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- Behinderten Golf Club Deutschland e.V.

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13
Relationen
und
Kreise
und
Winkel
Funktionen
Einstieg
Die Auftaktseite eines Kapitels enthält zwei verschiedene Elemente:
Zunächst werden die Schüler mit einem offenen Einstiegsbeispiel an das neue Kapitel herangeführt.
Zentral ist dabei immer der Anwendungsbezug: Kein Lehrplaninhalt ist rein innermathematisch,
sodass den Schülern von Beginn an gezeigt werden sollte, dass Mathematik nichts Abstraktes ist,
sondern oft im Leben der Schüler vorkommt. In einem Unterrichtsgespräch zur Auftaktseite können
viele der kommenden Lerninhalte schon heuristisch erarbeitet, Vermutungen geäußert und Zusammenhänge erschlossen werden.
Kx
Beschreibe den Verlauf der untenstehenden Graphen und ihre Bedeutung in diesem Sachverhalt.
Die vier Graphen stellen vier unterschiedliche Angebote zu den Handygebühren (in €) in Abhängigkeit der monatlich verschickten SMS dar: Der Graph zu Angebot 1 ist eine Parallele zur x-Achse mit
y-Wert 9,99. Die Kosten dieses Handyvertrags sind konstant und damit unabhängig von der Anzahl
der tatsächlich geschriebenen SMS. Der Graph zu Angebot 2 verläuft zunächst konstant mit y-Wert
5,49 bis zur Anzahl von 40 SMS. Überschreitet man diese Anzahl an SMS, steigt der Preis linear an
pro weiterer SMS. Die Graphen zu Angebot 3 und Angebot 4 beginnen bei Null und steigen linear
an, wobei der Graph zu Angebot 4 (50 SMS zu 4 € bzw. 1 SMS zu 0,08 €) flacher verläuft als der zu
Angebot 3 (50 SMS zu 5 € bzw. 1 SMS zu 0,10 €).
Kx
Welches Angebot wäre für dich am günstigsten?
Es sind individuelle Antworten möglich: Für jemanden, der nur wenige SMS verschickt, ist Angebot 4
am günstigsten. Für jemanden der sehr viele SMS verschickt, ist Angebot 1 am günstigsten, da hier
der Preis konstant 9,99 € beträgt und nicht weiter ansteigt.
Kx
Erläutere, wie sich Angebot 1 von Angebot 4 unterscheidet.
Angebot 1 ist unabhängig von der Anzahl der monatlich verschickten SMS, während Angebot 4
linear pro verschickter SMS ansteigt. Bei weniger als 125 SMS pro Monat liegt der Preis bei Angebot
4 unter 10,00 €, bei mehr als 125 SMS pro Monat liegt der Preis bei Angebot 4 über 10,00 € und
damit über dem Preis von Angebot 1.
Kx
Stelle mithilfe des Graphen zu Angebot 3 einen Term auf, mit dem der Preis (y €) für eine
beliebige Anzahl an SMS (x) berechnet werden kann.
x (Anzahl SMS)
y (Preis in €)
5
0,5
10
1
15
1,5
20
2
25
2,5
Der Wertetabelle kann man entnehmen, dass die Zahlenpaare (x | y) quotientengleich sind und eine
direkte Proportionalität vorliegt. Der Term zur Berechnung des Preises in Abhängigkeit von der
SMS-Anzahl x kann mit y = 0,1x beschrieben werden.
Kx
Überlege, welcher mathematische Zusammenhang zwischen dem Preis und der SMS-Anzahl bei
deinem Handytarif besteht. Versuche sodann, den zugehörigen Graphen zu zeichnen.
Es sind individuelle Lösungen möglich.
Ausblick
Die Aufzählung am Ende der Seite bietet einen Ausblick auf die wesentlichen Lernziele des Kapitels
und schafft so eine hohe Transparenz für Schüler und Lehrer. Durch einen informierenden Unterrichtseinstieg können sich Schüler und Lehrer auf das Kommende einstellen.
Idealerweise wird im Unterricht der Bezug hergestellt zwischen der Einstiegssituation und den im
Ausblick angegebenen Lernzielen.
Schulbuchseite 63
Kapitel 3
Verständnis
Ja, eine Produktmenge M1 × M2 kann aus 17 Elementen bestehen, z. B.:
M1 × M2 = {(1 | a); (2 | a); (3 | a); (4 | a); …; (15 | a); (16 | a); (17 | a)} mit
M1 = {1; 2; 3; …; 16; 17} und M2 = {a}.
Die Anzahl der Elemente aus der Produktmenge M1 × M2 ergibt sich aus dem Produkt der Anzahl der
Elemente aus M1 und M2. Da 17 eine Primzahl ist, muss die Produktmenge M1 × M2 mit 17 Elementen aus zwei Mengen M1 und M2 gebildet sein, von denen die eine Menge 17 Elemente und die
andere Menge 1 Element hat.
A × B und B × A unterscheiden sich dadurch, dass die Komponenten der Zahlenpaare vertauscht
sind: Paare (a | b) aus A × B bzw. Paare (b | a) aus B × A für a ∈ A, b ∈ B. Spiegelt man den Graphen
der Menge A × B an den Winkelhalbierenden des I. und des III. Quadranten, so erhält man den
Graphen von B × A.
Kx
Kx
Kx
1
a)
b)
c)
d)
M1 × M2 = {(a | 0); (a | 1); (a | 2); (b | 0); (b | 1); (b | 2); (c | 0); (c | 1); (c | 2); (d | 0); (d | 1); (d | 2)}
M1 × M2 = {(–3 | 12); 13 | 12 ; (10 | 12)}
M1 × M2 = {(0 | 0); (0 | 1); (1 | 0); (1 | 1)}
M1 × M2 = {(x | –x); (x | y); (y | –x); (y | y)}
Kx
2
a)
b)
c)
d)
e)
B = {2; 3; 4} und C = {y; z}
B = C = {2; n}
B = {–2; 0; 1; 3} und C = {–1; 0; 1; 2}
B = {1; 2; 3} und C = [2; 5]
B = [2; 4] und C = [2; 5]
Kx
3
Die Punktmenge bei d) kann nach links, nach rechts und nach oben beliebig fortgesetzt werden.
y
y
a)
b)
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
–3
–2
–1
c)
0
–1
0
1
2
3
4
5
6
x
–1
–1
–3
–3
d)
5
4
4
3
3
2
2
1
1
–1
0
1
2
Schulbuchseite 64/65
3
4
5
6
x
1
2
3
4
5
6
x
1
2
3
4
5
6
x
y
5
0
0
–1
–2
0
–2
–2
–2
y
–3
–3
–3
–2
–1
–1
0
Kapitel 3
Kx
4
„Die Produktmenge [2; 2,5] × [–1; 1] kann nicht in aufzählender Form angegeben werden, da das
Intervall [2; 2,5] und damit auch die Produktmenge [2; 2,5] × [–1; 1] eine nicht endliche Anzahl an
Elementen enthält.“
Kx
5
A-3, B-5, C -4
Kx
6
a) Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.: LV A 3, LV E 35, LV G 135, LV K 4235.
b) Die Anzahl der Elemente von M1 = {A; B; C; D; …; X; Y; Z} ist 26.
Die Anzahl der Elemente von M2 = [1; 9999] = {1; 2; 3; …; 9997; 9998; 9999} ist 9999.
c) Anzahl der Elemente von M1 × M2 ist 9999 · 26 = 259 974.
Kx
7
a) M1 = {a; b; c; d; e; f; g; h}; M2 = [1; 8] = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
b) Die Anzahl der geordneten Paare für M1 × M2 ist 8 · 8 = 64.
c) Stellung der schwarzen Figuren auf dem Schachbrett: {(c | 7); (f | 7); (g | 4); (g | 6); (h | 4); (h | 6)}
Schulbuchseite 65
Kapitel 3
Verständnis
Ja, eine Relation kann die gleichen Elemente wie die Grundmenge besitzen:
Eine Relation ist definiert als Teilmenge einer gegebenen Produktmenge M1 × M2; R ⊆ M1 × M2.
Teilmengen können weniger oder gleich viele Elemente enthalten wie die Menge, auf die sie sich
beziehen. Beispielsweise gilt für die Relationsvorschrift x = x und die ein-elementige Grundmenge
= {1} × {1} = {(1 | 1)}, = = {1}, R = {(1 | 1)} ⊆ . und R haben hier die gleichen Elemente,
nämlich eines: (1 | 1).
Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.:
Zur Relationsvorschrift x · y > 9 und (x | y) ∈ {1, 2; 3} × {1, 2; 3} ist R = {(x | y) | x · y > 9} = ∅.
Kx
Kx
Kx
1
Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B. mit:
M1 = {rotes Herz; grünes Herz; blaues Herz, orangefarbenes Herz},
M2 = {Streifen-Muster, Karo-Muster; Punkte-Muster; Uni-Muster},
R1 = {(x | y) | x = rotes Herz} sortiert die Herzen nach ihrer Farbe, das Muster wird vernachlässigt:
R1 = {(rotes Herz | Streifen-Muster); (rotes Herz | Karo-Muster); (rotes Herz | Punkte-Muster);
(rotes Herz | Uni-Muster)}.
R2 = {(x | y)| y = Karo-Muster} sortiert die Herzen nach ihrem Muster, die Farbe wird vernachlässigt:
R2 = {(rotes Herz | Karo-Muster); (grünes Herz | Karo-Muster); (blaues Herz | Karo-Muster);
(orangefarbenes Herz | Karo-Muster)}.
Kx
2
R = {(Ankara | Türkei); (Athen | Griechenland); (Warschau | Polen)}
= {Ankara; Athen; Warschau}; = {Türkei; Griechenland; Polen}
Kx
3
a)
M1
M2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
b) = {1; 2; 3};
Kx
4
= {1; 2; 3}
a) M1 = {–3; –2; 1; 3; 4} und M2 = {3; 4; 5; 6; 7}
R = {(1 | 4); (3 | 6); (4 | 7)} mit = {1; 3; 4} und = {4; 6; 7}
Relationsvorschrift: y – x = 3
R = {(x | y) | y – x = 3} mit (x | y) ∈ M1 × M2
b) Eva hat Recht: Für die Relationsvorschrift y – x ≤ 3 (anstelle von y – x = 3) ist
M1
M2
–3
–2
1
3
4
3
4
5
6
7
Schulbuchseite 67
= M2:
Kapitel 3
Kx
5
a)
b)
y
4
3
3
2
2
1
1
0
–4
–3
–2
–1
0
0
1
–1
2
3
4
x
–3
–2
–1
–1
–2
–2
–3
–3
y
c)
y
4
0
1
2
3
4
y
d)
9
14
8
12
7
10
6
8
5
6
4
4
3
2
0
2
–14 –12 –10 –8
1
0
–4
–3
–2
–1
x
–6
–4
–2
–2
0
2
4
6
8
10
–4
0
1
–1
2
3
4
x
–6
–8
–10
–12
–14
Kx
6
a) Relationsvorschrift 4y + 8x ≤ 20 ⇔ y + 2x ≤ 5 ⇔ y ≤ 5 – 2x
= M × M mit M = [0; 5] = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
= M1 = {0; 1; 2} und = M2 = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
M1
M2
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
Schulbuchseite 67
12
14 x
Kapitel 3
b) Die von Luis erstellte Abbildung stellt die Relation für M = dar. Luis hat nicht berücksichtigt,
dass mit M = [0; 5] nur die ganzen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 betrachtet werden. Korrekt ist diese
Abbildung:
y
6
5
4
3
2
1
0
–1
Kx
7
–1
0
1
2
3
a)
4
x
= {0; 1; 2; 3}; = {0; 1; 2; 3; 4},
Relationsvorschrift: y ≤ x + 1
R = {(x | y) | y ≤ x + 1} mit (x | y) ∈ [0;3] × [0; 4]
b) = {–3; –2; –1; 0; 1; 2; 3}; = {0; 1; 2; 3}
Relationsvorschrift: y = |x|
R = {(x | y)| y = |x|} mit (x | y) ∈ ×
c) = [–2,5; 2,5] ; = {1}
Relationsvorschrift: y = 1
R = {(x | y) | y = 1} mit (x | y) ∈ [–2,5; 2,5] × {1}
Schulbuchseite 67
Kapitel 3
Verständnis
Die Aussage ist wahr, jede Funktion ist eine Relation. Es gilt jedoch nicht die Umkehrung.
Die Aussage ist falsch, es gibt Funktionen, die keine Nullstelle besitzen. Gegenbeispiel:
Die Funktionsgleichung f (x) = 2 ordnet jedem x aus den Funktionswert 2 zu; f (x) = 2 legt eine
Funktion fest, diese besitzt jedoch keine Nullstelle.
Um festzustellen, ob der Graph einer Funktion die y-Achse schneidet, untersucht man zunächst den
Definitionsbereich: Wenn die Null nicht enthält, so ist f (x) für x = 0 nicht definiert, d. h.: Es gibt keinen
Funktionswert für x = 0, der Graph schneidet nicht die y-Achse. Wenn die Null enthält, so ist f (x) für
x = 0 eindeutig definiert, d. h.: Es gibt einen Funktionswert f (0), der Graph schneidet die y-Achse.
Kx
Kx
Kx
Kx
1
Bei a), b), c) und e) handelt es sich um eine Funktion, da jedem x aus genau ein y aus zugeordnet
ist. Bei d) und f) handelt es sich nicht um eine Funktion, da den x-Werten mehrere y-Werte zugeordnet
sind; bei d) werden den x-Werten 4 und 2 jeweils zwei y-Werte zugeordnet, bei f) werden dem x-Wert 1
alle y-Werte aus [0,5; 2,5] zugeordnet.
