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Artikel
Autor(in(n))(en)
1
Inhalt
2
Vorwort
3
Wie trickst man Lügner aus? Simon Reinsch
4
Besondere Rechtecke
Andreas Dixius
6
Die Pyramide
Tobias Dietz
Dominik Schuh
Jan Peter Wagner
9
Der Teiler 7
Pascal Daniel
Jean-Phillippe Merz
12
Das Billardproblem
Denise Berweiler
Jonas Scherer
14
Die Ikosaederreise
Andreas Dixius
16
Eine interessante Zahl
Gaby Fuchs
Ceci Windolph
19
Liebe Mathefreunde,
Wieder einmal möchten wir euch in die Welt
der Mathematik und Logik entführen.
Dieses Mal werden wir euch über Palindrome
informieren, euch beibringen wie man Lügner
austrickst, besondere Rechtecke
behandeln, eine Zahlenpyramide
vorstellen und über eine
interessante Zahl berichten.
Euer Madmax-Team
Stell dir vor, du bist auf einer Kreuzfahrt im Mittelmeer.
Plötzlich kommt ein Sturm auf und das Schiff sinkt. Du
kannst dich auf eine Insel retten; von den anderen fehlt
jede Spur. Jetzt erkennst du die Insel auch: es ist die
„geteilte Insel“ von der der Reiseleiter vor dem Sturm
gesprochen hat. Du hast nur wenige Informationen über
die Insel:
1.) Auf der Insel wohnen 2 Völker, die Ajaner und die
Bjaner
2.) Tagsüber sind beide Völker auf beiden Seiten zu
finden; Nachts leben sie auf getrennten Seiten
3.) Die Ajaner sagen immer die Wahrheit; die Bjaner
lügen immer
4.) Äußerlich sehen beide Völker gleich aus
Um mit deinem Handy Hilfe zu holen, musst du wissen
auf welcher Seite der Insel du dich befindest.
Aufgabe:
Finde heraus auf welcher Seite du dich befindest indem
du...
1.)...einer Person 2 Fragen stellst
2.)...einer Person nur eine Frage stellst
Ob du mit deiner Lösung richtig liegst, kannst du in der Lösung testen.
Lösung:
1.) Wenn man zwei Fragen stellen darf, dann ist es
einfach. Als erstes stellst du eine Frage, von der
du die Antwort kennst, z.B.:
Welche Farbe hat der Himmel?
Richtig
Falsch
Anschließend fragst du, auf welcher Seite du dich
befindest
Wahrheit!
Gelogen!
2.) Wenn du das Prinzip kennst, ist es auch leicht die
Seite heraus zu finden, wenn du 1 Person nur
eine Frage stellen darfst. Man muss die Frage
aber geschickt stellen:
Wohnst du hier?
Gefragte Antwort Aktuelle
Person
Inselseite
1.Ajaner Ja
A
2.Bjaner Ja
A
3.Ajaner Nein B
4.Bjaner Nein B
Also: Wenn man die Antwort Ja bekommt, befindet man
sich auf Seite A; wenn man die Antwort Nein bekommt,
befindet man sich auf Seite B.
Es gibt Rechtecke mit Seitenlängen є IN, die die
Eigenschaft haben, dass, wenn man Maßeinheiten nicht
berücksichtigt, der Umfang gleich dem Flächeninhalt ist.
Ein Beispiel: Wenn die Seitenlängen alle 4 sind (in
diesem Fall haben wir zufälligerweise ein Quadrat), dann
ist der Umfang 16 (2•4+2•4=8+8=16), genau wie der
Flächeninhalt (4•4=16).
Gibt es nun mehrere solcher Rechtecke (und wenn ja
wie viele und welche) und wie findet man sie?
