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1 6.4 1D harmonic oscillator revisited • Was wir schon wissen (Kap

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8. Woche 31.5./1.6.11
6.4
1D harmonic oscillator revisited
•
Was wir schon wissen (Kap. 4, Mechanik Kap. 1.4.9 )
Motivation:
→ Atom- und Molekülspektren
QM
→ Gitterschwingungen → Normlkoordinaten → ungekoppelte HO → Phononen;
Wärmekapazität von Festkörpern bei niedrigen Temperaturen c(T → 0) ~ T 3 (Debey)
→ "Quantisierung" des elektromagnetischen Feldes → Hohlraumstrahlung (Planck, 1900)
klassische Beschreibung:
Teilchen oszilliert, x ( t ) = A cos(ω t + ϕ) , ω2 =
Energie E =
k
,
m
m 2
m
x& + U( x ) = ... = ω2 A 2 zwischen 0 ≤ E < ∞ , kontinuierlich
2
2
quantenmechanische Beschreibung: (Kap. 4)
Ohne Rechnung:
i
~ ( x, t ) = ψ ( x ) e − h Et .
→ da Potenzial U(x) zeitunabhängig, folgt ψ
→ da U(x) = U(-x) sind alle WF ψ ( x ) gerade oder ungerade.
→ da wir das eindimensionale Problem behandeln und U( x → ±∞) = ∞ , erwarten wir für die
untersuchte gebundene Bewegung ein diskretes, nichtentartetes Energiespektrum.
Mit Rechnung:
In Kap. 4 haben wir mit der Sommerfeld´sche Polynommethode die stationäre SchrödingerGleichung in (wie wir jetzt wissen) Ortsdarstellung gelöst, um ψ ( x ) und En zu bestimmen:
mω
y=
x, α=
d 2 ψ ( y)
h 2 d 2ψ ( x ) mω2 2
h
hω
−
+
x
ψ
(
x
)
=
E
ψ
(
x
)
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
→
+ (α − y 2 ) ψ ( y) = 0 .
2
2
2m dx
2
dy
2E
1
−
y2
2
→
Asymptotik: ψ ( y) ~ e
↔ Normierbarkeit
→
Asymptote abspalten, Potenzreihenansatz für den "Rest", Rekursionsformel
↑
6447
448
ψ ( y) = f ( y) e
↑
6447
448
y2
−
2
∞
f ( y) = ∑ a k y k
,
,
k =0
→
↑
6444
47
4444
8
2k + 1 − α
a k +2 =
ak .
(k + 1) (k + 2)
Normierbarkeit sichern
⎧ a1 = 0 , wenn n ungerade
⎪
α = 2n + 1, n = 0,1, 2, ... sowie ⎨
⎪ a = 0 , wenn n gerade
⎩ 0
→
1⎞
⎛
ergibt E = E n = ⎜ n + ⎟ hω , n = 0,1, 2.... äquidistantes nichtentartetes
2⎠
⎝
Energiespektrum mit den dazugehörigen Eigenzuständen/EF
1
⎛ mω ⎞ 4
ψ n (x) = ⎜
⎟
⎝ πh ⎠
⎛
H n ⎜⎜
2 n n! ⎝
1
wobei H n (z) := (−1) n e z
Diese lösen die ODE
→
2
mω ⎞
mω 2
⎟ exp⎛⎜ −
x
⎟
h ⎠
⎝ 2h
⎞
⎟,
⎠
d n − z2
e die hermiteschen Polynome sind.
dz n
d2
d
− 2 y + 2 n ) H n ( y ) = 0.
2
dy
dy
für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte fanden wir
lim ψ n ( x )
n →∞
2
1
⎧
, x <A
⎪
2
2
A
x
π
−
⎪
.
= w kl ( x ) = ⎨
⎪
0 , sonst
⎪
⎩
2
•
Dirac: Darstellungsunabhängige, algebraische Lösung des EWP für den
Hamilton-Operator des HO
ausschließlich unter Verwendung der darstellungsinvarianten (warum?) Vertauschungsrelation zwischen Orts- und Impulsoperator [xˆ , pˆ x ] = ih → Operator-Methode oder
Besetzungszahldarstellung ↔ II. Quantisierung (s.u.)
H(p x , x ) =
2
2
p 2x mω2 2
Korrespondenzprinzip
ˆ = pˆ x + mω xˆ 2 mit [xˆ , pˆ ] = ih .
