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Lösungen Testklausur Aufgabe 1 - Fachbereich 4: HTW Berlin

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02.07.2014
Versicherungsmathematik (SoSe 2014)
L¨
osungen Testklausur
Aufgabe 1
(a) Was ist der Unterschied zwischen einer Perioden- und einer Generationentafel? Zu
welcher Art geh¨oren die Richttafeln 2005 G?
(b) Beschreiben Sie stichwortartig den Weg von einer rohen Ausscheidewahrscheinlichkeit qˆx zu einer Ausscheidewahrscheinlichkeit G qx der Richttafeln 2005 G.
Lo
¨sung
(a) In einer Periodentafel sind als Unterscheidungsmerkmale Alter und Geschlecht gegeben, bei der Generationentafel kommt noch das Geburtsjahr als drittes Merkmal
hinzu. Damit soll der demografische Trend der steigenden Lebenserwartung jahrgangsgerecht abgebildet werden. (Beachten Sie, dass auch in einer Periodentafel wie
den RT 1998 dieser Trend ber¨
ucksichtigt wird, aber nur in einer pauschalen Weise:
Alle Werte sind mit einem Trendfaktor versehen, der meist dem momentanen oder
einem k¨
unftigen Jahr als Geburtsjahr entspricht.)
Die Richttafeln RT 2005 G sind - wie der Zusatz G schon vermuten l¨asst - Generationentafeln.
(b)
– Die rohen Ausscheidewahrscheinlichkeiten werden als relative H¨aufigkeiten aus
dem betrachteten Datenmaterial gewonnen. Dabei wird nicht der gesamte Altersbereich x = 20, ..., 115 abgebildet, da die h¨oheren Alter wegen zu geringer
Datenmengen statistisch unbrauchbare sind.
– Die qxroh geben - noch ohne Ber¨
ucksichtigung eines beliebigen Jahrgangs - die
Ausscheideh¨aufigkeit eines im Jahr 2005 x-J¨ahrigen wieder (hier ist also G =
2005 − x). Die Abh¨angigkeit vom Geburtsjahr G wird durch die Skalierung mit
einem Faktor c(x, G) erreicht (dessen Definition noch die F¨alle x + G ≤ 2005
und x + G > 2005 unterscheidet) ; man erh¨alt c(x, G) · qxroh =: G qxroh .
– Zum Ausgleich von Zufallsschwankungen in den Werten G qxroh wird ein Gl¨attungsverfahren verwendet, die sog. Gl¨attung mit kubischen Splines.
– Die (im ersten Punkt erw¨ahnten) fehlenden Alter bis zum Ende der Tafel bei
ω = 115 werden durch eine sog. Extrapolation bestimmt.
Aufgabe 2
Gegeben sei eine n Jahre lang j¨ahrlich vorsch¨
ussig zahlbare Rente, die mit dem Betrag 1
startet und j¨ahrlich um den Betrag 1 anw¨achst. Zeigen Sie, dass bei gegebenem Diskont<
faktor v f¨
ur den finanzmathematischen Barwert a
¨n dieser steigenden Rente gilt:
a
¨n − n · v n
a
¨n =
1−v
<
L¨
osung
Wir zerlegen die steigende Rente in eine sofort beginnende Rente der L¨ange n mit konstanter H¨ohe 1, eine um ein Jahr aufgeschobene der L¨ange n − 1 und H¨ohe 1 usw. In
Formeln:
<
a
¨n = a
¨n + 1| a
¨n−1| + · · · + n−1| a
¨1| .
F¨
ur aufgeschobene Renten haben wir die Barwertformel (1.10)
¨n
m| a
1 − vn
,
1−v
= vm ·
die auch f¨
ur sofort beginnende Renten (also m = 0) gilt, so dass
n−1
<
a
¨n
=
¨n−i|
i| a
i=0
n−1
vi ·
=
i=0
1
=
·
1−v
=
=
1
·
1−v
1 − v n−i
1−v
n−1
(v i − v n )
i=0
n−1
v i − nv n
i=0
1
· (¨
an − nv n )
1−v
Aufgabe 3
Verwenden Sie f¨
ur diese Aufgabe die beiliegende Tabelle der Werte qxaa , ix und qxi f¨
ur
M¨anner des Alters x. Geben Sie 5 Nachkommastellen an.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stirbt ein am 01.01.2013 genau 25 Jahre alter invalider Mann im Mai 2014?
i
Hinweis: t qx+s
=
t·qxi
1−s·qxi
f¨
ur 0 ≤ s < 1 und 0 < t ≤ 1 − s.
