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1. (a) Was ist die Vielfachheit einer Nullstelle eines Polynoms? (b

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1.
(a) Was ist die Vielfachheit einer Nullstelle eines Polynoms?
(b) Was sagt der Satz u
¨ber Polynomdivision mit Rest?
(c) Wie lautet die Dimensionsformel f¨
ur Unterr¨aume?
(d) Wie lautet die Dimensionsformel f¨
ur lineare Abbildungen?
(e) Was besagt der Homomorphiesatz f¨
ur lineare Abbildungen?
(f) Was besagt der Homomorphiesatz f¨
ur Unterr¨aume?
Loesung. (a) Die Vielfachheit einer Nullstelle λ eines Polynoms p(x) ∈
K[x] ist
max{n ∈ N : ∃g∈K[x] f (x) = (x − λ)n g(x)}.
(b) Der Satz ueber Polynomdivision mit Rest besagt, dass es zu gegebenen Polynomen f, g ∈ K[x] mit g = 0 zwei eindeutig bestimmte
Polynome q, r ∈ K[x] gibt, so dass
f (x) = g(x)q(x) + r(x),
grad(r) < grad(g)
gilt.
(c) Sind U, W Unterraeume eines Vektorraums V , so gilt
dim(U + W) = dimU + dimW − dimU ∩ W.
(d) Ist T : V → W linear, so gilt
dimV = dimker(T) + dimBild(T).
(e) Ist T : V → W linear, so ist die Abbildung v + ker(T) → T(v)
wohldefiniert und bildet einen linearen Isomorphismus
∼
=
V /ker(T) −→ Bild(T).
(f) Teil 1: Sind U, W Unterraeume eines Vektorraums V , so ist die
Abbildung u + U ∩ W → u + W wohldefiniert und liefert einen linearen
Isomorphismus
∼
=
U/U ∩ W −→ (U + W )/W.
Teil 2: Gilt ausserdem W ⊂ U , so ist die Abbildung v+W +(U +W ) →
v + U wohldefiniert und liefert einen linearen Isomorphismus
V /W
∼
=
U/W −→ V /U.
2.
(a) Invertiere die Matrix


1 1 1
 1 2 2 .
1 2 3
Loesung.


1 1 1 1

 1 2 2
1
1 2 3
1

1
1 1 1
 0 1 1 −1
0 1 2 −1

1
1 1 1
 0 1 1 −1
0 0 1
0

1 1 0
1
 0 1 0 −1
0
0 0 1

1 0 0
2
 0 1 0 −1
0 0 1
0
Probe:


1

1


1
−1 1

1 −1
2 −1 
−1
1

−1
0
2 −1 
−1
1

 

1 0 0
1 1 1
2 −1
0
 −1
2 −1   1 2 2  =  0 1 0  .
0 0 1
1 2 3
0 −1
1
Damit folgt: Die Inverse ist


2 −1
0
 −1
2 −1  .
0 −1
1
(b) Berechne alle L¨osungen des Gleichungssystems Ax = b mit


 
1 2 3
0



1 1 0
1 .
A=
und b =
2 3 3
1
Loesung. Der Gauss-Algorithmus liefert:




1
2
3 0
1 2 3 0
 0 −1 −3 1 
 1 1 0 1 
2 3 3 1
0 −1 −3 1


0
1 2 3
 0 1 3 −1 
0
0 0 0


x
Damit ist A  y  = b gleichwertig mit
z
x + 2y + 3z = 0
y + 3z = −1
Wir erhalten eine Loesung, indem wir
z = 0 setzen. Die
 etwa 
2
fuehrt zur speziellen Loesung v0 =  −1 . Die allgemeine
0
Loesung erhalten wir, indem wir zur speziellen Loesung die allgemeine des homogenen Systems
x + 2y + 3z = 0
y + 3z = 0
addieren. Hier koennen wir z als Variable auffassen und erhalten
die allgemeine Loesung des homogenen Systems als




3z
3
 −3z  = z  −3  , z ∈ K
z
1
Damit ist die Loesungsmenge des urspruenglichen Systems




2
3
L =  −1  + K  −3  .
0
1
(c) Bestimme die Jordan-Normalform der Matrix


1 −1
0
1 −1  .
A= 1
0 −1
1
Loesung. Das charakteristische Polynom ist


x−1
1
0
1 
χA (x) = det  −1 x − 1
0
1 x−1
= (x − 1)3 + (x − 1) − (x − 1) = (x − 1)3 .
Wir rechnen



0 −1
0
0 −1
0
0 −1   1
0 −1 
(A − 1)2 =  1
0 −1
0
0 −1
0


−1 0 1

0 0 0 .
=
−1 0 1
Also ist das Minimalpolynom gleich (x − 1)3 , damit ist die Laenge des
laengsten JordanBlocks gleich 3, also ist die Jordanform gleich


