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"Abfall" mit Signalwirkung Forschergruppe - Friedrich

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Baudynamik und Zustandsanalyse
Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica ®
Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA® von WOLFRAM-Research [http://www.wolfram.com] geschrieben und erstmals auf den Webseiten der
Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [http://www.htw-dresden.de] veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich
für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin.
Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit.Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch
einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen.
Mirko Slavik, Dresden
◼ 11 Idealisierte Einmassensysteme
11.1 Allgemein gesehen, ist jedes mechanische Kontinuum ein Mehrmassensystem mit unendlich
vielen Freiheitsgraden (vgl. hierzu [58, Kapitel 2]. Glücklicherweise findet man jedoch bei derartigen
Strukturen diskrete, modale Verhaltensweisen (siehe auch Kapitel 12 und 14), die uns einen sehr
anschaulichen mathematisch-physikalischen Zugang eröffnen. Als Beispiel diene das Schwingungsverhalten einer Glocke, die ein gering gedämpftes dynamisches System darstellt (Bild 11.2). Wenn die
Glocke angeschlagen wird, erzeugt man ein akustisches Signal, das eine endliche Anzahl reiner Töne
beinhaltet (vgl. Absatz 25.1). Die in die Glocke eingetragene Gesamtenergie des Anschlages verteilt
sich auf diskrete Energiebeträge, die als Eigenwerte der Glocke interpretierbar sind.
11.2 Im Bild 11.2 sind verschiedene Analyseprinzipien realer mechanischer Schwingungen gegenübergestellt:
- Bei der physikalischen Methode erfolgt die Beschreibung des geometrischen Gesamtverformungsbildes durch eine Menge einfacher, voneinander unabhängiger Verformungsmuster, der
so genannten Modes (Schwingungsmodi oder Schwingungsformen).
Anmerkung: Wir haben uns entschlossen, statt dem deutschen Begriff Modus den
englischen mode (dt. Verhaltensweise) zu verwenden.
- Bei der Analyse im Zeitbereich wird untersucht, inwieweit ein beliebiges Zeitsignal in Form einer
mathematischen Menge von gedämpften Sinus- und/oder Cosinusschwingungen darstellbar ist.
- Bei der Frequenzanalyse werden die Bereiche von Frequenzspitzen gesucht, die als Antwortspektren äquivalenter Einmassenschwinger interpretiert werden können.
- Bei der Modalanalyse beschreibt man das dynamische Verhalten einer Struktur mit einem modalen
Modell, welches aus einer Gruppe modifizierter Einmassenschwinger besteht.
2
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
Bild 11.2: Eigenmodes einer Glocke, Methoden der Schwingungsanalyse (entnommen aus [56])
11.3 Die Frequenzanalyse hat gegenüber der Zeitbereichsanalyse einen entscheidenden Vorteil.
Mittels der Transformation sehr umfangreicher, zum Teil unübersichtlicher Datenmengen in entsprechende Frequenzspektren können die in den Zeitsignalen innewohnenden Zusammenhänge
wesentlich besser erkannt und verallgemeinert werden (vgl. Abschnitt 2.4, FOURIERanalyse bzw. die
Amplituden-Frequenzganganalyse des Absatzes 7.34).
11.4 Die Modalanalyse stellt eine Synthese der drei erstgenannten Methoden dar. Sie gilt als ein
hochleistungsfähiges Verfahren der modernen Strukturanalyse (siehe Kapitel 14 und 29) und beinhaltet u. a. die Bestimmung der modalen Parameter, wie modale Frequenzen, modale Dämpfung und der
Modes (Schwingungsmodi oder Schwingungsformen). Um eine uneingeschränkte Überlagerung
(Superposition) der modalen Teilsysteme durchführen zu können, ist jedoch die Linearität des Gesamtsystems unabdingbar. Zwecks Berücksichtigung der nichtlinearen Effekte bedarf es einer separaten
“Feinstanalyse”.