(b) Bestimmen Sie P [AKT30 → INV32 ].
¨
Hinweis: Es gibt zwei m¨ogliche Wege f¨
ur diesen Ubergang!
L¨
osung
(a) Das beschriebene Ereignis sei mit E bezeichnet. Der invalide Mann muss zun¨achst
das Jahr 2013 u
¨berleben (Ereignis A), dann im Jahr 2014 weitere vier Monate
(Ereignis B) und schließlich genau im Mai 2014 versterben (Ereignis C). Es gilt
P (A)
=
i
1 − q25
= 1 − 0, 04930 = 0, 9507
P (B)
=
1−
P (C)
Hinweis
=
4
12
i
q26
=1−
i
1 q
4
12 26+ 12
4 i
1
q26 = 1 − · 0, 04792 = 0, 984
12
3
1
12
1
i
· q26
· 0, 04792
12
=
=
= 0, 0041.
4
4
i
1 − 12 · q26
1 − 12
· 0, 04792
Da die drei Ereignisse unabh¨angig sind und ihr Durchschnitt das gesuchte Ereignis
E ergibt, folgt
P (E) = P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C) = 0, 0038.
(b) Das Ereignis D kann als disjunkte Vereinigung der folgenden Ereignisse geschrieben
werden:
– A = [AKT30 → AKT31 ] ∩ [AKT31 → INV32 ]
– B = [AKT30 → INV31 ] ∩ [INV31 → INV32 ]
Die Teilereignisse in A und B sind unabh¨angig, also gilt nach S.2.3 und S.2.7
aa
P (A) = (1 − q30
− i30 ) · i31 ·
i
1 − q31
i
1 − 21 · q31
= (1 − 0, 0006 − 0, 00071) · 0, 00082 ·
1 − 0, 04275
= 0, 0008
1 − 0, 5 · 0, 04275
sowie
P (B) =
=
i30 ·
i
1 − q30
i
· (1 − q31
)
1
i
1 − 2 · q30
0, 00071 ·
1 − 0, 04355
· (1 − 0, 04275)
1 − 0, 5 · 0, 04355
= 0, 00067
Es folgt nach S.1.13(c)
P (D) = P (A) + P (B) = 0, 00147.
Aufgabe 4
Der fiktive Beitrag P einer Zusage sei gegeben durch
1
a
¨a30,35|
· 1.200 · a
¨aiA
30 +
a
a
a
D42
D52
D38
ai
aw
+
600
·
+
100
·
·
1.000
·
a
¨
·
a
¨
·a
¨aw
38
42
52
a
a
a
D30
D38
D38
Was ist an der folgenden Formel f¨
ur den Teilwert der Zusage nach m = 20 Jahren falsch,
wenn der Beg¨
unstigte im Alter 47 invalide wurde? Begr¨
unden Sie Ihre Antworten und
berichtigen Sie die Fehler.
¨iw
1.000 · a
¨ai
50 + 100 ·
50 + 600 · a
i
D52
¨a50,15|
·a
¨iw
52 − P · a
i
D50
L¨
osung
1. In der Formel f¨
ur P erkennt man mehrere Wartezeiten, n¨amlich 8, 12 und 22 Jahre.
Da der Beg¨
unstigte mit 47, also nach 17 Jahren, invalide wurde, sind die ersten
beiden Wartezeiten erreicht worden, aber nicht die dritte.
2. Die Anwartschaft auf Altersrente beinhaltet einen Wechsel zum Invaliden vor dem
Alter z, so dass der erste Summand zu 1.200 · a
¨iA
50 wird; dieser fehlt beim Teilwert.
3. Die Anwartschaft auf Invalidenrente wurde zu einer laufenden Invalidenrente 1.000 ·
a
¨i50 ; das a im oberen Index beim Teilwert ist also zuviel.
4. Die erste Anwartschaft auf Hinterbliebenenrente wird zu 600 · a
¨iw
50 , ist also korrekt.
5. Die zweite Anwartschaft f¨allt wegen der nicht erreichten Wartezeit weg; der entsprechende Summand im Teilwert ist also falsch.
6. F¨
ur Invalide gibt es keinen Abzugsterm des fiktiven Beitrags; dies ist auch falsch.
