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Das Wurzelziehen nach Heron oder wie wird aus einem Rechteck

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Das Wurzelziehen nach Heron oder wie wird aus
einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat?
Das Wurzelziehen kann man geometrisch deuten. Ein Rechteck wird in ein flächengleiches Rechteck
verwandelt. Herons Idee bestand darin ein Rechteck unter Beibehaltung des Flächeninhalts immer
„quadratischer“ zu machen. Da die Länge des Rechteckes größer ist als die Seite des gewünschten
Quadrates und die Breite kleiner ist, kann man eine neue Seite dadurch konstruieren, dass man den
Mittelwert der beiden ersten Seiten nimmt und die zweite Seite dazu passend macht.
Das Bildungsgesetz einer solchen Folge, die gegen die gewünschte Wurzel strebt, kann man wie folgt
angeben:
A ist die Fläche des Rechteckes oder die Zahl aus der die Wurzel gezogen werden soll. Üblicherweise
nimmt man für xn am Anfang 1.
= 5,5 Die zweite Zahl passend für das Quadrat mit der Fläche 10 ist dann 10/5,5 =
1,818181.
Wiederholen wir das Spiel:
Die zweite Zahl passend für das Quadrat mit der Fläche 10 ist dann 2,73298..
=3,19599 Die zweite passende Zahl ist dann 3,128917.
Wenn man dieses Verfahren weiter betreibt, wird sich alsbald keine Änderung mehr einstellen.
Auffallend ist, dass die Eckpunkte C,
F, I und L und alle vielleicht noch
kommenden auf einer
Funktionskurve
liegen, also
auf einer Hyperbel.
Wieso funktioniert dieses Verfahren?
Wenn man von der ursprünglichen Folge ausgeht und annimmt, dass sie konvergiert, dann kann man
folgendes überlegen:
xn strebt gegen einen Grenzwert s. Es entsteht deshalb
. Daraus folgt s2=A.
s ist somit die Wurzel aus A.
Es gibt aber noch weitere Besonderheiten:
Wenn man in jedem dieser Rechtecke die Diagonale zieht, so ist diese Diagonale parallel zur
Tangente an die Hyperbel
.
. Wenn man diese Funktion differenziert, so entsteht:
oder
. Dieses
Verhältnis y:x entspricht aber genau dem Verhältnis der Rechteckseiten, wegen des Minus der
Richtung der fallenden Diagonale des Rechteckes.
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Kategorie
Bildung
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