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Kurvendiskussion? JA! Aber: wie? - Mathematik und ihre Didaktik

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Vorlesungszyklus - Maus
1
Funktionale Zusammenhänge
Funktionale
Zusammenhänge
2
Funktionale Zusammenhänge
Die uns umgebende Welt steckt voller
funktionaler Zusammenhänge:
3
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Die uns umgebende Welt steckt voller
funktionaler Zusammenhänge:
Bremsweg
Bremsweg → Geschwindigkeit?
ODER
Geschwindigkeit → Bremsweg?
4
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung
Füllhöhe → verstrichene Zeit
einen Sinn ergeben?
5
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung
Füllhöhe → verstrichene Zeit
einen Sinn ergeben?
Es muss nicht immer

sein:
6
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung
Füllhöhe → verstrichene Zeit
einen Sinn ergeben?
Es muss nicht immer

sein:
ISBN-Nummer
Buchtitel → Preis
ODER
nach: Büchter & Henn
Buchtitel → ISBN-Nummer → Preis
7
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Unterschiedliche
Betrachtungsebenen
8
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
2 Betrachtungsebenen
quantitativ
qualitativ
9
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
2 Betrachtungsebenen
qualitativ
Unterschiedliche
Tiefen der
Betrachtung:
Je mehr
mathematische
Werkzeuge zur
Verfügung stehen,
desto tiefer können
Betrachtungen
und Einsichten
sein
quantitativ
als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
10
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
Es können nur
grundsätzliche
Aussagen getroffen
werden, z.B.:
als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
11
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
Es können nur
grundsätzliche
Aussagen getroffen
werden, z.B.:
als Formel
darstellbar
nicht als Formel
darstellbar
Die Füllhöhe nimmt zu.
Da der Graph nicht
gleichmäßig verläuft,
wird es „Störungen“
geben.
Formel liefert
eine Erklärung
für …
Formel liefert
keine Erklärung
12
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
Möchte man tiefere
Einsicht in den Vorgang
gewinnen,
benötigt man
quantitative
Informationen:
ZAHLEN
als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
13
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
Nun können etwa
folgende Fragen
beantwortet werden:
als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
14
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
Nun können etwa
folgende Fragen
beantwortet werden:
als Formel
darstellbar
Wann wurde welche
Füllhöhe erreicht?
Wie schnell steigt der
Füllpegel ? (absolut
bzw. durchschnittlich)
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
15
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
Für einen solchen
unregelmäßigen Verlauf
wird es in der Regel
keine „Formel“ geben,
die diesen Verlauf
beschreibt.
als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
16
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Das Schnurproblem
17
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Auf dem Boden wird an zwei vorgegebenen Punkten eine Schnur befestigt, die ein
Meter länger ist als der Abstand zwischen den beiden Punkten. Anschließend wird die
Schnur in der Mitte in die Höhe gezogen.
Frage: Was geschieht mit der „Schnurhöhe“, wenn die Länge der Schnur zunimmt?
18
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
begründete
Vermutungen
aufstellen
qualitativ
quantitativ
nimmt ab
bleibt gleich
als Formel
darstellbar
nicht als Formel
darstellbar
wird größer
Formel liefert
eine Erklärung
für …
Formel liefert
keine Erklärung
19
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Sammeln von
konkreten
Messdaten
qualitativ
quantitativ
als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
20
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Aufstellen
einer Formel
qualitativ
quantitativ
als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
21
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
22
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
23
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Erklärung
finden
qualitativ
quantitativ
als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
24
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung
für …
nicht als Formel
darstellbar
Formel liefert
keine Erklärung
25
Schicke Überleitung 
Um diese Schlussfolgerung ziehen zu können, müssen Schüler folgendes wissen bzw.
erkennen können:
1. Mit zunehmender Schnurlänge a wächst der Radikand streng monoton.
2. Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend.
26
Schicke Überleitung 
Und weiter gedacht:
Im Unterricht wird man schnell und oft auf Fragen stoßen, deren Antwort nicht ganz
so leicht aus dem Funktionsterm „abgelesen“ werden kann, z.B. Fragen nach
optimalen Verpackungsgrößen.
27
Schicke Überleitung 
Fazit:
Der Schulunterricht in der Sekundarstufe wird schnell die Kenntnis des
Funktionsbegriffs erforderlich machen.
28
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
29
Funktionsbegriff(e)
30
Funktionsbegriff(e)
31
Funktionsbegriff(e)
32
Funktionsbegriff(e)
33
Funktionsbegriff(e)
34
Funktionsbegriff(e)
35
Funktionsbegriff(e)
36
Funktionsbegriff(e)
Gibt es eigentlich einen
Unterschied zwischen den
Begriffen „Funktion“ und
„Abbildung“?
37
Funktionsbegriff(e)
38
Zwischenbilanz
Zwischenbilanz
39
Zwischenbilanz
Wie könnte nun ein guter Mathematikunterricht aussehen?
konkreter Kontext
(außermathematisch)
konkrete
Fragestellung
(erarbeiten lassen)
mathematischer
Werkzeugkasten
Funktionsterm
(aufstellen lassen)
(innermathematisch)
40
Zwischenbilanz
…
Parameteruntersuchungen
KV
Extremwertuntersuchungen
Werkzeug
Flächenberechnungen
Tangenten
bestimmen
Schnittwinkelberechnungen
41
Zwischenbilanz
…
Parameteruntersuchungen
KV
Extremwertuntersuchungen
Werkzeug
Flächenberechnungen
Tangenten
bestimmen
Schnittwinkelberechnungen
42
Kurvendiskussion
Kurvendiskussion
43
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Kurvendiskussion?
JA!
Aber:
WIE?
44
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Kurvendiskussion?
JA!
Aber:
WIE?
Dazu zunächst ein Paar Expertenmeinungen aus
der Praxis zum Status Quo:
45
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker
Pro
Kommentar
Es werden zumindest technische
Fertigkeiten vermittelt.
Dieser Aspekt gehört nicht
zu den primären Zielen, die
der Mathematikunterricht
vermitteln sollte.
In vielen Fällen könnte dies
auch von einem CAS
übernommen werden.
In vielen Bundesländern ist
dies auch schon gängige
Praxis (z.B. Niedersachsen).
46
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker
Contra
Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der
Untersuchungsgegenstand
ist in der Tat nicht immer
eine Kurve im eigentlichen
mathematischen Sinne.
Stört in der Praxis aber
nicht wirklich.
47
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker
Contra
Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der
Untersuchungsgegenstand
ist in der Tat nicht immer
eine Kurve im eigentlichen
mathematischen Sinne.
Stört in der Praxis aber
nicht wirklich.
Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine
Diskussion statt. Es wird
lediglich ein Algorithmus
abgearbeitet. Dies gilt es zu
ändern.
48
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker
Contra
Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der
Untersuchungsgegenstand
ist in der Tat nicht immer
eine Kurve im eigentlichen
mathematischen Sinne.
Stört in der Praxis aber
nicht wirklich.
Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine
Diskussion statt. Es wird
lediglich ein Algorithmus
abgearbeitet. Dies gilt es zu
ändern.
Selten anwendungsrelevante
Kontexte. Und wenn, dann sind
das künstliche Scheinprobleme.
Stimmt. Dies gilt es zu
ändern.
49
Der Mathematik-Didaktiker
Pro
Kommentar
---
---
50
Kleiner Einschub:
Heuristik: ???
51
Kleiner Einschub:
Heuristik: Die Kunst
mit begrenztem Wissen
und wenig Zeit
zu guten Lösungen zu kommen.
52
Der Mathematik-Didaktiker
Contra
Kommentar
Kein Erlernen und Erleben Stimmt. Die Schüler
heuristischer Denk- und
werden nicht aufgefordert
Arbeitsweisen.
eigene, andere , elegante,
… Lösungsansätze zu
finden.
Für die Schüler gibt es
nicht wirklich etwas zu
entdecken!
Dies gilt es zu ändern.
53
Der Mathematik-Didaktiker
Contra
Kommentar
Kein Erlernen und Erleben Stimmt. Die Schüler
heuristischer Denk- und
werden nicht aufgefordert
Arbeitsweisen.
eigene, andere , elegante,
… Lösungsansätze zu
finden.
Für die Schüler gibt es
nicht wirklich etwas zu
entdecken!
Dies gilt es zu ändern.
Damit
zusammenhängend: Die
typische Kurvendiskussion
ist einseitig
ergebnisorientiert
angelegt.
Stimmt. Dies gilt es zu
ändern.
Auch in der Schule gilt:
„Der Weg ist das Ziel.“
54
Der Mathematik-Lehrer
Typ A
Pro
Kommentar
Schüler sind beschäftigt
und im Allgemeinen nicht
überfordert.
1. Seien wir ehrlich:
manchmal ist es
notwendig, dass man die
Schüler auf einfache Weise
lange beschäftigen kann.
Aber: dies kann natürlich
nicht der grundsätzliche
Anspruch an einen
Aufgabentyp sein.
2. Lieber das Niveau
senken als sich Gedanken
zu machen, wie man den
Stoff vernünftig
aufbereiten kann?
55
Der Mathematik-Lehrer
Typ A
Pro
Kommentar
Es handelt sich um einen
korrekturfreundlichen
Unterrichtsgegenstand.
Das ist ein Aspekt der
Arbeit eines Lehrers, der in
der Praxis ein großes
Gewicht besitzt.
Eine schriftliche
Leistungskontrolle sollte
stets korrekturfreundlich
konzipiert werden, ohne
dabei anspruchslos zu sein.
56
Der Mathematik-Lehrer
Typ B
Contra
Kommentar
Eintönig und erstarrt.
Stimmt. Dies gilt es zu
ändern.
57
Der Mathematik-Lehrer
Contra
Kommentar
Eintönig und erstarrt.
Stimmt. Dies gilt es zu
ändern.
Keine inhaltliche Tiefe.
Stimmt. Dies gilt es zu
ändern.
Typ B
58
Der Mathematik-Schüler
Typ A
Pro
Kommentar
Im Gegensatz zu Beweisen „Und das ist auch gut so!“
und „Denksport-Aufgaben“
sind das „richtige“
„Brot für die Armen.“
Aufgaben:
Man weiß, was man
machen soll und was für
die Klausur zu lernen ist.
Solche Aufgaben(teile)
muss es auch weiterhin
geben!
59
Der Mathematik-Schüler
Typ B
Contra
Kommentar
Keine umfassenden
Denkanstrengungen:
Da lächelt der MathematikDidaktiker ´:
„Eine Kurvendiskussion, bei Dies gilt es zu ändern.
der es nichts zu entdecken
gibt, langweilt mich.“
60
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Zusammenfassung
61
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen
Bei der Untersuchung von
Funktionen und deren
Graphen sollte eine
wirkliche Diskussion
stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit
von „heuristischen
Entdeckungsreisen“
gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle)
anwendungsbezogene
Kontexte.
Aufgaben variieren und
anhaltenden Eintönigkeit
vermeiden.
Mehr Prozessorientierung
bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!
62
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Weg zum Ziel
63
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Es ist möglich, durch leichte Akzentverschiebungen und
Ergänzungen den „herkömmlichen“ Aufgaben eine neue
Qualität zu verleihen:
64
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
qualitative Analysis:
Integration neuer Technologien:
stärkere Betonung
nicht-algorithmischer
Elemente
Geogebra
CAS
…
veränderte
Aufgabenstellungen
aktive Mathematik:
Erkunden
Vermuten
Begründen
Darstellen
65
Kurvendiskussion: Beispiel
Ein konkretes Beispiel
66
Kurvendiskussion: Beispiel
67
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser
Aufgabenstellung:
68
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser
Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen
bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den
wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist
hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der
Untersuchungen.
69
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser
Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen
bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den
wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist
hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der
Untersuchungen.
Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:
1.
2.
3.
70
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser
Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen
bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den
wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist
hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der
Untersuchungen.
Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:
1. Punkt (0/4) ablesen und Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen
2. Schnittstelle 2 ablesen und in die entsprechende Gleichung einsetzen
3. Per Geogebra / Funktionsplotter gezielt und (schriftlich) begründet ausprobieren
71
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
72
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden,
Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine
„richtige“ Diskussion zur Folge haben.
73
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden,
Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine
„richtige“ Diskussion zur Folge haben.
Auch hier gibt es zumindest zwei unterschiedliche Herangehensweisen:
1. Wer will, kann hier den „sicheren“ Weg einer „normalen“
Kurvendiskussion gehen. Vorteil: Man wird durch die Abbildung zu
Beginn der Aufgabe geleitet.
2. Mit Hilfe eines Funktionsplotters kann der Parameter a schnell
variiert werden. Die beobachteten Invarianten müssen dann z.B. mit
Hilfe des Funktionsterms begründet werden.
74
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei
der auch eher leistungsschwache Schüler wissen,
wie zumindest der Lösungsweg aussieht:
fa´(-x) = -fa´(x).
Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und
Kombinationsgeschick beweisen, z.B.:
75
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei
der auch eher leistungsschwache Schüler wissen,
wie zumindest der Lösungsweg aussieht:
fa´(-x) = -fa´(x).
Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und
Kombinationsgeschick beweisen, z.B.:
-
Graph der Funktion selbst ist achsensymmetrisch zur y-Achse
Punkte mit demselben Abstand zum Ursprung haben bis auf das
Vorzeichen die gleiche Steigung
76
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
Das „Bestimmen“ entspricht wieder dem
Standardkalkül und ist für jeden Schüler
machbar. Das Ergebnis kann anhand der
Abbildung überprüft werden.
Die Erklärung ohne den Ableitungsbegriff verlangt ein genaues Verständnis
der Definition von lokalen Extrema:
77
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
Das „Bestimmen“ entspricht wieder dem
Standardkalkül und ist für jeden Schüler
machbar. Das Ergebnis kann anhand der
Abbildung überprüft werden.
