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Differentialrechnung - Lösung zum Arbeitsblatt 1 - backhaus-else.de

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Differentialrechnung - Lösung zum Arbeitsblatt 1
04.02.2011
(a) Berechne, wie hoch sich der Bungee-Springer nach 2 Sekunden über der Wasseroberfläche befindet.
2 Sekunden ist ein x-Wert. Deshalb setzt ihr x = 2.
12
2
h(2) = 11
· 23 − 81
11 · 3 + 48 = 27,27m
(b) Berechne, wann der Bungee-Springer auf die Wasseroberfläche auftrifft.
Wenn der Bungee-Springer auf die Wasseroberfläche trifft, dann befindet er sich 0
Meter über dem Wasser. Deshalb setzt ihr y = 0 bzw. h(x) = 0.
12
81
0 = 11
· x3 − 11
· x2 + 48
| Horner -> EQN
x1 = −2,22
x2 = 4,97
x3 = 4
Die Frage ist jetzt, welcher dieser x-Werte die Frage beantwortet.
x1 könnt ihr ausschließen, weil negative Sekunden im gegebenen Zusammenhang
keinen Sinn ergibt. x3 könnt ihr auch ausschließen, weil er zu diesem Zeitpunkt
bereits wieder aus dem Wasser auftaucht.
Also trifft der Bungee-Springer nach genau 4 Sekunden auf die Wasseroberfläche.
(c) Berechne die Schnittpunkte der Funktion h mit den Koordinatenachsen. Interpretiere die berechneten Punkte im Sachzusammenhang!
Nullstellen: N1 (−2,22/0), N2 (4,97/0), N3 (4/0) (Rechnung siehe Aufgabe (b))
3 81
2
Sy : h(0) = 12
11 · 0 − 11 · 0 + 48 = 48 ⇒ Sy (0/48)
(d) Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate/Steigung der Funktion h vom
Absprung bis zum Eintauchen ins Wasser? Wie lässt sich dieser Wert im gegebenen Sachzusammenhang interpretieren?
Hier müsst ihr den Differenzenquotienten der x-Werte 0 (Absprung) und 4 (Eintauchen; siehe (b)) berechnen:
h(0) − h(4) 48 − 0
m
=
= −12
d(0; 4) =
0−4
0−4
s
Dieser Wert −12 lässt sich als durchschnittliche Fallgeschwindigkeit des BungeeJumpers in den ersten 4 Sekunden des Sprungs interpretieren.
(e) Wie groß ist die momentane Änderungsrate/Steigung der Funktion h nach 3
Sekunden des Sprungs? Interpretiere auch dieses Ergebnis im Sachzusammenhang!
3 Sekunden ist ein x-Wert und die Steigung berechnet ihr mit der Ableitung von h.
Also:
2 162
h (x) = 36
11 x − 11 x
m
2 162
h (3) = 36
11 · 3 − 11 · 3 = −14,73 s
Dieser Wert −14,73 lässt sich als aktuelle/momentane Fallgeschwindigkeit des BungeeJumpers nach 3 Sekunden Flugzeit interpretieren.
Differentialrechnung - Lösung zum Arbeitsblatt 1
04.02.2011
m
(f) Überprüfe, ob der Bungee-Springer mit einer höheren Geschwindigkeit als 72
11 s
auf das Wasser trifft.
Hier muss die Steigung von h an der Stelle x = 4 (siehe Aufgabe (b)) berechnet
werden.
72 m
2 162
h (4) = 36
11 · 4 − 11 · 4 = − 11 s
72 m
Also ist die Aufprallgeschwindigkeit des Bungee-Springers nicht größer als 11
s.
(g) In welchen Zeitabschnitten ist die Fallgeschwindkeit des Bungee-Springers positiv und in welchen Zeitabschnitten ist die Steiggeschwindigkeit positiv?
Die Fallgeschwindigkeit des Bungee-Springers ist von 0 bis 4,5 Sekunden Flugdauer positiv (weil die Höhe des Springers in diesem Zeitraum abnimmt, d.h. er fällt).
Die Steiggeschwindigkeit des Bungee-Springers ist von 4,5 Sekunden bis zum Ende
des abgebildeten Fluges positiv (weil die Höhe des Springers in diesem Zeitraum
zunimmt, d.h. er gewinnt an Höhe).
(h) Berechne die Extremstellen von h. Welche Bedeutung haben sie im gegebenen
Sachzusammenhang?
h (x) = 0
36 2 162
| Ausklammern -> EQN)
11 x − 11 x = 0
x1 = 4,5
x2 = 0
Prüfe x = 4,5 auf Vorzeichenwechsel:
2 162
h (4,4) = 36
11 · 4,4 − 11 · 4,4 = −1,44
2 162
h (4,6) = 36
11 · 4,6 − 11 · 4,6 = 1,51
Also ist h (x) < 0 für 0 < x < 4,5 und h (x) > 0 für x > 4,5
⇒ T (4,5/ h(4,5))
−1,7
Prüfe x = 0 auf Vorzeichenwechsel:
2 162
h (−0,1) = 36
11 · (−0,1) − 11 · (−0,1) = 1,51
2 162
h (0,1) = 36
11 · 0,1 − 11 · 0,1 = −1,44
Also ist h (x) > 0 für x < 0 und h (x) < 0 für 0 < x < 4,5
⇒ H(0/ h(0) )
48
Der Hochpunkt ist der Absprungpunkt des Bungee-Springers und damit auch der
höchste Punkt des Sprungs.
Beim Tiefpunkt ist der Springer am tiefsten ins Wasser eingetaucht.
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