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Infinitesimale Probleme - Wie Mathematik die Natur beschreibt

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In Anerkennung . . .
Infinitesimale Probleme
. . . an einen Mann, der beim Versuch
die Natur zu beschreiben die Sch¨onheit
der Mathematik zum Vorschein brachte.
Wie Mathematik die Natur beschreibt
Robin Geyer
Mario Haustein
Benoˆıt B. Mandelbrot
20.11.1924, 14.10.2010
BSZ Schwarzenberg
27.9.2011
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Quelle:
27.9.2011
1 / 68
Allgemeines, Risiken & Nebenwirkungen
1
1 By Rama (Eigenes Werk) [CC-BY-SA-2.0-fr
(http://www.creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/deed.en)], via
Wikimedia Commons
Fahrplan
http://www-user.tu-chemnitz.de/~hamari/dokuwiki/arbeiten:vortraege
1. Einf¨
uhrung
Klausurrelevanz
2. Grenzwerte
Der Vortrag dient als Erg¨anzung zum Unterrichtsstoff und ist f¨ur
Klausuren nicht relevant!
3. Fraktale
Zur¨
ucklehnen und zuschauen . . .
Bitte Fragen stellen.
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
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Einf¨
uhrung
Einf¨
uhrung
Mathematik und Natur
Fraktale Formen in der Natur
Warum wird die Geometrie oft als n¨
uchtern“ und trocken“
”
”
bezeichnet? Nun, einer der Gr¨
unde besteht in ihrer Unf¨
ahigkeit,
solche Formen zu beschreiben, wie etwa eine Wolke, einen Berg,
eine K¨
ustenlinie oder einen Baum. Wolken sind keine Kugeln,
Berge keine Kegel, K¨
ustenlinien keine Kreise. Die Rinde ist nicht
glatt – und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.
1. Einf¨
uhrung
Mathematik und Natur
Messen krummliniger Kurven
Abbildung: Blattadern sind selbst¨
ahnlich
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Einf¨
uhrung
27.9.2011
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Mathematik und Natur
Abbildung: NGC 13652
Infinitesimale Probleme
Einf¨
uhrung
Die Natur mittels Grenzwertprozessen beschreiben
2 Quelle:
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Abbildung: Feinst strukturierter
Handabdruck
27.9.2011
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Mathematik und Natur
Die Natur mittels Grenzwertprozessen beschreiben
Abbildung: IFS-Fraktal
Abbildung: Computergeneriertes Bild; Die Landschaft, das Gras und die Wolken wurden
mit Plasma-Fraktalen generiert
SSRO/PROMPT and NOAO/AURA/NSF
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
7 / 68
Einf¨
uhrung
Mathematik und Natur
Einf¨
uhrung
Die Natur mittels Grenzwertprozessen beschreiben
Mathematik und Natur
Die Natur mittels Grenzwertprozessen beschreiben
Abbildung: Landschaft
Abbildung: Plasma-Fraktale ¨
ahneln
Nebelschwaden
Abbildung: Landschaft
Abbildung: IFS-Fraktal
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Einf¨
uhrung
27.9.2011
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Mathematik und Natur
Einf¨
uhrung
Die Natur mittels Grenzwertprozessen beschreiben
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Messen krummliniger Kurven
Ausgangspunkt
Problem
Wie lang ist diese Kurve?
5
4
3
2
1
Abbildung: IFS-Fraktal
0
Abbildung: Schneckenhaus
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
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0
1
2
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
3
4
5
6
Infinitesimale Probleme
7
8
9
10
11
12
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Einf¨
uhrung
Messen krummliniger Kurven
Einf¨
uhrung
Ausgangspunkt
Messen krummliniger Kurven
Ausgangspunkt
Variante 3: Kurve vereinfachen =⇒ Wie?