+
x ⎯⎯
⎯⎯⎯⎯
⎯→ H
x
2m
2
2m
2
(H1)
Dirac führt den Operator aˆ und seinen adjungierten aˆ + ein
mω
i
xˆ +
pˆ x
2h
2 m hω
aˆ :=
aˆ + :=
mω
i
xˆ −
pˆ x
2h
2 m hω
xˆ =
↔
(
h
aˆ + + aˆ
2mω
)
m hω +
pˆ x = i
aˆ − aˆ
2
(
.
)
(H2)
Offensichtlich sind weder aˆ noch aˆ + selbstadjungiert. Sie genügen der Vertauschungsrelation
[ aˆ, aˆ ] = 1, bzw. aˆ aˆ
+
+
= 1 + aˆ + aˆ
(H3)
denn
⎡ mω
i
mω
i
xˆ +
pˆ x ,
xˆ −
pˆ x
⎢
2h
2 m hω
2 m hω
⎢⎣ 2h
Wegen
aˆ + aˆ =
⎤
i
i
i
xˆ , pˆ x ] + [ pˆ x , xˆ ] =
(−ih + ih ) = 1 .
⎥ = − [1
2
3
1
2
3
2h
2h
2h
⎥⎦
ih
− ih
1 ⎛ mω2 2 pˆ 2x
1
i
mω 2
⎜
xˆ +
xˆ +
pˆ 2x + ( xˆ pˆ x − pˆ x xˆ ) =
2m
2m hω
2h 14243 hω ⎜⎝ 2
2h
1/ 2
ˆ = hω ⎛⎜ aˆ + aˆ + 1 ⎞⎟ .
H
2⎠
⎝
⎞ 1
⎟⎟ −
⎠ 2
folgt
(H4)
3
ˆ auf das des Operators
Damit ist das Eigenwertproblem (EWP) für den Hamilton-Operator H
ˆ = aˆ + aˆ
N
(H5)
ˆ mit n , die entsprechenden EW mit
zurückgeführt. Wir bezeichnen die EF des Operators N
n und lösen die Gleichung
ˆ n =n n .
N
•
(H6)
ˆ
Eigenwerte von H
( )
ˆ ist hermitesch, denn N
ˆ + = aˆ + aˆ
(i) Der Operator N
+
ˆ . Also sind die EW n
= aˆ + aˆ + + = aˆ + aˆ = N
reell.
ˆ sind nicht negativ, denn n = n N
ˆ n = n aˆ + aˆ n = aˆ n aˆ n ≥ 0 . Damit
(ii) Die EW von N
ˆ nach unten beschränkt.
ist das Spektrum von N
ˆ n =n n
(iii) Aus N
ˆ ( aˆ n ) = (n − 1) ( aˆ n ) .
folgt N
ˆ zum EW n ist, dann ist aˆ n ebenfalls EF von N
ˆ,
Das bedeutet: Wenn n EF von N
allerdings zum EW (n-1). Beweis:
ˆ aˆ n = (aˆ + aˆ ) aˆ n = (aˆ aˆ + − 1) aˆ n = aˆ (aˆ + aˆ − 1) n = aˆ N
ˆ n − aˆ n = aˆ n n − aˆ n = (n − 1) ( aˆ n
N
( H 3)
ˆ ) nicht entartet
ˆ (wie die von H
Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die EW von N
ˆ n − 1 = (n − 1) n − 1 (H6). Im Gegensatz zu n ist
sind1), folgt aˆ n = const n − 1 wegen N
ˆ n = n n n = n , damit ist
aˆ n noch nicht normiert. Wir finden aˆ n aˆ n = n aˆ + aˆ n = n N
aˆ n = n n − 1 .
(H7)
4
)
(
)
(
ˆ aˆ + n = (n + 1) aˆ + n
(iv) Analog wird die Gültigkeit der Relation N
)
bewiesen:
(
( H 3)
)
ˆ aˆ + n = aˆ + (aˆ aˆ + ) n = aˆ + (aˆ + aˆ + 1) n = aˆ + N
ˆ n + aˆ + n = aˆ + n n + aˆ + n = (n + 1) aˆ + n .
N
Also ist aˆ + n = const n + 1 ; Normierung ergibt
aˆ + n
2
= aˆ + n aˆ + n = n aˆ aˆ + n = n 1 + aˆ + aˆ n = (1 + n ) n n = 1 + n ,d.h.
aˆ + n = n + 1 n + 1 .
