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Dr. L. Székelyhidi Analysis III WS 06/07 1 Wie tief sollte ein

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Dr. L. Sz´ekelyhidi
Analysis III
WS 06/07
1
Wie tief sollte ein Weinkeller gebaut werden?
Ein Weinkeller sollte im Sommer k¨
uhl bleiben, und im Winter trotzdem nicht zu kalt sein. Um
dies zu erreichen, sollten die Auswirkungen von Temperaturschwankungen an der Erdoberfl¨
ache
in der Tiefe des Weinkellers so gering wie m¨
oglich sein. Es ist klar: je tiefer der Keller, desto
geringer die Auswirkungen. Allerdings sollte der Keller nat¨
urlich nicht zu tief liegen.
Dieses Problem soll nun mit Hilfe der 1-dimensionalen W¨
armeleitungsgleichung modelliert
werden. Ein einfaches Modell f¨
ur die Erdkruste ist das halb-unendliche Intervall 0 ≤ x < ∞,
wobei x die Tiefe ist. Die Verteilung der Temperatur ist gegeben durch u(x, t) und erf¨
ullt die
PDG
∂u
∂2u
= α 2 , 0 < x < ∞.
(1)
∂t
∂x
k
, wobei k die W¨
armeleitf¨
ahigkeit, ρ die Dichte und c die spezifische W¨
armekapazit¨
at
Hier ist α = ρc
von der Erde ist (wir nehmen nat¨
urlich an, dass das Material von der Erdkruste homogen ist).
Die Randbedingungen sind gegeben durch den Wechsel zwischen Sommer und Winter an der Erdoberfl¨
ache (x = 0), und dass die Temperatur beschr¨
ankt bleiben soll f¨
ur x → ∞. Somit ist die
Temperatur an der Oberfl¨
ache gegeben durch
u(0, t) = T0 + T1 cos(ωt),
(2)
wo ω die Periode ist, also ω = 2π/(ein Jahr). Dazu kommt noch die Anfangsbedingung
u(x, 0) = f (x).
(3)
In diesem Anfangs- und Randwertproblem ist die Gleichung (1) zwar homogen, aber beide Nebenbedingungen (2) und (3) sind inhomogen. Wir suchen also eine partikul¨
are L¨
osung zur PDG (1),
die die Randbedingung (2) erf¨
ullt, aber nicht unbedingt die Anfangsbedingung (3).
Intuitiv ist zu erwarten, dass nach einer bestimmten Zeit (einer sogenannten Einschwingphase)
die Temperatur in einer Tiefe von x mit der gleichen Frequenz ω wie an der Oberfl¨
ache oszilliert,
allerdings mit einer m¨
oglichen Phasenverschiebung φ(x) und einer ver¨
anderten Amplitude A(x).
¨
Aus dieser Uberlegung
folgt der Ansatz
u(x, t) = T0 + A(x) cos(ωt + φ(x)) + v(x, t),
wobei v(x, t) die Einschwingphase ist, die mit der Zeit abklingt (d.h. v(x, t) → 0 mit t → ∞), und
T0 + A(x) cos(ωt + φ(x))
die sogenannte quasi-station¨
are L¨
osung ist. Die Randbedingung besteht aus der Superposition von
dem konstanten Jahresdurchschnitt T0 , und der Schwingung T1 cos(ωt). Entsprechend besteht der
Ansatz f¨
ur die quasi-station¨
are L¨
osung aus der Superposition von der konstanten Temperatur T 0
(die station¨
are L¨
osung) und einer partikul¨
aren L¨
osung der Form u(x, t) = A(x) cos(ωt + φ(x)) zur
PDG (1), die zus¨
atzlich die Randbedingung
u(0, t) = T1 cos(ωt)
(4)
erf¨
ullt.
Dieses Problem l¨
asst sich wesentlich erleichtern, wenn wir komplexe Exponentialfunktionen
benutzen statt trigonometrischer Funktionen, also wenn wir
A(x) cos(ωt + φ(x)) = Re{A(x)eiωt+iφ(x) } = Re{U (x)eiωt }
schreiben, wobei wir die komplexwertige Funktion U (x) = A(x)eiφ(x) einf¨
uhren. Somit erhalten
wir folgendes Problem: Finde eine L¨
osung u(x, t) von der Form
u(x, t) = Re{U (x)eiωt } =
1
(U (x)eiωt + U (x)e−iωt )
2
2
zur PDG (1), die zus¨
atzlich die Randbedingung (4) erf¨
ullt. Die Amplitude ist dann A(x) = |U (x)|
und die Phase ist arg U (x). Wenn wir diese Form der L¨
osung in die PDG einsetzen, bekommen
wir
α
1
(iωU (x)eiωt − iωU (x)e−iωt ) = (U (x)eiωt + U (x)e−iωt ).
2
2
Nach Neugruppierung der Terme erhalten wir
(iωU (x) − αU (x))eiωt + (−iωU (x) − αU (x))e−iωt = 0.
Da aber ω = 0, folgt
iωU (x) − αU (x) = 0
und
− iωU (x) − αU (x) = 0.
Die zweite dieser Gleichungen ist einfach die komplex-konjugierte der ersten, also reduzieren sich
die Bedingungen an U (x) auf die gew¨
ohnliche Differentialgleichung
ω
U (x) − i U (x) = 0,
α
0 < x < ∞.
Die Randbedingung (4) f¨
ur U (x) entspricht
U (0) = T1 ,
und wir fordern weiterhin dass U (x) beschr¨
ankt bleibt f¨
ur x → ∞ (siehe oben). Die allgemeine
L¨
osung dieser gew¨
ohnlichen Differentialgleichung ist
√ω
√ω
U (x) = c1 e− 2α (1+i)x + c2 e 2α (1+i)x ,
da
2
ω
+ i) = −i α
. Durch die Randbedingungen bekommen wir c1 = T1 und c2 = 0.
Die quasi-station¨
are L¨
osung zur Problem (1)-(2) ist also
ω
2α (1
u(x, t) = T0 + Re T1 e−
√ω
2α (1+i)x
eiωt
= T 0 + T 1 e−
√ω
Re T1 e−i
= T 0 + T 1 e−
√ω
cos
2α x
2α x
√ω
2α x+iωt
(5)
ω
x + ωt .
2α
Das bedeutet, dass in einer Tiefe von x die Temperatur mit einer Amplitude von
√ω
A(x) = T1 e− 2α x
und einer Phasenverschiebung von
φ(x) =
ω
x
2α
um den Mittelwert T0 oszilliert.
Damit der Weinkeller nun optimal arbeiten kann, sprich im Sommer k¨
uhlen und im Winter
w¨
armen, sollte die W¨
arme, welche im Sommer an der Oberfl¨
ache “produziert” wird, im Winter
erst im Keller ankommen. Mathematisch entspricht das einer Phaseverschiebung von π. Laut der
Formel oben passiert dies in einer Tiefe von x, wenn x die Gleichung φ(x) = π erf¨
ullt, also wenn
x=π
2α
.
ω
2
¨
ahr π · 107 s sind,
Ublicherweise
ist f¨
ur die Erde n¨
aherungsweise α = 10−6 ms , und da ein Jahr ungef¨
ergibt sich x ≈ 10m. Aber wenn der Keller nun z.B. unter dem Haus gebaut ist, wird α wesentlich
2
niedriger wegen der besseren W¨
armeisolation, z.B. α = 10−7 ms . In diesem Fall erreichen wir die
Phasenverschiebung von π schon in einer Tiefe von x ≈ 3m.
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