Kx
2
a) = [–3; 3] und = [–1; 2]
b) Nullstellen bei x1 = –1 und x2 = 1
c) Nur die Gleichung 3 beschreibt den abgebildeten Graphen.
Kx
3
a) Leila hat Recht: Formt man die Gleichung nach y um, so erhält man y = 2. Dies legt eine Funktion
fest, bei der jedem Wert x aus der Wert f (x) = 2 zugeordnet wird; der Graph dazu ist eine Parallele
zur x-Achse. Es gibt kein x aus mit dem y-Wert 0. Daher schneidet die Funktion nicht die x-Achse,
sie besitzt somit auch keine Nullstelle.
b) 1 Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.:
y = x (eine Nullstelle), y = x2 – 1 (zwei Nullstellen), y = 0 (unendlich viele Nullstellen).
2 Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.:
y = x (Nullstelle bei x = 0), y = x – 2 (Nullstelle bei x = 2), y = x + 4,5 (Nullstelle bei x = –4,5).
Kx
4
a) y = –x + 3; eine Nullstelle bei x = 3.
x
y
–5
8
–4
7
–3
6
–2
5
–1
4
0
3
1
2
2
1
3
0
4
–1
5
–2
–1
–1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
b) y = x; eine Nullstelle bei x = 0.
x
y
–5
–5
–4
–4
–3
–3
–2
–2
y
y
5
5
4
4
3
3
2
1
0
–5
–4
–3
–2
–1
–1
b) y = x
2
a) y = –x + 3
1
0
0
1
2
3
4
5
x
–5
–4
–3
–2
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
0
1
2
3
4
5
Schulbuchseite 69
x
Kapitel 3
c) y = 2x + 0,5; eine Nullstelle bei x = –0,25.
x
y
–5 –4 –3 –2 –1
0
–9,5 –7,5 –5,5 –3,5 –1,5 0,5
1
2,5
2
4,5
3
6,5
4
5
8,5 10,5
d) y + 0,5x = 6 ⇔ y = 6 – 0,5x; eine Nullstelle bei x = 12.
x
y
–5
8,5
–4
8
–3
7,5
–2
7
–1
6,5
0
6
1
5,5
2
5
3
4,5
y
y
10
10
8
9
6
8
c) y = 2x + 0,5
2
0
–4
–2
5
3,5
7
4
–6
4
4
0
–2
6
d) y = –0,5x + 6
5
2
4
6
x
4
–4
3
–6
2
–8
1
0
–10
–5
–12
–4
–3
–2
–1
0
–1
1
2
3
4
5
x
e) –0,25x = y + 1 ⇔ y = –0,25x – 1; eine Nullstelle bei x = –4.
x
y
–5
0,25
–4
0
–3
–2
–1
–0,25 –0,5 –0,75
0
–1
1
2
3
–1,25 –1,5 –1,75
4
–2
5
–2,25
4
3
5
3
f) y = 3; keine Nullstelle.
x
y
–5
3
–4
3
–3
3
–4
–3
–2
–1
0
3
1
3
2
3
3
3
y
2
4
1
3
–1
–2
–3
Schulbuchseite 69
–1
3
y
0
–5
–2
3
0
f) y = 3
2
1
2
3
e) y = –0,25x – 1
4
5
x
1
0
–5
–4
–3
–2
–1
–1
0
1
2
3
4
5
x
Kapitel 3
g) y = (x – 9)(x + 9); Nullstellen bei x1 = –9 und bei x2 = 9.
x
y
–5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
–56 –65 –72 –77 –80 –81 –80 –77 –72 –65 –56
h) y + 9 = x2 ⇔ y = x2 – 9 ⇔ y = (x – 3)(x + 3); Nullstellen bei x1 = –3 und bei x2 = 3.
x
y
–5
16
–4
7
–3
0
–2
–5
–1
–8
0
–9
1
–8
2
–5
3
0
4
7
5
16
y
y
100
3
2
1
50
0
0
–10 –8
–6
–4
–2
–5
0
2
4
6
8
–3
–2
–1
–1
0
1
2
3
4
5
x
–2
–3
–50
g) y = x2 – 81
–100
10 x
–4
–4
–5
–6
–7
–8
h) y = x2 – 9
–9
Kx
5
A (0 | –1) gehört nicht zum Graphen von f: –1 = 3 · 02 + 1
⇔ –1 = 1,
Widerspruch.
2
D (3 | 26) gehört nicht zum Graphen von f: 26 = 3 · 3 + 1
⇔ 26 = 28, Widerspruch.
F (–0,5 | –1) gehört nicht zum Graphen von f: –1 = 3 · (–0,5)2 + 1 ⇔ –1 = 1,75, Widerspruch.
B (–1 | 4) gehört zum Graphen von f:
4 = 3 · (–1)2 + 1 ⇔ 4 = 4
C (0,5 | 1,75) gehört zum Graphen von f:
1,75 = 3 · 0,52 + 1 ⇔ 1,75 = 1,75
E (–2 | 13) gehört zum Graphen von f:
13 = 3 · (–2)2 + 1 ⇔ 13 = 13
Kx
6
a) Bei 1,6 km in horizontaler Richtung beträgt der Höhengewinn 16 · 14 m = 224 m.
b) Funktionsterm für die erreichte Höhe (in m) für eine horizontale Strecke von x · 100 m: y = 14x.
c) 14 m Höhenunterschied entsprechen 100 m horizontale Strecke ⇒ 0,5 m Höhenunterschied
100 m
entsprechen der gesuchten Strecke von 0,5 m14· m
≈ 3,57 m.
Schulbuchseite 69
Kapitel 3
Verständnis
Relation R mit y = x und = × , R = , R = und
Umkehrrelation R–1 mit y = x und R–1 = , R–1 = .
Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.:
Die Relation R mit x = 2 und = × , R = {2}, R = ist eine Relation, aber keine Funktion, da R
nur das Element 2 enthält und diesem unendlich viele Werte aus R = zugeordnet sind. Die
Umkehrrelation R–1 mit y = 2 und R–1 = und R–1 = {2} ist eine Funktion, da jedem Element aus
R–1 = jeweils genau ein Element aus
R–1 zugewiesen wird.
Kx
Kx
Kx
1
a) 1
y
2
y
6
6
Graph zu R
5
5
4
4
3
3
w
2
1
–4
–3
–2
–1
2
Graph zu R =
Graph zu R–1
Graph zu R–1
0
–1
0
1
2
3
4
5
–4
x
y
–3
4
–1
2
Graph 3
zu R
2
1
1
–1
–2
1
2
3
4
5
x
4
w
3
–2
0
–1
5
4
0
0
–1
y
5
Graph
zu R
–2
M
1
Die Relation R und die Umkehrrelation R–1
sind identisch. Sie sind keine Funktionen,
da es x aus R = R–1 = [–1; 3] gibt, denen
mehrere y-Werte zugeordnet werden
(z. B. x = 1 die y-Werte –1 und 3).
Sowohl die Relation R als auch die Umkehrrelation R–1 sind Funktionen, da jedem x aus
R = R–1 = genau ein Element aus
R=
R–1 = zugeordnet wird.
3
w
0
0
1
2
3
4
5
x
Graph zu R –1
Die Relation R ist eine Funktion, da jedem x
aus R = genau ein Element aus R = +0
zugeordnet wird. Die Umkehrrelation R–1 ist
keine Funktion, da es x aus R–1 = +0 gibt,
denen mehrere y-Werte zugeordnet werden
(z. B. x = 1 die y-Werte –1 und 1).
b) Es sind individuelle Lösungen möglich.
Schulbuchseite 71
–2
w
–1
–1
–2
0
1
2
3
4
5
x
Graph zu R–1
Die Relation R ist eine Funktion, da
jedem x aus R = genau ein Element
aus R = zugeordnet wird. Die Umkehrrelation R–1 ist keine Funktion, da es ein
x aus R–1 = gibt, dem mehrere y-Werte
zugeordnet werden: x = 2 mit den y-Werten
aus [–2, 2] .
Kapitel 3
Kx
2
Funktion f mit y = |x| + 1 und = ×
a) Wertetabelle für die Funktion f mit y = |x| + 1 und
x
y
–4
5
–3
4
–2
3
–1
2
0
1
1
2
R
2
3
=
und
R
3
4
4
5
= {x ∈ | x ≥ 1}
Wertetabelle für die Umkehrrelation R–1 mit x = |y| + 1 ⇔ |y| = x – 1 ⇔ y = ± (x – 1) und
R–1 = {x ∈ | x ≥ 1} und
R–1 = .
x
y
5
–4
4
–3
3
–2
2
–1
1
0
bzw.
x
5
4
3
2
y –4; 4 –3; 3 –2; 2 –1; 1
1
0
2
1
3
2
4
3
5
4
Die Umkehrrelation R–1 ist keine Funktion, da es x aus R–1 gibt, denen mehrere y-Werte zugeordnet
werden (z. B. x = 5 die y-Wert –4 und 4).
b) Die Funktion f ist umkehrbar, wenn man die Definitionsmenge einschränkt auf = +0. In diesem
Fall ist dann auch R–1 = +0.
Kx
3
a) R = {(0 | 0); (1 | 1); (2 | 4); (3 | 9); (4 | 16)}
R–1 = {(0 | 0); (1 | 1); (4 | 2); (9 | 3); (16 | 4)}
b) R = {(0 | 3); (6 | 4); (–4 | 6); (9 | 8); (0 | 10)}
R–1 = {(3 | 0); (4 | 6); (6 | –4); (8 | 9); (10 | 0)}
c) R = {(–4 | 7); (–2 | 8); (0 | 3); (2 | 5); (4 | 10)}
R–1 = {(7 | –4); (8 | –2); (3 | 0); (5 | 2); (10 | 4)}
Kx
4
a)
b)
c)
Kx
5
„Handelt es sich bei einer Relation um eine direkte Proportionalität, so ist die Umkehrrelation eine
Funktion.“
= {1; 2; 3; 4};
R–1 = {(x | y) | y = 7 – x}
R–1 = {(x | y) | y = 0,75 + 0,25x}
R = {9; 13; 17; 21};
–1
R = {–40; –36; –32; –28}; R = {(x | y) | y = 13 + 0,25x}
R
Schulbuchseite 71
Kapitel 3
Verständnis
Die Aussage ist wahr: Funktionen der direkten Proportionalität sind lineare Funktionen.
Für die Formvariable m der Funktion f mit y = 0 gilt: m = 0.
Kx
Kx
Kx
1
a) bis d)
e) bis h)
y
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
–5
–4
–3
–2
–1
0
–1
1
–2
–3
a)
Kx
2
b)
c)
–4
d)
–5
2
3
4
5
–5
x
–4
–3
–2
a) y = x
e) y = –x
b) y = 2x
f) y = –4x
c) y = 4,5x
g) y = – 3 x
d) y = 8x
h) y = –2x
–1
1
2
3
4
5
–2
x
g)
–3
1
Die Geradengleichung von g ist y = 3,75x.
A (1 | yA) in g einsetzen:
yA = 3,75 · 1
B (4 | yB) in g einsetzen:
yB = 3,75 · 4
C (–3 | yC) in g einsetzen:
yC = 3,75 · (–3)
D (xD | –18,75) in g einsetzen: –18,75 = 3,75 · xD
E (xE | 0) in g einsetzen:
0 = 3,75 · xE
0
–1
–4
f)
h)
e)
–5
⇔ yA = 3,75
⇔ yB = 15
⇔ yC = –11,25
⇔ xD = –5
⇔ xE = 0
⇒ A (1 | 3,75)
⇒ B (4 | 15)
⇒ C (–3 | –11,25)
⇒ D (–5 | –18,75)
⇒ E (0 | 0)
Kx
3
Funktionen der Form y = mx sind: 1 y = –x; 5 y = 2x; 6 y = 0.
Kx
4
a) y = –x
Kx
5
Wenn der Quotient m = yx aller (x | y)-Paare gleich ist (außer für x = 0), handelt es sich um eine Funktion
der Form y = mx. Beim Paar (0 | 0) handelt es sich um den Nullpunkt, der immer auf der Geraden y = mx
liegt.
a) Die Zahlenpaare sind quotientengleich, sie gehören zur Funktion der Form y = 2,5x; m = yx = 2,5.
x
–3
0
0,5
4
5
y
–7,5
0
1,25
10
12,5
y
x
b) y = – 35 x
2,5
/
d) y = 12 x
c) y = x
2,5
2,5
e) y = 17
36 x
f) y = – 15 x
2,5
b) Die Zahlenpaare sind quotientengleich, sie gehören zur Funktion der Form y = 13 x; m = 13 .
x
–0,5
1,5
3
4,5
7
y
– 16
1
3
1
2
1
3
1
1,5
2 13
1
3
1
3
1
3
y
x
Schulbuchseite 72/73
Kapitel 3
c) Die Zahlenpaare sind nicht quotientengleich, es handelt sich nicht um eine Funktion der Form
y = mx.
x
–2
–0,5
0,2
3,5
12
y
–0,4
–0,1
0,01
0,7
2,5
y
x
1
5
1
5
1
20
1
5
5
24
d) Die Zahlenpaare sind nicht quotientengleich, es handelt sich nicht um eine Funktion der Form
y = mx.
x
–0,5
0
1,8
2,4
3,5
y
–0,6
0
1,5
2
4,2
y
x
6
5
5
6
/
5
6
6
5
Kx
6
Setzt man in die Gleichung die x- und y-Werte für eine Packung Trinkjoghurt ein (bei 1 Packung mit
y
8 Bechern ist x = 1, y = 8), folgt: m = x = 81 = 8. Die Funktionsgleichung lautet demnach: y = 8x.
Bei x Packungen erhält man y = 8x Becher Trinkjoghurt.
