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1
Vorlesung
Mathematik 1 fu
¨r Ingenieure
(Sommersemester 2014)
Kapitel 8: Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen
Prof. Dr. Gerald Warnecke
Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel
Otto-von-Guericke Universit¨
at Magdeburg
(Version vom 28. April 2014)
1 / 29
2
Gew¨ohnliche DGL
Definition 8.1
Eine (explizite) gew¨
ohnliche
Differenzialgleichung n-ter Ordnung f¨ur eine
Funktion y : I → R auf einem Intervall I ⊆ R hat
die Form
y (n) (t) = f (t, y (t), y (t), . . . , y (n−1) (t))
f¨ur alle t ∈ I , wobei f eine Funktion (ein
Ausdruck“) in n + 1 Ver¨anderlichen ist.
”
2 / 29
3
Anfangswertproblem
Definition 8.2
Ein Anfangswertproblem n-ter Ordnung besteht aus
einer DGL n-ter Ordnung
y (n) (t) = f (t, y (t), y (t), . . . , y (n−1) (t))
(2)
auf einem Intervall I ⊆ R und vorgegebenen Werten
y (t0 ) = y0 ,
y (t0 ) = y1 ,
...
,
y (n−1) (t0 ) = yn−1 (3)
an einer Stelle t0 aus (dem Abschluss von) I .
3 / 29
4
Richtungsfeld zu y (t) =
1−y (t)2
1+t 2
0.5
0.0
0.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
4 / 29
5
Richtungsfeld zu y (t) =
2ty (t)
1−t 2
0.5
0.0
0.5
0.5
0.0
0.5
5 / 29
6
(t−1)2 y (t)
1+t 2
Richtungsfeld zu y (t) =
3
2
1
0
1
2
3
3
2
1
0
1
2
3
6 / 29
7
Separable DGL
Definition 8.3
Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form
y (t) = g (y (t)) · h(t)
heißt separabel (Trennung der Ver¨
anderlichen).
7 / 29
8
y (t) = t(1 + y (t)2)
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2
1
0
1
2
8 / 29
9
Lineare DGL 1. Ordnung
Definition 8.4
Eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung
(in expliziter Form) hat die Gestalt
y (t) = a(t)y (t) + b(t)
(4)
(mit vorgegebenen Funktionen a(t) und b(t)).
9 / 29
10
Lineare DGL n. Ordnung
Definition 8.5
Eine lineare Differenzialgleichung n-ter
Ordnung (in expliziter Form) hat die Gestalt
y (n) (t) = an−1 (t)y (n−1) (t) + an−2 (t)y (n−2) (t)+
· · · + a0 (t)y (t) + b(t)
(mit vorgegebenen Funktionen ai (t), b(t)).
10 / 29
11
y (t) =
(t−1)2 y (t)
1+t 2
3
2
1
0
1
2
3
3
2
1
0
1
2
3
11 / 29
12
Umschreiben zu 1. Ordnung
Bemerkung 8.6
Jede (explizite) DGL und jedes (explizite)
DGL-System beliebiger Ordnung l¨asst sich
umschreiben in ein DGL-System 1. Ordnung
(h¨oherer Dimension).
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13
Dynamische Systeme
Definition 8.7
DGL-Systeme 1. Ordnung nennt man auch
dynamische Systeme. Ihre L¨osungen
x : R ⊇ I → Rm
heißen auch Phasenkurven oder Phasenbahnen
im Phasenraum Rm .
13 / 29
14
Autonome Systeme
Definition 8.8
Ein DGL-System (1. Ordnung) der Form
x (t) = G (x(t))
(in dem auf der rechten Seite t nicht explizit,
sondern nur in x(t) vorkommt) heißt ein
autonomes System.
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15
Umschreiben in autonome Systeme
Bemerkung 8.9
Jedes dynamische System mit m Gleichungen l¨asst
sich zu einem autonomen System mit m + 1
Gleichungen umschreiben.
15 / 29
16
x1(t) = x1(t) − x2(t), x2(t) = x1(t) + x2(t)
3
2
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
16 / 29
17
x1(t) = x1(t) − x2(t), x2(t) = x1(t) + x2(t)
20
10
0
10
20
30
20
10
0
10
20
30
17 / 29
18
Satz von Picard-Lindel¨of
Satz 8.10
Ist G : R × Rm ⊇ U → Rm (U offen) stetig
differenzierbar, so ist f¨ur jedes (t0 , x (0) ) ∈ U das
Anfangswertproblem
x (t) = G (t, x(t)),
x(t0 ) = x (0)
eindeutig l¨osbar.
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19
Lineare DGL-Systeme
Satz 8.11
Haben A(t) und b(t) auf dem Intervall I ⊆ R
stetige Komponentenfunktionen aij (t) bzw. bi (t)
und ist t0 ∈ I , so hat das Anfangswertproblem
x (t) = A(t)x(t) + b(t)
x(t0 ) = η (0)
f¨ur jedes η (0) ∈ Rn genau eine auf ganz I definierte
L¨osung x : I → Rn .
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20
L¨osungsr¨aume linearer DGL-Systeme
Satz 8.12
Sei xP (t) irgendeine L¨osung (partikul¨
are L¨
osung)
des Systems
x (t) = A(t)x(t) + b(t) .
(12)
Dann sind die L¨osungen von (12) genau die
Funktionen
yP (t) + yH (t) ,
wobei yH (t) die L¨osungen des zu (12) geh¨orenden
homogenen Systems x (t) = A(t)x(t) durchl¨auft.
20 / 29
21
Der homogene Fall
Satz 8.13
Der L¨osungsraum eines homogenen Systems
x (t) = A(t)x(t)
(13)
mit stetig von t abh¨angigen Matrizen A(t) ∈ Rn×n
ist ein n-dimensionaler Vektorraum.
21 / 29
22
Wronski-Matrix
Satz 8.14
F¨ur jedes t aus dem Inneren des Intervalls I gilt:
L¨osungen x [1] (t), . . . , x [n] (t) : I → Rn eines
homogenen DGL-Systems x (t) = A(t)x(t) sind
genau dann linear unabh¨angig (d. h. eine
L¨osungsbasis), wenn die Wronski-Matrix
 [1]

