmech = Eges·η/T
m=50 kg, ρ=1.2 kg/m3, CD=0.7, A=0.47 m2, s=42195 m, η=0.22
10 km/h Gegenwind:
20 km/h Gegenwind:
PD
PD
37
37
81 W
143 W
Beim Marathon laufen Pacemaker so, dass CD verringert wird !
1% von T sind 74 s und PD/Pmech = 13%
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Vorwärtsintegration
Daten
Bewegungsgleichungen
Kräfte
Berechnungen
Ort, Geschwindigkeit und/oder Beschleunigung
gelegentlich auch weitere Kräfte
z.B. resultierende Kräfte zwischen den Segmenten
Alle Daten müssen bekannt sein
Bewegungsgleichung nur 1-mal lösen
Beispiel:
Skifahrer als Massepunkt (Folien 15-28)
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Inverse Dynamik
Daten
Ortskoordinaten, Zeitverlauf einer Bewegung
Berechnungen
Geschwindigkeit und Beschleunigung der Segmente
mit Hilfe der Bewegungsgleichung ergeben sich die
wirkenden Kräfte
Kinematische Daten (t,xyz) leichter zugänglich als kinetische Daten (a,F)
Bestimmung der Beschleunigung ungenau -> großer Verfahrensfehler
Beispiel: Bestimme mit optischen Verfahren 3D-Koordinaten
beim Niedersprung und berechne die Kräfte im Knie
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Fehler von numerischen Ableitungen
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Parameteridentifizierung
Daten
Bewegungsgleichungen
Kräfte, weitere Daten
Problem
Daten sind unvollständig
reine Vorwärtsintegration nicht möglich
Berechnungen
variiere Parameter so lange bis verfügbare Daten
in Vorwärtsintegration erfüllt werden
Mehrfache Vorwärtsintegration notwendig
Beispiel: Skifahrer als Massepunkt –
Wähle Reibungskoeffizient µ so, dass s(Tend) = send
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Lösung der DGL des Skifahrers
Parameteridentifizierung
Bedingung
s( T = 90 s ) = 2308 m
Gesucht Reibungskoeffizient µ
z.B.: Nullstellensuche mittels
linearer Interpolation
µ neu = µ1 +
µ 2 − µ1
s2 − s1
⋅ ( send − s1 )
µ
s( T=90s )
(m)
0.0800
2242.89
0.0700
0.0713
0.0714
2318.21
2308.79
2308,06
…
µneu = 0.0800+((0.0700-0.0800)·(2308-2242.89))/(2318.21-2242.89) = 0.0713
µneu = 0.0700+((0.0713-0.0700)·(2308-2218.21))/(2308.79-2318.21) = 0.0714
Andere Technik: Newton-Verfahren
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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18
Lösung der DGL des Skifahrers
Parameteridentifizierung
Bedingung
s( T = 90 s ) = 2308 m
Gefundener Wert µ = 0.0714
Problem: Vergrößert man die schädliche Fläche um 10%
so erhält man µ = 0.0595
Ergebnis einer Parameteridentifizierung hängt oft stark
von der Richtigkeit der sonstigen Daten ab
Sensitivitätsanalyse
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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Image Matching
Daten
Videoaufzeichnung einer Bewegung
Problem
Finde 3d Bewegung so, dass Videodaten reproduziert werden
Anwendung
Bere et al. 2013
biomechanische Analyse von Verletzungen
Die Segmente eines Mehrkörpermodells
werden so lange verdreht bis die Bewegung,
die im Video zu sehen ist wiedergegeben wird
Bewegung in verschiedenen Perspektiven.
(Gelenks-)Winkel, Rotationsgeschwindigkeiten.
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Simulation im Rodelsport (Whistler)
M. Mössner, M. Hasler, K. Schindelwig, P. Kaps und W. Nachbauer (2011)
An approximate simulation model for initial luge track
design. Journal of Biomechanics, vol. 44(5), pp. 892-896.
DOI: 10.1016/j.jbiomech.2010.12.001
Ziele:
1) Entwicklung eines Simulationsmodells zur
Vorhersage von Geschwindigkeit und Beschleunigung
einer Rodelfahrt auf künstlichen Rodelbahnen.
2) Sicherheitsbewertung
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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Motivation
Im Rodelsport: große Geschwindigkeiten v und
große Beschleunigungen a (Whistler: 42 m/s, 5g)
aus Sicherheitsgründen muss Geschwindigkeit
beschränkt werden
Bahnbau ist teuer. Bahn kann nach Fertigstellung
nur geringfügig modifiziert werden.