Kx
7
a) P in g einsetzen: 8 = 0,375 · 3
b) P in g einsetzen: 8 = 83 · 3
Kx
8
1 Die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten lässt sich durch die Funktionsgleichung y = x
beschreiben mit m = 1.
2 Die x-Achse lässt sich durch die Funktion y = 0 mit m = 0 beschreiben.
3 Die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten lässt sich durch die Funktion y = –x mit m = –1
beschreiben.
4 Die y-Achse lässt sich durch die Gleichung x = 0 beschreiben. Sie kann nicht durch eine Funktionsgleichung der Form y = mx beschrieben werden.
Kx
9
1
Allgemein gilt: Zur Funktion der Form y = mx lautet die Gleichung der Umkehrfunktion: y = m
x.
3
a) Funktion: y = 3x
b) Funktion: y = – 4 x
1
4
Umkehrfunktion: y = 3 x
Umkehrfunktion: y = – 3 x
⇔ 8 = 1,125
⇔8=8
y
4 y
y=–3x
3
y = 3x
2
0
c)
–3
–2
–1
y = 3x
0
–1
1
2
3
4
x
–4
–3
–3
–2
–3
1
2
3
4
x
2
3
4
x
d) Funktion: y = –4x
Umkehrfunktion: y = – 41 x
y
y = –4x
3
0
–1
0
3
2
1
y = – 4x
1
–1
0
–1
–3
2
–4
–1
–2
y
1
–2
–2
Umkehrfunktion: y = –8x
y = – 8x
1
0
Funktion: y = – 18 x
y = –8x
3
2
3
y = –4x
1
1
–4
⇒ P liegt nicht auf g.
⇒ P liegt auf g.
(Widerspruch)
(wahr)
1
0
1
2
3
4
x
–4
–3
–2
–1
–1
–2
–2
–3
–3
0
1
Schulbuchseite 73
Kapitel 3
Kx
Kx
10 A (5 | –7,5) in die Funktionsgleichung y = mx einsetzen: –7,5 = 5mA ⇔ mA = –1,5.
B (2 | –3,5) in die Funktionsgleichung y = mx einsetzen: –3,5 = 2mB ⇔ mB = –1,75.
Da die beiden Werte mA und mB unterschiedlich sind, können A und B nicht auf derselben Ursprungsgerade liegen.
11 a) P (3 | 2) in die Funktionsgleichung y = mx einsetzen: 2 = 3m ⇔ m = 23 .
Die Gleichung der Ursprungsgerade durch P (3 | 2) lautet: y = 23 x.
Die Gleichung der zugehörigen Umkehrfunktion lautet: y = 32 x.
b) P (3 | 0) in die Funktionsgleichung y = mx einsetzen: 0 = 3m ⇔ m = 0.
Die Gleichung der Ursprungsgerade durch P (3 | 0) lautet: y = 0; es handelt sich dabei um die
x-Achse.
Die Funktion ist nicht umkehrbar, da die Umkehrrelation x = 0 (y-Achse) dem Element x = 0 unendlich viele y-Werte zuordnet und daher keine Funktion ist.
c) P (0 | 2) liegt auf der y-Achse (Ursprungsgerade der Form x = 0), lässt sich aber nicht in die
Funktionsgleichung y = mx einsetzen (2 = 0 ergibt einen Widerspruch).
Die Relation x = 0 ist keine Funktion und damit auch keine umkehrbare Funktion.
Kx
12 a) und b)
Es sind unterschiedliche Lösungen möglich, u. a. mit positiven oder negativen Werten für die
abgebrannte Kerzenlänge.
Beide Kerzen: Zeit (in min): 0; abgebrannte Kerzenlänge (in mm): 0
⇒ 0 (0 | 0)
Kerze 1:
Zeit (in min): 5; abgebrannte Kerzenlänge (in mm): 2
⇒ P1 (5 | 2)
Kerze 2:
Zeit (in min): 8; abgebrannte Kerzenlänge (in mm): 0,8
⇒ P2 (8 | 0,8)
abgebrannte Länge (in mm)
5
4
2
P1
y = 0,1x
1
0
–1
–1
y = 0,4x
Kerze 1
3
Kerze 2
P2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
Zeit (in min)
Funktionsgleichung für Kerze 1: P1 (5 | 2) in y = mx einsetzen: 2,0 = 5m1 ⇔ m1 = 0,4 ⇒ y = 0,4x
Funktionsgleichung für Kerze 2: P2 (8 | 0,8) in y = mx einsetzen: 0,8 = 8m2 ⇔ m2 = 0,1 ⇒ y = 0,1x
Schulbuchseite 73
Kapitel 3
Verständnis
Die Steigung der x-Achse beträgt 0: Berechnung mithilfe zweier Punkte auf der x-Achse, z. B. mit
y –y
0 (0 | 0) und A (1 | 0): mx = x 2 – x1 = 01 –– 00 = 0.
2
1
Die Steigung der y-Achse kann nicht angegeben werden, da man durch 0 teilen müsste, was nicht
erlaubt ist: Versuch der Berechnung mithilfe zweier Punkte auf der y-Achse, z. B. mit 0 (0 | 0) und
y –y
B (0 | 1): my = x 2 – x1 = 10 –– 00 = 10 (nicht definiert).
2
1
Beobachtung: Je mehr eine Ursprungsgerade im I. Quadranten sich der y-Achse näher, desto größer
wird ihre Steigung.
g1 und g2 sind die beiden Winkelhalbierenden des Koordinatensystems. Sie stehen senkrecht aufeinander, m1 = 1, m2 = –1.
Kx
Kx
Kx
1
Alle fünf Geraden gehen durch den Ursprung. Weitere Punkte auf den Geraden sind:
P1 (1 | 3) auf g1; P2 (1,5 | 2,5) auf g2; P3 (2 | 1,5) auf g3; P4 (5 | –1) auf g4; P5 (2 | –1) auf g5.
Berechnung der Steigungen anhand von P1, P2, P3, P4 und P5 sowie 0 (0 | 0).
g1: m1 = 31 = 3
5
5
g2: m2 = 2,5
1,5 = 3 ⇒ y = 3 x
⇒ y = 3x
3
3
g3: m3 = 1,5
2 =4 ⇒y=4x
1
1
g4: m4 = –1
5 =–5 ⇒y=–5 x
1
1
g5: m5 = –1
2 =–2 ⇒y=–2 x
Kx
2
y –y
y –0
y
Berechnung von m bei gegebenen Punkten 0 (0 | 0) und P (yP | xP): m = xP – x0 = xP – 0 = xP
P
0
P
P
a) m = 12 = 0,5
⇒ y = 0,5x
Die Ursprungsgerade steigt, da m positiv ist.
8
b) m = –3
c)
d)
e)
f)
⇒ y = – 83 x
Die Ursprungsgerade fällt, da m negativ ist.
–7
= 2,8
⇒ y = 2,8x
m = –2,5
m = 20 (nicht definiert) ⇒ x = 0
0
=0
⇒y=0
m = 5,5
7
⇒ y = 35x
m = 0,2 = 35
y
gd: x = 0 gf: y = 35x
10
8
Pb
Die Ursprungsgerade steigt, da m positiv ist.
Die Ursprungsgerade ist die y-Achse.
Die Ursprungsgerade ist die x-Achse, da m = 0.
Die Ursprungsgerade steigt, da m positiv ist.
gc: y = 2,8x
Pf
6
4 P
d
2
0
–8
–6
–4
–2
–2
ga: y = 0,5x
O
0
Pe
Pa
2
4
6
ge: y = 0
8
10
12
14 x
–4
Pc
–6
–8
gb: y = – 83 x
–10
Schulbuchseite 75
Kapitel 3
Kx
3
a) y = 43 x mit P1 (0 | 0) und P2 (4 | 3)
b) y = –2,5x mit P1 (0 | 0) und P2 (1 | –2,5)
y
y
3
3
P2
2
2
1
0
–2
–1
c) y = –
∆y
P1
–1
0
1
∆x
1
2
3
4
5
6
7
8
–2
x
–2
–2
–3
–3
–4
–4
3
7 x mit P1 (0 | 0) und P2 (7 | –3)
y
2
2
P2
1
∆y
∆x
3
4
5
6
7
8
–2
x
∆y
–2
–3
4
6
7
8
x
0 ∆x
P1 0
–1
1
–1
2
3
4
5
6
7
8
x
–2
–3
P2
–4
–4
Kx
5
y
3
2
4
P2
3
0 P1
0
–1
1
–1
3
d) y = 2x mit P1 (0 | 0) und P2 (1 | 2)
1
–2
0 P1
0
–1
2
∆x1
–1
∆y
Die Steigungsvektoren v1, v4 und v6 ergeben dieselbe Steigung m, sie beschreiben dieselbe
–1,5
= 13 ; m6 = 26 = 13 .
Ursprungsgerade: m1 = 13 ; m4 = –4,5
Die Vektoren v2, v3 und v5 ergeben unterschiedliche Steigungen, sie beschreiben unterschiedliche
1
0
6
Ursprungsgeraden: m2 = –1,5
4,5 = – 3 ; m3 = 6 = 0; m5 = –2 = –3.
y
P5
6
v5
5
4
3
2
1
–7
–6
–5
–4
P4
–3
–2
v4
v1
v3
0 G
0
–1
1
–1
–2
–3
Schulbuchseite 75
v6
P3
2
3
v2
P6
P1
4
P2
5
6
x
Kapitel 3
Kx
5
1 Lösung mit einer Schablone für das Steigungsdreieck:
Man zeichnet ein Steigungsdreieck ABC
mit dem Seitenverhältnis 1 : 2, etwa,
indem man an einem rechtwinkligen
Blatt Papier in einer Ecke B nach einer
Seite eine bestimmte Länge abträgt,
dies ergibt den Punkt A, und nach der
anderen Seite die doppelte Länge abträgt, dies ergibt den Punkt C.
Das so gezeichnete Dreieck kann ausgeschnitten und als Schablone genutzt
werden; oder man liest darin die Winkel,
insbesondere den Winkel in A ab, und
nutzt den abgelesenen Wert von rund
63° im nächsten Schritt.
C
x ACB = 27°
Pb
M
BC = 2 · AB
Schablone:
Dreieck ABC mit
AB : BC = 1 : 2
AB
A
Man faltet nun ein Blatt Papier und
erhält so die „Knickgerade“ g. Auf dieser
Gerade wählt man einen Punkt A und
zeichnet dort mithilfe der Schablone, die
man in A an g anlegt, das Steigungsdreieck oder mithilfe des abgelesenen Winkelwerts von 63° den Winkel an g in A.
Der Schenkel in A, der nicht auf der
Knickgerade liegt, wird die x-Achse, A
selbst wird der Ursprung des Koordinatensystems. Die y-Achse erhält man als
Senkrechte zur x-Achse in A.
B
x BAC = 63°
Blatt Papier
y-Achse
3
2
C
1
Knickgerade g
A 0
63°
0
B
1
2
3
x-Achse
Schulbuchseite 75
Kapitel 3
2 Lösung mit einem Geometrieprogramm:
Man zeichnet eine beliebige „Knickgerade“ g und wählt einen beliebigen
Punkt A auf g. Nun zeichnet man zu A ein
Steigungsdreieck ABC mit der Steigung
2 : 1, indem man einen beliebigen Punkt
B wählt und den Punkt C auf der Senkrechten zu AB im Abstand von 2 · AB
ermittelt.
Der Kreis um A mit r = AC schneidet g in
C'. Über [AC'] zeichnet man den Thaleskreis. Dieser schneidet den Kreis um
A mit r = AB im Punkt B'. Das Dreieck
AB'C' ist das gesuchte Steigungsdreieck
in a an g.
Das Koordinatensystem erhält man mit
A als Ursprung, AB' als x-Achse und der
Senkrechten zu AB' in A als y-Achse. Die
Länge von [AB'] dient als Maßstab für die
Einheit des Koordinatensystems.
Kx
6
y-Achse
2
Thaleskreis
Knickgerade g
C'
1
M
A
0
0
1
B'
2
B
C
x-Achse
Die Spiegelung einer beliebigen Ursprungsgerade g an der y-Achse ergebe g'.
Für die Steigungen von g und g' gilt mit P1 (0 | 0) und P2 (x | y) ∈ g bzw. P1' (0 | 0) und P2' (–x | y) ∈ g':
y
mg = yx , mg' = –x
= –mg.
Die Spiegelung einer beliebigen Ursprungsgerade h an der x-Achse ergebe h'.
Für die Steigungen von h und h' gilt mit Q1 (0 | 0) und Q2 (x | y) ∈ h bzw. Q1' (0 | 0) und Q2' (x | –y) ∈ h':
mh = yx , mh' = – yx = –mh.
Ergebnis: Spiegelt man eine Ursprungsgerade g an einer der beiden Koordinatenachsen, so gilt für die
Steigungen der Ur- und Bildgeraden g und g': mg = –mg'.
Architektur
K3
Der Treppenbauer
• Es sind individuelle Antworten möglich, z. B.:
Das Schrittmaß ist ein Grundmaß für den Treppenbau, mit dessen Hilfe das Steigungsverhältnis
einer Treppe geplant werden kann. Grundlegend hierbei ist die sogenannte „Schrittmaßregel“,
wonach die Summe aus der Auftrittstiefe a und der doppelten Stufenhöhe s insgesamt 59 cm bis
65 cm betragen soll. Beispiele hierzu sind im Schulbuch abgebildet, etwa die Wohnhaustreppe mit
a = 23 cm und s = 20 cm. Die Schrittmaßregel ist hier erfüllt: a + 2s = 23 cm + 40 cm = 63 cm.