Die Erklärung ohne den Ableitungsbegriff verlangt ein genaues Verständnis
der Definition von lokalen Extrema:
-
mit Hilfe des Funktionsterms lässt sich begründen:
lokal um 0 herum sind alle Funktionswerte kleiner als fa(0)
78
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
Die an sich mechanische Wendepunktberechnung
wird in eine Frage eingebettet, deren Antwort
nicht offensichtlich ist.
Zunächst können / sollen wieder mit Hilfe von Funktionsplottern begründet
verschiedene Parameterwerte ausprobiert werden („Probieren mit
System“ verlangt ebenfalls gewisse mathematische Fähigkeiten.)
In diesem Fall ist die Antwort negativ. Eine vernünftige Begründung kommt
wahrscheinlich nicht ohne eine konkrete Berechnung der Koordinaten
aus.
79
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
Dies ist eine sehr anspruchsvolle Aufgabe, die mit
reinem Rechnen nichts zu tun hat.
Der Schüler muss einen mathematischen Aufsatz
schreiben. Dabei müssen
-
wesentliche Aspekte erkannt und
in einer logischen Struktur
zusammenhängend
dargestellt werden.
Dies ist auch für leistungsstarke Schüler keine leichte Aufgabe.
80
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
im Original:
Die Vorteile:
81
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
im Original:
Die Vorteile:
Aufgabenstellung und Graphik sichern nicht im schon a priori die Existenz
des Schnittpunktes für alle zugelassenen Parameterwerte. Dies muss
erst noch begründet werden.
82
Kurvendiskussion: Beispiel
Zwischenbilanz
83
Kurvendiskussion: Beispiel
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen
Bei der Untersuchung von
Funktionen und deren
Graphen sollte eine
wirkliche Diskussion
stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit
von „heuristischen
Entdeckungsreisen“
gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle)
anwendungsbezogene
Kontexte.
Aufgaben variieren und
anhaltenden Eintönigkeit
vermeiden.
Mehr Prozessorientierung
bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!
84
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
echte und sinnvolle
anwendungsbezogene
Kontexte
85
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
echte und sinnvolle anwendungsbezogene
Kontexte stellen Anforderungen an Schüler
und Lehrer
gründliche Auseinandersetzung mit dem
Kontext
(häufige) Probleme
alle (!) Beteiligten können schnell
überfordert sein
verfügbarer (Zeit-)Rahmen kann gesprengt
werden
Mathematisieren
adäquate Mathematisierung mit
schulmathematischen Mitteln oft nicht
möglich
86
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
echte und sinnvolle anwendungsbezogene
Kontexte stellen Anforderungen an Schüler
und Lehrer
gründliche Auseinandersetzung mit dem
Kontext
(häufige) Probleme
alle (!) Beteiligten können schnell
überfordert sein
verfügbarer (Zeit-)Rahmen kann gesprengt
werden
Mathematisieren
adäquate Mathematisierung mit
schulmathematischen Mitteln oft nicht
möglich
Die Folge: Es gibt wenige wirklich geeignete Aufgaben …
1. mit relevantem Sachkontext
2. aus der Erfahrungswelt der Schüler,
3. welche die schulmathematischen Möglichkeiten nicht übersteigen.
87
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
ein gut erprobtes Beispiel
88
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Das Objekt:
Die Messdaten:
Eine 1-Liter-Milchtüte
a = 7,1 cm, h = 19,7 cm
Die Frage:
Eine Überraschung:
Wird bei der Herstellung der Verpackung
darauf geachtet, möglichst wenig Material
zu verbrauchen?
Die Messdaten ergeben ein Volumen von
ungefähr 993 cm3.
Das Faltnetz:
Aufatmen:
Eine gefüllte Milchtüte ist „bauchig“ und
bietet ausreichend Platz.
Zu untersuchen:
Sind die Maße von a und h optimal?
89
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Die Zielfunktion:
Mit der Nebenbedingung
ergibt sich
?
a2 h = 1000 cm3
90
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Erinnerung
Im „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der
Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).
91
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Erinnerung
Im „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der
Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).
Aber No.1:
Dieser Vorgang wäre rein ergebnisorientiert.
92
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Erinnerung
Im „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der
Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).
Aber No.1:
Dieser Vorgang wäre rein ergebnisorientiert.
Aber No.2:
Der Funktionsgraph und seine Eigenschaften würden in keiner Weise diskutiert.
93
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
2 Nebenbemerkungen:
1. Das notwendige Kriterium führt in
diesem Fall ohnehin auf eine Gleichung 4.
Grades, die mit schulischen Mitteln nicht zu
lösen ist.
2. Beim reinem Rechnen würden
interessante Erkenntnisse verloren gehen.
94
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
?
Die Zielfunktion:
Mit der Nebenbedingung
ergibt sich
a2 h = 1000 cm3
Ein Bild vom Funktionsplotter hilft:
95
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
?
Die Zielfunktion:
Mit der Nebenbedingung
ergibt sich
a2 h = 1000 cm3
Ein Bild vom Funktionsplotter hilft:
Begründung für das lokale Minimum – Teil 1
kleines a → ersten drei Summanden klein
letzte beiden Summanden groß
großes a →
genau umgekehrt
Fazit:
Für kleine und große a ist M(a)
groß.
„Schluss“:
Es ist plausibel, dass
„zwischendrin“ ein Minimum
angenommen wird.
96
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Begründung für das lokale Minimum – Teil 2
Ableitungen →
2. Ableitung →
Wegen a > 0 ist M´´ stets
positiv.
1. Ableitung →
M´ ist also streng monoton
steigend.
Bestätigung →
97
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Begründung für das lokale Minimum – Teil 2
Begründung für das lokale Minimum – Teil 3
Ableitungen →
Die Ausgangsfunktion M ist links von der
Nullstelle von M´ streng monoton fallend.
2. Ableitung →
Wegen a > 0 ist M´´ stets
positiv.
1. Ableitung →
M´ ist also streng monoton
steigend.
Bestätigung →
Die Ausgangsfunktion M ist rechts von der
Nullstelle von M´ streng monoton wachsend.
Damit besitzt M an der entsprechenden Stelle
ein Minimum.
q.e.d.
(Die Existenz der Nullstelle wird durch den
Zwischenwertsatz für stetige Funktionen
gesichert.)
98
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Schlussbetrachtungen:
Ablesen ergibt einen Wert von ungefähr a = 7,8,
der damit um 9% von dem gemessenen Wert a = 7,1
abweicht.
Diese Abweichung zieht aber nur einen
Mehrverbrauch von 2% Material nach sich.
!
!
Dies lässt sich an dem flachen Verlauf des Graphen
von M´ nachvollziehen:
In der Nähe dieser Extremstelle verändern sich die Funktionswerte nur wenig.
!
99
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Schlussbetrachtungen:
Ablesen ergibt einen Wert von ungefähr a = 7,8,
der damit um 9% von dem gemessenen Wert a = 7,1
abweicht.
