close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

22.05.2013

EinbettenHerunterladen
Was haben wir letztes Mal gelernt? Gekoppelte Oszillatoren 11.8. Gekoppelte
GekoppelteOszillatoren
Oszillatoren
11.8.
365
365
x1
! k(x1 ! x2 )
l
x
m!!
x2 = !mg 2 ! k(x2 ! x1 )
l
m!!
x1 = !mg
Bewegungsgleichung des Pendels mit zusätzlichem Term Abb.11.27.
11.27. Anfangsbedingungen
Anfangsbedingungen für
Abb.
für die
die Anregung
Anregung der
der
+
−
+
−
beiden Normalschwingungen
Normalschwingungen ξξ (t)
beiden
(t) und
undξξ (t)
(t)
Wellen: Ausbreitung eines Bewegungszustands von einem Ort zum Anderen Bei speziellen
speziellen Anfangsbedingungen
(Abb.
11.27)
Bei
Anfangsbedingungen
(Abb.
11.27)
-­‐  Kein Tlassen
ransport aterie sichvon die M
Normalschwingungen
direkt anregen,
lassenvsich
die Normalschwingungen
direkt anregen,
-­‐  Transport und Impuls sodass on manEnergie in diesen
Fällen
rein harmonische Schwinsodass man
in diesen+Fällen
rein harmonische Schwin-­‐  Transversale + longitudinale Wellen gungen erhält.
Um ξ + anzuregen,
müssen beide Pendel
(t) gekopgungen
erhält.
Um
ξ
anzuregen,
müssen beide Pendel
t)
gekopT und die
genau in Phase schwingen (x1 (t) = x2 (t)), sodass die
und die
genau in Phase schwingen (x1 (t) = x2 (t)), sodass die
Kopplung nicht beansprucht wird. Dann wird in (11.47)
Kopplung nicht beansprucht
wird.– PDann
wird
in (11.47)
P.Fierlinger hysik für E-­‐Technik SS2013 1 Was haben wir letztes Mal gelernt? Mechanische Schwingungen und Wellen
iωt
!t
2
!x
2
= cos ωt + i sin ωt
ngen der Schwingungsgleichung sind.
enauso lassen sich harmonische Wellen in
plexer Form als
(z, t) = C · ei(ωt−kz) + C ∗ · e−i(ωt−kz)
(11.58a)
T
x (t)
Amplitude m Abschn. 11.1
hatten wir gesehen, dass SchwinWellengleichung en auch durch komplexe Funktionen beschrieben
2dass sowohl Realteil als
en können. Dies
!2 zbedeutet,
2 ! z
Imaginärteil der komplexen
Funktion
=v
x (z)
z = z0
=0
t
λ
t = t0
=0
ellen, was äquivalent ist zu
(z, t) = A · cos(ωt − kz) + B · sin(ωt − kz)
mit A = C + C ∗ und B = i(C − C ∗ ) . (11.58b)
Abb. 11.36a,b.
Darstellung einer
harmonischen
Welle.
(a) als ortsfeste
Schwingung
x(z 0 , t) für z 0 =
0. (b) als räumliche periodische
Funktion x(z, t0 )
zum festen Zeitpunkt
t0 = 0
z
Ausbreitungsrichtung 11.9.3 Allgemeine Darstellung beliebiger Wellen.
fig schreibt man verkürzt einfach die P.Fierlinger komplexe– Physik 2 für E-­‐Technik SS2013 Wellengleichung
2.2.2 Harmonische Wellen ! 2!
$
x +#&
Zu jedem Zeitpunkt gilt: z = z(x, t = const) = Asin #
" "
%
Periodizität im Raum: z = z(x, t0 ) = z(x + ! , t0 )
2!
‚Wellenzahl‘: !k
"
z(x, t = const ) = Asin(kx + ! )
(A) An jedem Ort: ! 2#
$
z(x = const, t) = Asin(! t + " ') = Asin # t + " '&
"T
%
Periodizität in der Zeit: z = z(x0 , t) = z(x0 , t + T )
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 3 2.2.2 Harmonische Wellen Außerdem muss gelten: z(x, t) = z(x ! vt)
(B) Vergleich von (A) und (B) z(x, t = const ) = Asin(k( x ! vt)) = Asin(kx ! kvt )
Periodizität in der Zeit: kv = !
z(x, t) = Asin(kx ! ! t )
Harmonische Welle: z(x, t) = Asin(kx ! ! t + " )
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit gilt: kv = !