• Es sind individuelle Lösungen möglich.
• Es sind individuelle Antworten möglich, z. B.: Bei wenig Platz bieten sich Wendel- bzw. Spindeltreppen an.
Schulbuchseite 75
Kapitel 3
Verständnis
Funktionen der Form y = mx sind Sonderfälle linearer Funktionen mit y-Achsenabschnitt t = 0.
Bei Parallelen zur y-Achse (z. B. x = 3) lässt sich kein y-Achsenabschnitt angeben. Es handelt sich
hierbei nicht um Funktionen, da einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet werden.
Kx
Kx
Kx
1
(–3)
m1 = 02 –– (–4)
= 45 = 1,25
1
m2 = –10––(–2)
3 =–3
a) 1 tB = 2; A (–4 | –3) und B (0 | 2) ∈ g1;
2 tD = –1; C (3 | –2) und D (0 | –1) ∈ g2;
⇒ g1: y = 1,25x + 2
⇒ g2: y = – 13 x – 1
3 tF = 3; E (–2 | 4,5) und F (0 | 3) ∈ g3;
4,5
m3 = 03 –– (–2)
= – 1,5
2 = –0,75 ⇒ g3: y = –0,75x + 3
4 tH = –4; G (4 | 5) und H (0 | –4) ∈ g4;
–5 9
m4 = –4
0 – 4 = 4 = 2,25
⇒ g4: y = 2,25x – 4
5 tB = 2; I (–4 | 2), B (0 | 2) und J (4 | 2) ∈ g5; m5 = 42 –– 20 = 40 = 0
b) 1 tB = 2; A (–3 | 1) und B (0 | 2) ∈ g1;
2 tD = –1,5; C (–3 | 0) und D (0 | –1,5) ∈ g2;
3 Kein t; E (1 | 6) und F (1 | 0) ∈ g3;
4 tH = –1; G (–4 | –2) und H (0 | –1) ∈ g4;
5 tJ = –3; I (–3 | 5) und J (0 | –3) ∈ g5;
⇒ g5: y = 2
1
m1 = 02– –(–3)
= 13
– 0 –1,5
1
m2 = –1,5
0 – (–3) = 3 = – 2
m3 = 01 –– 61 = –6
0 (nicht def.)
–1 – (–2) 1
m4 = 0 – (–4) = 4 = 0,25
–5
2
m5 = 0–3– (–3)
= –8
3 = –2 3
⇒ g1: y = 13 x + 2
⇒ g2: y = – 12 x – 1,5
⇒ g3: x = 1
⇒ g4: y = 0,25x – 1
⇒ g5: y = –2 23 x – 3
Kx
2
a) Die Vorgehensweise ist richtig. Es gibt aber einen schnelleren Weg, bei dem man nur für einen beliebigen x-Wert den y-Wert berechnen muss, um P1 zu erhalten. Für P2 wählt man x = 0 und liest den
y-Achsenabschnitt t aus der Geradengleichung ab, es gilt: P2 (0 | t).
b) Es sind individuelle Antworten möglich. Es bietet sich an, zuerst x1 = 0 bzw. P1 (0 | t) zu wählen und
dann ein x2, das nicht zu nahe bei x1 = 0 ist (sonst lässt sich die Gerade nicht exakt genug zeichnen). Es empfiehlt sich, x2 so zu wählen, dass m · x2 möglichst ganzzahlig ist, dies erleichtert das
Einzeichnen der Gerade.
Kx
3
Die Nullstelle Pn (xn | yn) wird ermittelt, indem yn = 0 gesetzt wird und die Gleichung 0 = mnxn + tn
t
nach xn aufgelöst wird: Pn – mn | 0 .
n
a) und b)
g1 mit T1 (0 | –2): 3x – 2 = 0 ⇔ x = 23 ; P1 23 | 0
c) und d)
g3 mit T3 (0 | –1): 1 = 4x ⇔ x = 0,25; P3 (0,25 | 0)
g4 mit T4 (0 | 1): Es gibt keine Nullstelle; der
Graph verläuft parallel zur x-Achse: y = 1.
g2 mit T2 (0 | 1): –x + 1 = 0 ⇔ x = 1; P2 (1 | 0)
y
y
4
4
g2: y = –x + 1
g1: y = 3x – 2
3
2
1
–6
–5
–4
–3
–2
–2
T1
2
T4
1
g4: y = 1
T2
0 P1 P2
0
–1
1
2
–1
0
3
4
g3: y = 4x – 1
3
x
–6
–5
–4
–3
–2
–1
–1
P3
0
1
2
3
4
T3
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
Schulbuchseite 77
x
Kapitel 3
e) und f)
g5 mit T5 (0 | 2): 13 x + 2 = 0 ⇔ x = –6; P5 (–6 | 0)
g6 mit T6 (0 | –1): –3,5x – 1 = 0 ⇔ x = – 27 ;
P6 – 27 | 0
g6: y = –3,5x – 1
y
4
4
3
3
P6 0
–5
–4
–3
–2
–1
–1
0
0
1
2
3
4
x
–6
–5
–4
–3
–2
–1
T6
g7: y = –3
–3
4
5
P8
0
–1
1
2
3
4
x
–2
–3
–4
–4
–5
–5
T7
a) h: y = –0,5x + t; P (–3 | 2) einsetzen:
2 = –0,5 · (–3) + t ⇔ t = 0,5
⇒ h: y = –0,5x + 0,5
b) h: y = mx – 1,5; P (–1 | –0,5) einsetzen:
–0,5 = m · (–1) – 1,5 ⇔ m = –1
⇒ h: y = –x – 1,5
4,7 – (–2,7) 7,4 74
74
c) h: m = 3,1 – (–2) = 5,1 = 51. P (–2 | –2,7) in y = 51 x + t einsetzen:
148 · 10 – 27 · 51
= 103
–2,7 = 74
51 · (–2) + t ⇔ t =
510
510
Kx
g8: y = –2,5x + 3
1
–2
Kx
T8
2
T5
1
P5
–6
y
2
g5: y = 13 x + 2
g) und h)
g7 mit T7 (0 | –3): Es gibt keine Nullstelle; der
Graph verläuft parallel zur x-Achse.
g8 mit T8 (0 | 3): 2,5x – 3 = 0 ⇔ x = 1,2;
P8 (1,2 | 0)
103
⇒ h: y = 74
51 x + 510
a) Geradengleichung: y = 38 x + 2 mit P1 (x1 | 6,5) und P2 (–2 | y2).
Ermittlung von x1:
6,5 = 38 x1 + 2 ⇔ 4,5 · 83 = x1 ⇔ x1 = 12
Ermittlung von y2:
y2 = 38 · (–2) + 2 ⇔ y2 = 1,25
b) Geradengleichung: y = 15 x – 1,2 mit P1 (–4 | y1) und P2 (x2 | 0,3).
Ermittlung von y1:
y1 = 15 · (–4) – 1,2 = –2
Ermittlung von x2:
0,3 = 15 x2 – 1,2 ⇔ x2 = 5 · 1,5 ⇔ x2 = 7,5
⇒ P1 (12 | 6,5)
⇒ P2 (–2 | 1,25)
⇒ P1 (–4 | –2)
⇒ P2 (7,5 | 0,3)
Kx
6
Mit den Punkten A (–1 | 7) und B (4 | 4) kann eine Geradengleichung g aufgestellt werden, auf der die
Punkte selbst, die Strecke [AB] und auch der Punkt C (3 | yC) liegen. Die fehlende Koordinate yC kann durch
Einsetzen von xC = 3 in die Geradengleichung von g: y = mx + t bestimmt werden.
7
1. Bestimmung von m: m = 44– –(–1)
= –3
⇒ g: y = –0,6x + t
5 = –0,6
2. Bestimmung des y-Achsenabschnitts t durch Einsetzen von A (–1 | 7):
7 = –0,6 · (–1) + t ⇔ 7 – 0,6 = t ⇔ 6,4 = t
⇒ g: y = –0,6x + 6,4
3. Bestimmung von yC durch Einsetzen von C (3 | yC) in y = –0,6x + 6,4:
yC = –0,6 · 3 + 6,4 ⇔ yC = –1,8 + 6,4 ⇔ yC = 4,6
⇒ C (3 | 4,6)
Kx
7
Gleichung der verschobenen Gerade g': 3x + 4y + 7 = 0 ⇔ y = –0,75x – 1,75
Gleichung der ursprünglichen Ursprungsgerade g: y = –0,75x
Verschiebungsvektor: v = 0t = –1,750
Schulbuchseite 77
Kapitel 3
Verständnis
Ja, man kann eine Geradengleichung mithilfe eines Punktes P auf der Gerade und der Steigung m
auch ohne die Punkt-Steigungs-Form aufstellen: Man setzt die vorgegebene Steigung in die Normalform ein und ermittelt durch Einsetzen der Koordinaten von P den y-Achsenabschnitt t.
Bei Ursprungsgeraden gilt t = 0. Hier braucht man nur die Steigung der Geraden, um die gesamte
Geradengleichung aufstellen zu können.
Kx
Kx
Kx
1
Für die Wahl des Punktes P auf der Gerade sind individuelle Lösungen möglich.
a) m = 2,3
t = –7,5
y = 2,3x – 7,5
P (10 | 15,5)
b) m = –4
t = –28,9
y = –4x – 28,9
P (1 | –32,9)
c) m = –1
t = –5,5
y = –x – 5,5
P (1 | –6,5)
d) m = 3
t=4
y = 3x + 4
P (1 | 7)
e) m = – 13
t = –1 13
y = – 13 x – 1 13
P (2 | –2)
f) m = 1
t=3
y=x+3
P (1 | 4)
g) m = – 41
t=1
y = – 41 x + 1
P (4 | 0)
h) m = 1,75
t = –6
y = 1,75x – 6
P (4 | 1)
i) m = –3
t = –27
y = –3x – 27
P (1 | –30)
Kx
2
Bestimmung der Funktionsgleichungen zunächst in der Normalform durch Ermittlung von m und t,
anschließend Umformung in die allgemeine Geradengleichung.
g1: y = –2x + 3
⇒ 2x + y – 3 = 0
1
g2: y = – 3 x
⇒ 13 x + y = 0
g3: y = 1,5x – 2
⇒ 1,5x – y – 2 = 0
g4: y = 0,25x + 0,5
⇒ 0,25x – y + 0,5 = 0
2
g5: y = – 3 x – 1
⇒ 23 x + y + 1 = 0
Kx
3
y = 2x + 4
und
y = 2 (x – 1) + 6 ⇔
y = 2x + 4
und
y = 2x + 4
Die beiden Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade: Sie haben die gleiche Steigung und den
gleichen y-Achsenabschnitt.
b) Vergleich von
y = –x
und
y = –(x + 3) – 3 ⇔
y = –x
und
y = –x – 6
Die beiden Gleichungen beschreiben zwei unterschiedliche Geraden: Sie haben die gleiche
Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte.
y = 41 (x + 4) – 16 ⇔
c) Vergleich von
y = 41 (x + 2) – 8 und
y = 0,25x – 7,5 und
y = 0,25x – 15
Die beiden Gleichungen beschreiben zwei unterschiedliche Geraden: Sie haben die gleiche
Steigung, aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte.
d) Vergleich von
3x = 5y
und
y = – 35 (x – 1) + 0,6 ⇔
y = 0,6x
und
y = –0,6x + 1,2
Die beiden Gleichungen beschreiben zwei unterschiedliche Geraden: Sie haben unterschiedliche
Steigungen und unterschiedliche y-Achsenabschnitte.
a) Vergleich von
Schulbuchseite 78/79
Kapitel 3
Kx
4
a) g: y = –5x + t
g: y = –5x – 2
b) g: y = 0,5x + t
g: y = 0,5x + 2,5
c) g: y = 0,4x + t
g: y = 0,4x + 0,2
d) g: y = –0,75x + t
g: y = –0,75x + 0,1
P einsetzen: –7 = –5 · 1 + t
⇔ t = –2
Q einsetzen: 12,5 = –5 · (–3) – 2 ⇔ 12,5 = 13 (falsch)
P einsetzen: 0 = 0,5 · (–5) + t
⇔ t = 2,5
Q einsetzen: 6 = 0,5 · 7 + 2,5
⇔ 6 = 3,5 + 2,5 (wahr)
P einsetzen: 2,2 = 0,4 · 5 + t
⇔ t = 0,2
Q einsetzen: 3,8 = 0,4 · 9 + 0,2 ⇔ 3,8 = 3,8 (wahr)
P einsetzen: –2,9 = –0,75 · 4 + t ⇔ t = 0,1
Q einsetzen: –2 = –0,75 · 3 + 0,1 ⇔ –2 = –2,15 (falsch)
⇒Q∉g
⇒Q∈g
⇒Q∈g
⇒Q∉g
Kx
5
a) Ja, Estelle hat Recht: Aus b = 0 und c = 0 folgt für ax + by + c = 0: ax = 0 ⇔ x = 0.
Diese Gleichung beschreibt die y-Achse.