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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20
Methode:
Bahndaten Whistler
L = 1379 m
∆h = 153 m
16 Kurven
r = 12-100 m
k = 11%
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
Methode:
41
Bewegungsgleichung
Gewicht, parallel
normal
Luftwiderstand
Zentrifugalkraft
Bodenreaktionskraft
Gerade
Kurve
Reibung
FP = mg sinα
FN = mg cosα
FD = ½ ρ CDA v2
FC = m v2 / r
Bewegungsgleichung
m a = FP – FD – FF
FR = FN
FR = ( FN2 + FC2 )½
FF = µ FR
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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21
Methode:
Position im Querschitt
Querschnitt durch Ellipse gegeben
Reaktionskraft senkrecht
auf Eisfläche
Keine Kräfte quer
zur Bahn
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
Methode:
43
Validierung
Beschleunigungsmessung
Sensor ADXL321
Analog Devices, Norwood, MA
Bereich:
±18g
Filterung mit Butterworth Filter
In Vorwärts- und Rückwärtsrichtung
Abschneidefrequenz 2 Hz
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22
Ergebnisse:
Parameteridentifizierung
Bewegung des Rodlers (s, v, a, F..)
Mittlerer Reibungskoeff.
Itagaki et al. (1987)
µ = 0.010 (Einzel)
µ = 0.012 (Doppel)
µ = 0.006-0.014
Mittlere schädliche Fläche CDA = 0.047 m2 (Einzel)
CDA = 0.064 m2 (Doppel)
Windkanalmessung
CDA = 0.044-0.060 m2
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
Ergebnisse:
45
Geschwindigkeit
Geschwindigkeit (max):
41.9 m/s (Einzel)
39.1 m/s (Doppel)
nahe Einfahrt der letzen 180° Kurve
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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Ergebnisse:
Beschleunigung
Normalbeschleunigung a (g) bei Einzelfahrt
blau Messung, gelb gefiltertes Signal
Maximum 5.2g bei Einfahrt in letzte 180° Kurve
Spitzen 11g
RMS Abweichung zu gefiltertem Signal: 1g
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Ergebnisse:
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Messung-Simulation
Beschleunigung
Einzel
Doppel
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
48
24
Ergebnisse:
Parametervariation
∆tend
Vergleich zu
CDA=0.047 m2
µ=0.010
m=117 kg
∆h = 153 m
r von Whistler
∆vmax
CDA=0.044
-0.22
+0.34
+0.08
CDA=0.050
m2
+0.20
-0.31
-0.07
µ=0.008
-0.59
+0.69
+0.17
µ=0.012
+0.95
-1.06
-0.25
-0.39
-0.47
-0.11
∆h = 141 m
+2.15
-1.98
-0.46
∆h = 169 m
-1.87
+1.89
+0.46
r-10%
+0.37
-0.32
+0.44
r+10%
-0.29
+0.26
-0.37
m=107 kg
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
Diskussion:
∆amax
m2
49
Simulationsmodell
Simulationsmodell wurde entwickelt und
Beschleunigungsverlauf mittels Messdaten von
Whistler (WC Training) validiert
Gute Übereinstimmung mit Messdaten
Reibungskoeffizient und schädliche Fläche wurden
durch Parameteridentifizierung festgelegt
Übereinstimmung mit publizierten Werten
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
25
Diskussion:
Bahnbau
Parameterstudie zeigt: Hauptfaktoren sind
Höhenunterschied und Radien der Kurven
Diese Faktoren werden im Entwurfsstadium der
Bahn an das Gelände angepasst. Simulationsmodell
gibt zuverlässige Vorhersage der zu erwartenden
Geschwindigkeiten und der Beschleunigungen,
welche auf den Athleten wirken
Masse, Reibungskoeffizient und schädliche Fläche
von zweitrangiger Bedeutung
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
Diskussion:
51
Sicherheit
FIL bzw. FIBT verlangen v<135 km/h und a<5g
Wasserrutschen a<4g bzw. 5g (EU Norm)
Vibrationen am Arbeitsplatz RMS<2.0g bei 100 s
Dauer (EU Richtlinie)
Tatsächliche Beschleunigungs- und Vibrationsbelastungen in Whistler sind als hoch einzustufen
Gefährlichkeit dieser Beschleunigungen kann hier
nicht beantwortet werden
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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26
Diskussion:
Limitierungen
das Modell ist verblüffend einfach
– es gibt daher viele Limitierungen
Details siehe Artikel
Aktuelle Forschung in der Biomechanik, WS 2014/15
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Gesundheitswesen
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