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Hans Walser, [20110124a] Eine Sternfläche Anregung: Maya

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Hans Walser, [20110124a]
Eine Sternfläche
Anregung: Maya Wieser, Basel
1 Frage
Wie groß ist der Anteil der roten Sternfläche?
Wie groß ist der rote Stern?
2 Rechnerische Lösung
Wir berechnen den Flächeninhalt der acht gelben Dreiecke und subtrahieren dann vom
Quadrat. Die Quadratseite setzen wir 1. Wir berechnen zunächst das gelbe Dreieck gemäß Abbildung.
1
b
a
1
2
Wie groß ist ein gelbes Dreieck?
Das gelbe Dreieck ist ähnlich zum blau markierten Dreieck (gleiche Winkel). Das Kathetenverhältnis ist also a : b = 2 :1 . Somit ist b = 12 a .
2/3
Hans Walser: Eine Sternfläche
Nach Pythagoras erhalten wir:
( )2
2
2
a 2 + ( 12 a ) = ( 12 )
a 2 + b 2 = 12
5 a2
4
2
= 14
a = 15
Daraus ergibt sich:
b = 12 15
Für den Flächeninhalt !! des gelben Dreiecks erhalten wir:
a=
1
5
1 .
!! = 12 "# = 12 1# 12 1# = 2$
Für den Anteil der roten Sternfläche folgt:
, ! +- ! /
!"#$%&'(#$)*& ! + ! -.
-. 0
!
"#$%&''&()*$%+,&+(
!-1 /0$1&''&+(%+2(%+1&31&#'&+(
Wir färben jedes zweite gelbe Dreieck grün und legen diese um. Das rote Kreuz ist flächenmäßig gleich groß wie der rote Stern.
/0'&,&+(2&3(,34+&+(53&#&67&(
Nun lassen wir die überflüssigen Linien weg und zerlegen das rote Kreuz in 12 Dreiecke, die zu den gelben und grünen Dreiecken kongruent sind.
8&3'&,%+,(#+(53&#&67(
Jetzt haben wir insgesamt 20 kongruente Dreiecke, 12 davon sind rot. Somit ist:
3/3
Hans Walser: Eine Sternfläche
Roter Anteil = 12
=3
20 5
3.2 Nur Umstellen
Wir färben wie oben jedes zweite gelbe Dreieck grün und legen die grünen Dreiecke
um. Dann fügen wir die gelben Dreiecke außen an. Es entsteht ein Kreuz aus fünf kleinen Quadraten. Dieses Kreuz hat dieselbe Fläche wie das ursprüngliche große Quadrat.
Es entsteht ein Kreuz aus fünf Quadraten
Wir lassen die überflüssigen Linien weg und stellen noch ein bisschen um.
Umstellen
Jetzt ist es offensichtlich, dass der rote Anteil drei Fünftel der gesamten Figur ausmacht.
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Kategorie
Gesundheitswesen
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