Für die allgemeine Geradengleichung einer linearen Funktion wurde b = 0 ausgeschlossen. Tatsächlich ist es möglich, mithilfe der allgemeinen Geradengleichung auch die x-Achse zu beschreiben,
die nicht zu den linearen Funktionen gehört. Mithilfe der allgemeinen Geradengleichung lassen sich
somit auch Sonderfälle von Geraden beschreiben.
b) „Wenn b = 0 ∧ c = 0 ∧ a ≠ 0, dann ist der Graph zu dieser Gleichung die y-Achse. Es handelt sich um
eine Relation, da dem Wert für x = 0 unendlich viele y-Werte zugeordnet werden.“
c) 1 by = 0 ⇔ y = 0.
Der Graph zu dieser Gleichung ist die x-Achse.
2 by + c = 0 ⇔ y = – bc . Der Graph zu dieser Gleichung ist eine zur x-Achse parallele Gerade.
3 ax + by = 0 ⇔ y = – ba x. Der Graph zu dieser Gleichung ist eine Ursprungsgerade.
Kx
6
Gleichung für die durch A und B führende Gerade g:
7
1
= –2
Bestimmung von m: m = 55– –(–1)
6 =–3
⇒ g: y = – 13 x + t
Bestimmung des y-Achsenabschnitts t durch Einsetzen von A:
7 = – 13 · (–1) + t ⇔ 7 = 13 + t ⇔ 6 23 = t
⇒ g: y = – 13 x + 6 23
Einsetzen von C in g: 8 = – 13 · (–4,5) + 6 23 ⇔ 8 = 96 + 40
6 ⇔ 48 = 49 (falsch) ⇒ C ∉ g
Kx
7
a) Die Aussage ist richtig: Parallelen zur y-Achse können weder in der Normalform noch in der PunktSteigungs-Form angegeben werden, sondern nur in der allgemeinen Form.
b) Die Aussage ist falsch: Parallelen zur x-Achse und Parallelen zur y-Achse schneiden nicht beide
Koordinatenachsen, sondern jeweils nur eine der beiden Koordinatenachsen.
Kx
8
a) Nur die Funktionsgleichung 1 y = 4x erfüllt alle drei Bedingungen: Es handelt sich um eine lineare
Funktion, der Funktionsgraph ist nicht fallend, der Funktionsgraph verläuft durch den Ursprung.
Die Funktionsgleichungen 2 y = 3 und 3 y = 7x – 2 erfüllen jeweils nur zwei der drei Bedingungen:
Es handelt sich um lineare Funktionen und die Funktionsgraphen sind nicht fallend; die Funktionsgraphen verlaufen jedoch nicht durch den Ursprung.
b) Es sind individuelle Lösungen möglich.
Schulbuchseite 79
Kapitel 3
Verständnis
Die Gleichung einer zur x-Achse parallelen Gerade (sie entspricht einer zur y-Achse senkrechten
Gerade) beschreibt eine Funktion, da jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Die Gleichung
einer zur y-Achse parallelen Gerade (sie entspricht einer zur x-Achse senkrechten Gerade) beschreibt
keine Funktion, da dem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet werden.
Die beiden Koordinatenachsen sowie die Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten bzw. die
Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten stehen jeweils senkrecht aufeinander.
Kx
Kx
Kx
1
a) g1: y = –0,5 (K)
g5: x = 3 (M)
g2: y – 1,5x = 0 (L)
g3: y = 3 (A)
g4: –y = 23 x (M)
g6: 1,5 = – x (E)
g7: y – 1,5 = – 23 x (R)
Lösungswort: KLAMMER
b) Die Geraden g1 und g3 sind parallel: Sie haben die gleiche Steigung (m1 = m3 = 0), aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte (t1 = –0,5; t3 = 3); insbesondere sind sie parallel zu x-Achse.
Die Geraden g4 und g7 sind parallel: Sie haben die gleiche Steigung m4 = m7 = – 23 , aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte (t4 = 0; t7 = 1,5).
Die Geraden g4 und g7 sind orthogonal zu g2: m4 · m2 = m7 · m2 = – 23 · 32 = –1.
Die Geraden g5 und g6 sind parallel, insbesondere sind sie parallel zur y-Achse und orthogonal zur
x-Achse und zu g1 und g3.
Kx
2
2,5
Gerade AB: mAB = –26 –– 0,5
2 = – 4 = –0,625 ⇒ y = –0,625x + tAB
– (–2)
4
Gerade BC: mBC = 28,5
– 6 = 2,5 = 1,6
Gerade AC: mAC =
2 – 0,5
8,5 – 2
=
1,5
6,5
3
= 13
⇒ y = 1,6x + tBC
3
⇒ y = 13
x+ tAC
Produkte von je zwei Steigungen:
y
mAB · mBC = –0,625 · 1,6 = –1
3
3
· (–0,625)= – 1,875
mAC · mAB = 13
13 ≠ –1
1
3
= 4,8
mBC · mAC = 1,6 · 13
13 ≠ –1
C
2
⇒ Die Geraden AB und BC sind orthogonal.
0
–1
–1
A
0
1
2
3
4
5
–2
6
7
8
9
10 x
B
–3
Kx
3
a) A in y = –2x + t einsetzen: 4 = –2 · (–3) + t ⇔ t = –2 ⇒ A liegt auf der Gerade g (–2): y = –2x – 2.
b) B in y = –2x + t einsetzen: 5 = –2 · (–2) + t ⇔ t = 1 ⇒ B liegt auf der Gerade g (1): y = –2x + 1.
c) C in y = –2x + t einsetzen: 18 = –2 · 7 + t ⇔ t = 32 ⇒ C liegt auf der Gerade g (32): y = –2x + 32.
Kx
4
a) B (1 | 4)
Kx
5
Manuel hat Recht: Die Gerade mit der Gleichung y = xB · x (mit xB ≠ 0) führt sowohl durch den Ursprung
B
als auch durch den Büschelpunkt B (xB | yB) eines gegebenen Geradenbüschels g (m). Da B auf dieser
Gerade liegt, gehört diese nach der Definition von „Geradenbüschel“ zu g (m). Falls xB = 0 ist, dann
liegt B auf der y-Achse.
b) B (–2 | 4)
c) B (–2 | 8)
d) B (–4 | 1)
e) B (3 | 1)
f) B (0 | 3)
y
Schulbuchseite 81
Kapitel 3
Kx
6
Verschiebt man die Geraden einer Parallelenschar mit einem Vektor v = –23 , so werden diese auf
dieselbe Parallelenschar abgebildet: g (t) = g' (t): y = 2x + t und. Die Steigung der Geraden bleibt erhalten, nur die Achsenabschnitte der einzelnen Geraden verändern sich durch die Parallelverschiebung.
y
3
v
2
1
0
–3
–2
–1
0
–1
1
2
3
4
5
6
x
–2
–3
–4
Kx
7
a)
y
m1 = 1: g (1): y = x + 3
m2 = 2: g (2): y = 2x
m3 = –1: g (–1): y = –x + 9
9
8
g (1): y = x + 3
7
M
6
5
g (–1): y = –x + 9
4
3
g (2): y = 2x
2
1
–2
0
D 0
–1
–1
1
2
C
–2
3
4
5
6
7
8
9
x
1
s: y = – 2 x
b) Allgemein gilt für g (m):
y = mx – 3 (m – 2) ⇔ y = m (x – 3) + 6; der Büschelpunkt von g (m) ist M (3 | 6). Damit liegt M auf
jeder Gerade von g (m).
Rechnerisch: M in g (m) einsetzen: 6 = m (3 – 3) + 6 ⇔ 6 = 6 (wahr) ⇒ M ∈ g (m).
c) Für die Ursprungsgerade von g (m) gilt: –3 (m – 2) = 0 ⇔ m = 2.
Die Ursprungsgerade des Geradenbüschels hat die Steigung m = 2, ihre Gleichung ist y = 2x.
Die dazu orthogonale Ursprungsgerade hat die Steigung m = – 12 ; ihre Gleichung ist: y = – 12 x.
Kx
8
a) m (a) = (a – 1); t (a) = –3 (a – 1) + 5 = –3a + 8
b) Parallele zur x-Achse:
m (a) = 0 ⇔ (a – 1) = 0 ⇔ a = 1; t (1) = 5
g (1): y = 5 ist parallel zur x-Achse.
Schulbuchseite 81
Gerade mit Achsenabschnitt t (a) = 3:
t (a) = 3 ⇔ –3a + 8 = 3 ⇔ a = 53 ; m 53 = 23
g 53 : y = 23 x + 3 hat den Achsenabschnitt 3.
Kapitel 3
Verständnis
Um die Funktionsgleichung einer Hyperbel angeben zu können, muss man nur einen Punkt P (xP | yP)
kennen. Mit den Koordinaten xP und yP kann man den Faktor k und damit die Funktionsgleichung
y ·x
bestimmen: k = yP · xP ⇒ y = P x P .
Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.:
Die Asymptote ist eine Gerade, die keinen gemeinsamen Punkt mit der Hyperbel hat; die Hyperbel
kommt der Asymptote immer näher, berührt sie aber nicht.
Kx
Kx
Kx
1
a) bis d)
x
a) k = 4
b) k = –3
c) k = 2
d) k = –0,5
y = 4x
y = –3
x
2
y= x
y = –0,5
x
–4
–3
–1
– 43
–2
–1
0
–2
–4
/
3
4
– 12
1
8
1
3
2
3
– 23
–1
1
6
1
4
1
2
3
4
4
2
4
3
1
/
–3
– 32
–1
– 43
–2
/
2
1
1
2
/
– 12
– 41
2
3
– 16
1
2
– 18
y
4
b)
a)
3
2
d)
c)
1
0
–5
–4
–3
–2
–1
–1
0
1
2
3
4
5
x
–2
–3
–4
Kx
2
Die x-Koordinaten von A und B bzw. die y-Koordinaten C und D werden in die Gleichung y = – 0,5
x eingesetzt und so die fehlenden Koordinaten yA und yB bzw. xC und xD ermittelt. Hierbei wird die Äquivalenz
ausgenutzt (mit x und y ungleich null):
0,5
y = – 0,5
x ⇔x=– y
0,5
= –2
a) yA = – 0,25
b)
c)
d)
Kx
3
0,5
= –0,2
yB = – –2,5
xC = – 0,5
–5 = 0,1
0,5
= 50
xD = – –0,01
⇒ A (0,25 | –2)
⇒ B (2,5 | –0,2)
⇒ C (0,1 | –5)
⇒ D (50 | –0,01)
Es liegt eine Funktion mit der Gleichung der Form y = kx vor, wenn die Zahlenpaare produktgleich sind,
d. h., wenn es ein k gibt, sodass für alle (x | y)-Paare gilt: x · y = k.
a) Die Zahlenpaare gehören zu einer Funktion mit der Gleichung der Form y = kx mit positivem k.
Der Graph verläuft im I. und III. Quadranten.
x
y
x·y
–3
–2
6
–1
–6
6
0,5
12
6
4
1,5
6
5
1,2
6
Schulbuchseite 83
Kapitel 3
b) Die Zahlenpaare gehören nicht zu einer Funktion mit der Gleichung der Form y = kx , da keine
Produktgleichheit vorliegt.
x
y
x·y
–2
2
–4
–0,5
0,5
–0,25
0,2
–0,2
–0,04
3,5
3,5
12,25
12
12
144
c) Die Zahlenpaare gehören nicht zu einer Funktion mit der Gleichung der Form y = kx , da keine
Produktgleichheit vorliegt.
x
1
1,5
3
6
9
y
– 16
– 16
– 19
– 16
1
– 18
– 16
1
– 27
– 29
1
– 54
x·y
– 16
d) Die Zahlenpaare gehören zu einer Funktion mit der Gleichung der Form x = kx mit positivem k.
Der Graph verläuft im I. und III. Quadranten.
x
y
x·y
–2
–1,6
3,2
–0,8
–4
3,2
–0,2
–16
3,2
0,016
200
3,2
10
0,32
3,2
Kx
4
k
⇔
k = –14
⇒ y = – 14
I (–2 | 7) einsetzen in y = kx : 7 = –2
x
Asymptoten: x = 0 und y = 0 (Betrachte sehr große/sehr kleine Werte für x.)
Kx
5
Es treffen folgende Aussagen zu: 1 , 3 , 4 , 5 .
Kx
6
Pia multipliziert xP mit yP und xQ mit yQ, prüft also auf Produktgleichheit. Da 1 · 10 ≠ 1 · 20 ist, folgt,
dass die beiden Punkte nicht auf derselben Hyperbel liegen können.
Kx
7
a) Es sind individuelle Lösungen für Länge und Breite möglich, z. B.:
Länge x (in m)
Breite y (in m)
1000
1
500
2
250
4
200
5
100
10
50
20
40
25
33,33
30
b) Da stets eine Produktgleichheit für Länge x und Breite y vorliegt (x · y = 1000), lautet die Funktionsgleichung: y = 1000
x .
c) = ×
Breite y (in m)
50
y=
40
1000
x
A (33,3 | 30)
B (40 | 25)
C (50 | 20)
30
20
D (100 | 10)
10
Länge x (in m)
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100 110 120 130
d) Es sind individuelle Antworten möglich, z. B.:
Die Differenz zwischen Länge und Breite sollte nicht zu groß sein, also nicht 1000 m lang und 1 m
breit, sondern eher 40 m lang und 25 m breit oder 33,33 m lang und 30 m breit; die Koppel sollte
(fast) quadratisch sein, da der Umfang hierbei relativ klein ist und damit die Kosten für einen Zaun
möglichst niedrig sind.
Schulbuchseite 83
Kapitel 3
Kx
1
a) = {–4; –2; 1; 2}; = {0; 2; 5; 6}
b) Relationsvorschrift: x – y = –4; R = {(–4 | 0); (–2 | 2); (1 | 5); (2 | 6)} = {(x | y) | y = x + 4}
c) Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.: x – y ≤ –4 bzw. y ≥ x + 4.