Aufgabe 5
Die Mitarbeiter der Schnick-Schnack GmbH erhalten eine Pensionszusage nach einer Pensionsordnung, die folgende Regelungen beinhaltet:
• J¨ahrlich vorsch¨
ussige Zahlweise
• Allgemeine Wartezeit 4 Jahre
• Wartezeit f¨
ur Hinterbliebenenversorgung 8 Jahre
• Anwartschaft auf lebenslange Invalidenrente der H¨ohe 2.000 e
• Aufstockung der Anwartschaft auf Invalidenrente auf 2.500 e bei Eintritt der Invalidit¨at nach mindestens 15-j¨ahriger Betriebszugeh¨origkeit
• Anwartschaft auf Hinterbliebenenrente bei Invaliden- oder Aktiventod in H¨ohe von
60% der bisherigen Invalidenrente bzw. der Invalidenrente, die bei Invalidit¨at zum
Todeszeitpunkt f¨allig geworden w¨are
Else H. ist eine am 06.04.1965 geborene Mitarbeiterin, die zum 01.01.1999 in die Firma
eintrat. Beantworten Sie folgende Fragen unter Zuhilfenahme der beiliegenden Tabelle
(alle Werte sind auf 2 Nachkommastellen zu runden):
(a) Welchen Wert hat der fiktive Beitrag der Zusage f¨
ur Else H.?
(b) Wie hoch ist der Teilwert der Zusage zum Bilanzstichtag 31.12.2010, wenn Else H.
zu diesem Zeitpunkt invalide ist?
L¨
osung
(a) Zun¨achst ben¨otigt man das maßgebliche Eintrittsalter. Da der Geburtstag von Else
H. am 06.04. ist, ist das versicherungsmathematische Alter zum 31.12. bzw. 01.01.
eines Jahres immer das Alter des darauf folgenden Geburtstages. Zum Zeitpunkt
des Eintritts (01.01.1999) ist das versicherungsmathematische Alter demnach 34.
Da es gr¨oßer als 27 ist, ist das maßgebliche Eintrittsalter ebenfalls 34.
Wir bestimmen nun den Barwert B34 zum Alter 34 als Summe der Barwerte der
einzelnen Leistungsversprechen. Die Zahlweise ist j¨ahrlich.
– Anwartschaft auf lebenslange Invalidenrente der H¨ohe 2.000 e mit einer Wartezeit von 4 Jahren:
Da
·a
¨ai
B1 = 2.000 · 38
38 = 511, 65 e.
a
D34
– Anwartschaft auf abgek¨
urzte Invalidenrente der H¨ohe 500 e mit einer Wartezeit
von 15 Jahren:
Da
B2 = 500 · 49
·a
¨ai
49 = 83, 78 e.
a
D34
– Anwartschaft auf Hinterbliebenenrente der H¨ohe 1.200 e mit einer Wartezeit
von 8 Jahren bei Aktiven- oder Invalidentod:
a
D42
aaaw
¨aiw
B3 = 1.200 · a · (¨
42 + a
42 ) = 433, 27 e.
D34
– Anwartschaft auf Hinterbliebenenrente der H¨ohe 300 e mit einer Wartezeit
von 15 Jahren bei Aktiven- oder Invalidentod:
Da
B4 = 300 · 49
· (¨
aaaw
¨aiw
49 ) = 76, 93 e.
49 + a
a
D34
Es ergibt sich
B34 = B1 + B2 + B3 + B4 = 1.105, 63 e.
Der fiktive Beitrag berechnet sich damit zu
P34 =
B34
1.105, 63
=
= 80, 09 e.
a
a
¨34,31|
13, 805
(b) Am 31.12.2010 hat Else H. das versicherungsmathematische Alter 46. Es ist m = 12,
so dass die Wartezeit von 15 Jahren nicht erreicht wurde. Die H¨ohe des Teilwertes
ist wegen der Invalidit¨at (d.h. Inaktivit¨at) immer gleich dem Barwert B46 . Dieser
richtet sich aufgrund der Wartezeiten danach, wann Else H. invalide wurde.
– Trat die Invalidit¨at vor Ablauf der ersten vier Jahre ein, ist der Teilwert Null.
– Trat die Invalidit¨at danach, aber vor Ablauf der ersten 8 Jahre ein, so erh¨alt
Else H. eine Invalidenrente der H¨ohe 2.000 e und der Teilwert lautet
12 V34
= B46 = 2.000 · a
¨i46 = 21.720 e.
– Trat die Invalidit¨at nach den ersten 8 Jahren ein, so erh¨alt Else H. eine Invalidenrente der H¨ohe 2.000 e sowie eine Anwartschaft auf Hinterbliebenerente
nach Invalidentod der H¨ohe 1.200 e und der Teilwert lautet
12 V34
= B46 = 2.000 · a
¨i46 + 1.200 · a
¨iiw
46 = 25.603, 20 e.
Tabelle f¨
ur Aufgabe 3
Tabelle f¨
ur Aufgabe 5
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Gesundheitswesen
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