Diese Abweichung zieht aber nur einen
Mehrverbrauch von 2% Material nach sich.
!
!
Dies lässt sich an dem flachen Verlauf des Graphen
von M´ nachvollziehen:
In der Nähe dieser Extremstelle verändern sich die Funktionswerte nur wenig.
!
Ergebnis: Der gemessene Wert entspricht nicht dem theoretischen Optimum, der
Unterschied scheint aber vernachlässigbar.
100
Kurvendiskussion: Beispiel
Schlussbilanz
101
Kurvendiskussion: Beispiel
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen
Bei der Untersuchung von
Funktionen und deren
Graphen sollte eine
wirkliche Diskussion
stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit
von „heuristischen
Entdeckungsreisen“
gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle)
anwendungsbezogene
Kontexte.
Aufgaben variieren und
anhaltenden Eintönigkeit
vermeiden.
Mehr Prozessorientierung
bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!
102
Extremwertprobleme
Extremwertprobleme
103
Extremwertprobleme: Probleme
Häufig werden Extremwertprobleme ähnlich wie Kurvendiskussionen unterrichtet:
Funktionsgleichung aufstellen + Kurvendiskussion + Randwertbetrachtung
+ Ergebnisinterpretation
Problem:
Das Lösen von Extremwertproblemen wird gleichgesetzt mit dem Bestimmen
von Extrempunkten mit Hilfe von notwendigem und hinreichendem Kriterium.
Dadurch kann der Eindruck entstehen, dass diese Aufgaben nur auf diesem
einen Weg gelöst werden kann.
„Lösung“: Einbeziehen von
- elementaren mathematischen Methoden
- historischen Lösungswegen
- CAS, Geogebra, …
104
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
kleine
Stellschrauben
105
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Manchmal hängt es an Kleinigkeiten, warum der
Unterricht nicht wie gewünscht funktioniert.
106
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke
untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken
besitzt den größten Flächeninhalt?
107
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke
untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken
besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der
Problemstellung:
108
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke
untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken
besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der
Problemstellung:
Lehrer:
Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
109
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke
untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken
besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der
Problemstellung:
Lehrer:
Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Schüler:
Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.
110
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke
untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken
besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der
Problemstellung:
Lehrer:
Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Schüler:
Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.
Lehrer:
Welche Größen genau meinst du?
111
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke
untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken
besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der
Problemstellung:
Lehrer:
Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Schüler:
Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.
Lehrer:
Welche Größen genau meinst du?
Schüler:
Seitenlängen, Flächeninhalt und Umfang.
112
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke
untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken
besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der
Problemstellung:
Vorschlag
Zu Beginn der Aufgabe stets klar stellen (lassen), welche Größen variieren und welche
nicht.
113
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke
untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken
besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 2
Vielfach führt die Intuition der Schüler zu der lapidaren Feststellung „Natürlich beim
Quadrat“. Und nicht jeder Schüler wird das Bedürfnis haben, hier noch etwas zu
beweisen.
114
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke
untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken
besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 2
Vielfach führt die Intuition der Schüler zu der lapidaren Feststellung „Natürlich beim
Quadrat“. Und nicht jeder Schüler wird das Bedürfnis haben, hier noch etwas zu
beweisen.
Vorschlag
Die Frage nach dem „Warum?“.
115
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das analytische Warum
Das geometrische Warum
116
Kriterien auf dem Prüfstand
Ein Blick auf die Kriterien
einer Kurvendiskussion
117
Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht
118
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
119
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
120
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
121
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
Was bedeutet „globaler Satz“?
Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder
Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
122
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
Was bedeutet „globaler Satz“?
Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder
Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng
monoton steigend ist.
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
123
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
Was bedeutet „globaler Satz“?
Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder
Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng
monoton steigend ist.
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Eine triviale Aussage?
124
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
Was bedeutet „globaler Satz“?
Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder
Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng
monoton steigend ist.
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Eine triviale Aussage? JA!
125
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
Was bedeutet „globaler Satz“?
Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder
Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng
monoton steigend ist.
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Eine triviale Aussage? JA!
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
In diesem Sachzusammenhang gilt aber:
Der Wert des Merksatzes liegt nicht darin, was er sagt,
sondern darin, was er ausschließt!
126
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
Was bedeutet in diesem Zusammenhang „lokal“?
„Lokal“ wird hier im Sinne von „an einer Stelle“
verwendet.
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
127
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
128
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
Die Intuition lässt vielleicht dieses vermuten:
• differenzierbare Funktion
Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0
positiv ist,
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
dann existier t eine genügend kleine Umgebung von x0
(also ein Intervall, welches x0 enthält),
in der die Funktion streng monoton wächst:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
129
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
Die Intuition lässt vielleicht dieses vermuten:
• differenzierbare Funktion
Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0
positiv ist,
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
dann existier t eine genügend kleine Umgebung von x0
(also ein Intervall, welches x0 enthält),
in der die Funktion streng monoton wächst:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
130
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
Wie könnte nun ein Funktionsgraph aussehen,
• differenzierbare Funktion
der an einer Stelle x0 eine positive Ableitung besitzt,
• mit überall positiver Ableitung
zu der es aber keine noch so kleine Umgebung gibt,
• ist dort streng monoton wachsend.
in der die Funktion streng monoton wächst?
Merke:
(Die Funktionsgleichung ist nicht von Interesse.)
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
131
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Der Graph oszilliert umso schneller, je mehr er sich der
Stelle x0 = 0 nähert.
132
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
133
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Die Funktion besitzt aber eine andere nützliche
Eigenschaft: f wächst beim Durchgang durch die Stelle
x0 .
Es gilt folgender Satz:
134
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Lokale Trennungseigenschaft
• Eine auf einem Intervall
• Besitzt f an der Stelle x0 eine positive Ableitung,
• differenzierbare Funktion
• so existiert eine hinreichend kleine Umgebung,
• mit überall positiver Ableitung
• in der gilt:
• ist dort streng monoton wachsend.
• alle Funktionswerte links von x0 sind kleiner und
• alle Funktionswerte rechts von x0 sind größer
Merke:
• als f(x0).
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Merke:
Dieser Satz ist ein lokaler Satz.
135
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
Lokale Trennungseigenschaft
• Eine auf einem Intervall
• Besitzt f an der Stelle x0 eine positive Ableitung,
• differenzierbare Funktion
• so existiert eine hinreichend kleine Umgebung,
• mit überall positiver Ableitung
• in der gilt:
• ist dort streng monoton wachsend.
• alle Funktionswerte links von x0 sind kleiner und
• alle Funktionswerte rechts von x0 sind größer
Merke:
• als f(x0).
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Merke:
Dieser Satz ist ein lokaler Satz.
(Analoges gilt für eine negative Ableitung.)
136
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Lokale Extrema
137
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Die
Definition
138
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Für das Auffinden der Extrempunkte sind
die Definitionen nicht geeignet:
1. Die Definitionen geben keine
Anhaltspunkte, wo genau gesucht
werden sollen.
