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Aufstiegskompetenz von Frauen – Hindernisse und Potentiale

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3.2 Extensive und intensive Gr¨oßen. Mathematik
3.2
43
Extensive und intensive Gr¨
oßen. Mathematik
Zusammenfassung des physikalischen Teils:
• Wir untersuchen, wie sich bestimmte Gr¨oßen bei Kontakt B1 B2 zweier sijunkter Objekte
B1 und B2 verhalten.
• Intensive Gr¨oßen x : Objekt −
→ X kann man vergleichen und sie mitteln sich bei Kontakt
x(B1 ) ≤ x(B1 B2 ) ≤ x(B2 ) und sind stetig.
• Extensive Gr¨oßen p : Objekt −
→ R sind additiv p(B1 B2 ) = p(B1 )+p(B2 ), nicht negativ
und k¨onnen durch messen (z¨ahlen) reelle Zahlen zugeordnet bekommen.
• Um eine intensive Gr¨oße x wahrnehmen zu k¨onnen muß sie zusammen mit zwei extensiven
Gr¨oßen, dem Tr¨ager p und der Wirkung q auftreten.
3.2.1
Ein bilinearer Zusammenhang
Grundlegend f¨
ur die M¨oglichkeit, mathematische Aussagen in der Physik anzuwenden, ist intensiven Gr¨oßen Zahlen zuzuordnen. Zwischen x, p und q besteht ein funktioneller Zusammenhang
q = f (x, p). Im Weiteren soll untersucht werden, ob man n¨aheres u
¨ber diesen Zusammenhang
aussagen kann, insbesondere, ob es m¨oglich ist, der intensiven Gr¨oße x eine reelle Zahl zuzuordnen. Aussagen dazu liefert folgender
Satz: Es sei x eine intensive und p und q extensive Gr¨oßen. Dann existiert eine Funktion
C : X−
→ R, die jeder intensiven Gr¨oße streng monoton und damit eineindeutig eine reelle Zahl
zuordnet.
Im Laufe des Beweises wird klar werden, welche mathematischen Voraussetzungen an die physikalischen Gr¨oßen gestellt werden m¨
ussen und in welchem Sinn die Funktion C einzig ist. Die
Voraussetzungen erf¨
ullen intuitiv extensive und intensive Gr¨oßen.
Beweis:
Wir setzen q1 = q(B1 ), q2 = q(B2 ), q12 = q(B1 B2 ), p1 = p(B1 ), p2 = p(B2 ), p12 = p(B1 B2 ),
x1 = x(B1 ), x2 = x(B2 ), x12 = x(B1 ∪ B2 ). OBdA sei x1 ≤ x2 .
Dann gilt einerseits und andererseits:
q12 = q1 + q2 = f (x1 , p1 ) + f (x2 , p2 ) =
= f (x12 , p12 ) = f (x12 , p1 + p2 )
Es folgt
f (x12 , p1 + p2 ) = f (x1 , p1 ) + f (x2 , p2 )
(4)
Wegen x1 ≤ x12 ≤ x2 folgt aus x1 = x2 = x auch x12 = x und damit
f (x, p1 + p2 ) = f (x, p1 ) + f (x, p2 )
(5)
F¨
ur fixiertes x ist f (x, ·) eine reellwertige additive Funktion. Sie muß linear sein. Das folgt aus
folgendem
Lemma: Es sei h : R −
→ R eine stetige Funktion, die die Gleichung h(x + y) = h(x) + h(y)
erf¨
ullt. Dann ist h(x) = cx f¨
ur beliebiges aber festes c ∈ R.
¨
3 EXTENSIVE UND INTENSIVE GROSSEN
44
Beweis des Lemmas: Unter Benutzung der Funktionalgleichung erhalten wir
y = x =⇒ h(2x) = 2h(x)
Induktion: =⇒ h(nx) = nh(x), n ∈ N
1
1
1
= h(1), m ∈ N
=⇒ h
x=
m
m
m
n
n
= h(1), n, m ∈ N
=⇒ h
m
m
Stetigkeit: =⇒ h(x) = xh(1) =: cx, x > 0, c bel.
x = 0 =⇒ h(0) = 0
x < 0 : y = −x =⇒ h(x) = −h(−x)
Damit ist eine notwendige Bedingung an h gefunden. Die Probe best¨atigt, daß jede lineare
Funktion L¨osung der Funktionalgleichung ist.