11.5 Da ein Mode (eine Eigenform) das Bewegungsmuster aller Punkte einer Struktur erfasst, genügt
zur Beschreibung ihrer Zeitabhängigkeit eine einzige modale bzw. generalisierte Koordinate (vgl.
hierzu die Produkte ϕi * qi im Bild 11.2 bzw. den Absatz 11.12 oder auch die Absätze 2.6.3 f.).
11.6 Für viele praktische Aufgaben der Baudynamik ist es zur Aufdeckung qualitativer Zusammen hänge oft ausreichend, die Konstruktionen als ein vereinfachtes Einmassensystem zu beschreiben. So
reagieren linienförmige Strukturen (Stabtragwerke), wie Maste, Schornsteine, Brücken und
Hochhäuser auf dynamische Anregungen überwiegend in ihrer ersten Biegeeigenform (Dominanz des
ersten Modes). Da diese Eigenformen zudem noch in der Regel den Verformungslinien infolge Eigenlast ähnlich sind, ergeben sich für den Ingenieur einige beachtenswerte Erleichterungen beim Aufstellen seiner Berechnungsgleichungen, wenn er, wie z. B. bei Durchlaufträgern, den feldweise wechselnden Vorzeichen eine sorgfältige Beachtung zukommen lässt (vgl. hierzu auch die versteckte Zelle
nach dem Absatz 11.42).
11.7 Das Ziel, das mit einem vereinfachten, dynamischen Näherungsmodell verfolgt wird, lautet
folglich: Der zeitliche Bewegungsablauf eines einzigen idealisierten Einmassenschwingers soll analog
zu dem zeitlichen Verhalten der maßgebenden Schwingungsform einer Baustruktur sein, die imitiert
3
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
werden soll. Eine genauere Modellbildung hingegen erfordert in der Regel die Bestimmung vieler
äquivalenter bzw. generalisierter Massen, Federsteifigkeiten, Dämpfungs- und Erregungsgrößen, wofür
eine weitgehend exakte Kenntnis aller strukturellen Eigenwerte notwendig ist (vgl. hierzu die Kapitel 12
bzw. 14).
11.8 Der Zeitablauf der Bewegung eines bestimmten Strukturpunktes w(x 0 , t) ≏ W(t), der Bestandteil
eines natürlichen Modes ist, kann als harmonische Schwingung mit der Eigenkreisfrequenz ω n
beschrieben werden (Eigenform + Eigenfrequenz ≏ Eigenwert, vgl. Kapitel 12). Neben dem Schwingweg W(t), werden die Schwinggeschwindigkeit W ´(t) und die Schwingbeschleunigung W´´(t) der
Struktur benötigt (siehe Absatz 2.1.13):
Schwingweg:
W(t)
Geschwindigkeit:
W'(t) =
A Cos[t ωn ] ωn
Beschleunigung:
W''(t)=
- A Sin[t ωn ] ω2n
=
A Sin[t ωn ]
11.9 Ausgangspunkt der weiteren Überlegungen ist das bekannte Bewegungsgesetz nach NEWTON
(Absatz 7.1) für den ungedämpften Einmassenschwinger, wobei W(t) und W´´(t) unter Beachtung
des obigen Absatzes substituiert werden. Damit erhalten wir eine Lösung für die Eigenkreisfrequenz
ωn :
Reduce[m W ''[t] + k W[t] ⩵ 0, ωn ]
C[1] ∈ Integers &&
t ≠ 0 && ωn ⩵
(k ⩵ 0 && m ⩵ 0) || m ≠ 0 && ωn ⩵ -
2 π C[1]
t
k
|| ωn ⩵
|| ωn ⩵
m
k
π + 2 π C[1]
t
|| t ⩵ 0
||
|| A ⩵ 0
m
11.10 Mit der Erweiterung beider Seiten der Kreisfrequenzgleichung k = m ω n 2 um den Term (0,5
A 2 ) erhält man eine Beziehung, die als Energiegleichgewicht interpretiert werden kann und die für die
nachfolgenden Überlegungen wegweisend ist. Sie lautet:
0.5 k A2 = 0.5 m ωn 2 A2
mit A , der Amplitude des Schwingweges W (t)
11.11 Die linke Seite entspricht hierbei der maximalen elastischen Formänderungsenergie der Feder
und die rechte Seite der maximalen kinetischen Energie der Punktmasse. Wir wollen jetzt die Vorgehensweise der Generalisierung beispielhaft anhand des im Bild 11.11 dargestellten ebenen Kragbalkens erläutern [5]. Es sind:
EM(x) IMyy (x) = B(x) - Biegesteifigkeit als Funktion des Ortes x (vgl. Absatz 21.13 in [58])
μ(x)
mi
w(x,t)
W(t)
w(x)
p(x,t)
FN
- stetige Massebelegung des Kragbalkens
- konzentrierte Einzelmassen des Balkens am Ort xi
- Biegelinie des Balkens als Funktion des Ortes x und der Zeit t
- Verschiebung des freien Kragarmendes als Funktion der Zeit t
- Eigenform des Balkens
- dynamische Erregerkräfte als Funktion des Ortes x und der Zeit t
- konstante Axialkraft
4
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
Bild 11.11: Ersatzmodell einer turmartigen Struktur (gemäß [5])
11.12 Um zwischen Kragarm und Einmassenmodell ein identisches mechanisches Verhalten zu
generieren, wählt man sich einen charakteristischen Punkt. Im vorliegenden Fall sei das die Stelle x =
L. Das Ersatzmodell imitiert somit die Bewegung des freien Kragarmendes. Die Ansatzfunktion sowie
zwei ihrer später benötigten partiellen Ableitungen lauten:
Produktansatz:
w(x,t)
=
w[x] W[t]
Einfache Ableitung nach der Zeit:
∂t w[x,t]
=
w[x] W′ [t]
Zweifache Ableitung nach dem Weg:
∂x,x w(x,t)
=
W[t] w′′[x]
11.13 Zur Berechnung der generalisierten Masse mG des idealisierten Einmassenschwingers wird
von der Gleichheit der kinetischen Energien (vgl. Absatz 11.10) der beiden Systeme ausgegangen
Solve
1
2
mG (W '[t])2 ⩵
1
mG →
W′ [t]2
2
 μ[x] (w[x] W '[t]) ⅆx +
o
1
2
n
 mi (w[xi ] W '[t])2 , mG 
i=1
n
L
o
i=1
n
mG =  μ[x] w[x]2 ⅆx +  mi w[xi ]2 .
o
11.14
2
L
2
′
2
2 ′
2
 w[x] μ[x] W [t] ⅆx +  mi w[xi ] W [t] 
L
⟹
1
i=1
Auf ähnliche Weise wird die generalisierte Federsteifigkeit k G des idealisierten Einmassen-
5
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
schwingers bestimmt, indem jetzt die entsprechenden linear-elastischen Formänderungsenergien
einander gleichgesetzt werden (vgl. Absatz 11.11) . Beim Kragbalken ist nur der Biegungsanteil der
Stabverformung infolge Querbelastung berücksichtigt. Die axiale Last betrage vorerst F N ≡ 0. Dann
gilt:
1
2
kG W[t]2 =
1
2
L
 M[x, t] ⅆφ
0
11.15 Die Biegemomente M(x) und die Stabverdrehung dφ werden gemäß der differenziellen
Beziehungen der Technischen Biegelehre (siehe [58, Kapitel 21]) miteinander verknüpft und unter
Beachtung des Ausdruckes (11.12) ergibt sich für k G schlussendlich
M[x, t]
Solve∂x,x w[x, t] ⩵
EM[x] IMyy [x]
, M[x, t], Solve
dφ
dx
⩵ ∂x,x w[x, t], dφ
M[x, t] → EM[x] W[t] IMyy [x] w′′[x], {{dφ → dx W[t] w′′[x]}}
1
2
1
2
kG W[t]2 ⩵
kG W[t]2 ⩵
⟹
1
2
1
2
1
2
L
′′
′′
 EM[x] IMyy [x] W[t] w [x] W[t] w [x] ⅆx
0
L
2
′′
2
 EM[x] W[t] IMyy [x] w [x] ⅆx
0
kG W[t]2 =
kG =
1
2
L
2
′′
2
 EM[x] W[t] IMyy [x] w [x] ⅆx
0
L
′′
2
 EM[x] IMyy [x] w [x] ⅆx .
