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17:04, 10. Jun. 2009

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Ubungen
zu Einf¨
uhrung IV, SS2009, Version vom 10. Juni 2009
23. Wie Beispiel 20, allerdings ist diesmal die Zustandsdichte von Elektronen gefragt.
Anstatt des Debye-Modells verwende das Freie-Elektronen-Modell. Wie unterscheidet sich hier die reale von der idealen Situation?
24. Laut dem Freie-Elektronen-Modell ist der Beitrag der Elektronen zur spezifischen
Energie f¨
ur niedrige Temperaturen
cv =
π2 n T
kB = γT.
2 ρ TF
n ist die Elektronendichte (der freien Elektronen!), ρ ist die Massendichte und
TF ist die sogenannte Fermi-Temperatur, das Temperatur¨aquivalent der FermiEnergie. Die Fermi-Energie ist gegeben durch
2
EF =
2me
(3π 2 n)2/3 ,
mit me der Elektronenmasse. Bestimme die Anzahl der freien Elektronen pro Atom
f¨
ur die folgenden Elemente mittels der gemessenen γ:
Na
J
γ 10−2 kgK
2
Mg
Al
Fe
5.96 5.64 4.65 9.0
Cu
Pb
1.10 1.4
25. Laut der exakten quantenmechanischen Rechnung ist die Leitf¨ahigkeit eines Metalls σ (der Kehrwert des spezifischen Widerstands ρ) f¨
ur ein freies Elektronengas
durch
e2
σ=
4πkF2 vF τ (kF )
2
12π
gegeben. Es geht also die Zeit zwischen St¨oßen (Wechselwirkungen mit St¨orungen)
von Elektronen an der Fermikante ein. Vereinfache zuerst diese Gleichung.
a) In reinen (m¨oglichst idealen) Metallen ist der Widerstand eine Funktion der
Temperatur. Woran liegt das? Berechne die freie Wegl¨ange (der Weg zwischen
zwei St¨oßen) laut folgender Tabelle des spezifischen Widerstands in Cu und
interpretiere die Temperaturabh¨angigkeit:
T (K)
ρ (ÑÏ cm)
77
173
273
373
473
573
0.1825 0.8689 1.560 2.232 2.905 3.586
b) In verd¨
unnten L¨osungen l¨asst sich bei fixer Temperatur ein zus¨atzlicher Widerstand ∆ρ feststellen, abh¨angig von der Konzentration des gel¨osten Elements. Interpretiere die folgende Tabelle der Konzentrationsabh¨angigkeit im
System Cu-Al. Welchen “Querschnitt” hat die St¨orung, die durch ein Al-Atom
in diesem Bild verursacht wird?
cAl 1% 1.6% 2% 4%
∆ρ (ÑÏ cm)
1.2
2.05
2.5
4.3
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