Kx
2
a) Die Produktmenge enthält 3 · 3 = 9 Elemente.
b) M1 × M2 = {(–1 | –2); (–1 | 1); (–1 | 3); (0 | –1); (0 | 1); (0 | 3); (1 | –2); (1 | 1); (1 | 3)}
y
4
3
2
1
0
–2
–1
–1
0
1
2
3
x
–2
–3
c) Gregor hat Recht: Bei der Relation R1: y = 2 – x handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element
x aus = {–1; 1} ⊆ M1 genau ein Element y aus ⊆ M2 zugeordnet wird: R1 = {(–1 | 3); (1 | 1)}.
d) Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.: y ≥ 2x – 1.
Kx
3
a) und b) R: y = –2,5x + 1; = ;
x
–4
–3
–2
y
11
8,5
6
=
–1
3,5
0
1
1
–1,5
2
–4
3
–6,5
4
–9
y
5
R; y = –2,5x + 1
4
3
y=x
2
1
0
–5
–4
–3
–2
–1
–1
–2
0
1
2
3
4
5
6
7
x
R–1; y = –0,4y + 0,4
–3
c) Bestimmung von R–1: x = –2,5y + 1 ⇔ 2,5y = –x + 1 ⇔ y = –0,4x + 0,4
d) R als auch R–1 sind Funktionen, da sie jedem x-Wert einen eindeutigen y-Wert zuordnen.
e) Nullstelle von R: –2,5x + 1 = 0 ⇔ x = 0,4;
Nullstelle von R–1: –0,4x + 0,4 = 0 ⇔ x = 1.
Kx
4
a) Die Funktion f kann bei x = 2 den y-Wert 0 von X (2 | 0) nicht annehmen.
Die Funktion f nimmt für alle x den y-Wert 7 an, insbes. auch für x = 0.
b) X (2 | 0) einsetzen: 0 = –2,5 · 2
⇔ 0 = –5 (falsch)
Y (0 | 7) einsetzen: 7 = –2,5 · 0
⇔ 7 = 0 (falsch)
2
c) X (2 | 0) einsetzen: 0 = 13 · 2 + 7 = 23
3 ⇔ 0 = 7 3 (falsch)
⇔7=7
Y (0 | 7) einsetzen: 7 = 13 · 0 + 7
d) X (2 | 0) einsetzen: 0 = 22 – 4 · 2 + 4 ⇔ 0 = 0
Y (0 | 7) einsetzen: 7 = 02 – 4 · 0 + 4 ⇔ 7 = 4
(wahr)
(wahr)
(falsch)
⇒X∉f
⇒Y∈f
⇒X∉f
⇒Y∉f
⇒X∉f
⇒Y∈f
⇒X∈f
⇒Y∉f
Schulbuchseite 84
Kapitel 3
Kx
5
Bei a) und b) liegt eine Funktion vor, da jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Bei c) liegt
keine Funktion vor, da den x-Werten 0, 1 und 2 jeweils mehrere y-Werte zugeordnet werden.
Kx
6
Jeanette hat nicht Recht: Der Graph der Funktion f: y = 0,000001x + 2 ist eine Gerade mit der Steigung
m = 0,000001 und dem y-Achsenabschnitt t = 2. Die Steigung ist minimal, daher kann man denken, es
handele sich um eine Parallele zur x-Achse mit y = 2. Wenn man jedoch einen geeigneten x-Wert wählt,
z. B. x = 1 000 000, so ist der y-Wert 3 ≠ 2 und man sieht, dass der Graph keine Parallele zur x-Achse ist.
Kx
7
Mögliche Antwort: Eine Funktion f ist genau dann umkehrbar, wenn es eine Umkehrfunktion f–1 gibt,
für die gilt: Jedem x-Wert aus f–1 wird genau ein y-Wert aus f–1 zugeordnet.
Kx
8
0
= 0 ⇒ y = 0 (x-Achse)
Ursprungsgerade g mit 0 (0 | 0) und P (–4 | 0) auf g ⇒ y = mx und m = –4
Kx
9
Durch Vergleich der Funktionswerte bei x = 0 mit den y-Achsenabschnitten in der Zeichnung erkennt
man, dass …
g1 (x) den y-Achsenabschnitt t1 = 3 hat, also rot ist mit g1: y = – 13 x + 3;
g2 (x) den y-Achsenabschnitt t2 = –8 hat, also gelb ist mit g2: y = 4x – 8;
g3 (x) den y-Achsenabschnitt t3 = –1 hat, also grün ist mit g3: y = –1;
g4 (x) den y-Achsenabschnitt t4 = 2 hat, also blau ist mit g4: y = 13 x + 2.
Kx
10 a) Je Nährwert handelt es sich um eine direkte Proportionalität und damit um eine lineare Funktion
der Form y = mx. Auf 1 Portion à 80 g Spaghettini kommen jeweils 2,8 g Zucker, 1,5 g Fett und 0 g
Natrium.
Zucker: gZ (x): y = 2,8x
Fett:
gF (x): y = 1,5x
Natrium: gN (x): y = 0
6
5
4
Masse an Nährwert (in g)
Zucker:
y = 2,8x
1 Portion à 80 g
7
Fett:
y = 1,5x
3
2
Natrium:
y=0
1
0
–1
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Masse Spaghettini (Portionen à 80 g)
b) 1 Portion à 80 g Spaghettini enthält 2,8 g Zucker und entspricht 3 % des Tagesbedarfs an Zucker,
x Portionen entsprechen 100 %, also:
· 100 % ⇔ x Portionen = 33 13 Portionen
x Portionen = 1 Portion
3%
1
33 3 Portionen entsprechen 33 13 · 80 g = 2666,66 g Spaghettini.
Mit rund 2,7 kg Spaghettini könnte man seinen Tagesbedarf an Zucker decken. Guten Appetit!
Schulbuchseite 84/85
Kapitel 3
Kx
11 Die Funktionsgleichung ist y = mx – 0,5 mit 1 < m < 3,75, der Graph der Funktion verläuft im schraffierten Bereich.
y
9
y = 3,7x – 0,5
8
7
6
5
4
3
y = x – 0,5
2
1
0
–3
Kx
–2
–1
0
–1
1
2
3
4
5
6
x
5
12 P1 (0 | 5) und P2 (5 | 0) liegen auf der Gerade g, daher ist t = 5 und m = 50 –– 05 = –5
= –1.
Funktionsgleichung von g: y = –x +5.
Spiegelt man P1 (0 | 5) und P2 (5 | 0) an der Winkelhalbierenden w des I. und III. Quadranten, so erhält
man P1' (5 | 0) = P2 (5 | 0) und P2' (0 | 5) = P1 (0 | 5).
Für die Umkehrfunktion g–1 mit P1' (5 | 0) und P2' (0 | 5) auf g–1 gilt: y = –x + 5, d. h.: g–1 = g.
1
b) g: y = 3x
; =
\ {0} c) h: y = 5x ; =
Kx
13 a) f: y = 4x; =
d) k: y = x + 2; =
Kx
14 Die Aussage ist falsch. Richtig ist: Die Gerade g2 verläuft steiler als g1, da m2 größer als m1 ist.
Begründung: Die Geraden g1 und g2 seien Ursprungsgeraden mit den zugehörigen Steigungsvektoren
v1 und v2. Dann gilt: 0 (0 | 0) und (15 | 6) ∈ g1 bzw. 0 (0 | 0) und (9 | 6) ∈ g2.
Berechnung und Vergleich der Steigungen m1 und m2:
6
m1 = 15
= 0,4; m2 = 69 = 23 ≈ 0,67 ⇒ m2 > m1.
Kx
15 a) und b)
y
6
5
S1
f: y = – 43 x + 5
4
3
2
g1: y = – 43 x + 4,5
1
0
–2
–1
–1
0
1
2
3
S2
4
5
7
8
9
10
11 x
A
–2
–3
6
g2: 43 x – 12 16
Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse: y-Achsenabschnitt t = 5
Schnittpunkt des Graphen von f mit der x-Achse: – 43 x + 5 = 0 ⇔ x = 20
3
⇒ S1 (0 | 5)
⇒ S2 (6 23 | 0)
Schulbuchseite 85/86
Kapitel 3
c) Die Gerade g1 ist Parallele zu f, die Steigung bleibt gleich.
⇒ m1 = – 43
A (8 | –1,5) in y = – 43 x + t1 einsetzen: –1,5 = – 43 · 8 + t1
⇒ t1 = 4,5
Die Gerade g1 gehört zur Parallelenschar mit m1 = – 43 .
⇒ g1: y = – 43 x + t1
⇒ g1: y = – 43 · x + 4,5
Die Gerade g1 hat den y-Achsenabschnitt t1 = 4,5.
⇒ m2 = – m1 = 43
1
⇒ g2: y = 43 x + t2
d) Die Gerade g2 ist Orthogonale zu g1.
Die Gerade g2 gehört zur Parallelenschar mit m2 = 43 .
A (8 | –1,5) in y = 43 x + t2 einsetzen: –1,5 = 43 · 8 + t2
1
⇒ t2 = – 73
6 = – 12 6
Die Gerade g2 hat den y-Achsenabschnitt t2 = – 12 16 .
⇒ g2: y = 43 x – 12 16
Kx
16 Mögliche Antwort:
„Tim, du hast richtig gerechnet. Nur dein Antwortsatz ist falsch: Die Nullstelle ist nicht der Punkt
(45,5 | 0), sondern nur die x-Koordinate 45,5. Schau im Merkwissen nach, dort steht: Die x-Koordinate
des Schnittpunkts des Funktionsgraphen mit der x-Achse bezeichnet man als Nullstelle.“
Kx
17 a) bis d)
y
7
fa: y = 4x + 2,5
6
5
4
3
1
fb: y = | 2 x|
2
fc: y = |4 – x|
1
0
–5
–4
–3
–2
–1
0
–1
–2
1
2
3
4
5
6
7
fd: y = – 13 x – |–2|
–3
Kx
18 a) bis d)
Mietpreis in €
400
350
300
250
200
150
y = 0,5x + 85
y = 245
y = 150
100
y = 85
50
0
–50
–50
x = 130
0
x = 320
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
gefahrene Strecke in km
Schulbuchseite 86
8
9
x
Kapitel 3
a) Gleichung mit x ∈ (Anzahl der gefahrenen km) und y ∈ (Mietpreis in €): y = 0,5x + 85
b) Grafisch erhält man (ungefähr) den Punkt (320 | 245), d. h. für 320 km einen Mietpreis von 245 €.
Rechnerisch erhält man mit x = 320: y = 0,5 · 320 + 85 = 245, d. h. einen Mietpreis von 245 €.
Für 320 km muss man 245 € bezahlen.
c) Grafisch erhält man (ungefähr) den Punkt (130|150), d. h. eine Strecke von 130 km für 150 €.
Mit y = 150 erhält man rechnerisch: 150 = 0,5 · x + 85 ⇔ x = 300 – 170 = 130, d. h. eine gefahrene
Strecke von 130 km für 150 €. Für 150 € kann man 130 km fahren.
d) Graphisch bedeuten die unterschiedlichen km-Gebühren bei gleichem Grundpreis von 85 € das
Geradenbüschel g (m) durch den Punkt (0 | 85). Es gilt für g (m): y = mx + 85 mit m ∈ (es ist
anzunehmen, dass m positiv ist).
Kx
19 a) Einsetzen von P (–2,3 | 4) in die Gleichung k = y · x ergibt: k = 4 · (–2,3) = –9,2.
Für die Funktionsgleichung der Hyperbel gibt es genau eine Lösung:
h: y = – 9,2
x mit x ∈ \ {0}.
Einsetzen von P (–2,3 | 4) in die Gleichung des Geradenbüschels g (m) ergibt:
g (m): y = m · (x – xP) + yP = m · (x + 2,3) + 4.
In Abhängigkeit von m ∈ erhält man unendlich viele Gleichungen, z. B.:
g (0): y = 4;
g (1): y = x + 6,3;
g (2): y = 2x + 8,6;
g (3): y = 3x + 10,9;
g (–1): y = –x + 1,7;
g (–2): y = –2x – 0,6;
g (–3): y = –3x – 2,9.
y
10
g (2)
9
8
g (m): y = m · (x + 2,3) + 4
7
g (1)
6
5
P
g (0)
4
3
9,2
h: y = – x
2
g (–1)
1
0
–14 –13 –12 –11 –10 –9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
g (–3)
–1
–2
0
1
2
3
4
5
6
x
g (–2)
–3
–4
P' (2,3 | –4)
–5
–6
b) P (–2,3 | 4) ist der Büschelpunkt der Geradenschar g (m): y = m · (x + 2,3) + 4 mit m ∈ .
Kx
20 Für die Steigung m2 der gegebenen Geradenschar g (t) mit m1 = 78 gilt: m2 = – m1 = – 87 = – 1 17 .
Die Funktionsgleichung der Parallelenschar h (t) lautet: y = – 87 x + t mit t ∈ .
1
Schulbuchseite 86
Kapitel 3
Kx
21 Geradengleichung von g: y – 2,5 = 0,2x ⇔ y = 0,2x + 2,5
Geradengleichung von h: 0,6x –3y = 24 ⇔ y = 0,2x – 8
Für die Steigungen gilt: mg = mh = 0,2; für die y-Achsenabschnitte gilt: tg = 2,5 ≠ th = –8.
Aus mg = mh folgt, dass g und h parallel sind. Aus tg ≠ th folgt, dass g und h zwei verschiedene Geraden
sind.