2. Es werden keine Punkte ausgeschlossen.
139
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Für das Auffinden der Extrempunkte sind
die Definitionen nicht geeignet:
Es müssen also Eigenschaften der
Extrempunkte gefunden werden, die das
Auffinden effizient gestalten:
1. Die Definitionen geben keine
Anhaltspunkte, wo genau gesucht
werden sollen.
2. Es werden keine Punkte ausgeschlossen.
140
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo
einen Extrempunkt besitzt,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
141
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo
einen Extrempunkt besitzt,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
(Alternative 1: Die Steigung an dieser Stelle
hat den Wert 0.)
142
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo
einen Extrempunkt besitzt,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
(Alternative 2: f besitzt an dieser Stelle eine
waagerechte Tangente.)
143
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Für das Suchen verwendet man allerdings
die andere Richtung:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo
einen Extrempunkt besitzt,
Man bestimme die Punkte mit f´(x0) = 0
dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
und hoffe, dass es ein Extrempunkt ist.
144
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Die Abbildung zeigt aber:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo
einen Extrempunkt besitzt,
Wenn die Ableitung einer Funktion an einer
Stelle 0 ist,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
dann gilt: Die Funktion besitzt an dieser
Stelle einen Extrempunkt oder einen
Sattelpunkt.
145
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Fazit:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo
einen Extrempunkt besitzt,
Die Eigenschaft „f´(x0) = 0“ ist zwar ein
notwendiges Kriterium („es muss so sein“),
dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
es ist aber nicht hinreichend (im Sinne von
„ausreichend“).
146
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo
einen Extrempunkt besitzt,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
Neue Aufgabe
Finde ein zusätzliches Merkmal zur
Unterscheidung von Extrem- und
Sattelpunkten.
147
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Das Monotoniekriterium hilft hier weiter:
Handelt es sich um einen Hochpunkt, so
ändert sich das Monotonieverhalten:
f steigt lokal links von xo streng monoton und
fällt lokal rechts von x0 streng monoton:
Das Vorzeichen der Ableitung wechselt
mithin von + nach -.
148
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Das Monotoniekriterium hilft hier weiter:
Handelt es sich um einen Hochpunkt, so
ändert sich das Monotonieverhalten:
Bei einem Tiefpunkt verhält es sich natürlich
genau umgekehrt:
f steigt lokal links von xo streng monoton und f fällt lokal links von xo streng monoton und
fällt lokal rechts von x0 streng monoton:
steigt lokal rechts von x0 streng monoton:
Das Vorzeichen der Ableitung wechselt
mithin von + nach -.
Das Vorzeichen der Ableitung wechselt
mithin von - nach +.
149
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Das Monotoniekriterium hilft hier weiter:
Qualitätskontrolle dieses Merkmals:
Handelt es sich um einen Hochpunkt, so
ändert sich das Monotonieverhalten:
Bei einem Sattelpunkt ändert sich das
Monotonieverhalten gar nicht.
f steigt lokal links von xo streng monoton und
fällt lokal rechts von x0 streng monoton:
Das Vorzeichen der Ableitung wechselt
mithin von + nach -.
150
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Damit ist mehr erreicht als ursprünglich Erstes hinreichendes Kriterium:
vorgesehen:
Es kann nicht nur zwischen Extrempunkt und Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das
Sattelpunkt unterschieden werden,
Vorzeichen von + nach – (von – nach +),
sondern sogar zwischen Hochpunkt und
Tiefpunkt.
so hat f bei x0 ein lokales Maximum
(Minimum).
151
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Dieses Kriterium hat einen Nachteil:
Erstes hinreichendes Kriterium:
Man kann sich bei der Untersuchung nicht
auf die Stelle xo beschränken,
Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das
Vorzeichen von + nach – (von – nach +),
sondern muss eine ganze Umgebung von x0
einbeziehen.
so hat f bei x0 ein lokales Maximum
(Minimum).
Das ist sehr mühsam.
152
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Dieses Kriterium hat einen Nachteil:
Erstes hinreichendes Kriterium:
Man kann die Untersuchung auf
Testeinsetzungen reduzieren.
Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das
Vorzeichen von + nach – (von – nach +),
Das ist sehr mathematisch nicht
befriedigend.
so hat f bei x0 ein lokales Maximum
(Minimum).
153
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Wünschenswert:
Erstes hinreichendes Kriterium:
Ein Kriterium, welches sich ausschließlich
der Stelle x0 bedient.
Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das
Vorzeichen von + nach – (von – nach +),
so hat f bei x0 ein lokales Maximum
(Minimum).
154
Zu Erinnerung:
Das Monotoniekriterium
Lokale Trennungseigenschaft
• Eine auf einem Intervall
• Besitzt f an der Stelle x0 eine positive Ableitung,
• differenzierbare Funktion
• so existiert eine hinreichend kleine Umgebung,
• mit überall positiver Ableitung
• in der gilt:
• ist dort streng monoton wachsend.
• alle Funktionswerte links von x0 sind kleiner und
• alle Funktionswerte rechts von x0 sind größer
Merke:
• als f(x0).
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Merke:
Dieser Satz ist ein lokaler Satz.
(Analoges gilt für eine positive Ableitung.)
155
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Wünschenswert:
Nach der lokalen Trennungseigenschaft gilt:
Ein Kriterium, welches sich ausschließlich
der Stelle x0 bedient.
Wenn die zweite Ableitung an der Stelle xo
positiv ist, dann wächst die erste Ableitung
an dieser Stelle .
Und da die erste Ableitung bei x0 den Wert 0
hat, muss das Vorzeichen entsprechend von
– nach + wechseln.
156
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Zweites hinreichendes Kriterium:
Erstes hinreichendes Kriterium:
Ist f´(xo) = 0 und f´´(x0) > 0 (f´´(x0) < 0 ),
Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das
Vorzeichen von + nach – (von – nach +),
so besitzt f bei x0 ein lokales Minimum
(Maximum).
so hat f bei x0 ein lokales Maximum
(Minimum).
157
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Zweites hinreichendes Kriterium:
Auch dieses 2. Kriterium hat einen Nachteil:
Ist f´(xo) = 0 und f´´(x0) > 0 (f´´(x0) < 0 ),
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen
Extrema erfassen.
so besitzt f bei x0 ein lokales Minimum
(Maximum).
Beispiel: x4 besitzt ein lokales Minimum, die
zweite Ableitung ist Null.
158
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Gleicher Nachteil beim 1. Kriterium:
Auch dieses 2. Kriterium hat einen Nachteil:
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen
Extrema erfassen.
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen
Extrema erfassen.
Beispiel:
Beispiel: x4 besitzt ein lokales Minimum, die
zweite Ableitung ist Null.
159
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Gleicher Nachteil beim 1. Kriterium:
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen
Extrema erfassen.