(H8)
ˆ zum EW n ist, dann ist aˆ n EF von N
ˆ zum EW n - 1
Zwischenbilanz: Ist n EF von N
und aˆ + n
ˆ zum EW n + 1: Damit gilt z.B.
EF von N
(aˆ + ) 2 n = (n + 1)(n + 2 n + 2
oder
(aˆ )3 n = n (n − 1)(n − 2) n − 3
usw.
(v) Bei wiederholter Anwendung von aˆ auf n könnten im Widerspruch zu (ii) negative
EW auftreten. Folglich muss ein Grundzustand → Vakuumzustand n 0 mit aˆ n 0 = 0
ˆ zum Grundzustand n
ˆ n = aˆ + aˆ n = aˆ + 0 = 0 ist der EW von N
existieren. Wegen N
0
0
0
gleich Null. Entsprechen der in (H6) vereinbarten Notation schreiben wir deshalb den
Grundzustand als 0 anstelle von n 0 ; allerdings ist 0 nicht der Nullvektor, denn
0 0 = 1.
ˆ ist nach oben unbeschränkt.
(vi) Das Spektrum von N
ˆ , d.h.
Zum Beweis nehmen wir das Gegenteil an. Sei n max der größte EW von N
aˆ + n max = 0 . Dann wäre
0 = aˆ + n max
2
ˆ + 1) n
= aˆ + n max aˆ + n max = n max aˆ aˆ + n max = n max ( N
max = n max + 1 ,
also n max im Widerspruch zu (ii) negativ.
5
ˆ sind n = 0, 1, 2, … . Wegen (H4) ,
Fazit aus (i) – (vi): EW des Operators N
ˆ = hω ⎛⎜ aˆ + aˆ + 1 ⎞⎟ , ergibt sich daraus sofort das schon bekannte Energiespektrum des 1D HO
H
2⎠
⎝
1⎞
⎛
E n = hω ⎜ n + ⎟ , n = 0,1, 2 ...
2⎠
⎝
(H9)
mit seine diskreten, äquidistanten, nicht entarteten Energieniveaus.
Wir wollen (H7-9) folgendermaßen interpretieren: Der n-te angeregte Zustand n des HO
ist mit n Schwingungsquanten der Energie hω besetzt.
ˆ gemäß N
ˆ n =n n
N
→
Besetzungszahloperator (Operator zur Observable:
Anzahl der Schwingungsquanten in n )
aˆ gemäß aˆ n = n n − 1
→
Vernichtungsoperator: Anwendung von aˆ auf n
vernichtet ein Schwingungsquant
aˆ + gemäß aˆ + n = n + 1 n + 1 → Erzeugungsoperator: Anwendung … erzeugt … .
Bemerkungen:
1. zweite Quantisierung
Offensichtlich lassen sich die Operatoren von Observablen, die nach dem Korrespondenzˆ = Q(pˆ, rˆ ) aus den entsprechenden Phasenraumvariablen gebildet werden
prinzip Q(p, r ) → Q
können, als Produkte der Operatoren aˆ und aˆ + darstellen. Zu berücksichtigen ist allerdings,
dass es nicht für alle Operatoren klassische Analoga gibt, z.B. nicht für den Spin- oder für den
Paritätsoperator.
Die Darstellung aller Operatoren von Observablen durch Kombinationen aus Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren wird als zweite Quantisierung bezeichnet und ausführlich im
Kurs ThPh V, QM II behandelt. Sie ist von grundlegender Bedeutung für die
quantenmechanische Behandlung von Vielteilchensystemen.
6
2. Glauber-Zustände
Obwohl aˆ und aˆ + als nichthermitesche Operatoren zu keiner Observablen korrespondieren,
sind ihre EF α gemäß
aˆ α = α α , α ∈ C komplex
physikalisch relevant. Diese quasiklassischen/kohärenten/Glauber-Zustände haben
interessante Eigenschaften, von denen einige ohne Beweis aufgeführt seien
-
Δx
-
x
α
α
Δp x
!
α
und p x
=
α
h
→ "minimale Wellenpakete"
2
genügen den klassischen Bewegungsgleichungen (oszillieren mit
Frequenz ω , wohingegen x
n
= px
n
=0.