Kx
22 Umformung der Gleichungen in die Form der Geradenbüschel g (m) mit y = m · (x – xB) + yB und
Büschelpunkt B (xB | yB).
1 : y = m (x – 7) – 7
⇒ B1 (7 | –7)
2 : y = m (x – 7,7) – 7,7 ⇒ B2 (7,7 | –7,7)
3 : y = (m – 7) (x – 0) – 7 ⇒ B3 (0 | –7)
4 : y = m (x – 7) – 7
⇒ B4 (7 | –7) = B1 (7 | –7)
5 : y = m (x – 7,7) – 7,7 ⇒ B5 (7,7 | –7,7) = B2 (7,7 | –7,7)
6 : y = m (x – 0) – 15,4
⇒ B6 (0 | –15,4)
Die Gleichungen der Geradenbüschel 1 und 4 und die der Geradenbüschel 2 und 5 beschreiben
dasselbe Geradenbüschel.
Kx
23
y
9
y = –x + 9
8
7
5
4
3
G
1
y= 3x+3
B
P
2
A
1
0
–1
–1
C
D
6
y=x
0
1
2
3
4
5
6
7
x
a) AD = yxD –– xyA = yxD –– 22 und BC = 77 –– 63 = 41 . In der Raute gilt: BC = AD.
D
A
D
Hieraus folgt: yxD –– 22 = 41 bzw. xD = 3 und yD = 6, d. h. D (3 | 6).
D
b) Es werden die Steigungen der Diagonalen AC und BD betrachtet:
7–2
6–3
3–6
mAC = ∆y
mBD = ∆y
⇒ mAC · mBD = –1
∆x = 7 – 2 = 1;
∆x = 3 – 6 = – 3 – 6 = –1;
c) Zur Ermittlung von g (m) benötigt man zunächst den Büschelpunkt G (xG | yG).
Dieser ist der Mittelpunkt der Strecke AC, also:
xA + xC yA + yC
2 | 2
= G 2 2+ 7 | 2 2+ 7 = G (4,5 | 4,5).
Alternative zur Ermittlung von G (xG | yG):
Ermittlung der Gleichungen von AC und BD durch Einsetzen: gAC: y = x; gBD: y = –x + 9.
Ermittlung von G (xG | yG) als Schnittpunkt von gAC und gBD:
x = –x + 9 ⇔ x = 4,5 ⇒ y = 4,5 ⇒ G (4,5 | 4,5).
Die Gleichung des Geradenbüschels mit Büschelpunkt G (4,5 | 4,5) ist:
g (m): y = m (x – 4,5) + 4,5.
–1,5
d) P (0 | 3) in g (m) einsetzen: 3 = m (0 – 4,5) + 4,5 ⇔ m = –4,5
= 13 .
Die Gerade g 13 schneidet die y-Achse in P (0 | 3), der y-Achsenabschnitt ist t = 3; damit gilt:
g 13 : y = 13 x + 3.
G (xG | yG) = G
Schulbuchseite 86/87
Kapitel 3
Kx
Kx
24 y – 0,5x – 2t = –3 ⇔ y = 0,5x + 2t – 3 ⇒
Einsetzen von yn = y + 5 ergibt:
25
g (t): y = 0,5x + (2t – 3)
yn = [0,5x + (2t – 3)] + 5
yn = 0,5x + 2t – 3 + 5
yn = 0,5x + 2t + 2
y
Parallelenschar: g (t): y = –2x + t
5
P2
g2 = g (1): y = –2x + 1 4
3
2
A
AB = g (–2): y = –2x – 2
0
–5
–4
–3
–2
–1
x=2
1
–1
0
1
2
3
–2
yB = –6
⇒ B (2 | –6)
–4
–5
g1 = g (–8): y = –2x – 8
x
a) g1: 0,5y + x + 4 = 0 ⇔ y + 2x + 8 = 0 ⇔
y = –2x – 8; m1 = –2; t1 = –8
Die Steigung von g (t) ist: m0 = –2.
Es gilt: m1 = m0 = –2, aber t1 ∉ [–4; 4] .
⇒ g1 gehört nicht zur Parallelenschar g (t).
b) P2 (–2 | 5) in g (t): y = –2x + t einsetzen:
5 = –2 · (–2) + t ⇔ t = 1
⇒ g2 = g (1): y = –2x + 1
c) „Die Gerade AB gehört nur dann zur Geradenschar g (t), wenn für mAB gilt: mAB = m0 = –2.“
yB – 2
mAB = –2 ⇔ ∆y
∆x = –2 ⇔ 2 – (–2) = –2 ⇔
–3
–6
4
⇔
⇔
⇒ Pn (x + 2 | 0,5x + 2t + 2)
B
–7
–8
Schulbuchseite 87
Kapitel 3
Kx
Funktionsgraphen – Basics
a)
b)
c) Selektion von f:
d) Die Eingaben 1 und 2 erzeugen je eine Geradenschar.
1 Y1 = 2X + K, [K = –4, –2, 0, 2, 4]
Es entsteht eine Schar von zueinander parallelen Geraden mit Steigung 2 und y-Achsenabschnitt K.
e)
2
Y1 = K · X – 2, K = [–4, –2,5, 1, 32 , 2]
Es entsteht ein Büschel von Geraden mit Steigung K und Büschelpunkt (0 | –2).
1
Man erhält eine Raute mit den Eckpunkten A (–4 | 0), B (0 | –2), C (4 | 0) und D (0 | 2).
2 Lösungsmöglichkeit:
Schulbuchseite 88
Kapitel 3
Kx
Windows – auch beim GTR
a)
b) Anzeige für den Bereich
–13 ≤ x ≤ 15 und –5 ≤ y ≤ 30:
c)
Anzeige für den Bereich
–10 ≤ x ≤ 10 und –10 ≤ y ≤ 10:
1
2
Lösungsmöglichkeit mit g: Y2 = X:
Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt S (2 | 2) unter einem Winkel von 90°, da das Produkt
ihrer Steigungen –1 ergibt. Allerdings ist die aktuelle Darstellung auf dem GTR durch die Wahl
des angezeigten Ausschnitts verzerrt, sodass der rechte Winkel nicht als solcher zu erkennen ist.
Will man erreichen, dass die beiden Achsen in der Bildschirmanzeige gleich skaliert sind (und
damit rechte Winkel auch als solche erkennbar sind), so muss man den dargestellten „x-Bereich“
doppelt so groß wählen wie den „y-Bereich“, da der Bildschirm (im Falle des hier verwendeten
Rechners) doppelt so breit wie hoch ist.
3
Schulbuchseite 88/89
Kapitel 3
Kx
Besondere Punkte
a)
b) Die y-Achsenabschnitte sind 1,5 bzw. –4,6.
c) Die Grafik legt nahe, dass die beiden Graphen senkrecht aufeinander stehen, die Rechnung bestätigt:
m1 · m2 = – 56 · 1,2 = – 56 · 65 = –1.
Da das Produkt der Steigungen der beiden Funktionen –1 ergibt, schneiden sich die Geraden tatsächlich unter einem rechten Winkel.
d) Die Funktionen haben Nullstellen bei x = 1,8 bzw. bei x = 3 56 . Der GTR zeigt im Falle von x = 3 56 allerdings nur einen gerundeten Wert an.
e) Fehlende Koordinaten von Punkten auf Funktionsgraphen können mithilfe von X-CAL (y-Wert gegeben, x-Wert gesucht) bzw. Y-CAL (x-Wert gegeben, y-Wert gesucht) bestimmt werden. Sind mehrere
Funktionsgraphen gegeben, so kann der gewünschte Funktionsterm mithilfe der Pfeiltasten angewählt
werden.
Die Bestimmung von x bei A (x | –3) ∈ f mithilfe von X-CAL ergibt: A (5,4 | –3).
Die Bestimmung von y bei B (2 | y) ∈ g mithilfe von Y-CAL ergibt: B (2 | –2,2).
Schulbuchseite 89
Kapitel 3
Kx
1
a) M1 × M2 = {(–4 | 10); (–4 | 21); (–3 | 10); (–3 | 21); (–1 | 10); (–1 | 21)}
b) M1 × M2 = {(x | –2); (x | –1); (x | 0); (x | 1); (x | 2); (x | 3); (x | 4);
(y | –2); (y | –1); (y | 0); (y | 1); (y | 2); (y | 3); (y | 4)}
Kx
2
Die Produktmenge [1; 3] × [2,5; 4,5] lässt sich nicht aufzählend ( 1 ) angeben, da die Mengen
[1; 3] und [2,5; 4,5] unendlich viele Elemente haben und die Produktmenge daher ebenfalls unendlich viele Elemente hat.
Kx
3
a)
b)
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
–2
–1
y
–1
0
0
1
2
3
x
–2
–1
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
Kx
4
a) R = {(3 | 5); (3 | 6); (3 | 7); (6 | 7)} mit = {3; 6} und = {5; 6; 7}
b) R = {(–4 | –1); (–2 | –2); (–1 | –4); (1 | 4); (2 | 2); (4 | 1)} mit = = {–4; –2; –1; 1; 2; 4}
Kx
5
R = {(x | y) | x = y} mit (x | y) ∈ [1; 6] × [1; 6] = {(1 | 1); (2 | 2); (3 | 3); (4 | 4); (5 | 5); (6 | 6)}
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Kx
6
a) R1 = R1–1 = {(0,5 | 1,5); (1,5 | 0,5); (1,5 | 1,5); (1,5 | 2,5); (2,5 | 1,5)} mit = = {0,5; 1,5; 2,5}
R2 = {(1 | 0); (1 | 1); (1 | 2)} mit = {1} und = {0; 1; 2}
R2–1 = {(0 | 1); (1 | 1); (2 | 1)} mit = {0; 1; 2} und = {1}
b) Nur R2–1 ist eine Funktion, da bei dieser Relation jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird.
Bei den Relationen R1, R1–1 und R2 ist dies nicht erfüllt.
Kx
7
a) Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.:
Die Geraden der Geradenschar g (m): y = mx + t mit Büschelpunkt P (–0,75 | 0) haben eine Nullstelle
bei x = –0,75; d. h.:
y = m (x + 0,75) + 0 ⇔ y = mx + 0,75m für m ∈ .
g (0): y = 0 (x-Achse);
g (1): y = x + 0,75;
g 43 : y = 43 x + 1;
g 13 : y = 13 x + 0,25.
b) Es sind individuelle Lösungen möglich, z. B.:
Jede (echte) Parallele zur x-Achse mit y = a (a ≠ 0) hat keine Nullstelle.
Hyperbeln der Form y = kx (k ≠ 0) haben keine Nullstelle.
Eine nach oben verschobene Betragsfunktion, z. B. y = |x| + 1, hat keine Nullstelle.
Schulbuchseite 90
Kapitel 3
⇔ 7 = 5 (falsch)
⇔ 7 = –1 (falsch)
⇒P∉f
⇒P∉f
Kx
8
a) P (–2,5 | 7) in f einsetzen: 7 = 4 · (–2,5)2 – (–2,5) – 22,5
b) P (–2,5 | 7) in f einsetzen: 7 = 15 · (–2,5) – 0,5
Kx
9
Die Aussage ist falsch. Richtig ist: Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn die zugehörige Umkehrrelation wieder eine Funktion ist.
Kx
10 f: y = 3,5;
Kx
11 a) Der Graph von f: y = x–1 ist eine Hyperbel.
b) Der Graph von f: y = x ist eine Ursprungsgerade.
c) Der Graph von f: y = x2 ist keine Ursprungsgerade, keine Hyperbel und auch keine Parallele zur
x-Achse (er ist eine Parabel).
d) Der Graph von f: y = –1 ist eine Parallele zur x-Achse.
Kx
12 Es sind individuelle Antworten möglich, z. B.:
Man markiert zunächst den y-Achsenabschnitt t auf der y-Achse als ersten Punkt der Gerade und zeichnet von diesem ausgehend das Steigungsdreieck, dass durch m vorgegeben ist.
Alternative: Man berechnet mithilfe der Funktionsgleichung zwei Punkte, die auf der Gerade liegen,
zeichnet diese ein und verbindet sie miteinander.
Kx
13 Betrachtet wird die Normalform von g: y = mx + t mit m, t ∈ .
– 1 –5
b) t in y = mx + t einsetzen: y = mx – 1
a) m = –4
–1 – 3 = –4 = 1,25
A in y = mx – 1 einsetzen:
A in y = 1,25x + t einsetzen:
–2 = –4m – 1 ⇔ m = 0,25
1 = 1,25 · 3 + t ⇔ t = –2,75
⇒ g: y = 0,25x – 1
⇒ g: y = 1,25x – 2,75
d) t in y = mx + t einsetzen: y = mx
c) m in y = mx + t einsetzen: y = 3x + t
10
m = –7,2
A in y = 3x + t einsetzen:
= – 25
18
–2,3 = 3 · 4,4 + t ⇔ t = –15,5
⇒ g: y = – 25
18 x
⇒ g: y = 3x – 15,5
g: y = – 27 x;
h: y = 57 x + 0,5;
i: y = 4x – 1;
k: x = –2,5.
y
Bd
10
9
x
gd: y = – 25
18
8
7
6
5
4
3
2
1
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
0 Ad
0
–1
1
–1
Tb
ga: y = 1,25x – 2,75
Schulbuchseite 90
2
3
4
5
6
7
–2
Ab
gb: y = 0,25x – 1
Aa
–3
Ba
–4
–5
Ac
gc: y = 3x – 15,5
x
Kapitel 3
Kx
14 a) f (x): y = 1,5x + 0,5
Es handelt sich um eine lineare Funktion der Form y = mx + t. Ihr Graph ist eine Gerade mit positiver
Steigung m = 1,5 und y-Achsenabschnitt t = 0,5.
b) x
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–4
–2,5
–1
0,5
2
3,5
5
y
c)
6
5
4
3
2
f: y = 1,5x + 0,5
1
0
–4
–3
–2
–1
–1
0
1
2
3
4
x
–2
–3
–4
Kx
15 Ermittlung der Nullstellen mithilfe von f (x) = 0.
a) –1,8x + 7,5 = 0
1
⇔ x = 7,5
1,8 = 4 6
Die Funktion f hat bei x = 4 16 eine Nullstelle.
c) 0 + 3 = 7,5
⇔ 3 = 7,5 (falsch)
Die Funktion f hat keine Nullstelle.