(Lemma)
Bemerkung 0: Diese Funktionalgleichung heißt Cauchysche Funktionalgleichung.
Bemerkung 1: Unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit folgt einfacher h (x+y) = h (y)
also h (x) = h (0) =: c. Hier wurde aber der allgemeinere Weg gegangen, weil Stetigkeit eine topolgische Eigenschaft ist und Ableitbarkeit eine metrische, die wir eigentlich nicht voraussetzen
wollen.
Bemerkung 2: Die Voraussetzung der Steigkeit kann abgeschw¨acht werden. Lokale Beschr¨anktheit von h reicht aus.
Bemerkung 3: Es lassen sich nichtstetige L¨osungen finden. Dazu stellt man R als unendlichdimensionalen linearen Raum u
¨ber der rationalen Zahlen mithilfe einer sogenannten Hamel-Basis
dar. Die Existenz einer solchen Basis l¨aßt sich nur mit dem Auswahlaxiom beweisen.
Folgerung: Analog lassen sich weitere Funktionalgleichung l¨osen:
h(x + y) = h(x) · h(y)
h(x · y) = h(x) + h(y)
h(x · y) = h(x) · h(y)
=⇒
=⇒
=⇒
h(x) = cx
h(x) = logc x
h(x) = xc
Damit erhalten wir aus (5) die Darstellung
q = f (x, p) = C(x) · p .
(6)
Aus (6) und (4) erhalten wir
C(x12 )(p1 + p2 ) = C(x1 )p1 + C(x2 )p2
oder
C(x12 ) =
C(x1 )p1 + C(x2 )p2
p1 + p2
Hieraus folgt C(x12 ) ∈ [C(x1 ), C(x2 )].
Monotonie: Wir zeigen, daß C eineindeutig oder konstant ist. Es sei C(x1 ) = C(x2 ) = c
aber x1 = x2 . Dann ist auch C(x12 ) = c. Damit ist C konstant. Diesen Fall k¨onnen wir als
uninteressant ausschließen, denn dann h¨angt f (x, p) nicht von x ab. Das heißt, p ist nicht der
Tr¨ager von x. Damit ist C eineindeutig und es existiert C −1 und
x12 = C −1
C(x1 )p1 + C(x2 )p2
p1 + p2
(7)
45
3.2 Extensive und intensive Gr¨oßen. Mathematik
Wir w¨ahlen zwei Objekte B1 und B2 mit p1 = p2 . Dann folgt aus x1 < x2 auch q1 < q2 . Damit
ist C monoton wachsend. Entscheident ist hier nur die Monotonie von C. Ob C w¨achst oder
f¨allt ist eine Frage der Definition der Ungleichung x1 < x2 (ob wir z.B. einer gr¨oßeren L¨ange
eine gr¨oßere oder eine kleinere Zahl zuordnen wollen).
Einzigkeit: Angenommen, wir haben zwei Funktionen C1 und C2 , die den Zusammenhang (6)
definieren. Den Zusammenhang dieser beiden Funktionen liefert folgendes
Lemma: Es seien C1 , C2 : X −
→ I ⊂ R zwei Abbildungen intensiver Gr¨oßen in ein Intervall der
reellen Zahlen. F¨
ur alle p1 , p2 ≥ 0 und alle x1 , x2 ∈ X gelte
x12 = C1−1
C1 (x1 )p1 + C1 (x2 )p2
p1 + p2
= C2−1
C2 (x1 )p1 + C2 (x2 )p2
p1 + p2
dann gibt es reelle Zahlen α und β mit
C1 (x) = αC2 (x) + β
Beweis des Lemmas: Die Funktion h = C1 ◦ C2−1 ist eine reelle Funktion. Es sei C2 (xi ) = ξi
also xi = C2−1 (ξi). Dann folgt
C1 ◦ C2−1
C1 (x1 )p1 + C1 (x2 )p2
=
p1 + p2
(ξ1 )p1 + C1 ◦ C2−1 (ξ2 )p2
=
p1 + p2
C1 ◦ C2−1
C2 (x1 )p1 + C2 (x2 )p2
p1 + p2
C1 ◦ C2−1
ξ 1 p1 + ξ 2 p2
p1 + p2
Das ist eine Gleichheit zwischen konvexen Kombinationen und dem Funktionswert der konvexen
Kombination. Die Funktion C1 ◦ C2−1 ist folglich sowohl konvex als auch konkav und damit
affin. Es gilt also C1 ◦ C2−1 (ξ) = αξ + β mit gewissen reellen Zahlen α und β. Hieraus folgt
abschließend die Behauptung.