0
11.16 Bevor wir uns dem geometrisch nichtlinearen Problem widmen, analysieren wir zunächst den
einfachen Fall eines Kragbalkens mit konstanter Massebelegung und Biegesteifigkeit B(x) ≡ B. Dazu
wird die Annahme getroffen, dass die erste Eigenform des Kragarmes der Biegelinie infolge einer
konstanten Linienlast p(x) = p ähnlich sei (vgl. Absätze 11.30 und 11.35). Mittels der DGL des
geraden Biegebalkens [58, Kapitel 21] lässt sich diese Biegelinie relativ einfach berechnen:
DSolve[{B w''''[x] ⩵ p, B w'''[L] ⩵ 0, w[0] ⩵ 0, B w''[L] ⩵ 0, B w'[0] ⩵ 0}, w[x], x]
w[x] →
p (6 L2 x2 - 4 L x3 + x4 )
24 B

11.17 Um das äquivalente Einmassenmodell widerspruchsfrei nutzen zu können, normieren wir die
Biegelinie so, dass sie bei x = L den Wert eins annimmt. Damit erhält man die approximierte erste
Eigenform des Kragbalkens einschließlich ihrer ersten beiden Ableitungen:
6
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
SolveEliminate1 ⩵
8B
p →
p=
L4
8B
L4
24 B
, x ⩵ L, x , p

; w[x] ⩵
w'[x] ⩵ D
6 L2 p x2 - 4 L p x3 + p x4
24 B
6 L2 p x2 - 4 L p x3 + p x4
24 B
48 B x2
L2
w[x] ⩵
6 L2 p x2 - 4 L p x3 + p x4
-
32 B x3
L3
8 B x4
L4
+
24 B
,
, x, w''[x] ⩵ D
′
, w [x] ⩵
96 B x
L2
-
96 B x2
L3
+
24 B
6 L2 p x2 - 4 L p x3 + p x4
32 B x3
L4
24 B
′′
, w [x] ⩵
96 B
L2
-
, x, x
192 B x
L3
24 B
+
96 B x2
L4

11.18 Bei einer konstanten Massebelegung μ beträgt die generalisierte Masse mG gemäß dem im
Absatz 11.13 abgeleiteten Ausdruck:
48 B x2
L2
w[x] =
mG ⩵
-
32 B x3
L3
+
8 B x4
L4
24 B
L
; mG ⩵  μ (w[x])2 ⅆx
0
104 L μ
405
11.19 Die generalisierte Federsteifigkeit k G lautet entsprechend der Gleichung (11.15):
′′
w [x] =
kG ⩵
96 B
L2
-
192 B x
L3
+
96 B x2
L4
24 B
L
; kG ⩵  B (w''[x])2 ⅆx
0
16 B
5 L3
11.20 Für die generalisierte erste Eigenfrequenz des idealisierten Einmassenschwingers erhält man
nach Absatz 7.21 schließlich:
fG ⩵
1
2π
kG /. kG ->
mG /. mG ->
fG ⩵ 0.561831
16 B
5 L3
104 L μ
405
// N
B
L4 μ
11.21 Da oben eine approximierte erste Eigenform genutzt wurde, stellt die Lösung eine Näherung
dar. Der genaue Wert für den Kragbalken laut Kontinuumsmechanik - siehe Absatz 11.31 - beträgt
7
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
B
f = 0.5595912099701141`
L4
.