[n]
x (t ) . . . x1 (t )
 1 ..

..
W (t ) = 

.
.
[1]
[n]
xn (t ) . . . xn (t )
rang(W (t )) = n hat bzw. – dazu ¨aquivalent – f¨ur
die Wronski-Determinante det (W (t )) = 0 gilt.
22 / 29
23
Variation der Konstanten
Satz 8.15
Sei x [1] (t), . . . , x [n] (t) eine L¨osungsbasis des
homogenen Systems x (t) = A(t)x(t). F¨ur alle
t ∈ I ⊆ R sei c(t) = (c1 (t), . . . , cn (t)) die L¨osung
des linearen Gleichungssystems W (t) · c(t) = b(t)
(W (t): Wronskimatrix der L¨osungsbasis). Seien
Ci (t) Stammfunktionen von ci (t). Dann ist
yP = C1 (t) · x [1] (t) + · · · + Cn (t) · x [n] (t)
(partikul¨are) L¨osung von x (t) = A(t)x(t) + b(t).
23 / 29
24
Lin. DGL Ord. n: Existenz/Eindeutigkeit
Satz 8.16
Sind a0 (t), a1 (t), . . . , an−1 (t) und β(t) auf dem
Intervall I ⊆ R stetig, und ist t0 ∈ I , so hat das
Anfangswertproblem
y (n) (t) = an−1 (t)y (n−1) (t) + an−2 (t)y (n−2) (t)
+ · · · + a0 (t)y (t) + β(t)
y (t0 ) = η0 , y (t0 ) = η1 , y (2) (t0 ) = η2 ,
. . . , y (n−1) (t0 ) = ηn−1
f¨ur alle η0 , . . . , ηn−1 ∈ R genau eine auf ganz I
definierte L¨osung y : I → R.
24 / 29
25
Lin. DGL Ord. n: L¨osungsraum
Satz 8.17
Sei yP (t) irgendeine L¨osung (partikul¨
are L¨
osung)
der DGL
y (n) (t) = an−1 (t)y (n−1) (t) + · · · + a0 (t)y (t) + β(t) .
Dann sind die L¨osungen der DGL genau die
Funktionen yP (t) + yH (t), wobei yH (t) die
L¨osungen des zugeh¨origen homogenen Systems
y (n) (t) = an−1 (t)y (n−1) (t) + · · · + a0 (t)y (t)
durchl¨auft.
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26
Lin. DGL Ord. n: L¨osungsraum (homogen)
Satz 8.18
Der L¨osungsraum einer homogenen DGL
y (n) (t) = an−1 (t)y (n−1) (t) + · · · + a0 (t)y (t)
mit stetigen Funktionen a0 (t), a1 (t) . . . , an−1 (t) ist
ein n-dimensionaler Vektorraum.
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27
Lin. DGL Ord. n: Wronski-Test
Satz 8.19
L¨osungen y1 (t), . . . , yn (t) : R ⊇ I → R einer
homogenen DGL n-ter Ordnung
y (n) (t) = an−1 (t)y (n−1) (t) + an−2 (t)y (n−2) (t)
+ · · · + a0 (t)y (t)
sind genau dann linear unabh¨angig (d. h. eine
L¨osungsbasis), wenn die Wronski-Matrix W (t) f¨ur
irgendein t ∈ I den Rang rang(W (t)) = n hat bzw.
– dazu ¨aquivalent – f¨ur die
Wronski-Determinante det (W (t)) = 0 gilt.
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28
Lin. DGL Ord. n: Wronski-Matrix



W (t) = 

y1 (t) . . .
yn (t)
y1 (t) . . .
yn (t)
..
..
.
.
(n−1)
(n−1)
y1
(t) . . . yn
(t)





28 / 29
29
Lin. DGL Ord. n: Variation der Konst.
Satz 8.20
Sei y1 (t), . . . , yn (t) eine L¨osungsbasis einer
homogenen DGL n-ter Ordnung. F¨ur alle t ∈ I ⊆ R
sei c(t) = (c1 (t), . . . , cn (t)) die L¨osung des linearen
Gleichungssystems W (t) · c(t) = b(t) (W (t):
Wronskimatrix, b(t) = (0, . . . , 0, β(t))). Seien Ci (t)
Stammfunktionen von ci (t). Dann ist
yP = C1 (t) · y1 (t) + · · · + Cn (t) · yn (t)
eine (partikul¨are) L¨osung der zugeh¨origen DGL
y (n) = · · · + β(t) mit Inhomogenit¨at β(t).
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