Variante 1: Sch¨atzen =⇒ Ungenau / Unmathematisch
Z.B. durch Geradenz¨
uge
L¨
ange der Geraden aufaddieren
Variante 2: Geeignetes Messverfahren =⇒ Unpraktisch
5
5
4
t3
t6
3
3
2
2
1
1
0
0
t2
4
0
1
2
3
4
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
5
6
7
8
9
10
Infinitesimale Probleme
Einf¨
uhrung
11
t1
t0
t10
t4
0
1
2
3
4
5
t8
t5
6
7
t9
8
9
10
11
12
l = 16, 32LE
12
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t7
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Messen krummliniger Kurven
Infinitesimale Probleme
Einf¨
uhrung
Ausgangspunkt
27.9.2011
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Messen krummliniger Kurven
Beobachtungen
5
1. Es findet ein Ann¨aherungsprozess statt.
4
2. Der linearisierte Weg wird der eigentlichen Kurve immer ¨ahnlicher.
3. Die gemessene L¨ange l n¨ahert sich der wahren Kurvenl¨ange an.
3
=⇒ Konvergenz
2
4. Weder die eigentliche Kurve, noch die genaue Kurvenl¨ange werden jemals
erreicht.
1
5. Ein unendlich kleines (infinitesimales) Wegst¨
uck gleicht einer Geraden.
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
l = 16, 93LE
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
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Einf¨
uhrung
Messen krummliniger Kurven
Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Mathematische Betrachtung
n
l=
li
li . . . L¨ange von Wegst¨
uck i
2. Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Anwendung
Schwachstellen
Chaostheorie
i=1
Wir vollziehen den Ann¨aherungprozess:
max li −→ 0
i
Daraus folgt:
li −→ 0
und n −→ ∞
Somit ergibt sich f¨
ur die Gesamtl¨ange l folgendes Problem:
l = 0 · ∞“
”
Dieses Ergebnis ist im Prinzip wertlos. F¨
ur gutartige Kurven3 kann dieser
Ausdruck jedoch mittels Infinitesimalrechnung berechnet werden.
3 Abschnittsweise
stetig differenzierbare Kurven (kurz: Rektifizierbare Kurven).
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Geometrische Grenzwerte
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
27.9.2011
11 / 68
Geometrische Grenzwerte
L-Systeme4
Geometrische Grenzwerte
L-Systeme sind so genannte Ersetzungssysteme.
Zeichnen sich durch die rekursive Ersetzung von Einzelobjekten mittels
Produktionsregeln aus.
Fakt
Grenzwertprozesse sind nicht auf Zahlenwerte beschr¨ankt. Es existieren auch
geometrische Interpretationen.
Ausgehend von einer Grundgeneration wird mit Hilfe einer Produktionsregel
ein bestimmtes Element immer wieder ersetzt.
L-Systeme
Beispiel
Iterierte Funktionensysteme (IFS)
keep it short and simple“
”
G0 : kisas
Cantor-Mengen
Peanosche Monsterkurven
Produktionsregel: s → kisas
Baum des Pythagoras
G1 : kikisasakisas
. . . und vieles vieles mehr . . .
G2 : kikikisasakisasakikisasakisas
4 nach
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
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dem Biologen Aristid Lindenmayer (1925 - 1989)
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
14 / 68
Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Grenzwerte
L-Systeme
Geometrische Grenzwerte
Koch-Kurve
Koch-Kurve: F → F + F − −F + F
Definition
Ein System ohne Speicher besteht aus 3 Symbolen.
F“ – zeichne Strecke der L¨ange n
”
+“ – Drehung gegen UZS im Winkel α
”
-“ – Drehung mit UZS im Winkel α
”
n und α m¨
ussen f¨
ur jede L-Figur festgelegt werden. Es wird jedes F durch die
Produktionsregel ersetzt.
Abbildung: Koch-Kurve – 6. Stufe
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Geometrische Grenzwerte
Grenzwerte
Drachenkurve
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27.9.2011
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Geometrische Grenzwerte
Die Hilbert-Kurve
Abbildung: Die Drachenkurve – 14. Stufe
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Abbildung: Hilbert-Kurve – 7. Stufe
27.9.2011
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Grenzwerte
Die Hilbert-Kurve
Geometrische Grenzwerte
Die Hilbert-Kurve als Fl¨achenteiler
Die Hilbert-Kurve ist eine fl¨achen- bzw. raumf¨
ullende Kurve.
Die
Die
Die
Die
Kurve
Kurve
Kurve
Kurve
an sich ist eindimensional.
ist stetig (nicht unterbrochen).
schneidet sich nicht selbst.
deckt eine zweidimensionale Fl¨
ache vollst¨
andig ab.
Funktioniert auch mit 3 und mehr Dimensionen.