7
•
ˆ
Eigenfunktionen von H
ˆ und N
ˆ haben gemeinsame EF. Diese lassen sich durch aufeinanderfolgende Anwendung
H
von aˆ + aus dem Grundzustand 0 gewinnen:
aˆ + 0 = 1 1 , aˆ + 1 → 1 =
1 +
1 +
1
aˆ 0 , aˆ + 1 = 2 2 , aˆ + 1 → 2 =
aˆ 1 =
(aˆ + ) 2 0
1
2
1⋅ 2
also
n =
1
(aˆ + ) n 0 , n = 0,1, 2,...
n!
(H10)
ˆ in Ortsdarstellung
• EF von H
Grundzustand: Wir projezieren aˆ 0 = 0 auf x
mω
i
xˆ +
pˆ x 0 =
2h
2 m hω
0 = x aˆ 0 = x
=
h dψ 0 ( x )
mω
x ψ0 (x) +
2h
2mω dx
und erhalten
mω
i
x xˆ 0 +
2h 123
2 m hω
x x 0 = x ψ0 ( x )
x pˆ x 0
1
424
3
− ih
=
d
dψ ( x )
x 0 = −ih 0
dx
dx
(H11).
Diese ODE für die Grundzustandwellenfunktion lässt sich durch Trennung der Variablen
lösen (
mω 2mω
dψ 0
x dx =
). Nach Normierung folgt das bereits in Kap. 4 gefundene
2h h
ψ0
Ergebnis
1
mω
⎛ mω ⎞ 4 − 2 h x 2
ψ 0 (x) = ⎜
.
⎟ e
⎝ πh ⎠
(H12)
8
Angeregte Zustände: Sukzessive können die Wellenfunktionen der angeregten Zustände
gewonnen werden, z.B.
⎛
ψ1 ( x ) = x 1 = x aˆ 0 = ⎜⎜
⎝
mω
h d ⎞
⎟ x0 =
x−
2h
2mω dx ⎟⎠
h
dψ 0
mω
dψ
=−
ψ 0 ist −
x 0 =
h
dx
2mω dx
denn mit (H11)
d
mω
x mit
=
h
dx
Bemerkung: Die Substitution q :=
2mω
x ψ0 (x)
h
(H13)
mω
x ψ0 .
2h
mω d
d
vereinfacht die
in pˆ x = −ih
dx
h dq
Ausdrücke erheblich, denn nun ist
aˆ =
1 ⎛
d ⎞
1 ⎛
d ⎞
⎜⎜ q + ⎟⎟ , aˆ + =
⎜⎜ q − ⎟⎟
dq ⎠
dq ⎠
2⎝
2⎝
also
1
ψ n (q) := q n =
q (aˆ + ) n 0 =
n!
n
⎛
d ⎞
⎜⎜ q − ⎟⎟ ψ 0 (q ) .
n
dq ⎠
2 n! ⎝
1
(H14)
Zeigen Sie, dass daraus folgt
1
⎛ mω ⎞ 4
ψ n (q ) = ⎜
⎟
⎝ πh ⎠
1
2n n!
wobei H n (q ) = (−1) n e q
H n (q ) e
2
−
q2
2
, n = 0,1, 2, ...
d n − q2
e die Hermiteschen Polynome sind. Die H n (q ) sind Lösungen
dq n
⎛ d2
⎞
d
der linearen1) homogenen ODE 2. Ordnung ⎜⎜ 2 − 2q + 2n ⎟⎟ H n (q ) = 0 ist (zeigen!, vgl.
dq
⎝ dq
⎠
Nolting, 4.170, S. 288 oder Fließbach, S. 232).
Damit ist der Anschluss an die Behandlung des 1D HO nach der Sommerfeld´schen
Polynommethode im Kap. 4 vollzogen.
9
7.
Der Messprozess in der QM
Beteiligte:
Messobjekt (→ MO)
Messapparatur (→ MA)
Beobachter (B)
Messung:
Wechselwirkung (→ WW) zwischen MO, MA und B
klassische Physik:
Diese WW/wechselseitige Beeinflussung ist vernachlässigbar.
Quantenmechanik:
WW zwischen MO und MA ist nicht vernachlässigbar. Das Einschalten
der (makroskopischen) MA führt in der Regel zur unkontrollierten
Störung des (mikroskopischen) MO. Die Messung ändert den Zustand des MO
(Zustandsreduktion, vgl. 3. Postulat), d.h. bei unmittelbar anschließender zweiter Messung
befindet sich das MO in der Regel in einem anderen Zustand als vor der Messung.