Frequenz ‚Nü‘ "
"
!v=
!=
.2#$ = "$
2#
2#
Geschwindigkeit v v = "$
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 Anm.: nennt sich auch ‚Phasengeschwindigkeit‘ 4 2.2.2 Harmonische Wellen Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge hängen zusammen kv = !
!
v=
# = !$
2"
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 5 2.2.2 Harmonische Wellen Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist eine Materialkonstante Die Frequenz ν ist gegeben durch die Erregerfrequenz (Frequenz der antreibenden Kraa) v=
F
µ
E
vl =
!
vl, Gas =
K!
"
Ausbreitungsgeschwindigkeit von transversalen Wellen ... von longitudinalen Wellen in Festkörpern: Elasczitätsmodul E F/A
E=
!l / l
... in Gasen, mit dem Kompressionsmodul K !p
K=
"V / V
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 6 2.2.2 Harmonische Wellen Experiment: Messung der Schallgeschwindigkeit (#1756) P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 7 2.2.2 Harmonische Wellen Überlagerung bzw. Interferenz harmonischer Wellen entscheidend: Phasenunterschied (oder auch Gangunterschied) Phase: Argument des räumlich und zeitlich veränderlichen harmonischen Anteils der Wellenfunkcon y1 = Asin ( kx ! ! t )
Phase Amplitude ... sich nach rechts bewegende Welle y2 = Asin ( kx ! ! t + ! )
Phasenkonstante P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 8 2.2.2 Harmonische Wellen Differenz der Phasen an einem Ort (kx ! ! t1 ) ! (kx ! ! t2 + " ) = ! (t1 ! t2 ) ! " = ! ("t ) ! "
!
2 Welle erreicht die gleiche Auslenkung später um !t =
"
Differenz der Phasen zu einem Zeitpunkt: (kx1 ! ! t ) ! (kx2 ! ! t + " ) = k ( x1 ! x2 ) ! " = k ("x ) ! "
Die 2. Welle ist der ersten Welle hinterher um !x =
! "!
=
k 2#
‚Gangunterschied‘ P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 9 2.2.2 Harmonische Wellen Überlagerung von Wellen: y1 + y2 = Asin ( kx ! ! t ) + Asin ( kx ! ! t + ! )
Wichcge Fälle: A)  Phasenkonstante δ = 0 Kein Gangunterschied, die Wellen sind in Phase Resulcerende Welle: yres = y1 + y2 = 2Asin ( kx ! ! t )
‚KonstrukYve Interferenz‘ P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 10 2.2.2 Harmonische Wellen B) Phasenkonstante δ =π Gangunterschied = λ / 2 Resulcerende Welle: yres = y1 + y2
= Asin ( kx ! ! t ) + Asin ( kx ! ! t + " )
= Asin ( kx ! ! t ) ! Asin ( kx ! ! t )
=0
‚DestrukYve Interferenz‘ P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 11 2.2 Mechanische Wellen Allgemeiner Fall für beliebige Phasendifferenz: "1
% "1
%
Mit: sin !1 + sin ! 2 = 2 cos $ (!1 ! ! 2 )' sin $ (!1 + ! 2 )'
#2
& #2
&
Hier ist !1 = kx ! " t ; ! 2 = kx ! " t + #
1
1
1
1
! (!1 " ! 2 ) = " " ; (!1 + ! 2 ) = kx " # t + "
2
2
2
2
Also: ! "
!%
yres = y1 + y2 = 2A cos sin $ kx ! " t + '
2 #
2&
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 12 2.2 Mechanische Wellen Stehende Wellen zR = Asin ( kx ! ! t )
zL = Asin ( kx + ! t )
Nach rechts laufende Welle Nach links laufende Welle zR + zL = Asin ( kx ! ! t ) + Asin ( kx + ! t )
... ... ! 2 = kx ! " t
!1 = kx + " t
1
(!1 + ! 2 ) = kx
2
1
(!1 ! ! 2 ) = " t
2
Einsetzen, um das Addiconstheorem für Winkelfunkconen zu verwenden P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 13 > 0 finden wir
llen
)] ,
(11.108)
i der Reflexion
onstheorem
Für kxder
n = n!