μ
11.22
Wir kehren nochmals zur generalisierten Federsteifigkeit zurück. Soll auch der Einfluss der
axialen Einzellast FN berücksichtigt werden, müssen wir noch eine geometrisch äquivalente Federsteifigkeit k Geo einführen, da in diesem Fall ein geometrisch nichtlineares Problem vorliegt (vgl. hierzu
[58, Kapitel 27]). Deren Größe erhält man, indem die erforderliche zusätzliche Formänderungsenergie
des Einmassenschwingers der potentiellen Energie der am freien Ende angreifenden Einzelkraft
gleichgesetzt wird:
1
2
kGeo W[t]2 ⩵ FN ΔL
11.23 Im Falle kleiner Verformungen finden wir für ΔL (siehe Bild 11.11) als vereinfachten, ingenieurepragmatischen Ansatz
L
ΔL ≏ ΔLN + ΔLM = 
0
∂x u[x] +
1
2
(∂x w[x, t])2 ⅆx .
☺ Versteckte Zelle zur Erläuterung der obigen Gleichung für ΔL.
11.24 Bei baupraktischen Aufgabenstellungen ist der axiale Verschiebungsanteil ΔLN infolge einer
Normalkraft in der Regel sehr klein gegenüber dem zeitgleichen Biegungsanteil ΔLM , weshalb ersterer
meistens vernachlässigt wird. Die gesuchte Beziehung für k Geo lautet somit:
1
2
kGeo W[t]2 = FN 
L
0
1
2
(∂x w[x, t])2 ⅆx
L
⟹
kGeo = FN  w'[x]2 ⅆx
0
11.25 Die generalisierte Federsteifigkeit k G muss also bei FN ≠ 0 noch um den Wert k Geo erweitert
werden. Ist die angreifende Kraft eine Zugkraft, dann erhöht sich die Gesamtsteifigkeit. Ist sie hingegen
eine Druckkraft (negatives Vorzeichen), wird die effektive Steifigkeit verringert. Bei k G + k Geo = 0 stellt
sich ein kritischer, indifferenter Zustand ein (vgl. hierzu [58, Abschnitt 27.3]).
11.26 Wir wenden die Ermittlung der zusätzlichen Steifigkeitskomponente k Geo auf das Prinzipbeispiel des Absatzes 11.18 an. Unter Verwendung der ersten Ableitung der Eigenform vom Absatz
11.17 erhält man:
w′ [x] =
kGeo ⩵
96 B x
L2
-
96 B x2
L3
24 B
+
32 B x3
L4
L
; kGeo ⩵ FN  w'[x]2 ⅆx
0
8 FN
7L
11.27 Die zugehörige Eigenfrequenz berechnet sich dann zu:
8
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
fG ⩵
1

2π
kG /. kG ->
3.2 B
L3
fG ⩵ 0.314073
+
16 B
5
L3
+ kGeo /. kGeo ->
8 FN
7L

mG /. mG ->
104 L μ
405
// N
1.14286 FN
L
Lμ
11.28 Die kritische Druckkraft lautet schließlich:
Kritische Druckkraft:
FN → -
2.8 B
L2

11.29 Nach Leonhard EULER (1707 - 1783) beträgt die Knicklast eines Kragarmes (EULERfall I)
übrigens
FEuler = 2.4674
B
L2
(vgl. Absatz 11.34). Bemerkenswert hierzu ist, dass bei der diesem
Knicklastwert zugrunde liegenden Differenzialgleichung des klassischen quasistatischen Verzweigens
der axiale Verschiebungsanteil infolge Normalkraft ebenfalls vernachlässigt wird [58, Abschnit 27.3].