•
Kombinierte Messung zweier Observablen A und B
ˆ ψ =a ψ
Sei A
n
n
n
ˆ φ = b φ . Wir unterscheiden folgende beide Fälle:
und B
n
n
n
1. Fall:
ˆ und B
ˆ sind vertauschbar (→ kompatible
Die beiden zugeordneten Operatoren A
Observable):
[ Aˆ, Bˆ] = 0 . Dann besitzen sie einen gemeinsamen VONS, { ψ } .
n
Eine A-Messung im Zustand ψ ergibt den Messwert an mit Prob( a = an ) = ψ n ψ
2
und
reduziert ψ auf ψ n .
Eine sofort anschließende B-Messung ergibt mit Sicherheit den Wert bn, denn
Prob( b = bn | a = an ) = ψ n ψ n
2
=1 .
10
2. Fall:
[ Aˆ, Bˆ] ≠ 0 , d.h.
ˆ und B
ˆ besitzen unterschiedliche VONS,
A
{ ψ } bzw. { φ } .
n
n
ˆ.
Nach der A-Messung befindet sich das MO/qmS nicht in einem Eigenzustand von B
Deshalb ist Prob( b = bn | a = an ) = φn ψ n
2
≠ 1.
Fazit: Werden in der QM zwei verschiedene Observable zeitnah in unterschiedlicher
Reihenfolge gemessen, kann das Ergebnis unterschiedlich sein. Manche Observable sind in
der QM nicht gleichzeitig scharf messbar.
Die Behauptung/Feststellung, A und B seien/sind nicht gleichzeitig scharf messbar, wenn die
ˆ und B
ˆ nicht kommutieren, wird durch die Angabe der folgenden
zugeordneten Operatoren A
objektiven unteren Schranke für die Streuung / die mittleren quadratischen Schwankungen der
Messwerte um den qmEWW quantifiziert:
ΔA ⋅ ΔB ≥
1
2
[ Aˆ, Bˆ]
→
verallgemeinerte Heisenberg´sche Unschärferelation,
wobei die Streuung über die qm EWW im Zustand ψ wie folgt definiert ist:
ΔA =
( Aˆ − Aˆ )
2
=
(
ˆ− ψA
ˆ ψ
ψ A
)
2
ψ =
(
ˆ2 ψ − ψ A
ˆ ψ
ψA
)
2
.
ˆ und B
ˆ hermitesche Operatoren
Der Beweis dieses Satzes fußt wesentlich darauf, dass A
ˆ =A
ˆ− A
ˆ und ΔB
ˆ und B
ˆ sind auch ΔA
ˆ =B
ˆ− B
ˆ hermitesch. Wir führen den
sind. Mit A
ˆ := ΔA
ˆ − iλ ΔB
ˆ , λ reell, und betrachten die nichtnegative
(nichthermiteschen!) Operator Q
Funktion
ˆ+ Q
ˆ = ψQ
ˆ +Q
ˆ ψ = Q
ˆψQ
ˆ ψ ≥ 0 für alle λ .
f (λ ) = Q
11
Es ist
(
)(
) ( )
( )
ˆ + iλ ΔB
ˆ − iλ ΔB
ˆ 2 + iλ ΔB
ˆ − ΔA
ˆ ΔB
ˆ ΔA
ˆ = ΔA
ˆ ΔA
ˆ + λ2 ΔB
ˆ 2 = α − iβ λ + γ λ2 .
f (λ) = ΔA
144
42444
3
1
424
3
1
424
3
β
α
γ
α und γ sind positiv, denn für jeden hermiteschen Operator Fˆ gilt
Fˆ2 = ψ Fˆ Fˆ ψ = Fˆ+ ψ Fˆ ψ = Fˆ ψ Fˆ ψ ≥ 0 .
Wir berechnen β2
β2 =
[ΔAˆ, ΔBˆ]
2
=
[Aˆ, Bˆ]
2
[ ] [Bˆ, Aˆ]
ˆ ,B
ˆ
=− A
[ ] [Aˆ, Bˆ]
ˆ ,B
ˆ
=− A
*
=−
[Aˆ, Bˆ]
2
ˆ und B
ˆ gilt
denn für hermitesche A
[Aˆ, Bˆ]
*
=
[Bˆ, Aˆ]
ˆ − A
ˆB
ˆ ψ − ψA
ˆB
ˆB
ˆψψ =
ˆA
ˆ = ψB
ˆA
ˆ ψ = A
ˆψ ψ − B
ˆA
= B
*
ˆB
ˆψ
ˆψ − ψ B
ˆA
= ψA
*
ˆB
ˆ ψ =
ˆ −B
ˆA
= ψA
[Aˆ, Bˆ]
*
.