Man kann nun erst einmal eine Gleichung aufstellen:
Da der Flächeninhalt gleich dem Umfang ist, muss
folgendes gelten: a • b = 2 • a + 2 • b
Diese Gleichung kann man nun umformen:
a ⋅b
⇔
⇔
⇔
a ⋅b
2
1
2
1 1
−
2 a
= 2⋅ a + 2⋅b
=
a+b
=
1 1
+
a b
1
b
=
1
2
1
⋅
a ⋅b
1
−
a
⋅
⋅b
1 1
⇔ b ⋅ −  =
2 a
⇔
b
=
1
⋅
1
1 1
−
2 a
1
1 1
−
2 a
1
b
⇔
=
a
2
−
2 a 2a
1
b
⇔
=
a−2
2a
2a
b
⇔
=
a−2
...oder vielleicht doch etwas kürzer:
a ⋅b
= 2⋅a + 2⋅b
⇔ (a − 2) ⋅ b =
2⋅a
2a
⇔
b
=
a−2
− 2b
: (a − 2)
Wie man sieht ist es nun möglich zu einer gegebenen
Seite a die Seite b zu finden, mit der dann ein die
gegebenen
Anforderungen
erfüllendes
Rechteck
entsteht, jedoch weiß man nicht, ob b eine natürliche
Zahl ist. Um sich darüber Klarheit zu verschaffen, muss
man die Gleichung noch ein wenig umformen:
2a
a+a a−2+2+a−2+2 a−2+a−2+2+2
=
=
=
a−2 a−2
a−2
a−2
2+2
4
a−2 a−2 2+2
=
+
+
= 1+1+
= 2+
a−2 a−2 a−2
a−2
a−2
b=
Hier sieht man nun, dass a nicht gleich 2 sein darf, da
sonst der Bruch nicht berechenbar wäre, und nicht
gleich 1, da sonst b negativ wäre (2+4:(1-2)=2+(-4)=-2).
Weil 0 von Grund auf auszuschließen war, wissen wir
also, dass a größer als 2 sein muss. Wäre andererseits
a größer als 6, so wäre der Nenner im Bruch der
Gleichung größer als 4, was bei der 4 im Zähler zu einer
Zahl zwischen 0 und 1 führte, also nicht zu einer
natürlichen. Folglich gilt:
2<a<7
Da es nun nicht allzu viele natürliche Zahlen zwischen 2
und 7 gibt (nämlich 3,4,5,6), kann man nun einfach
ausprobieren:
a
b
Möglich ?
3
2+
4
4
= 2+ = 2+4 = 6
3− 2
1
Ja, 6 є IN
4
2+
4
4
= 2+ = 2+2 = 4
4−2
2
Ja, 4 є IN
5
2+
4
4
= 2 + = 2 + 0,75 = 2,75
5−2
3
Nein, 2,75
ist nicht є IN
6
Da sich für a=3 b=6 ergibt,
Siehe a=3
ergibt sich für a=6 auch b=3 !!!
Es gibt also nur zwei mögliche Rechtecke:
• das mit den Seitenlängen 3 und 6
• das Quadrat mit der Seitenlänge 4
Immer wieder findet man in der Unterhaltungsmathematik Beispiele, bei denen Zahlen angeordnet
werden müssen. Ein solches Beispiel haben wir für euch
ausgewählt. Man soll die Zahlen in Form eines Dreiecks
anordnen, und zwar so, dass die Zahlen in folgender
Reihenfolge stehen: die Zahl 1 schreibt man in die erste
Zeile, die Zahlen 2, 3 und 4 in die zweite Zeile, die
Zahlen 5, 6, 7, 8 und 9 in die Dritte u.s.w. Alles klar,
dann kann es ja losgehen.
Schema:
1
17
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
18
19
20
21
22
23
24
25
Um nun herauszufinden, wo die Zahl Elf steht genügt es,
sich die ersten vier Zeilen aufzuschreiben und dann
abzulesen, dass sie in der vierten Reihe an zweiter
Stelle steht. Bei größeren Zahlen, schreibt man besser
nicht alles auf, den n das ist sehr zeitaufwändig. Man
kann es zwar, aber als Mathematiker stellt man es
natürlich viel intelligenter an.
Frage: Wo steht die aktuelle Jahreszahl 2004?
Rechnung:
Wenn man sich die Tabelle anschaut, stellt man als
erstes fest, dass die letzte Zahl in jeder Reihe eine
Quadratzahl ist:
11 = 1
22 = 4
33 = 9
4 4 = 16
55 = 25
Um nun festzustellen, an welcher Stelle
Jahreszahl steht, zieht man ihre Wurzel:
unsere
2004 ≈ 44,766
Leider ist 2004 keine Quadratzahl, aber immerhin weiß
man jetzt, dass sie unter der 44. Reihe liegen muss, also
in Reihe 45.