(Lemma)
(Satz)
Bemerkung 1: Die Eindeutigkeit bis auf affine Transformationen kennt man gut von der
Messung intensiver Gr¨oßen, etwa der Temmperatur (Celsius- bzw. Fahrenheit-Skalen). Der
Zahlenwert kann sowohl verschoben als auch skaliert werden.
Bemerkung 2: Viele intensive Gr¨oßen haben einen nat¨
urlichen Nullpunkt (keine Helligkeit =
0, kein Preis = 0, ...). In diesem Fall sollte man den nat¨
urlichen Nullpunkt der reellen Zahl 0
zuordnen. Die Skalierbarkeit bleibt erhalten.
Bemerkung 3: Sollte die intensive Gr¨oßen nach oben und unten beschr¨ankt sein, dann sind
α und β nicht mehr frei sondern bestimmen sich aus siesen Schranken.
Bemerkung 4: Die Eindeutigkeit bis auf affine Transformationen dr¨
uckt sich bei der Geschwindigkeit durch das Galileische Relativit¨atsprinzip aus. Es l¨aßt sich die Geschwindigkeit
eines Objektes nur relativ zum Beobachter bestimmen.
Bemerkung 5: Bei der Messung extensiver Gr¨oßen gibt es die affine Freiheit nicht: Eine L¨ange
enth¨alt z.B. 5 Norml¨angen. Das kann weder skaliert noch verschoben werden.
3.2.2
Definition des Wertes intensiver Gr¨
oßen
Ausgehend von (6) haben wir g(B) ∈ R und
g(B) = C(x(B)) =
q(B)
p(B)
(8)
¨
3 EXTENSIVE UND INTENSIVE GROSSEN
46
f¨
ur ein gewisses C. g sollte unabh¨angig von B definiert sein. Wir definieren g auf dem kleinstm¨oglichen Objekt {z}, das wir gerade noch wahrnehmen k¨onnen als
q(B)
q(B)
q(B)
= inf
= sup
z∈B p(B)
B→{z} p(B)
z∈B p(B)
g(z) = lim
und nennen z einen Zustand.
Bei dieser Definition wird angenommen, daß B so klein ist, daß sich g(z) auf B nicht stark
ur stetige Funktionen g hat ein Wert auf einem Zustand Sinn.
¨andert, also konstant ist. Nur f¨
Damit kann eine intensive Gr¨oße unabh¨angig von ihrem Tr¨ager definiert werden.
Diese Definition l¨aßt sich unter gewisse Bedingungen durch den Satz von Radon und Nikodym
verallgemeinern.
3.2.3
Satz von Benedetti
Eine intensive Gr¨oße ist Quotient zweier extensiver Gr¨oßen, h¨angt somit von zwei extensiven
Gr¨oßen ab. K¨onnte eine intensive Gr¨oße auch nur von einer extensive Gr¨oße abh¨angen? Es stellt
sich heraus, daß dann die intensive Gr¨oße konstant sein muß.
Satz (Benedetti) Es sei x(B) = x(p(B)). Dann ist x(B) = const.
Beweis: Angenommen es ist x = x(p(B)). Dann ist
x12 = x(p(B1 ∪ B2 )) = x(p(B1 ) + p(B2 )) ∈ [x1 , x2 ] = [x(p(B1 )), x(p(B2 ))]
Wir w¨ahlen zwei Objekte B1 und B2 mit p(B1 ) = p(B2 ) = b. Es folgt x(2b) ∈ [x(b), x(b)] = x(b).
