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1) Wie viele Jahre muss man bei 6% Zins jährlich - ttp-schreiber.de

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AUFGABEN VORSCHÜSSIGE RENTEN:
1) Wie viele Jahre muss man bei 6% Zins jährlich jeweils am
Jahresanfang 1.000 Euro einzahlen, bis das angewachsene Kapital
100.000 Euro übersteigt?
2) Vom 01.01.2012 bis 01.01.2016 sollen von einem Sparkonto
jeweils (Jährlich-vorschüssig) 5.000 Euro abgehoben werden
können.
Als Grundlage für diese Auszahlungen wurde Anfang 2009 ein
einmaliger Betrag eingezahlt.
Wie hoch musste dieser sein, wenn zu 5% verzinst wurde
Lösungen:
zu 1) ܴ௡ ൌ ‫· ݍ · ݎ‬
‫ݍ‬௡ ൌ
݊ൌ
݊൒
௤೙ ିଵ
௤ିଵ
ൌ‫·ݎ‬
௤೙శభ ି௤
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· ሺ‫ ݍ‬െ 1ሻ ൅ 1
‫ݍ·ݎ‬
݈‫ ݃݋‬ቂ
ܴ௡
· ሺ‫ ݍ‬െ 1ሻ ൅ 1ቃ
‫ݍ·ݎ‬
log ሺ‫ݍ‬ሻ
݈‫ ݃݋‬ቂ
100.000
· ሺ1,06 െ 1ሻ ൅ 1ቃ
1.000 · 1,06
ൌ 32,54 ൎ 33 ‫݁ݎ݄ܽܬ‬
log ሺ1,06ሻ
zu 2) ܴଶ଴ଵ଺ ൌ ‫· ݎ‬
௤೙శభ ି௤
௤ିଵ
ൌ 5.000 ·
ଵ,଴ହఱ ିଵ,଴ହ
ଵ,଴ହିଵ
‫ܭ‬ଶ଴଴ଽ ൌ ܴଶ଴ଵ଺ · ‫ି ݍ‬௡ ൌ
Torsten Schreiber
70
ൌ 22.628,16
22.628,16
ൌ 19.547,05
1,05ଷ
SS 2011
AUFGABEN UNTERJÄHRIGE RENTEN:
1) Ein Vater zahlt nach der Geburt seiner Tochter, vierteljährlich
nachschüssig 20 Jahre lang je 1.000 Euro auf ein Bankkonto ein.
Der angesammelte Geldbetrag soll der Tochter nach Abschluss
ihres 20. Lebensjahres als Ausbildungsförderung zur Verfügung
stehen.
Wie lang wird das ausgezahlte Kapital reichen, wenn sie 1.000
Euro monatlich (vorschüssig) abhebt und während der gesamten
Zeitspanne ein Zinssatz von 5% zugrunde liegt?
Lösung:
Einzahlung:
‫ݎ‬௘ ൌ ‫ · ݎ‬ቂ݉ ൅
ܴଶ଴ ൌ ‫ݎ‬௘ ·
௜·ሺ௠ିଵሻ
ଶ
௤೙శభ ି௤
௤ିଵ
ቃ ൌ 1.000 · ቂ4 ൅
ൌ 4.075 ·
ଵ,଴ହమబ ିଵ
ଵ,଴ହିଵ
଴,଴ହ·ଷ
ଶ
ቃ=4.075
ൌ134.743,76
Auszahlung:
‫ݎ‬௘‫ כ‬ൌ ‫ · ݎ‬൤݉ ൅
݊ൌ
݊ൌ
݈‫ ݃݋‬൤
݈‫ ݃݋‬ቂ
݅ · ሺ݉ ൅ 1ሻ
0,05 · 13
൨ ൌ 1.000 · ൤12 ൅
൨ ൌ 12.325
2
2
ܴ௡
· ሺ‫ ݍ‬െ 1ሻ ൅ ‫ݍ‬൨
‫ݎ‬௘‫כ‬
െ1
log ሺ‫ݍ‬ሻ
134.743,76
· ሺ0,05ሻ ൅ 1,05ቃ
12.325
െ 1 ൎ 8,5 ‫݁ݎ݄ܽܬ‬
log ሺ1,05ሻ
Torsten Schreiber
72
SS 2011
AUFGABEN EWIGE RENTEN:
1) Jemand erbt 200.000 Euro und legt das Geld zu 7% an.
Welchen Betrag kann er als ewige jährliche-nachschüssige bzw.
vorschüssige Rente Jahr für Jahr abheben?
2) Peter gewinnt im Alter von 12 Jahren am 30.06. 80.000 Euro und
legt diese bis zur Vollendung seines 18. Lebensjahres (31.12.) mit
5% auf einer Bank an.
a) Welches Kapital steht Peter am 31.12. zur Verfügung?
b) Mit welchem Zinssatz kann eine ewige Rente von 2.500 Euro
jährlich-nachschüssig ausgezahlt werden?
c) Wie hoch wäre bei einer Verzinsung von 7,5% und einer
halbjährliche nachschüssigen Auszahlung der Betrag?
Lösung:
zu 1)
Nachschüssig:
‫ ݎ‬ൌ ܴ଴ · ݅ ൌ 200.000 ‫ כ‬0,07 ൌ 14.000
Vorschüssig:
‫ ݎ‬ൌ ܴ଴ · ൌ 200.000 ‫כ‬
௜
௤
଴,଴଻
ଵ,଴଻
‫ܭ‬௫,௧బ ൌ ‫ܭ‬଴ · ቀ1 ൅ ݅ ·
zu 2a) Sparbuchmethode:
ଵ
ൌ 13.084,11
௧భ
ቁ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
ଷ଺଴
‫ܭ‬ଷଵ.ଵଶ ൌ 80.000 · ቀ1 ൅ 0,05 · ቁ · ሺ1,05ሻହ ൌ 104.655,09
zu 2b) ݅ ൌ
௥
ோబ
ൌ
ଶ
ଶ.ହ଴଴
ଵ଴ସ.଺ହହ,଴ଽ
zu 2c) ‫ݎ‬௘ ൌ ‫ · ݎ‬ቂ݉ ൅
ൌ 0,02388 ൎ 2,4%
௜·ሺ௠ିଵሻ
ଶ
ቃ ൌ ‫ · ݎ‬ቂ2 ൅
଴,଴଻ହ·ଵ
ଶ
ቃ ൌ ‫ · ݎ‬2,0375
‫ · ݎ‬2,0375 ൌ ܴ଴ · ݅ ൌ 104.655,09 · 0,075 ൌ 7.849,13
‫ݎ‬ൌ
଻.଼ସଽ,ଵଷ
ଶ,଴ଷ଻ହ
Torsten Schreiber
ൌ 3.852,33
74
SS 2011
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Bildung
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