Beispiel:
f besitzt an der Stelle 0 ein lokales
Minimum. Die Steigung von f wechselt aber
umso rascher von positiven zu negativen
Werten, je näher man dem Nullpunkt
kommt. Es gibt also kein Umgebung von
Null mit einheitlichem Vorzeichen auf einer
der beiden Seiten. Damit gibt es auch keine
Vorzeichenwechsel bei 0.
160
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Gleicher Nachteil beim 1. Kriterium:
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen
Extrema erfassen.
Beispiel:
f besitzt an der Stelle 0 ein lokales Minimum.
Die Steigung von f wechselt aber umso
rascher von positiven zu negativen Werten,
je näher man dem Nullpunkt kommt. Es gibt
also kein Umgebung von Null mit
einheitlichem Vorzeichen auf einer der
beiden Seiten. Damit gibt es auch keine
Vorzeichenwechsel bei 0.
161
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Gleicher Nachteil beim 1. Kriterium:
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen
Extrema erfassen.
Beispiel:
f besitzt an der Stelle 0 ein lokales Minimum.
Die Steigung von f wechselt aber umso
rascher von positiven zu negativen Werten,
je näher man dem Nullpunkt kommt. Es gibt
also kein Umgebung von Null mit
einheitlichem Vorzeichen auf einer der
beiden Seiten. Damit gibt es auch keine
Vorzeichenwechsel bei 0.
162
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Gleicher Nachteil beim 1. Kriterium:
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen
Extrema erfassen.
Beispiel:
f besitzt an der Stelle 0 ein lokales Minimum.
Die Steigung von f wechselt aber umso
rascher von positiven zu negativen Werten,
je näher man dem Nullpunkt kommt. Es gibt
also kein Umgebung von Null mit
einheitlichem Vorzeichen auf einer der
beiden Seiten. Damit gibt es auch keine
Vorzeichenwechsel bei 0.
163
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Achtung!
Merke!
Beachte!
Folgendes bitte nie vergessen
den Schülern vermitteln
und immer wieder in Erinnerung rufen:
164
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Neue Aufgabe
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo
einen Extrempunkt besitzt,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0)
Finde ein zusätzliches Merkmal
zur Unterscheidung von Extrem- und
Sattelpunkten.
= 0.
165
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das
Auffinden
Zweites hinreichendes Kriterium:
Erstes hinreichendes Kriterium:
Ist f´(xo) = 0 und f´´(x0) > 0 (f´´(x0) < 0 ),
Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das
Vorzeichen von + nach – (von – nach +),
so besitzt f bei x0 ein lokales Minimum
(Maximum).
so hat f bei x0 ein lokales Maximum
(Minimum).
166
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Achtung!
Merke!
Beachte!
Beispielsweise kann „f´´(x0)>0“
allein kein hinreichendes
Kriterium sein:
167
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Zusammenfassung
168
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Extrempunkte
Formulierung
Vorteil
Nachteil(e)
hinreichendes
Kriterium 1
f´(x0) = 0
und
VZW von f´ bei x0
Funktioniert.
Keine 2. Ableitung
notwendig.
Umständlich.
Erfasst nicht alle
lokalen Extrema.
hinreichendes
Kriterium 2
f´(x0) = 0
und
f´´(x0) ≠ 0
Leicht handhabbar,
da nur x0
untersucht wird.
Erfasst nicht alle
lokalen Extrema.
169
Kriterien auf dem Prüfstand: Wendepunkte
Wendepunkte
- In aller Kürze -
170
Kriterien auf dem Prüfstand: Wendepunkte
In unserem Zusammenhang sinnvoll ist folgende
Definition
Wendestellen sind Stellen, an denen sich das
Monotonieverhalten der ersten Ableitung
ändert.
Im Beispiel: Lokal links von x0 nimmt die Steigung zu, lokal rechts davon nimmt sie ab.
171
Kriterien auf dem Prüfstand: Wendepunkte
In unserem Zusammenhang sinnvoll ist folgende
Definition
Wendestellen sind Stellen, an denen sich das
Monotonieverhalten der ersten Ableitung
ändert.
Im Beispiel: Lokal links von x0 nimmt die Steigung zu, lokal rechts davon nimmt sie ab.
Ein Vorteil: Mit dieser Definition kann man für das Auffinden von Wendepunkten die
schon bekannten Sätze und Schlussweisen verwenden.
172
Kriterien auf dem Prüfstand: Wendepunkte
Notwendiges
Kriterium
Wendepunkte könne nur Punkte sein, bei denen
die zweite Ableitung den Wert 0 hat.
Begründung:
1. Wäre f´´(x0) > 0, dann würde die erste Ableitung beim Durchgang
durch x0 wachsen (lokale Trennungseigenschaft).
2. Die Ableitung könnte also lokal um x0 nicht ihr
Monotonieverhalten ändern.
3. Gleiches gilt für f´´(x0) < 0.
173
Kriterien auf dem Prüfstand: Wendepunkte
Hinreichendes
Kriterium
Die übrigen Überlegungen erfolgen analog zu denen beim Auffinden
von lokalen Extrema.
174
Kriterien auf dem Prüfstand: Wendepunkte
Abschließende
Bemerkung
Manchmal werden Wendestellen von f als lokale Extremstellen von f´
definiert.
Ich persönliche lehne diese Betrachtungsweise ab. Der eigentliche
Untersuchungsgegenstand ist die Funktion f. Die oben formulierte
Definition entfernt sich in der Anschauung weiter als nötig von
der Ursprungsfunktion.
175
Kriterien auf dem Prüfstand: Wendepunkte
Abschließende
Bemerkung
Manchmal werden Wendestellen von f als lokale Extremstellen von f´
definiert.
Außerdem hält diese Definition einer genaueren fachlichen
Überprüfung nicht stand:
176
Kriterien auf dem Prüfstand: Wendepunkte
Abschließende
Bemerkung
f´ hat an der Stelle x0 = 0 ein lokales Minimum.
f´ hat aber in keiner noch so kleinen Umgebung links oder rechts ein
einheitliches Monotonieverhalten.
Mit dieser Definition würden Punkte zu Wendepunkten erklärt, die
gar keine sind.
177
Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht
Zurück zur Übersicht
178
Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht
179
Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht
180
Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht
181
Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht
182
Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht
183
Königsdisziplin: Die Ableitung
Der Ableitungsbegriff
184
Königsdisziplin: Die Ableitung
Die Einführung des Ableitungsbegriffs in
der Schule ist äußerst vielschichtig und
komplex.
Im Rahmen dieser Vorlesung werden zwei
Aspekte näher beleuchtet.
Ableitung
185
Königsdisziplin: Die Ableitung
Aspekt No.1
186
Königsdisziplin: Die Ableitung
Gewichtung
wie sie ist …
Ableitung
=
Steigung
Probleme
Anwendungsbezug
187
Königsdisziplin: Die Ableitung
Gewichtung
… und wie sie
sein sollte
Anwendung A
„gemeinsamer
Nenner“
Anwendung B
Anwendung
C= Steigung
...