Damit ist β rein imaginär.
[ ] = [ Bˆ, Aˆ] = − [ Aˆ, Bˆ]. Statt [ Aˆ, Bˆ] ist
ˆ und B
ˆ ,B
ˆ
ˆ hermitesch sind, dann ist A
Beachte: Wenn A
[ ]
ˆ ,B
ˆ hermitesch; der qmEWW
i A
Bei λ =
[ Aˆ, Bˆ]
+
ist also i.a. nicht reell.
iβ
besitzt die positiv definite quadratische Funktion f (λ ) = α − iβ λ + γ λ2 ein lokales
2γ
⎛
⎞
Minimum ⎜⎜ f ′(λ ) = 2γλ − iβ = 0, f ′′ i β = 2γ > 0 ⎟⎟ , der entsprechende Funktionswert
2γ
⎝
⎠
2
⎛ iβ ⎞
⎛ iβ ⎞
iβ
β2
f ⎜⎜ ⎟⎟ = α − iβ + γ ⎜⎜ ⎟⎟ = α +
>0
2γ
4γ
⎝ 2γ ⎠
⎝ 2γ ⎠
12
ist positiv. Daraus folgt nach Multiplikation mit γ > 0 schließlich α γ > −
( [ Aˆ , Bˆ ] ) bzw.
1
( Δ Aˆ ) 2 ⋅ ( Δ Bˆ ) 2 ≥ −
−
4
ΔA ⋅ ΔB ≥
1
2
β2
, also
4
[ Aˆ, Bˆ]
für
ˆ =A
ˆ +, B
ˆ =B
ˆ+.
A
•
Energie-Zeit-Unschärfe
Die Zeit ist in der QM ein Parameter, der nicht als EW eines Operators ˆt aufgefasst werden
kann.
h
Es gibt verschieden Möglichkeiten der Herleitung der Energie-Zeit-Unschärfe ΔE Δt ≥
2
ˆ und H
ˆ sind nicht explizit zeitabhängig. Dann
A: Formale Vorgehensweise: Angenommen, A
ist (vgl. Ehrenfest´sche Sätze → Übung oder Poissson-Klammern und Integrale der
Bewegung in der KM)
ih
d ˆ
A =
dt
[ Aˆ, Hˆ]
+ ih
ˆ
∂A
=
∂t
[ Aˆ, Hˆ]
Aus der verallgemeinerten UR folgt
ΔA ⋅ ΔH ≥
1
2
[ Aˆ, Hˆ]
=
h d ˆ
A
2 dt
bzw.
ΔH ⋅
ΔA
h
≥ .
d ˆ
2
A
dt
ˆ gerade um die mittlere
Wir führen das Zeitintervall Δt A ein, indem sich der qmEWW A
quadratische Schwankung ΔA verschiebt
Δt A :=
ΔA
.
d ˆ
A
dt
13
Ein solches charakteristisches Zeitintervall, das für eine nennenswerte Veränderung der
statistischen Verteilung der Messwerte von A mindestens erforderlich ist, kann für alle
ˆ die Energie E repräsentiert, "folgt" ΔE ⋅ Δt ≥ h .
Observable definiert werden. Da H
2
ˆ (→ stationärer Zustand), dann ist
Befindet sich ein qmS im EZ des zeitunabhängigen H
d ˆ
h
A = 0 und Δt divergiert. Das ist nicht im Widerspruch zu ΔE ⋅ Δt ≥ , da in diesem
dt
2
Zustand E scharf, also ΔE = 0 ist.
B: Beschreibe qmT durch einen Wellenzug/Wellenpaket der Länge Δx . Für die Strecke Δx
benötigt das Teilchen die Zeit Δt ~
Δx
("Zeitintervall des Vorbeiflugs"). Die
p /m
Energieunschärfe ΔE ist wegen E ~
ΔE ⋅ Δt ~
p Δp
p2
etwa ΔE ~
. Das ergibt dann
2m
m
p Δp Δx
h
⋅
= Δx ⋅ Δp ≥ .
m
p /m
2
Bei der Verschiebung eines Wellenpaketes wird aus Δx → Δt , aus Δp → ΔE und aus
Δx ⋅ Δp → Δt ⋅ ΔE
14
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