1 1

1 1 .
1
3. Beweise oder widerlege:
(a) F¨
ur jede Matrix A ∈ Mn (K) mit AAt = I gilt det(A) ∈ {1, −1}.
(b) Sind u, v Eigenvektoren der Matrix A, dann ist auch u + v ein
Eigenvektor (Die Eigenvektoren bilden einen Unterraum, den
Eigenraum.)
(c) Ist dimV ≥ 3, so gibt es Vektoren u, v, w ∈ V so dass (u, v)
und (u, w), sowie (v, w) allesamt linear unabh¨angig sind, aber
(u, v, w) ist linear abh¨angig.
Loesung. (a) Die Behauptung ist richtig. Sei A ∈ Mn (K) mit AAt = I.
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass det(At ) = det(A) gilt. Damit folgt
wegen der Multiplikativitaet der Determinante:
1 = det(I) = det(AAt ) = det(A) det(At ) = det(A)2 ,
oder 0 = 1 − det(A)2 = (1 − det(A))(1 + det(A)), woraus folgt, dass
1 − det(A) = 0 oder 1 + det(A) = 0, also det(A) = ±1 ist.
(b) Die Behauptung ist falsch. Wir geben ein Gegenbeispiel: Betrachte
die Diagonalmatrix A = ( 1 0 ) in M2 (K). Dann ist e1 eine Eigenvektor
zum Eigenwert 1 un e2 ein Eigenvektor zum Eigenwert 0, wobei e1 , e2
die Standard-Basisvektoren sind. Aber v = e1 +e2 ist kein Eigenvektor,
denn aus Av = λv folgt
e1 = Av = λv = λ(e1 + e2 ) = λe1 + λe2 ,
also (λ − 1)e1 + λe2 = 0. Da die Vektoren e1 , e2 linear unabhaengig
sind, folgt λ − 1 = 0 = λ, also 1 = 0, was ein Widerspruch ist!
(c) Die Behauptung ist richtig und gilt sogar schon ab Dimension 2. Sei
V ein K-Vektorraum der Dimension ≥ 2. Dann gibt es zwei Vektoren
u, v ∈ V , die linear unabhaengig sind. Setze w = u + v. Wir behaupten, dass (u, v), (u, w) und (v, w) jeweils linear unabhaengig sind, das
Tripel (u, v, w) jedoch linear abhaengig. Die Vektoren u, v sind nach
Voraussetzung linear unabhaengig. Ist 0 = λu + µw = λu + µ(u + v) =
λu+µu+µv, so folgt (λ+µ)u+µv = 0 und da u, v linear unabhaengig
sind, folgt λ + µ = 0 = µ, also λ = µ = 0 so dass auch u, w linear
unabhaengig sind. Ist schliesslich 0 = λv + µw = µu + (λ + µ)w, dann
folgt ebenso µ = 0 = λ + µ also λ = µ = 0, so dass auch die Vektoren
v, w linear unabhaengig sind. Zum Schluss gilt
u + v + (−1)w = u + v − u − v = 0,
es gibt also eine nichttriviale Linearkombination der Null, so dass
u, v, w linear abhaengig sind.
4. Seien A, B ∈ Mn (K) symmetrisch, also At = A und B t = B. Zeige,
dass AB genau dann symmetrisch ist, wenn AB = BA gilt.
Loesung. Sei AB symmetrisch, dann gilt
AB = (AB)t = B t At = BA,
da auch A und B symmetrisch sind.
Sei umgekehrt AB = BA, dann gilt
(AB)t = B t At = BA = AB,
so dass auch AB symmetrisch ist.
5. Sei S ⊂ Mn (K) eine Teilmenge. Sei S ◦ die Menge aller A ∈ Mn (K),
die mit allen Elementen von S vertauschen. Zeige, dass S ◦ ein Untervektorraum von Mn (K) ist und dass gilt A, B ∈ S ◦ ⇒ AB ∈ S ◦ , sowie
A ∈ S ◦ ∩ GLn (K) ⇒ A−1 ∈ S ◦ .
Loesung. Wir muessen zeigen:
(a) S ◦ ist ein Unterraum von Mn (K),
(b) A, B ∈ S ◦ ⇒ AB ∈ S ◦ und
(c) A ∈ S ◦ ∩ GLn (K) ⇒ A−1 ∈ S ◦ .
(a) S ◦ ist nichtleer, da die Nullmatrix in S ◦ liegt, denn die vertauscht
mit allen Matrizen. Sind A, B ∈ S ◦ , dann folgt fuer jedes s ∈ S, dass
(A + B)s = As + Bs = sA + sB = s(A + B),
so dass auch A + B in S ◦ liegt. Ist A ∈ S ◦ und ist λ ∈ K, so gilt fuer
jedes s ∈ S, dass
(λA)s = λ(As) = λ(sA) = s(λA),
so dass auch λA in S ◦ liegt. Zusammen folgt, dass S ◦ ein Unterraum
von Mn (K) ist.
(b) Seien A, B ∈ S ◦ . Dann gilt fuer jedes s ∈ S,
(AB)s = A(Bs) = A(sB) = (As)B = (sA)B = s(AB),
so dass auch AB in S ◦ liegt.
(c) Ist A ∈ S ◦ ∩ GLn (K), dann gilt fuer jedes s ∈ S,
A−1 s = A−1 sI = A−1 sAA−1 = A−1 AsA−1 = IsA−1 = sA−1 ,
so dass auch A−1 in S ◦ liegt.
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