Die letzte Zahl in der 44. Reihe ist:
44 2 = 1936
⇒ Die erste Zahl in der 45. Reihe ist 1937.
Um jetzt die genaue Position von der Zahl 2004 in dieser
Reihe festzustellen, muss man die Differenz von 2004
und 1937 bilden:
2004-1937= 67
⇒ Die gesuchte Zahl liegt also an 67. Stelle in der
45. Reihe.
Tja, wir haben die Position der aktuellen Jahreszahl jetzt
rausgefunden. Ihr könnt es ja noch mal nachrechnen.
Oder versucht es mit einer anderen Zahl, z.B. dem Jahr
der ersten Mondlandung: 1969.
Viel Spaß!
In unserer Arbeit geht es um eine interessante
Behauptung über die Zahl sieben. Wir behaupten: Wenn
100a+b durch 7 teilbar ist, dann ist auch a+4b durch
sieben teilbar wobei man für a und b eine beliebige
natürliche Zahl einsetzen darf.
(100 a + b ) : 7
= n
Formal:
<=> ( a + 4 b ) : 7
= m
Dabei sind n und m natürliche Zahlen, welche vom
Beispiel abhängen.
Wir haben einige Beispiele erstellt um die Behauptung
zu verdeutlichen:
a=4
b=6
(400 + 6) ist durch 7 teilbar (58)
( 4 + 24 ) ist auch durch 7 teilbar (4)
a=2
b= 5
(200 + 5) ist nicht durch 7 teilbar
(2 + 20) ist auch nicht durch 7 teilbar
a=1
b=5
(100 + 5) ist durch 7 teilbar (15)
(1 + 20) ist auch durch 7 teilbar (3)
Beweis unserer Behauptung:
(100a + b )
Annahme:
7 teilt
Dann gilt:
4 ⋅ (100a + b )
= 400 + 4b
= 399a + (a + 4b )
↓
durch 7 teilbar
Weil in dieser Gleichung 4 ⋅ (100a + b ) und 399a durch
sieben teilbar sind, deshalb muss auch a + 4b durch
sieben teilbar sein. Wenn nämlich ein Summand einer
Summe und die Summe selbst durch eine Zahl n teilbar
ist, dann muss es auch der zweite Summand sein.
Dieser Artikel beschäftigt sich mit folgendem, dem
„Spektrum der Wissenschaft 07/03“ entnommenen
Problem:
Man hat einen quadratischen Billardtisch ohne Löcher,
bei dem die weiße Kugel in einer der Ecken liegt. Nun
möchte man eine sich an einem beliebigen Punkt des
Tisches befindende Kugel über 1, 2, 3 oder 4 Banden
anspielen. Die Frage, die sich nun stellt ist, ob dies in
allen Fällen möglich ist.
Eine
hierzu
nötige
Information ist, dass beim
Auftreffen einer Kugel auf
die Bande der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist.
Lösung:
Man muss
vorstellen:
sich
4
3
2
3
2
1
2
1
den
Billardtisch
folgendermaßen
Ursprünglicher Billardtisch
Unten rechts in der Ecke befindet sich der originale
Billardtisch mit vier verschiedenen Banden. Der
Billardtisch wird an jeder Seite zweimal gespiegelt, d.h.
es entstehen acht weitere „Tische“. Dies hat zur Folge,
dass man sich die schwierigen „Einfallswinkel =
Ausfallswinkel-Zeichnungen“ ersparen kann. Den
wirklichen Weg auf dem Tisch kann man durch den
„virtuellen Weg“ auf den gespiegelten Tischen ersetzen.
Dieser virtuelle Weg ist eine Gerade:
4
3
2
3
2
1
2
1
Entsprechender Weg
auf den gespiegelten
„wirklicher“ Weg
auf dem „echten“
Die Zahl, die in den Tischen steht, ist gleich der Anzahl
der angespielten Banden. So ist nun ersichtlich, dass
man jeden beliebigen Ball auf dem Tisch über beliebig
viele Banden anspielen kann, da jeder Punkt durch eine
Gerade erreichbar ist.