Abbildung: Hilbert-Kurve als Fl¨
achenteiler
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Geometrische Grenzwerte
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Anwendung der Hilbert-Kurve ;-)
27.9.2011
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Geometrische Grenzwerte
Eigenschaften von L-Systemen
Folgerung
1. Nach ∞ vielen Rekursionsschritten konvergiert die Grenzlinie gegen einen
Grenzfigur.
2. Die Grenzlinie wird dabei ∞ lang.
3. Die Figuren neigen stark zur Selbst¨ahnlichkeit.
4. Die Grenzlinien sind stetig, aber nie differenzierbar. =⇒ Die Linie ist ein
”
einziger Knick“
5. Die Figuren besitzen i.A. keine ganzzahlige Dimension, sondern gebrochene
Dimensionen.
Abbildung: http://www.xkcd.org/195/
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
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Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Grenzwerte
Iterierte Funktionensysteme (IFS)
Geometrische Grenzwerte
Das Chaosspiel – ein IFS
1. Zeichne die Eckpunkte eines (gleichseitigen) Dreiecks.
Geometrische Operationen: Drehung, Streckung, Scherung, Spiegelung,
Verschiebung, . . .
K¨
onnen durch Formeln (Matrizenkalk¨
ul) einfach beschrieben werden.
IFS: Wiederholte Anwendung von geometrischen Operationen auf Figuren.
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
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22 / 68
Geometrische Grenzwerte
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Das Chaosspiel – ein IFS
27.9.2011
23 / 68
Geometrische Grenzwerte
Das Chaosspiel – ein IFS
3. Zeichne einen Punkt der genau zwischen dem letzten und einem zuf¨allig
gew¨ahltem Eckpunkt liegt. Wiederhole diesen Vorgang n mal.
2. W¨ahle einen Punkt an einer zuf¨alligen Stelle im Dreieck.
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
23 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
23 / 68
Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Grenzwerte
Das Chaosspiel – ein IFS
Geometrische Grenzwerte
Das Chaosspiel – ein IFS
3. Zeichne einen Punkt der genau zwischen dem letzten und einem zuf¨allig
gew¨ahltem Eckpunkt liegt. Wiederhole diesen Vorgang n mal.
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
27.9.2011
23 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Geometrische Grenzwerte
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Das Chaosspiel – ein IFS
27.9.2011
23 / 68
27.9.2011
24 / 68
Geometrische Grenzwerte
IFS-Fraktale
Frage
Wie sieht das Ergebnis nach ∞ vielen Schritten aus?
Abbildung: Sierpinski-Dreieck n = 100000
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
23 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Grenzwerte
IFS-Fraktale
Geometrische Grenzwerte
IFS-Fraktale
Abbildung: BSZ-Fraktal ;-)
Abbildung: D¨
urer-F¨
unfeck
Abbildung: Farn
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
27.9.2011
24 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Geometrische Grenzwerte
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Die Cantor-Menge
27.9.2011
24 / 68
27.9.2011
26 / 68
Geometrische Grenzwerte
Dreidimensionale Cantor-Menge
L¨
oschen das mittlere Drittel
1 2
3, 3
des Einheitsintervalls [0, 1].
Wiederholen die Prozedur f¨
ur die verbleibenden Intervalle.
0
1
9
2
9
1
3
2
3
7
9
8
9
1
Abbildung: Cantor-Menge – 5. Stufe
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
25 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Grenzwerte
Cantor-Mengen in der Natur
Cantor-Mengen in der Natur
¨
Die Ringe des Saturn zeigen Ahnlichkeiten
zu Cantor-Mengen.
¨
Die Ringe des Saturn zeigen Ahnlichkeiten
zu Cantor-Mengen.
Abbildung: Saturn-Ringe – Courtesy NASA/JPL-Caltech
Abbildung: Saturn-Ringe – Courtesy NASA/JPL-Caltech
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
27.9.2011
27 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Geometrische Grenzwerte
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Sierpinski-Teppich
27.9.2011
27 / 68
27.9.2011
29 / 68
Geometrische Grenzwerte
Menger-Schwamm
Abbildung: Menger-Schwamm – 4. Stufe
Abbildung: Sierpinski-Teppich – 5. Stufe
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Geometrische Grenzwerte
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
28 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Anwendung
Grenzwerte
Anwendung
Differentialrechnung
Oft Anstieg einer Kurve in einem
Punkt gesucht.
2. Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Anwendung
Schwachstellen
Chaostheorie
Ausgangspunkt f¨
ur L¨
osung von
naturwissenschaftlichen,
technischen und wirtschaftlichen
Problemen.
Ermittlung des Anstiegs durch
Anlegen der Tangente (rot).
Problem: Bestimmen der Tangente
nicht trivial.
L¨osung: Tangente wird durch
Grenzwertprozess ermittelt.
Abbildung: Kurve mit Tangente (rot)
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
27.9.2011
30 / 68
Anwendung
27.9.2011
31 / 68
27.9.2011
32 / 68
Anwendung
Differentialrechnung – Beispiel
Abbildung: Ann¨
aherung der Sekante (blau) an die Tangente (rot)
Infinitesimale Probleme
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Differentialrechnung – Beispiel
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Abbildung: Ann¨
aherung der Sekante (blau) an die Tangente (rot)
27.9.2011
32 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Anwendung
Grenzwerte
Differentialrechnung – Beispiel
Anwendung
Integralrechnung
Oft Fl¨acheninhalt gesucht, den eine
Kurve einschließt.
Ebenfalls notwendig f¨
ur viele
naturwissenschaftliche, technische
und wirtschaftliche Probleme.
Integralrechnung ist Umkehrung der
Differentialrechnung.
Problem: Umkehrung der
Differentialrechnung alles andere als
einfach.
L¨osung: Fl¨ache wird durch
Grenzwertprozess ermittelt.
Abbildung: Ann¨
aherung der Sekante (blau) an die Tangente (rot)
Abbildung: Fl¨
ache (blau) unter einer Kurve
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
27.9.2011
32 / 68
Anwendung
27.9.2011
33 / 68
27.9.2011
34 / 68
Anwendung
Integralrechnung – Beispiel
Abbildung: Ausf¨
ullen der Fl¨
ache durch Rechtecke
Infinitesimale Probleme
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Integralrechnung – Beispiel
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Abbildung: Ausf¨
ullen der Fl¨
ache durch Rechtecke
27.9.2011
34 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Schwachstellen
Grenzwerte
Schwachstellen
Das K¨ustenl¨angenproblem
Wir haben gesehen: Die L¨ange von krummlinigen Kurven l¨asst sich mit
Infinitesimalsrechnung bestimmen.
2. Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Anwendung
Schwachstellen
Chaostheorie
K¨
usten sind krummlinige Kurven.
Frage an das Publikum
Wie lang ist die K¨
ustenlinie der Insel R¨
ugen?
Antwort
Sie scheint
∞ lang zu sein!
Wieso scheitert das Verfahren auf einmal?
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
27.9.2011
35 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Schwachstellen
Grenzwerte
Ausgangspunkt
27.9.2011
36 / 68
Schwachstellen
Messung
60˚
Versuch: Messen die K¨
ustenl¨ange auf immer genaueren Karten.
6˚
8˚
10˚
12˚
14˚
16˚
18˚
20˚
22˚
24˚
26˚
28˚
60˚
3000
58˚
Globale Topographie;
Aufl¨
osung: 0°05’ (auf R¨
ugen ≈ 5.4 km).
2500
2000
ETOPO5:
l = 128.53 km
Globale Topographie;
Aufl¨
osung: 0°02’ (auf R¨
ugen ≈ 2.16 km).
58˚
28˚
1500
1000
56˚
56˚
500
0
−500
54˚
0˚
54˚
Globale Landestopographie;
Aufl¨
osung: 0°00’30” (auf R¨
ugen ≈ 540 m).
52˚
52˚
26˚
SRTM3
4˚
Beschreibung
http://www.ngdc.noaa.gov/mgg/fliers/01mgg04.html
GTOPO30
2˚
3500
http://www.ngdc.noaa.gov/mgg/global/etopo5.HTML
ETOPO2
0˚
358˚
Datensatz
ETOPO5
358˚
http://edc.usgs.gov/products/elevation/gtopo30/gtopo30.html
50˚
50˚
Landestopographie zwischen 60°N und 54°S;
Aufl¨
osung: 0°00’03” (auf R¨
ugen ≈ 54 m).