W¨ahlt man zwei Objekte B1 , B2 mit p(B2 ) = 2, p(B1 ) = 2b, folgt x(3b) ∈ [x(b), x(2b)] =
[x(b), x(b)] = x(b). Analog folgt x(nb) = x(b). Durch Wahl zweier Objekte B1 , B2 mit p(B1 ) =
k
b) und wegen
p(B2 ) = b/2 folgt x(b) = x(b/2) und analog x(b) = x(b/k). Damit gilt x(b) = x( m
der Stetigkeit ist x(b) konstant.
Folgerung: Insbesondere gilt
x(a + b) =
x(a)a + x(b)b
a+b
=⇒ x(a) = const
(9)
Dieser Satz hat eine erstaunlich Anwendung. Angenommen, die Geschwindigkeit (intensive
Gr¨oße) eines fallenden Objektes (z.B. zu einem festen Zeitpunkt) h¨angt nur von seiner Masse
(extensive Gr¨oße) ab. Dann muß sie konstant sein. D.h., alle K¨orper fallen gleichschnell, wenn
man die Bedingungen so gestaltet, daß die Geschwindigkeit nur von der Masse des Objektes
abh¨angt.
Diskussion des Beispiels
Dieser Satz wurde zuerst von Giovanni Battista Benedetti (1530 – 1590) in einem Gedankenexperiment erw¨ahnt, der damit zeigte, daß Aristoteles’ Idee, daß “doppelt so schwere K¨orper
doppelt so schnell fallen”, falsch sein muß. Galilei erw¨ahnt dieses Gedankenexperiment in seinen
ber¨
uhmten “Discorsi e dimostrazioni matematiche”.
3.2.4
Das Lebesgueintegral
Ausgehend von (8) erh¨alt man folgenden Zusammenhang der Gr¨oßen eines Objektes B:
q(B) = g(B)p(B)
(10)
3.2 Extensive und intensive Gr¨oßen. Mathematik
47
Hier wird implizit angenommen, daß die intensive Gr¨oße g auf B einen einzigen Wert hat. Setzt
man mehrere Objekte zusammen und gilt B = ni=1 Bi , erh¨alt man
q(B) = g(B1)p(B1 ) + ... + g(Bn )p(Bn )
Im allgemeinen ist das das Lebesgueintegral (eine bilineare Funktion)
q(B) = g, p
B
=
g(z)p(dz)
(11)
B
Umgekehrt ist
g(B) =
1
p(B)
g(z)p(dz) =
B
g(B1)p(B1 ) + ... + g(Bn )p(Bn )
p(B1 ) + ... + p(Bn )
der Mittelwert der intensiven Gr¨oße.
3.2.5
Der Meßprozeß, genauer
Bei gleichem Normalmaß wirkt einen intensive Gr¨oße wie eine extensive. D.h., eigentlich betrachtet man q = g · p. So entstehen intensive Gr¨oßen ohne Einheiten. Das sind Verh¨altnisse,
reine Zahlen. Hier sieht man besonders das ideelle Wesen intensiver Gr¨oßen
3.2.6
oßen
Das Produkt intensiver Gr¨
3.2.7
Die duale Paarung
Ist B in (11) ein Objekt Z, was alle interessierenden Objekte umfaßt (die “ganze Welt”), dann
wird
g(z)p(dz) = gp(Z)
g, p =
(12)
Z
“duale Paarung” genannt. Das kann man nicht als extensive Gr¨oße bezeichnen, da man Z nicht
mit einem weiteren Objekt in Kontakt bringen kann. Die duale Paarung geteilt durch den
gesmaten Tr¨ager beschreibt den Mittelwert g der intensiven Gr¨oße g u
¨ber die ganze Welt.