11.30 Die obigen Ergebnisse werden jetzt mit denen verglichen, die man unter Nutzung der exakten
Lösung der ersten Eigenform (vgl. hierzu [2], [38] bzw. Kapitel 17) erhält. Zunächst muss getestet
werden, ob eine Normierung auf eins vorliegt:
alpha = 1.8751;
w[x] =
alpha
alpha
alpha
alpha
0.5 Cosh
x - Cos
x - 0.734095 Sinh
x - Sin
x
L
L
L
L
testaufeins ⩵ w[x] /. x → L
;
testaufeins ⩵ 0.999998
11.31 Es erfolgt die Berechnung der generalisierten ersten Eigenfrequenz mit der exakten Eigenform
für FN ≡ 0 (vgl. Absatz 11.20):
L
L
∂x,x w[x]; mG =  μ (w[x])2 ⅆx; kG =  B (∂x,x w[x])2 ⅆx; f ⩵
0
f ⩵ 0.559591
0
1
kG
2π
mG
// N
B
L4
μ
11.32 Nun wird die generalisierte erste Eigenfrequenz mit der exakten Eigenform für F N ≢ 0 aufbereitet und die zugehörige kritische Druckkraft FN ausgewiesen:
9
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
L
∂x w[x]; kGeo = FN  (∂x w[x])2 ⅆx;
0
f ⩵
1
kG + kGeo
2π
mG
// N, Solve[kG + kGeo ⩵ 0, FN ] // N
3.09057 B
L3
f ⩵ 0.318311
+
1.16194 FN
L
Lμ
, FN → -
2.65984 B
L2

11.33 Der Wert der kritischen Druckkraft nähert sich zwar dem EULERwert an, kann aber mit diesem
nicht übereinstimmen, da die Verzweigsform beim quasistatischen Knicken nicht mit der ersten Eigenform der Querschwingung identisch ist. Sie gehorcht beim Kragarm einer Cosinusfunktion (vgl. [58,
Abschnitt 27]):
w[x] = 1 - Cos
π
2L
x;
11.34 Diese Knickform für die Berechnung von k G und k Geo eingesetzt, liefert uns dann tatsächlich
die EULERlast, die wir im Absatz 11.29 bereits erwähnt hatten:
L
L
kG =  B (∂x,x w[x])2 ⅆx; kGeo = FN  (∂x w[x])2 ⅆx;
0
0
"Kritische Druckkraft nach EULER:
Kritische Druckkraft nach EULER:
" Solve[kG + kGeo ⩵ 0, FN ] // N
FN → -
2.4674 B
L2

11.35 Zur besseren Veranschaulichung der drei verschiedenen, oben verwendeten Biegeformen,
seien sie grafisch gegenübergestellt. Die Biegelinie infolge der konstanten Linienlast p ist rot (Absatz
11.17), die exakte erste Eigenform (Absatz 11.30) ist blau und die EULERsche Knickform (Absatz
11.33) ist grün dargestellt.
10
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
Vergleich der drei verschiedenen Biegeformansätze
1.0
0.8
w(x) [m]
0.6
0.4
0.2
0.0
0
20
40
60
80
100
x-Achse [m]
11.36 Abschließend sei noch eine quantitative Berechnung aufbereitet, wobei die Standarddimensio nen [N = kg m s -2], [m] und [s] verwendet werden. Die zugehörige kritische Druckkraft beträgt dann in
[N]:
B = 10^10; μ = 1000; L = 100; Fkritisch ⩵ FN → -
2.65984027726086`B
L2
Fkritisch ⩵ FN → -2.65984 × 106
11.37 Es erfolgt die Aufbereitung einer Animationsgrafik zur Bestimmung der generalisierten ersten
Eigenfrequenz für verschiedene Lastgrößen von FN . Zu dem festgehaltenen Bild gehören die Parameter minFN = -2, 65 984 × 10 6 N und maxFN = + 4, 5 × 10 5 N.
11
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
minF
maxF
Erste Biegeeigenfrequenz des Kragarmes mit zentrischer Last
0.20
Frequenz in [Hz]
0.15
0.10
0.05
0.00
-2.5 × 106
-2.0 × 106
-1.5 × 106
-1.0 × 106
-500 000
0
500 000
FN in [N]
11.38 Wir kehren nochmals zur Beziehung (11.20) zurück und formulieren sie zweckgerichtet um
fG =
1
kG
2π
mG
2
⟶ ωG =
kG
mG
L
2
⟶ ωG =
∫0 EM[x] IMyy [x] w′′ [x]2 ⅆx
L
∫0 μ (w[x])2 ⅆx
.