/2
• Reflexion am freien Ende (z. B. bei einer Seilwelle, wo das Seilende an einem Faden hängend
2.2 M
echanische W
ellen frei beweglich ist (Abb. 11.66b). Randbedingungen:
ξ(z = 0) = ξ0 = 2A ⇒ ϕ = 0
Z = 2A cos (! t ) sin ( kx )
ξ(z,) t)
= 2A cos(ωt) cos(kz) ,
sin(kx
n =0
n!
Z(xn =
, t) = 0
k
... ortsfeste Schwingungsknoten (11.109a)
Schwingungsbäuche
ξ1 + ξ2
z
t=3/4T
b)
Knoten
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 14 2.2 Mechanische Wellen Experiment: Stehende Wellen auf einem Gummischlauch (#1685) Einlaufende und reflekcerte Welle: Z1 + Z 2 = Asin ( kx + ! t ) + Asin ( kx ! ! t + ! )
Randbedingung: am festen Ende ist die Amplitude = 0. Z(x = 0, t) = 0 ! ! = "
P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 15 2.2 Mechanische Wellen Experiment: Wellenkanal P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 16 2.2 Mechanische Wellen Beispiel: an beiden Enden eingespannte Saite -­‐  Auslenkung an beliebigen Stellen in Form einer harmonischen Schwingung Für bescmmte Frequenzen entstehen stehende Wellen Erklärung durch Randbedingungen: Z(x = 0, t) = 0 immer erfüllt, da sin(kx) = 0
Z(x = l, t) = 0
! z(l, t) = 2A cos (! t ) sin ( kl ) = 0
! sin ( kl ) = 0
l ... Länge der Saite knl = n" n = 1, 2, 3...
n!n
=l
2
Länge der Saite ist immer ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 17 2.2 Mechanische Wellen Für die Frequenz gilt: Geschwindigkeit: Frequenz: !n
v
!=
"
F
F A!x
#
v=
=
=
µ
A !m
$
n
!=
" /#
2l
... Resonanzfrequenz P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 n =1 n = 2 n = 3 18 2.2 Mechanische Wellen Experiment: Chladnische Klangfiguren (#1715) hmp://www.ep4.ruhr-­‐uni-­‐bochum.de/imperia/md/content/skripte/ws04-­‐05/
physik1fuerphysiker/vorlesung/44lekcon.pdf Lösungen der Wellengleichung: Stehende Wellen in 2 Dimensionen P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 19 2.2 Mechanische Wellen Experiment: Rubensches Flammenrohr (#1740) Stehende Wellen: Druckverteilung eines (brennbaren) Gases in einem Rohr P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 20 2.3 Dopplereffekt Bewegte Quelle: Änderung der Schallfrequenz für den (ruhenden) Beobachter Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge: kv = !
Geschwindigkeit: v =
!
# = !$
2"
Wellenlänge x Frequenz Die Geschwindigkeit ist eine Materialeigenschaa und ist konstant. In Lua: c ~ 340 m/s bei 20 °C c ... ‚Schallgeschwindigkeit‘ Auf den Beobachter hinbewegte Signalquelle: !beobachtet = !Quelle ! v.T
v . T entspricht der zurückgelegten Strecke während einer ausgesendeten Welle mit der Schwingungsdauer T P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 21 2.3 Dopplereffekt Experiment #1765 P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 22 2.3 Dopplereffekt Umformen in Frequenzen: !beobachtet
vQ
= !Quelle !
"Q
Geschwindigkeit der Quelle / ausgesendete Frequenz Mit ! . " =
c
... ! beobachtet =
! Quelle
1! v / c
Extremfall: Machkegel: v > c Bild: Demtröder P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 23 Überblick 3. Thermodynamik Kinecsche Gastheorie, Temperatur, Wärmemenge, Zustandsgleichung idealer Gase Hauptsätze der Thermodynamik, Entropie, reversible und irreversible Prozesse, thermodynamische Maschinen P.Fierlinger – Physik für E-­‐Technik SS2013 24 
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
7
Dateigröße
2 970 KB
Tags
1/--Seiten
melden