48˚
48˚
http://www2.jpl.nasa.gov/srtm/
Tabelle: Topographische Datens¨
atze
46˚
4˚
6˚
8˚
46˚
46˚
46˚
2˚
10˚
12˚
14˚
16˚
18˚
20˚
22˚
24˚
2007 Sep 15 14:08:30
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
37 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
27.9.2011
38 / 68
Grenzwerte
Schwachstellen
Grenzwerte
Messung
58˚
Messung
Schwachstellen
10˚
8˚
6˚
12˚
14˚
16˚
18˚
11˚
20˚
12˚
13˚
14˚
15˚
16˚
58˚
350
1400
300
1200
1000
250
800
200
6˚
600
ETOPO5:
l = 128.53 km
400
200
56˚
ETOPO5:
l = 128.53 km
56˚
0
−200
55˚
100
50
0
−400
ETOPO2:
l = 284.45 km
150
55˚
ETOPO2:
l = 284.45 km
−600
54˚
GTOPO30:
l = 497.14 km
54˚
−50
54˚
53˚
53˚
20˚
54˚
52˚
52˚
8˚
12˚
10˚
14˚
16˚
11˚
18˚
2007 Sep 15 13:59:08
12˚
13˚
14˚
15˚
16˚
2007 Sep 15 13:47:55
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
27.9.2011
38 / 68
Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Schwachstellen
Infinitesimale Probleme
Grenzwerte
Messung
27.9.2011
38 / 68
Schwachstellen
Auswertung
13˚12'
13˚18'
13˚24'
13˚30'
13˚36'
13˚42'
13˚48'
54˚42'
54˚42'
13˚06'
54˚42'
180
160
140
Es stellt sich keine Konvergenz ein (die L¨ange w¨achst unaufhaltsam).
Solche Kurven werden als nicht rektifizierbar bezeichnet.
120
100
54˚36'
80
ETOPO5:
l = 128.53 km
ETOPO2:
l = 284.45 km
GTOPO30:
l = 497.14 km
SRTM3:
l = 733.86 km
54˚36'
60
40
Es werden immer mehr Details der K¨
uste sichtbar, die mit gemessen werden.
20
0
54˚30'
54˚30'
Erst auf atomarer Ebene w¨
urden keine weiteren Details sichtbar werden.
Aber welches Atom geh¨ort zum Meer und welches zum Land?
54˚24'
54˚24'
Die wahre“ L¨ange der K¨
uste ist nat¨
urlich endlich und vom Anwendungsfall
”
abh¨angig.
54˚18'
54˚18'
13˚06'
13˚12'
13˚18'
13˚24'
13˚30'
13˚36'
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54˚12'
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Robin Geyer, Mario Haustein (BSZ SZB)
Infinitesimale Probleme
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Infinitesimale Probleme
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Grenzwerte
Chaostheorie
Grenzwerte
Chaostheorie
Magnetisches Pendel
Grundplatte mit Magneten.
2. Grenzwerte
Geometrische Grenzwerte
Anwendung
Schwachstellen
Chaostheorie
Pendel mit Eisenkugel am Ende.
Magnetische Anziehungskr¨afte beeinflussen die
Flugbahn des Pendels.
Pendel kommt schließlich u
¨ber einem der
Magnete zum stehen (Attraktor).
Frage: Wie verh¨alt sich das Pendel f¨
ur gewisse
Ausgangslagen?
Abbildung: Magnetisches
Pendel
Bei bestimmten Ausgangspunkten:
Schmetterlingseffekt
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Chaostheorie
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Chaostheorie
Attraktionsgebiet eines Magnetpendels
Abbildung: Draufsicht – Das Pendel kommt beim blauen Magnet zur Ruhe
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Grenzwerte
Flugbahn (Trajektorie) eines Pendellaufes
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Abbildung: Draufsicht – Attraktormagnet durch Farbe kodiert
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Grenzwerte
Chaostheorie
Grenzwerte
Seltsame Attraktoren
Chaostheorie
Lorenz-Attraktor
Viele physikalische Prozesse lassen sich in infitesimalen Maßst¨aben durch
Differentialgleichungen beschrieben.
L¨
osungen solcher Gleichungen lassen sich meist nicht explizit angeben,
obwohl sie existieren.
