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LCP Proximale Tibiaplatte 3.5. Teil des Synthes

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4. Roboterkinematiken
• Begriffe Kinematik, Dynamik und Achsen
• Freiheitsgrad und Bewegungsfreiheitsgrad
• Symbolische Darstellung von Kinematiken
• Konfigurationen und Arbeitsräume
• Direkte und inverse Kinematik
• Werkzeug-Koordinatensystem, Tool-Center-Point
• Darstellung der Orientierung
• Beispiel: Direkte und inverse Kinematik des SCARA
• Übungsaufgabe
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Fachbereich VI - Informatik und Medien
Linnemann, WiSe 2014/2015
Robotertechnik
VLRob.ppt
Folie 43
Nur für Lehrzwecke
Begriffe Kinematik, Dynamik und Achsen
Die Dynamik befasst sich mit der Betrachtung von Kräften (Trägheitskraft,
Schwerkraft, Antriebe), die auf die Roboterkomponenten einwirken.
Die Kinematik beschreibt den mechanischen Aufbau des Roboters, d.h.
die räumliche Zuordnung der Bewegungsachsen nach Folge und Aufbau.
Sie beschäftigt sich mit der Geometrie und den zeitabhängigen Aspekten
der Bewegung.
In der Kinematik wird von allen dynamischen Aspekten abstrahiert.
Die einzelnen Glieder eines Industrieroboters sind über Linearführungen
und Drehgelenke zu einer kinematischen Kette miteinander verbunden.
Die Glieder, Gelenke und deren Antriebe bilden die Achsen des Roboters.
Die Hauptachsen dienen hierbei zum Positionieren des Endeffektors, d.h.
des Werkzeugs oder Werkstücks, im Raum.
Die Hand- oder Kopf- oder Nebenachsen sind in erster Linie für die
Orientierung des Werkzeugs zuständig und bestehen daher in der Regel
aus einer Reihe von Drehgelenken.
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Robotertechnik
VLRob.ppt
Folie 44
Nur für Lehrzwecke
Achsen eines Knickarmroboters
Die Achsen 1,2 und 3 sind die
Hauptachsen des Roboters.
Mit Hilfe der Hauptachsen werden die
Achsen 4,5 und 6, die als Kopf- oder
Handachsen bezeichnet werden, im
Arbeitsraum positioniert.
Durch die zusätzlichen
Bewegungsmöglichkeiten der
Handachsen kann der Greifer oder
das Werkzeug im Raum so orientiert
werden, wie es für die Bearbeitungsoder Handhabungsaufgabe
erforderlich ist.
Mit den 6 Bewegungsachsen eines
Industrieroboters lassen sich alle 6
Freiheitsgrade im Raum einstellen.
Quelle: Kroth, Eberhard: Reis Robotics
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VLRob.ppt
Folie 45
Robotertechnik
Nur für Lehrzwecke
Beispiele für Haupt- und Nebenachsen
Vertikal Knickarm
Horizontal Knickarm
Zylindrisch
Kartesisch / Portal
Kugelförmig
Hexapod
HA = Hauptachse, NA = Nebenachse
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Nach D. Scholz, FH-Münster
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Folie 46
Nur für Lehrzwecke
Gelenkbauformen für Hauptachsen
Die verschiedenen Kinematiken der Industrieroboter lassen sich immer
aus den 3 Grundbauformen für Gelenke aufbauen.
• Linearachsen / Translatorische Achsen /
Schubachsen:
• frei konfigurierbarer Arbeitsraum
• beliebig erweiterbarer Arbeitsraum
• günstige Kinematik für Handhabungs- und Palletieraufgaben
• steife Gesamtkonstruktion durch mechanische
Entkopplung der Achsen
• Rotatorische Achsen:
• schnelle Bewegungen
• kostengünstig für kleine Arbeitsräume
• vorteilhafte Kinematik für Bearbeitungsaufgaben
• Zwangsgekoppelte Achsen:
• Kosteneinsparung
• Reduzierung der Bewegungsfreiheiten
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Robotertechnik
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Folie 47
Nur für Lehrzwecke
Freiheitsgrad und Bewegungsfreiheitsgrad
Freiheitsgrad eines Objekts im dreidimensionalen, euklidischen Raum
• Anzahl möglicher unabhängiger Bewegungen im
Bezugskoordinatensystem – definiert durch die minimale Anzahl von
Translationen und Rotationen zur vollständigen Beschreibung der
Stellung (Lage) des Objekts
• Für im dreidimensionalen Raum frei bewegliche Objekte gilt:
Freiheitsgrad: f = 6 (3 Translationen und 3 Rotationen)
Bewegungsfreiheitsgrade (Getriebefreiheitsgrade) eines Roboters
• Anzahl der Bewegungsmöglichkeiten des Roboters
• Freiheitsgrad eines Rotationsgelenks:
FR ≤ 3
• Freiheitsgrad eines Translationsgelenks: FT = 1
• Anzahl der Gelenke eines Roboters:
n ,meist n ≤ 6
n
F = ∑ (FRi + FTi )
i =1
Bewegungsfreiheitsgrade:
Mit F ≥ f
Kinematisch bestimmter Roboter: f = F
Kinematisch redundanter Roboter: f < F
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Robotertechnik
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Folie 48
Nur für Lehrzwecke
Freiheitsgrad: Beispiele
• Auf dem Boden bewegliches Fahrzeug:
• Translation auf der Bodenfläche in x- und y-Richtung sowie
• Drehung um die senkrecht zur Bodenfläche stehende z-Achse
Freiheitsgrad f = 3
