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(Wie) können Selbstreflexionen helfen, mathematische Probleme zu

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(Wie) können Selbstreflexionen helfen,
mathematische Probleme zu lösen?
M. Ed. Steffen Juskowiak | Technische Universität Braunschweig | Institut für Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik
s.juskowiak@tu-braunschweig.de | Telefon +49 (0) 531 391-8856
Beispiel zum Auftreten und zur Bewertung von Selbstreflexionen
von der Versuchsperson bearbeitetes Problem:
Die Abbildung zeigt einen so genannten Fünfstern. Die
grau eingezeichneten Winkel sind die Innenwinkel des
Fünfsterns. Beweisen Sie, dass die Summe der
Innenwinkel 180° beträgt!
Problembearbeitungsprozess (überblicksartig):
der Versuchsperson
(Fehler mit rot markiert)
mathematisch korrekt
(korrigierte Stellen mit grün markiert)
 1  180  1   2
 ges   1   2   3   4   5
 1  180  1   2
 ges   1   2   3   4   5
 900  21  2 2  2 3  2 4  2 5
 900  21  2 2  2 3  2 4  2 5
2 x  2 x  180
2 x  2 x  360
2 x  180  2 x
2 x  360  2 x
 ges  900  5  180  21  2 2  23  2 4  25
 ges  900  5  360  21  2 2  23  2 4  25
1  2  3   4  5  360
1   2  3   4  5  540
 ges  900  5  180  2  360  720
 ges  900  5  360  2  540  180
1
3
5
5
5
4
4
2
2  2

3 3
3
1
1 
1
4
2
4
5
Der Problembearbeitungsprozess der Versuchsperson ist somit strategisch zielführend, birgt jedoch
zwei fachmathematische Fehler, die das Erreichen den Ziels verhindern.
Äußerungen der Versuchsperson (Ausschnitt):
[min:sec]
12:03
Ich komme hier gerade auf 900º. / Das sind 4  180 [schreibt weiter:  900  180 ] Das ist
ja wohl falsch. // Da habe ich irgendein Murks gemacht.
13:05
Das da oben müsste ja eigentlich stimmen, weil ich hab einfach ein Dreieck mit 180º, wo ich
zwei Winkel abziehe. Das hier sind dann fünfmal das Ganze. Jeder Winkel kommt genau
zweimal vor, weil es Scheitelwinkel sind. / Ahh, das sind 360º an der Stelle nämlich. Ja
[greift zu dem grünen Stift und schreibt statt 180º nun 360º] Hab ich hier nämlich immer 360.
/ Ja, hier 5  360 . / Also käm ich dann auf 900  3  360 [streicht die letzte Zeile durch und
schreibt mit dem blauen Stift:  900  3  360 ] Das, weil das ja / Das wären ja 5  180 ,
bleiben noch 2  180 , also 360º. Das stimmt ja auch nicht. [greift zum Taschenrechner, legt
ihn dann aber wieder weg] Nee, aber 3  360 // -60º kann ja wieder nicht sein.
Die gelb unterlegten lautsprachlichen Äußerungen der Versuchsperson werden als Indiz für das Auftreten
einer Selbstreflexion im auf dem Poster beschriebenen Sinne angesehen. Die Versuchsperson setzt sich
offensichtlich mit dem bisher Getanen auseinander.
Dieser Selbstreflexion sind folgende Merkmale zugeordnet worden:

5
Auslöser:
Misserfolg (

i
 180 )
i 1

Ergebnis:
Die VP erkennt Fehler I ( 2 x  2 x  180 ), aber nicht Fehler II (
5

i
 360 ).
i 1

Auswirkung: nur Korrektur der Rechnung bzgl. des Fehlers I

Gegenstand: mathematisches Wissen & Fertigkeiten

Reichweite:
erste Lösungsschritte des letzten Lösungsanlaufes

Aufbau:
linear (jedoch abgebrochen)
Bewertung der Wirkung der Selbstreflexion
Während der Problembearbeitung sind zwei Fehler aufgetreten, die das Erreichen des Ziels verhindern.
Während der Selbstreflexion erkennt die Versuchsperson Fehler I, jedoch u. a. wegen des Abbruchs der
linearen Betrachtung Fehler II nicht. Die Versuchsperson ist damit dem (End-)Ziel nicht näher gekommen,
da sie wiederum ein falsches Ergebnis für die Innenwinkelsumme im Fünfstern erhält. Im weiteren
Problembearbeitungsgang hemmt das Nichterkennen des Fehlers II alle weiteren (strategisch ebenfalls
zielführenden) Lösungsanläufe.
Aus diesen beiden wesentlich Gründen wird die Selbstreflexion nicht als lösungsförderlich bewertet.
Als lösungshinderliche Selbstreflexion ist sie aber ebenfalls nicht anzusehen, da einer der beiden
Fehler entdeckt worden ist.
In Abwägung der positiven und negativen Aspekte wurde die Bewertung „Selbstreflexion ohne
erkennbare Wirkung bzgl. der Zielerreichung“ gewählt.
Diese Selbstreflexion hat das Potential gehabt, lösungsförderlich zu sein. Bei einer Weiterführung der
linearen Betrachtung hätte der Fehler II erkannt werden können.
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Bildung
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