In der Meteorologie werden dadruch z.B. Str¨omungsfelder von Luftmassen
beschrieben.
Partikel in diesen Feldern folgen den Str¨omungen auf bestimmten Bahnen,
die von ihrem Startpunkt abh¨angen.
Streben solche Bahnen unabh¨angig von ihrem Ausgangspunkt aufeinander zu
spricht man von sog. Attraktoren.
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Grenzwerte
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Fraktale
¨ ssler-Attraktor
Ro
3. Fraktale
Vorwort
Beispiele
Demonstration
Eigenschaften
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Fraktale
Vorwort
Fraktale
Was sind Fraktale
Beispiele
Die Folge von Mandelbrot
Mandelbrot untersuchte die Zahlenfolge:
zi+1 = zi2 + c mit
Mathematische Gebilde, die durch Grenzwertprozesse entstehen.
z, c ∈
z0 = 0
❘
Fall 1 F¨
ur c zwischen −2 und 0.25 konvergiert die Folge5 .
Beeindrucken durch ihre Sch¨onheit und unheimliche Komplexit¨at.
Fall 2 Sonst besitzt sie keinen Grenzwert (z → ∞).
Ihre Eigenschaften widersprechen scheinbar dem allt¨aglichen Verstand.
Graphische Darstellung der F¨alle auf dem Zahlenstrahl:
Betrachten hier nur die Visulaisierung und vernachl¨assigen die Berechnung.
Ein paar mathematische Hintergr¨
unde sind in den ver¨
offentlichten
Vortragsmaterialen enthalten. Wir beantworten im Anschluss auch gern
tiefgreifendere Fragen.
−3
−2
−1
0
1
2
3
c
Abbildung: Konvergenzbereiche auf dem Zahlenstrahl (weiß)
5 Diese
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Fraktale
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Grenzen k¨
onnen analytisch ausgerechnet werden.
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Beispiele
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Fraktale
Einschub: komplexe Zahlen
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Beispiele
Die Mandelbrot-Folge f¨ur komplexe Zahlen
Informatiker wissen: Konvergenzpunkte nicht berechenbar!
=⇒ Nur m¨
oglich eine N¨
aherungsl¨
osung zu finden
❘
Bisher: z und c reelle Zahlen ( )
Mathematiker wissen: Sobald der Punkt eines z der Folge mehr als 2
L¨angeneinheiten vom Ursprung entfernt ist, divergiert die Folge.
Werden als Punkte auf dem Zahlenstrahl dargestellt.
❈
=⇒ Zentraler Ansatz f¨
ur N¨
aherungsverfahren
Nun: komplexe Zahlen ( )
N¨aherungsverfahren:
Erweiterung der reellen Zahlen.
Zahlenstrahl wird zu Zahlenebene erweitert.
Komplexe Zahl ist Punkt auf dieser Ebene.
Hintergr¨
unde der komplexen Zahlen jetzt nicht von Bedeutung.
1. Berechne die ersten n Glieder der Folge.
2. Fallunterscheidung:
Irgendein z mehr als 2 LE vom Ursprung entfernt
=⇒ Folge mit Sicherheit divergent.
Alle z max. 2 LE vom Ursprung entfernt
=⇒ Folge h¨
ochstwahrscheinlich kovergent.
3. Nehmen evt. Fehler in Fall 2 in Kauf.
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Fraktale
Beispiele
Fraktale
Die komplexe Mandelbrot-Menge
Die komplexe Mandelbrot-Menge
Abbildung: Konvergenzbereich (weiß) f¨
ur n = 2
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Fraktale
Abbildung: Konvergenzbereich (weiß) f¨
ur n = 4
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Beispiele
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Beispiele
Die komplexe Mandelbrot-Menge
Abbildung: Konvergenzbereich (weiß) f¨
ur n = 8
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Infinitesimale Probleme
Fraktale
Die komplexe Mandelbrot-Menge
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Beispiele
Abbildung: Konvergenzbereich (weiß) f¨
ur n = 100
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Fraktale
Beispiele
Fraktale
Das Mandelbrot-Fraktal in Farbe
Beispiele
Das Newton-Verfahren
Es gibt Gleichungen die nicht gel¨ost werden k¨onnen!
Beispiel (Kepler-Gleichung – Astronomie)
M = E − e · sin E
Beschreibt die Bewegung eines Himmelsk¨opers.