Das Problem:
Man stelle sich vor, die Welt hätte 20 Länder und wäre
ein Ikosaeder (ein dreidimensionaler Körper, der aus 20
gleichseitigen Dreiecken aufgebaut ist), bei dem jedes
Dreieck ein Land darstellt. Nun möchte man alle Länder
nacheinander und jedes nur einmal durchwandern und
am Ende wieder beim Ausgangs-Land ankommen
(natürlich kann man nur von einem Land zu einem der
angrenzenden Länder reisen).
Anders gesagt: Der Mittelpunkt eines jeden Dreiecks des
Ikosaeders soll durch zwei Strecken mit den
Mittelpunkten zweier der drei Dreiecke verbunden
werden, die mit ihm eine gemeinsame Seite haben.
Wenn man nun, nur um alle Möglichkeiten, die man hat,
zu zeigen, die Mittelpunkte aller Dreiecke, mit denen
aller drei Nachbardreiecke verbindet, dann würden diese
30 Strecken den 30 Kanten und die 20 Mittelpunkte den
20 Ecken eines Dodekaeders (ein aus 12 regelmäßigen
Fünfecken bestehender Körper) entsprechen.
Man müsste nun also jede Ecke des Dodekaeders mit
zwei der drei angrenzenden Ecken verbinden.
Um dieses Problem leichter zu lösen, kann man das
Dodekaeder auch 2-Dimensional abbilden, was einem
dann einen besseren Überblick verschafft (auch wenn es
dann etwas verzerrt ist):
C
D
J
K
L
I
R
M
S
Q
P
H
T
N
B
E
0
G
F
A
(Die Winkel bei G,I,K,M und O werden hier zum Teil auf
180° verzerrt!)
Das kleine Fünfeck entspricht dem oberen, die fünf
darum und die äußeren fünf folgen entsprechend und
das untere Fünfeck wird durch das äußere dargestellt.
Hier kann man nun den Lösungsweg sogar sehr leicht
finden:
C
D
J
K
L
I
R
M
S
Q
P
H
T
N
B
E
0
G
F
A
Dies wäre zum Beispiel eine mögliche Lösung.
Eine interessante Zahl
Manchmal ist das Ergebnis einer Division eine
Periodenzahl, z.B. ist 1 : 7 = 0,1428571428... = 0,142857
Die Periode (142857) hat in diesem Fall eine
interessante Eigenschaft. Multipliziert man diese Zahl
mit der Zahl 7 erhält man ein überraschendes Ergebnis:
142857 ⋅ 7 = 999999
Warum ist das so?
gerechnet hat, der
Dezimalzahlen immer
dem 9, 99, 999,
1
= 0,142857 = 142857 .
7
999999
Wer schon mit Periodenzahlen
weiß, dass man periodische
als Bruch schreiben kann, bei
... im Nenner steht. Also:
Wenn man
142857
erweitert erhält man
999999
1
also mit 142857
7
, also ist 142857 ⋅ 7 =
999999.
Das ist aber noch nicht das Besondere an 142857, da
man ähnliche Rechnereien mit allen Perioden machen
kann. Aber unsere Zahl hat wirklich noch eine
interessante Eigenschaft: Multipliziert man 142857 mit
2,3,4,5 oder 6 so besteht das Ergebnis nur aus den
Ziffern 1, 4, 2, 8, 5 und 7. Außerdem wird die
ursprüngliche Reihenfolge der Ausgangszahl beibehalten.
Es ändern sich nur die Anfangsziffern.
1
4
7
2
5
8
142857 ⋅ 2 = 285714 oder
142857 ⋅ 6 = 857142
Zum Beispiel:
Erklärung:
1
7
1
:
3
7
7 = 0, 1 4 2 8 5 7...
1 0
7
3 0
2 8
2 0
1 4
6
0
...
Es fällt auf, dass man bei der schriftlichen Division von 1 und
7 jeden Rest zwischen 2 und 6 erhält (eingekreiste Zahlen). Ab
dem Rest x geht die Division genau so weiter, als wenn man x
: 7 rechnen würde.
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