• Tennisball:
• Mittelpunkt im Raum (x,y,z-Koordinate)
• Rotation um die Achsen des kartesischen Koordinatensystems
Freiheitsgrad f = 6
• 8-achsiger Roboter:
• Freiheitsgrad f = 6,
• Bewegungsfreiheitsgrad F ist 8
• Freiheitsgrad f einer menschlichen Hand ist 6,
der Bewegungsfreiheitsgrad F ist 22
• Freiheitsgrad f eines menschlichen Arms ) incl. Schulter ist 6,
Bewegungsfreiheitsgrad F ist 7
Um ein Freiheitsgrad f = 6 für den Effektor eines Roboters zu erreichen,
sind mindestens F = 6 Bewegungsachsen nötig
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Folie 49
Nur für Lehrzwecke
Gelenke und Freiheitsgrade
Drehgelenk
Schubgelenk
Kardangelenk
(Universal)
Kugelgelenk
(Prismatic)
Drehschubgelenk
(Cylindric)
(Revolute)
f=1
f=1
f=2
f=2
f=3
(Spherical)
Quelle: iam, Uni Rostock
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Folie 50
Nur für Lehrzwecke
Darstellung des kinematischen Aufbaus von IR
Bezeichnungen
Symbol
Bemerkungen, Beispiele
Symbol mit Angabe der
Bewegungsmöglichkeit
Achsen
Translationsachse
Translation fluchtend (Teleskop)
Translation nicht fluchtend
Verfahrachse
Spritzpistole
Schweißzange
Zangengreifer
Kurzer Trennstrich echte
Schnittstelle, z.B.
auswechselbare Werkzeuge
Werkzeuge
Greifer
Kennzeichnung von
Systemgrenzen
Trennung zwischen Haupt- und
Nebenachsen
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Nach VDI 2861, Blatt 1, 1988
Rotationsachse
Rotation fluchtend
Rotation nicht fluchtend
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Folie 51
Nur für Lehrzwecke
Beispiel für die symbolische Darstellung eines IR
VDI 2861 sieht auch eine Symbolsprache für die Beschreibung der
Konfigurationen vor:
• X, Y, Z, U, V und W
für die Linearachsen
• A, B, C, D, E und F
für die Drehachsen
• Q, R, S und T
für sonstige Achsen
Mit einem Trennstrich „/“ werden die Hauptachsen von den Nebenachsen
getrennt
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Folie 52
Nur für Lehrzwecke
Bestimmung der Achsbezeichnungen
Symbolische Darstellung eines siebenachsigen IR:
Nach VDI 2861,
Blatt 2, 1988
Die Achsbezeichnungen für Industrieroboter beziehen sich auf ein ortsfestes
kartesisches Koordinatensystem mit den horizontalen Achsen X und Y und der
vertikalen Achse Z
Zur Bestimmung der Achsbezeichnungen wird die Grundstellung des IR
angenommen
In der Grundstellung sind alle ortsfesten und ortsbeweglichen Achsen parallel
bzw. symmetrisch zum Bezugskoordinatensystem ausgerichtet
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Folie 53
Nur für Lehrzwecke
Schnittstellen eines IR und angrenzender Peripherie
Reale Darstellung
Symbolische Darstellung
Nach VDI 2861, Blatt 2, 1988
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Folie 54
Nur für Lehrzwecke
Konfigurationen und Arbeitsräume
Bezeichnung
Anordnung
Kinematisches
Ersatzbild
Y
Kartesisches
Gerät
X
Arbeitsraum
X
Z
Z
Y
Zylinderkoordinatengerät
Kugelkoordinatengerät
D
C
Horizontales
Knickarmgerät
E
C
Z
E
D
Z
Vertikales
Knickarmgerät
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Folie 55
Nur für Lehrzwecke
Arbeitsraum des Bosch SR 800 (SCARA)
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Folie 56
Nur für Lehrzwecke
Arbeitsraum eines Knickarmroboters (Kuka KR 2)
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Folie 57
Nur für Lehrzwecke
Kinematik: Sonderbauformen
Neben den klassischen Kinematiken gibt es eine Vielzahl von Sonderbauformen,
die zum Teil für spezielle Aufgabenstellungen entwickelt wurden. Zum Teil sind
es Abwandlungen der klassischen Bauformen, die durch unterschiedliche
Reihenfolge bei der Anordnung der Achsen entstehen. Sonderbauformen
können so aufgebaut sein, dass sie
• bessere Zugänglichkeit
• bessere Steifigkeit
• bessere Bewegungsfreiheit
für spezielle Anwendungsbereiche bieten.
Ein weiterer wichtiger Aspekt
für Sonderbauformen ist der
Preis des Roboters für eine
bestimmte Aufgabenstellung.
Bild: Fa. Motoman
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Folie 58
Nur für Lehrzwecke
Direkte und inverse Kinematik
Direkte Kinematik
(Hintransformation)
Inverse Kinematik
(Rücktransformation)
Für die Steuerung eines Roboters wird die Effektorstellung
in Weltkoordinaten (Basiskoordinaten) vorgegeben.
Diese müssen zur Steuerung der Motoren des Roboters in
Gelenkvektoren (Roboterkoordinaten) umgerechnet
werden, d.h. es wird die inverse Kinematik benötigt.
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Folie 59
Robotertechnik
Nur für Lehrzwecke
Werkzeug-Koordinatensystem und Tool Center Point
Werkzeug-Koordinatensystem:
Handgelenk
Z
Y
HandgelenkFlansch
X
Ursprung des
WerkzeugKoordinatensystems
Werkzeug
Tool Center
Point (TCP)
Gleiche Position – verschiedene Orientierung:
Zur Beschreibung der Orientierungen für das
Werkzeug gibt es herstellerabhängig verschiedene
Definitionen.
Die Orientierung des Werkzeuges ändert sich, wenn
die Werkzeugspitze an einer Stelle positioniert bleibt
und das Werkzeug um diese Position kippt bzw.
gedreht wird.
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Folie 60
Nur für Lehrzwecke
Darstellungen der Orientierung
Roll-Pitch-Yaw: Das aus der Schifffahrt und Luftfahrt bekannte System wird
auch in der Roboterprogrammierung angewandt.
Z
Dabei erfolgen die Rotationen
A, B, C um die unveränderten
Yaw
Y
Achsen X (Roll, Rollen),
Y (Pitch, Stampfen, Nicken)
Pitch
und Z (Yaw, Gieren).
X
Roll
Euler-Winkel: Die Rotationen werden nacheinander um die Achsen der neuen
Koordinatensysteme durchgeführt. Die Reihenfolge muss angegeben werden!
ZX‘Z‘‘ – in der Mathematik übliche Definition. Drehung nacheinander um die ZAchse, um die X’-Achse des neuen Koordinatensystems und um die
Z’’-Achse des wiederum neuen Koordinatensystems.
ZY‘X‘‘ – wird z.B. bei IRDATA verwendet.
ZY‘Z‘‘ – z.B. bei Programmiersprache VAL für PUMA-Roboter.
Weitere Verfahren: Z.B. Quaternionen (Erweiterung komplexer Zahlen)
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Folie 61
Nur für Lehrzwecke
Koordinatentransformation und Greifer / Werkzeug
Die Koordinatentransformation der Steuerung besteht meist aus zwei
Teilen:
• Roboterkinematik bis zum Flansch
• Werkzeug- / Greiferkinematik vom Flansch bis zum TCP
• Die sogenannten „Flansch-Koordinaten“ werden beschrieben mit
• Position : x, y, z
• Orientierung: R(z), R(y), R(x) nach Euler oder Roll/Pitch/Yaw
und bilden den Ursprung des Greifer/Werkzeug-Koordinatensystems
• Die Steuerung bezieht sich meist auf den
TCP des aktuellen Greifers / Werkzeugs
(Die genauere Beschreibung ist den
jeweiligen Handbüchern zu entnehmen)
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Folie 62
Nur für Lehrzwecke
Direkte und Inverse Kinematik: Beispiel SCARA-Roboter
SCARA = Selective Compliance
Assembly Robot Arm (Montage
Roboter mit selektiv elastischem
Arm).
Zur Vereinfachung der Rechnung
wird der Roboter von oben
betrachtet, d.h. die X-Y-Ebene
dargestellt und nur der Knickarm als
planares System gerechnet.
Die Berechnung der weiteren
Achsen erfolgt dann nach dem
gleichen Prinzip und kann gut als
Übung dienen.
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Folie 63
Nur für Lehrzwecke
SCARA: Direktes kinematisches Problem
y
L2
P(x,y)
β
L1
α
x
Ist P(x,y) der Endpunkt des, vom Rumpf aus gesehen, zweiten Arms
des Scara, so gilt für die Koordinaten von P
x = L1 cos α + L 2 cos (α + β)
y = L1 sin α + L2 sin ( α + β)
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Folie 64
Nur für Lehrzwecke
SCARA: Inverses Kinematisches Problem - 1
2. Schritt: Berechnung von γ
γ = arctan (s/c)
y
β2
Problem: arctan ist mehrdeutig, gilt immer
nur in einem Quadranten
oft wird die erweiterte arctan-Funktion
verwendet: atan2
P(x,y)
L2
C
L1
L2
β1
γ
α2
α1
L1
x
1. Schritt: Berechnen von C
atan2(s,c) wird so ausgewertet:
α = π/2 bzw. 90° für c = 0, s > 0
α = -π/2 bzw -90° für c = 0, s < 0
α = arctan(s/c)
für c > 0
α = arctan(s/c) + π für c < 0, s ≥ 0
α = arctan(s/c) - π für c < 0, s < 0
undefiniert
für c = s = 0
C = x2 + y2
Grenzwertbetrachtung
C > L1 + L2
: geometrisch nicht möglich (keine Lösung)
C < |L1 - L2|
: geometrisch nicht möglich (keine Lösung)
C = 0 und L1 = L2 : Winkel beliebig
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Folie 65
Robotertechnik
Nur für Lehrzwecke
SCARA: Inverses Kinematisches Problem - 2
3. Schritt: Betrachtung der Armlängen
L1 und L2
C = L1 + L2
mit α1 = α2 = γ;
β1, β2 = 0
und
C = |L1 ± L2|
wird mit
L1 > L2 : α1 = α2 = γ
β1 = +180°
β2 = -180° (also zwei Lösungen)
L1 < L2: α1 = α2 = γ - 180°
β1 = +180°
β2 = -180° (also zwei Lösungen)
y
y
β1 = +180°
L1
L2
L2
γ
β2 = -180°
P(x,y)
L1
x
α
P(x,y)
x
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Robotertechnik
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Folie 66
Nur für Lehrzwecke
SCARA: Inverses Kinematisches Problem - 3
4. Schritt:
Der „Normalfall“: β1 und β2 berechnen
Es ist
C < L1 + L2 (keine gestreckten Arme)
und
C > |L1 – L2| (Arme nicht „gefaltet“)
womit gilt:
y
β2
yp
P(x,y)
L2
β1
C
L1
L2
L1
α1
xp2 + yp2 = C2 = L12 + L22 + 2L1L2 cos β1
(Cosinussatz)
Für das obere schiefwinklige Dreieck gilt
xp2 + yp2 = C2 = L12 + L22 + 2L1L2 cos β2
(Cosinussatz)
und es ist auch
β1 > 0
β2 < 0
(aber beide haben den gleichen Betrag!)
und man kann die Gleichungen
gleichsetzen:
xp2 + yp2 = C2 = L12 + L22 + 2L1L2 cos β1
= L12 + L22 + 2L1L2 cos β2
(
γ
α2
Für das untere schiefwinklige Dreick gilt:
xp
x
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 x2 + y2 − L 2 + L 2
1
2
β1 = ± arccos