Der Graph von f ist eine Parallel zur x-Achse.
b) 0 + x + 3 = 0
⇔ x = –3
Die Funktion f hat bei x = –3 eine Nullstelle.
d) 0 = – 3x
⇔ 0 = –3 (falsch)
Die Funktion f hat keine Nullstelle
Der Graph von f ist eine Hyperbel.
Kx
16 Vergleich der Steigungen: m1 = 2; m2 = 0,5; m3 = –0,5; m4 = 0; m5 = 0,5; m6 = 0.
m1 · m3 = –1 ⇒ g1 ⊥ g3
m2 = m5 = 0,5 ⇒ g2 || g5
m4 = m6 = 0 ⇒ g4 || g6
Kx
17 Umkehrfunktion: „Vertausche x und y und stelle nach y um.“
Funktion f:
y = 3 (x – 1) + 0,25 mit = ×
–1
Umkehrfunktion f : x = 3 (y – 1) + 0,25 mit = ×
⇔ y = 13 x + 2,75
3
⇔ y = 13 x + 11
12
Schulbuchseite 90/91
Kapitel 3
Kx
18 Wenn AB ⊥ BC, BC ⊥ CD, CD ⊥ DA, DA ⊥ AB ist, dann ist ABCD ein Rechteck (es genügen die Winkelmaße von drei der vier Winkel: Wenn drei Winkel im Viereck das Winkelmaß von 90° haben, muss auch
das Winkelmaß des vierten Winkels 90° sein).
Vergleich der Steigungen der Geraden AB, BC, CD und AD:
–1
1
mBC = 36 +– 51 = 4;
mAB = –1
5 + 3 = – 4;
5–3
1
1–5
mDA = –3
mCD = –2
– 6 = – 4;
+ 2 = 4.
⇒
mAB · mBC = mBC · mCD = mCD · mDA = mDA · mAB = –1
Alle benachbarten Geraden stehen senkrecht aufeinander, das Viereck ist ein Rechteck.
Kx
19
y
a) g (m):
g (8):
g (8): y = 8x + 2
4
3
g – 41 :
2
g (4): y = 4x
1
0
–4
–3
–2
–1
–1
B
–2
0
1
2
3
4
5
6
x
g (0): y = –2
–3
–4
g – 41 : y = – 41 x – 2 18
y = mx + 0,5 (m – 4)
y = 8x + 0,5 (8 – 4)
⇔ y = 8x + 2
y = – 41 x + 0,5 – 41 – 4
⇔ y = – 41 x – 2 18
g (0):
y = –2
b) g (m): y = mx + 0,5 (m – 4)
⇔ y = m (x + 0,5) – 2
⇒ B (–0,5 | –2)
c) B (–0,5 | –2) und 0 (0 | 0) ∈ g (mc)
–2
⇒ mc = –0,5
=4
g (4): y = 4x
Kx
20 Für die Parallelenschar gilt, dass alle Geraden der Parallelenschar die gleiche Steigung m0 haben.
Ermittlung von m0 mithilfe von g:
g: 3,5x – 17 y + 1,1 = 0 ⇔ 17 y = 3,5x + 1,1 ⇔ y = 24,5x + 7,7
⇒ m0 = 24,5
⇒ Parallelenschar g (t): y = 24,5x + t
Kx
21 Brigitte hat Recht: Um die Funktionsgleichung einer Hyperbel angeben zu können, benötigt man nur
einen Punkt P (xP | yP) kennen. Mit den Koordinaten xP und yP kann man den Faktor k und damit die
Funktionsgleichung bestimmen: k = yP · xP ⇒ y =
Kx
yP · xP
x .
km
km
km
km
22 Umrechnung von km
h in min : 840 h = 840 60 min = 14 min .
In 1 min werden 14 km zurückgelegt, in 2 min 2 · 14 km, in 3 min 3 · 14 km, …
Es liegt eine direkte Proportionalität vor und damit eine Funktion f mit:
f (x): y = 14x für x ∈ , x ≥ 0.
Kx
23 Die Aussage ist richtig: Funktionen sind Relationen, bei denen jedem Element x aus der Definitionsmenge genau ein Element y aus der Wertemenge zugeordnet wird.
Kx
24 Die Aussage ist richtig. Sie trifft zu, wenn M1 genau ein Element enthält und M2 genau drei Elemente
(bzw. wenn M1 genau drei Elemente enthält und M2 genau 1 Element).
Kx
25 Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiele sind die Relation R: x = 0 mit = {0} und
Funktion f: x = y mit = = .
Kx
26 Die Aussage ist richtig. Eine Funktion der direkten Proportionalität hat die Form y = mx mit m ∈ .
Schulbuchseite 91
=
und die
Kapitel 3
Kx
27 Die Aussage ist falsch. Richtig ist: Die Umkehrfunktion einer linearen Funktion ist eine lineare Funktion.
Kx
28 Die Aussage ist richtig.
Kx
29 Die Aussage ist richtig (sofern m1 und m2 definiert sind, d. h. m1 ≠ 0 und m2 ≠ 0).
Kx
30 Die Aussage ist richtig, wenn man für „Parallelenschar“ die Definition gemäß dem Merkwissen anwendet, wonach Geraden mit gleicher Steigung, aber unterschiedlichen y-Achsenabschnitten eine Parallelenschar g (t) mit y = m0x + t bilden. (Die Geradenschar mit x = a für a ∈ enthält die y-Achse, erfüllt
aber nicht die Bedingungen der Parallelenschar.)
Kx
31 Die Aussage ist falsch. Die Graphen von Funktionen der indirekten Proportionalität sind Hyperbeln.
Kx
32 Die Aussage ist richtig.
Schulbuchseite 91
Kreuz und quer
K3
1
K5
2
a) Blattfläche gesamt:
21 cm · 29,7 cm
= 623,70 cm2
Verschnittfläche:
0,2 · 623,7 cm2
= 124,74 cm2
Verbleibende Fläche:
623,7 cm2 – 124,74 cm2 = 498,96 cm2
Fläche eines Konfettis:
3,14 · r2 = 3,14 · (0,2 cm)2 = 0,1256 cm2
498,96 cm2
Anzahl an Konfettis:
≈ 3973
0,1256 cm2
b) Anzahl an Konfettis aus 10 Bögen Papier: 3973 · 10 = 39 730
Anzahl an Konfettis aus 20 Bögen Papier: 3973 · 20 = 79 460
Anzahl an Konfettis aus 100 Bögen Papier: 3973 · 100 = 397 300
c) Fläche für 100 Bögen (ohne Verschnittfläche): 498,96 cm2 · 100 = 49 896 cm2 = 4,9896 m2
g
Masse einer Konfettipackung: 80 m2 · 4,9896 m2 = 399,168 g = 0,399168 kg ≈ 0,4 kg
r
d = 2r
u = 3,14 · d
A = 3,14 · r2
K2
3
a)
3 cm
6 cm
18,84 cm
28,26 cm2
b)
3,9 cm
7,8 cm
24,492 cm
47,7594 cm2
c)
1m
2m
6 m 28 cm
3,14 m2
d)
20 m
40 m
125,6 m
12,56 a
Es sind individuelle Lösungsansätze möglich, z. B.:
Das Aufteilen des Kreises in 10 Sektoren ergibt einen Kreissegment-Innenwinkel von 360°
10 = 36°.
Skizze:
Der Mittelpunkt TM von jedem Teller muss vom
Tischrand mindestens 13 cm (Radius) entfernt sein.
Die Kreismittelpunkte der 10 Teller befinden sich
daher auf einem Kreis mit Radius rTisch – 13 cm.
TTeller
Den Umfang des Kreises aller Tellermittelpunkte
13 cm
kann man schätzungsweise bestimmen als die GeMTeller
samtlänge l der in einer Reihe stehenden Teller:
l = 10 · 26 cm = 260 cm.
MTisch
Nun kann man den Radius des Tellermittelpunktkreises annähernd bestimmen:
l
cm
= 2260
rTM = 2 · 3,14
· 3,14 ≈ 41,40 cm
Der Radius des Tisches hat mindestens eine Länge
von 41,40 cm + 13 cm = 54,40 cm, der Durchmesser
beträgt mindestens 108,80 cm.
Berechnung:
Zur Ermittlung der genauen Werte konstruiert man ein Dreieck MTischMTellerTTeller mit folgenden Eigenschaften: Das Winkelmaß beträgt bei MTisch 36°
2 = 18°, bei MTeller 72° und bei TTeller 90° (die Gerade
durch MTisch und TTeller ist Tangente von MTisch an den Tellerkreis), die Länge der Strecke [MTellerTTeller]
beträgt 13 cm (Tellerradius). Die Konstruktion ergibt eine Länge von 42,07 cm für die Strecke zwischen
dem Tischmittelpunkt MTisch und dem Tellermittelpunkt MTeller. Addiert man den Tellerradius von 13 cm,
so erhält man: rTisch = 55,1 cm bzw. dTisch = 110,2 cm.
Der Tisch muss demnach (mindestens) einen Durchmesser von 110,2 cm haben.
Schulbuchseite 94
Kreuz und quer
MTischR = 5,51 cm
R
K3
4
TTeller
r = 13 cm
MTisch
72°
18°
MTeller
MTisch MTeller = 4,21 cm
Ap = 29 cm · 18 cm =
522,0 cm2
Fläche der 6 Kreise:
AK = 6 · 3,14 · (4,1 cm)2 =
316,7 cm2
Fläche des Abfalls:
Ap – AK = 522 cm2 – 316,7 cm2 =
205,3 cm2
a) Fläche der Metallplatte:
Prozentualer Anteil des Metallverlust:
205,3 cm2
Verlust in €:
205,3 cm2 · 0,95 €
≈ 0,37 €
522 cm2
Prozentualer Anteil des Verlustes in €:
0,37 € · 100 %
0,95 €
b
4
· 100 %
522 cm2
18 cm
4
≈ 39 %
≈ 39 %
= 4,5 cm und zugleich rmax = 6l = 296cm = 4,83 cm
b) Maximal möglicher Radius: rmax = =
Der maximal mögliche Radius beträgt 4,5 cm; würde der Radius 4,83 cm betragen, so würden die
Kreisflächen zwar der Länge nach auf die Metallplatte passen, aber nicht in der Breite.
5
„Verdoppelt sich der Radius eines Kreises, so verdoppelt sich sein Umfang“.
K3
6
Skizze:
a = 15 m
e = 15 – d
K1
A2 = A1
1
f=2·c
A1
A3
d
b
A5 = A4
A4
c = 19 – 2 · b
2
A1 = A2: Länge a = 15 m;
m
Breite b = 57
15 m = 3,8 m
A3:
57 m
Breite d = 11,4
m = 5,0 m
Länge c = 19 m – 2 · 3,8 m = 11,4 m;
A4 = A5: Länge e = 15 m – 5 m = 10 m;
2
2
m
Breite f = 57
10 m = 5,7 m
Umfang u = 2 · (10 m + 5,7 m) = 31,4 m
Das graue Rechteck hat einen Umfang von 31,4 m.
Schulbuchseite 94
Kreuz und quer
K6
7
Felix wendet folgenden Trick an: Er streicht die letzte Stelle in der von Elli genannten Zahl, also die Zahl
7 in der Zahl 497 – und schon hat er Ellis Zahl 49. Der Trick funktioniert, da bei jeder beliebigen Zahl,
die mit 10 multipliziert wird, die addierte 7 an die Einerstelle rückt und die ursprüngliche Zahl um eine
Stelle nach links gerückt wird (der Einer wird zum Zehner, der Zehner zum Hunderter, …).
K3
8
a) Benötigte Zeit bei gleichzeitigem Betrieb beider Pumpen (in h):
t = 324 = 24 · 47 = 13,7
4
+1
Zusammen benötigen die beiden Pumpen rund 13 Stunden und 42 Minuten.
b) Die gemeinsame Kapazität der drei Rohre beträgt:
K1 + K2 + K3 = K1 + 2K2 = K1 + 2 · (2K1) = 5K1
Benötigte Zeit beim alleinigen Betrieb von Rohr R1 bzw. von Rohr R2 oder R3 (in h):
5K
K
tR2 = tR3 = 2K1 · 15 = 7,5
tR1 = K 1 · 3 = 15
1
1
Das kleinere Rohr würde bei alleinigem Betrieb 15 Stunden benötigen. Eines der beiden größeren
Rohre würde bei alleinigem Betrieb 7,5 Stunden benötigen.
K3
9
| x ≥ 0}.
Die niedrigste Ersparnis in € sei x mit = {x
x + (x + 6) + (x + 12) + (x + 18) = 180
⇔ 4x + 36 = 180
⇔ x = 36
Die Ersparnisse der Mädchen sind 36 €, 42 €, 48 € und 54 €.
Schulbuchseite 94
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Gesundheitswesen
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