11.39 In dieser Form entspricht die Gleichung (11.38) dem klassischen RAYLEIGHschen Quotienten
(vgl. Absatz 12.18), der ursächlich mit dem RAYLEIGHschen Minimalprinzip verknüpft ist, welches
man den Variationsmethoden der mathematischen Physik zuordnet (vgl. z. B. [58, Kapitel 16]). John
William RAYLEIGH arbeitete auf vielen Gebieten der klassischen Physik, wobei die Schwingungs- und
die Wellenlehre einen Schwerpunkt seiner Interessen darstellten.
11.40 Dass der RAYLEIGHsche Quotient einem Minimalprinzip entspricht, er also Extremaleigenschaften besitzt, erklärt sich am anschaulichsten aus den ihm zugrunde liegenden Energieansätzen
(siehe Absätze 11.13 f.). Um dies zu hinterlegen, werden nochmals die drei verschiedenen Ansätze
vergleichen, die wir oben bereits schon einmal untersucht hatten. Es bestätigt sich, dass erwartungsgemäß zum zweiten Fall, die niedrigste Frequenz gehört, womit die Vermutung nahe liegt, dass
dessen Schwingungsform tatsächlich eine reale Eigenform der betreffenden Tragstruktur repräsentiert.
12
baudyn_11_idealisierte_1ma.nb
w1 [x] =
48 B x2
L2
-
32 B x3
L3
+
8 B x4
L4
24 B
w2 [x] = 0.5 -Cos
1.8751 x
0.734095` -Sin
B
L4
 + Cosh
L
1.8751 x
L
FullSimplifyTablefi ⩵
f1 ⩵ 0.561831
,
 + Sinh
L
1.8751 x
L

, w3 [x] = 1 - Cos
π
2L
x,;
L
1
∫0 B (D[wi [x], x, x])2 ⅆx
2π
∫0 μ (wi [x])2 ⅆx
L
, f2 ⩵ 0.559591
μ
1.8751 x
B
L4
μ
// N, {i, 1, 3}
, f3 ⩵ 0.583124
B
L4

μ
11.41 Die bis hierher vorgenommenen Erläuterungen zur Suche nach einem stark vereinfachten,
repräsentativen Vergleichsmodell lassen sich im Sinne der im Absatz 11.1 ff. getroffenen Aussagen
auf alle Eigenwerte (Eigenmode + Eigenfrequenzen) einer mechanischen Struktur übertragen, womit
wir, mathematisch gesehen, zwangsläufig mit den klassischen Eigenwertproblemen der linearen
Algebra konfrontiert werden [46], auf welches im Kapitel 12 ausführlicher eingegangen wird. Dessen
Kern stellt die Aufstellung und Lösung von Gleichungssystemen dar, die aus linear unabhängigen
Eigenvektoren bestehen. Mit dem Terminus Unabhängigkeit sind übrigens die Begriffe der Orthogonal ität bzw. der Orthogonalitätsrelationen ursächlich verwoben. Da die Eigenvektoren im Falle eines
Kontinuums den Eigenformen entsprechen, dürfte es dem geneigten Leser keine allzu großen Probleme bereiten, zwischen den Kapiteln 12, 16 bzw. 17 eigenständig analoge Schlüsse zu ziehen. Die
Orthogonalitätsrelation für die auf die Verschiebung des freien Endes normierte Grundeigenform des
Kragarmes lautet folglich (siehe hierzu auch die versteckte Zelle unterhalb des Absatzes 11.42) :
L
 wi [x] wj [x] ⅆx ≡
0
L
für
4
i≡j
11.42 Angewandt auf die drei obigen Eigenformansätze erhält man dann:
L
MatrixFormTable wi [x] wi [x] ⅆx // N, "?", L / 4 // N, {i, 1, 3}
0
0.25679 L ? 0.25 L
0.249999 L ? 0.25 L
0.22676 L ? 0.25 L
☺ Versteckte Zelle über ein Näherungsverfahren zur Bestimmung einer beliebigen
Eigenform.
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