188
Königsdisziplin: Die Ableitung
189
Königsdisziplin: Die Ableitung
Aspekt No.2
190
Königsdisziplin: Die Ableitung
De
e
sche
191
Königsdisziplin: Die Ableitung
Was das ist?
De
e
sche
192
Königsdisziplin: Die Ableitung
Was das ist?
Das weiß
kein Mensch.
De
e
sche
193
Königsdisziplin: Die Ableitung
Was das ist?
Das weiß
kein Mensch.
De
e
sche
Aber es hat
einen Namen
…
194
Königsdisziplin: Die Ableitung
Der
propädeutische
Grenzwert
195
Königsdisziplin: Die Ableitung
Rahmenplan:
Grenzwert nur noch propädeutisch. Punkt.
(Propädeutik: Vorbildung, Vorübung, Vorunterricht)
Probleme:
Was gehört da rein?
Und was nicht?
Wie tief?
Wo fängt man an?
Wo hört man auf?
Und das ganze ohne Folgenbegriff?
196
Königsdisziplin: Die Ableitung
Rahmenplan:
Grenzwert nur noch propädeutisch. Punkt.
(Propädeutik: Vorbildung, Vorübung, Vorunterricht)
Probleme:
Was gehört da rein?
Und was nicht?
Wie tief?
Wo fängt man an?
Wo hört man auf?
Die folgenden Überlegungen
stellen einen Vorschlag dazu
dar.
Und das ganze ohne Folgenbegriff?
197
Königsdisziplin: Die Ableitung
Eine Einführung
198
Königsdisziplin: Die Ableitung
Eine Einführung
- Ohne störende Details -
199
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 0
Einstieg
Kommentar
200
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 0
Einstieg
Kommentar
Dieser Sachverhalt ist
allen Schülern vertraut
und nicht zu
kompliziert.
Er ist offen formuliert
und bietet viele
Aspekte zum
Besprechen und
vertraut werden.
Ein Übergang zur
eigentlichen
Fragestellung fehlt.
201
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 1
Modellieren
Kommentar
Um zu Beginn mit einem einfachen Beispiel arbeiten zu
können
bietet sich der Anfahrvorgang an,
da sich der Zusammenhang von Zeit t (lat. tempus)und
zurückgelegtem Weg s (lat. spatium) in etwa quadratisch
verhält:
s(t) ~ t2
202
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 1
Modellieren
Um zu Beginn mit einem einfachen Beispiel arbeiten zu
können
bietet sich der Anfahrvorgang an,
da sich der Zusammenhang von Zeit t (lat. tempus)und
zurückgelegtem Weg s (lat. spatium) nahezu quadratisch
verhält:
Kommentar
Diesen Schritt wird
man die Schüler
sicherlich erst später
und nicht bei der
Einführung machen
lassen.
s(t) ~ t2
203
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 2a
Erste Beobachtungen
Kommentar
Der zurückgelegte
Weg nimmt mit der
Zeit zu.
Und zwar mit
fortschreitender Zeit
immer rascher.
Der Wagen wird also
immer schneller.
204
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 2a
Der zurückgelegte
Weg nimmt mit der
Zeit zu.
Und zwar mit
fortschreitender Zeit
immer rascher.
Erste Beobachtungen
Kommentar
Qualitative
Betrachtungsebene!
Von Schülern sicher
leicht zu erkennen.
Der Wagen wird also
immer schneller.
205
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 2b
Genaueres Hinsehen
Kommentar
Absolute Veränderungen:
Man sieht bei beiden Darstellungen: In gleichlangen
Zeitabschnitten werden immer längere Wegstrecken
zurückgelegt.
206
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 2b
Genaueres Hinsehen
Kommentar
Absolute Veränderungen:
Wegstrecke in einem beliebigen Zeitabschnitt von t0 bis t1:
s(t1) – s(t0)
207
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 2b
Genaueres Hinsehen
Absolute Veränderungen:
Kommentar
Quantitative
Betrachtungsebene!
Von Schülern sicher
leicht zu erkennen.
Wegstrecke in einem beliebigen Zeitabschnitt von t0 bis t1:
s(t1) – s(t0)
208
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 2c
Genaueres Hinsehen
Kommentar
Relative Veränderungen:
(Zeitschritt variiert:)
Zurückgelegter Weg zwischen
der 1. und 3. Sekunde:
s(3) – s(1) = 32 – 12 = 8 Meter
In diesem Zeitintervall werden im Mittel in einer
Sekunde 8 : 2 = 4 Meter zurückgelegt.
209
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 2c
Genaueres Hinsehen
Kommentar
Relative Veränderungen:
(Zeitschritt variiert:)
Zurückgelegter Weg zwischen
der 1. und 3. Sekunde:
s(3) – s(1) = 32 – 12 = 8 Meter
Anders ausgedrückt: Die mittlere Geschwindigkeit im
Zeitintervall [1,3] beträgt 4 m/s.
210
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 2c
Genaueres Hinsehen
Kommentar
Relative Veränderungen:
(Zeitschritt variiert:)
Zurückgelegter Weg zwischen
der 1. und 3. Sekunde:
s(3) – s(1) = 32 – 12 = 8 Meter
Allgemein: In einem beliebigen Zeitintervall [t0,t] beträgt
die mittlere Geschwindigkeit:
(Durchschnittsgeschwindigkeit)
211
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 2c
Genaueres Hinsehen
Relative Veränderungen:
(Zeitschritt variiert:)
Zurückgelegter Weg zwischen
der 1. und 3. Sekunde:
Kommentar
Bei der
Verallgemeinerung:
Eher mehr
als zu wenige
Zwischenschritte.
s(3) – s(1) = 32 – 12 = 8 Meter
Formale Schritte auch
verbal begleiten.
Allgemein: In einem beliebigen Zeitintervall [t0,t] beträgt
die mittlere Geschwindigkeit:
(Durchschnittsgeschwindigkeit)
212
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 3a
Momentangeschwindigkeit per WT
Kommentar
Die Frage nach der Geschwindigkeit zu einem bestimmten
Zeitpunkt liegt jetzt relativ nah.
Ebenso die Idee, die gesuchte Momentangeschwindigkeit
durch mittlere Geschwindigkeiten anzunähern.
Beispiel: Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt to = 1 Sekunde.
213
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 3a
Momentangeschwindigkeit per WT
Kommentar
Die Frage nach der Geschwindigkeit zu einem bestimmten
Zeitpunkt liegt jetzt relativ nah.
Ebenso die Idee, die gesuchte Momentangeschwindigkeit
durch mittlere Geschwindigkeiten anzunähern.
Eventuell vorher ein
paar Übungen mit
verschiedenen
Intervalllängen.
Beispiel: Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt to = 1 Sekunde.
214
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 3a
Momentangeschwindigkeit per WT
Kommentar
Wertetabelle
„von rechts“:
Man erkennt:
Je näher t an t0 heran rückt, umso näher scheint die mittlere
Geschwindigkeit dem Wert 2 zu kommen, wahrscheinlich
sogar beliebig nahe.