3.2.8
Fl¨
acheninhalt und Hilbertr¨
aume
Manchmal ist es gut, wenn man nicht dar¨
uber nachdenken muß, welche Gr¨oße in einem Produkt
extensiv, welche intensiv ist. Das ist z.B. beim Fl¨acheninhalt der Fall. Der Fl¨acheninhalt A · B
selbst ist extensiv. Aber welche Gr¨oße von den beiden Faktoren ext oder int ist, h¨angt davon
ab, von welcher Seite man sich die Fl¨ache ansieht, ob man a · B oder b · A zubetrachten hat.
Sinnvoll ist es da, ein neues Maß – cm2 einzuf¨
uhren und a · b als Produkt zweier intensiver
Gr¨oßen zu betrachten.
¨
Genau das wird beim Ubergang
von der C−C∗ -Dualit¨at zum Hilbertraum L2 gemacht. Da C eine
kommutative Algebra ist, ist das Produkt g · f ebenfalls in C und damit hat die Konstruktion
(g, f )µ := g · f, µ
Sinn. Das ist das Skalarpodukt in L2 (µ). Die Einf¨
uhrung des Skalarproduktes erfordert die
Fixierung eines Maßes.
Der parallele Kontakt entspricht C oder L∞ , der serielle Kontakt entspricht C∗ oder L1 und der
“rechtwinklige” Kontakt entspricht L2 .
¨
3 EXTENSIVE UND INTENSIVE GROSSEN
48
3.2.9
Fazit und Zusammenfasssung
• Die Gr¨oßen, die wir wahrnehmen (intensive Gr¨oßen), kann man vergleichen und sie mitteln
sich bei parallelem Kontakt.
• Andere Gr¨oßen (extensive Gr¨oßen) sind positiv und verhalten sich additiv bei seriellem
Kontakt. Diese Gr¨oßen k¨onnen wir durch z¨ahlen messen und ihnen daher Zahlen zuordnen.
• Intensive Gr¨oßen k¨onnen wir wahrnehmen und als Grenzwert des Types 0/0 eines Quotienten zweier extensiver Gr¨oßen (Tr¨ager und Wirkung) berechnen aber nicht messen.
• Eine physikalische Gr¨oße eines Objektes kann sich im Kontakt mit anderen Objekten wie
eine intensive oder wie eine extensive Gr¨oße verhalten.
• Wie eine physikalische Gr¨oße mathematisch beschrieben werden muß, h¨angt nicht von
der Gr¨oße ab, sondern davon, ob wir sie als intensive oder als extensive Gr¨oße wahrnehmen. Intensive Gr¨oßen werden durch stetige Funktionen, extensive Gr¨oßen durch Maße
beschrieben.
• Die Abh¨angigkeit von extensiven Gr¨oßen ist immer linear.
• Im Leben und vor allem in der Mathematik und Physik arbeitet man am liebsten mit
intensiven Gr¨oßen. Sie lassen sich aber nicht direkt experimentell (durch Messung) u
¨berpr¨
ufen.
• Erhaltunss¨atze dr¨
ucken aus, daß sich die entsprechenden Gr¨oßen stets wie extensive
Gr¨oßen verhalten, also additiv sind.
Beobachtungen
math. R¨aume
Vertreter
Abbildungen
(nach R)
Physik
Eigenschaften
Wahrnehmung
Wichtigste
Beziehung
In der Zeit
Varianz
Symmetrie
Zust¨ande
Z
∗∗
Z ⊃ P(Z)
Z∗ = C(Z)
Z∗∗∗
B ∈ 2Z
Teilmengen
g : Z−
→R
Funktionen
f, g ∈ C
intensiv
prim¨ar
mitteln
stetig
vergleichen
r¨aumlich
berechenbar
z∈Z
Elemente, Punkte
p : 2Z −
→ R+
Maße
p, q ∈ C∗
extensiv
sekund¨ar
additiv
positiv
vergleichen
zeitlich
meßbar
g(z) = limB→{z}
q(B)/p(B)
−
Radon-Nikodym-Ableitung
l¨auft r¨
uckw¨arts
pull back (Kontra-)
Maximumprinzip
q(B) = B g(z)p(dz)
Lebesgue-Integral
l¨auft vorw¨arts
push forward (Ko-)
Erhaltung
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