Nicht nach E aufl¨osbar!
Newton-Verfahren kann N¨aherung solcher L¨osungen finden.
Keine exakte L¨osung, aber i.d.R. genau genug.
Es handelt sich dabei um einen Grenzwertprozess.
Funktionsweise jetzt nicht von Interesse.
Abbildung: Kodierung das Abbruchschritts in Farben
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Beispiele
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Fraktale
Das Newton-Fraktal
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Beispiele
Das Newton-Fraktal
Abbildung: Newton-Fraktal (Kodierung der Iterationsschritte)
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Abbildung: Newton-Fraktal (Kodierung der gefunden L¨
osung)
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Fraktale
Beispiele
Fraktale
Lyapunov-Fraktale
Lyapunov-Fraktale
Abbildung: Ein Lyapunov-Fraktal, was die logistische Gleichung visualisiert
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Fraktale
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Abbildung: Ein Lyapunov-Fraktal, was die logistische Gleichung visualisiert
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Beispiele
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Beispiele
Plasma-Fraktale
Abbildung: Ein Plasma-Fraktal
Abbildung: Ein Quaternionen-Fraktal
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Fraktale
Das Quaternionische Fraktal – Ein Fraktal in 3D
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Beispiele
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Fraktale
Demonstration
Fraktale
Eigenschaften
Begriff Fraktal“
”
Lat. fractus: gebrochen, von frangere: brechen, in St¨
ucke zerbrechen
Demonstration
Mengen, die sich durch Merkmale wie Ausfransung, Por¨osit¨at, Komplexit¨at
oder Selbst¨ahnlichkeit auszeichnen.
¨
Ublicher
Dimensionsbegriff wie f¨
ur glatte Kurven und Fl¨achen nicht
anwendbar.
Fraktale besitzen eine gebrochene Dimension.
Verallgemeinerte Definitionen der Dimension.
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Fraktale
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Eigenschaften
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Fraktale
Eigenschaften
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Eigenschaften
Anwendung von Fraktalen
Zufallsgeneratoren
Selbst¨ahnlichkeit
Kryptographie
Unendlich lange Grenzzonen
Erzeugung nat¨
urlicher Formen und Strukturen
Endlicher Inhalt
Bild- und Videokompression
Aufeinandertreffen von Ordnung und Chaos
Computergenerierte Kunst, z.B. Fraktalmusik
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Literatur I
Mathematisch:
Benoˆıt B. Mandelbrot
Die fraktale Geometrie der Natur
Birkh¨auser – ISBN 3-7643-2646-8
Danke fu¨r die Aufmerksamkeit!
Popul¨arwissenschaftlich:
Georg Glaeser & Konrad Polthier
Bilder der Mathematik
Spektrum – ISBN 978-3-8274-2565-2
Fragen?
Douglas R. Hofst¨adter
G¨
odel, Escher, Bach – ein Endloses geflochtenes Band
dtv – ISBN 3-423-30017-5
Simon Singh
Fermats letzter Satz
dtv – ISBN 3-423-33052-x
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Literatur II
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Software I
XaoS
http://sourceforge.net/projects/xaos/
Fractint
http://www.fractint.org/
Pierre Basieux
Die Top Ten der sch¨onsten mathematischen S¨atze
rororo – ISBN 3-499-60883-4
Gnofract 4D
http://gnofract4d.sourceforge.net/
Octave
http://www.octave.org/
Pierre Basieux
Die Top Seven der mathematischen Vermutungen
rororo – ISBN 3-499-61932-6
GNUPlot
http://www.gnuplot.info/
GSL – GNU Scientific Library
http://www.gnu.org/software/gsl/
POVRay
http://www.povray.org/
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Software II
Software III
Terragen
http://www.planetside.co.uk/terragen/
GRASS
http://grass.itc.it/
The Generic Mapping Tools
http://gmt.soest.hawaii.edu/
FLAM3
http://flam3.com/
LATEX-Beamer
http://latex-beamer.sourceforge.net/
qosmic
http://code.google.com/p/qosmic/
PGF/TikZ
http://sourceforge.net/projects/pgf/
Asymptote
htto://asymptote.sourceforge.net/
ePiX
http://mathcs.holycross.edu/~ahwang/current/ePiX.html
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