215
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 3a
Momentangeschwindigkeit per WT
Kommentar
Wertetabelle
„von links“:
Hier ist Analoges zu beobachten.
216
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 3b
Momentangeschwindigkeit – algebraisch
Kommentar
„Gilt die 2“ für jede Annäherung?
Oder hat der Lehrer nur geschickt „gewählt“?
217
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 3b
Momentangeschwindigkeit – algebraisch
Kommentar
„Gilt die 2“ für jede Annäherung?
Oder hat der Lehrer nur geschickt „gewählt“?
Ist t ein benachbarter Zeitpunkt von to = 1, so hat die mittlere
Geschwindigkeit im Intervall [1,t] den Wert
Man sieht: Der Term 1+t kommt dem Wert 2 beliebig nahe,
wenn nur t genügend nahe bei 1 liegt (egal, „wie es da
hingekommen ist“).
218
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 3b
Momentangeschwindigkeit – algebraisch
Kommentar
„Gilt die 2“ für jede Annäherung?
Oder hat der Lehrer nur geschickt „gewählt“?
Ist t ein benachbarter Zeitpunkt von to = 1, so hat die mittlere
Geschwindigkeit im Intervall [1,t] den Wert
Da das Ziel klar ist,
können Schüler auf
diese Umformung von
alleine kommen.
Man sieht: Der Term 1+t kommt dem Wert 2 beliebig nahe,
wenn nur t genügend nahe bei 1 liegt (egal, „wie es da
hingekommen ist“).
219
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 4a
Festigen
Kommentar
Zunächst sollten die Beispiele variiert werden z.B.
Das Kürzen durch „x-a“ kann bei den ersten
Festigungsübungen durchaus zur „Standardmethode werden.
Wertetabelle und graphische Darstellungen sollten dabei
zunehmend in den Hintergrund treten.
220
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 4b
Weiterentwickeln
Kommentar
Danach sollten Ableitungen für nicht-algebraische Funktionen
bestimmt werden, z.B. sin x.
Hier ist das Kürzen mit „x-a“ nicht mehr möglich.
Es wird klar:
Nicht das Kürzen ist das Wesentliche,
sondern „zweckmäßiges Umformen“
um das Verhalten von x → a zu studieren.
Hierbei wird zumindest die Wertetabelle wieder gute Dienste
leisten (müssen).
221
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 5
Differenzenquotient mal anders
Kommentar
Berechnung von x-Umgebungen
zu konkret gegebenen Fehlerschranken:
222
Königsdisziplin: Die Ableitung
Schritt 5
Differenzenquotient mal anders
Kommentar
Berechnung von x-Umgebungen
zu konkret gegebenen Fehlerschranken:
Eine andere
Herangehensweise
vertieft das
Verständnis für die
neuen Begriffe und
Prozesse.
223
Königsdisziplin: Die Ableitung
Jedem Ende wohnt ein Anfang inne.
Hier könnte „Schluss sein“:
Die Schüler können an dieser Stelle mit Grenzwerten in der
Differentialrechnung
operational und
verständig
umgehen.
224
Königsdisziplin: Die Ableitung
Jedem Ende wohnt ein Anfang inne.
Mathematisch wäre der Weg zu einer formalen Fassung
geebnet:
Man nehme statt 0,01 ein beliebiges ε > 0.
…
225
Königsdisziplin: Die Ableitung
Zusammenfassung
226
Königsdisziplin: Die Ableitung
Zusammenfassung
- Und einige zusätzliche Details -
227
Königsdisziplin: Die Ableitung
Die 4 Ebenen des Ableitungsbegriffes
Inhalt, Kontext
Symbolik
Terminologie
Verbalisierungen
(Formulierungen)
beim Arbeiten
Bestand zum
Zeitpunkt x0
f(x0)
Funktionswert
(entsprechend)
Diese 4 Ebenen sollten (zumindest zu Beginn) parallel gelehrt werden.
228
Königsdisziplin: Die Ableitung
Der Weg zur Ableitung
229
Königsdisziplin: Die Ableitung
Zur Verbalisierung
230
Königsdisziplin: Die Ableitung
Zur Verbalisierung
231
Königsdisziplin: Die Ableitung
Zur Verbalisierung
232
Königsdisziplin: Die Ableitung
Zur Verbalisierung
233
Königsdisziplin: Die Ableitung
Zur Verbalisierung
234
Königsdisziplin: Die Ableitung
Zur Verbalisierung
235
Königsdisziplin: Die Ableitung
Das „lim“-Symbol
236
Königsdisziplin: Die Ableitung
Das „lim“-Symbol
237
Königsdisziplin: Die Ableitung
Das „lim“-Symbol
238
Königsdisziplin: Die Ableitung
2 noch nicht genannte Vorteile
Die bisherigen Überlegungen zeigen, …
... wie die Ableitung derart eingeführt werden kann,
dass die Steigung gleichberechtigt als „geometrische“ Anwendung auftritt.
… wie der Grenzwert propädeutisch eingeführt werden kann.
239
Königsdisziplin: Die Ableitung
2 noch nicht genannte Vorteile
„Nebenbei“ ergeben sich noch zwei weitere Vorteile:
Die Idee der Annäherung durch Differenzenquotienten fällt nicht vom Himmel,
sondern ist im Sachkontext angelegt:
Geschwindigkeiten im Alltagsverständnis
sind eben nur in Zeitintervallen messbar.
1
240
Königsdisziplin: Die Ableitung
2 noch nicht genannte Vorteile
„Nebenbei“ ergeben sich noch zwei weitere Vorteile:
2
Es gibt kein Tangentenproblem:
241
Königsdisziplin: Die Ableitung
2 noch nicht genannte Vorteile
Die Steigung einer Kurve in einem Punkt wird definiert durch die Steigung der
Tangente in einem Punkt.
Problem:
Der Begriff der Tangente entspricht nicht mehr dem der 7. Klasse!
242
Königsdisziplin: Die Ableitung
2 noch nicht genannte Vorteile
Die Steigung einer Kurve in einem Punkt wird definiert durch die Steigung der
Tangente in einem Punkt.
Problem:
Der Begriff der Tangente entspricht nicht mehr dem der 7. Klasse!
243
1.
Analysis verständlich unterrichten: Rainer Dankwarts & Dankwart Vogel,
Spektrum Akademischer Verlag, München 2006, 1. Auflage
2.
Elementare Analysis: Andreas Büchter & Hans-Wolfgang Henn, Spektrum
Akademischer Verlag, Heidelberg, 2010
3.
Zum vereinfachten Grenzwertbegriff in der Differentialrechnung: Werner
Blum, MU: Mathematikunterricht, Jahrgang 25, Heft 1, 1979, KlettVerlag
Stuttgart, S. 42-50
244
Abschnitt
Quelle
Funktionale Zusammenhänge
Büchter & Henn
Kurvendiskussion
Danckwerts & Vogel
Extremwertprobleme
Danckwerts & Vogel
Kriterien
Danckwerts & Vogel
Ableitung
Danckwerts & Vogel
Blum
245
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Seele and Geist
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