2 L1L 2

Robotertechnik
)


VLRob.ppt
Folie 67
Nur für Lehrzwecke
SCARA: Inverses Kinematisches Problem - 4
Fazit:
5. Schritt: α1 und α2 berechnen
Der Weg der „traditionellen Geometrie“ führt
zum Ziel, ist aber
• Recht aufwändig abzuleiten
y
P(x,y)
• Nicht übertragbar auf andere
Kinematiken
L2
δ
L1
γ
α2
α1
C
-δ
• Führt bei komplexen Kinematiken
zu umfangreichen „Kunstwerken“
L2
L1
x
α1 = γ - δ
α2 = γ + δ
Mit dem Cosinussatz wird
L22 = L12 + C2 – 2 C L1cos δ
 L 2 − L 2 + C2 

2
δ = arccos 1


2 L1 C


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Bei mehrdeutigen Lösungen besteht bei der
inversen Kinematik das Problem, welche der
Lösungen man in der Steuerung auswählt:
• Programmierer des Anwendungsproblems
wählt aus.
• Vorherige Stellung als Entscheidungskriterium, z.B. die Winkel, die am
nächsten liegen nehmen.
• Hindernisse erkennen
Den Fall der
Kollisionsvermeidung nehmen.
Robotertechnik
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Folie 68
Nur für Lehrzwecke
Übung: K‘-transformation mit konventioneller Geometrie
Aufgabe mit einfach zur
rechnenden dimensionslosen
Zahlenwerten:
z
d3
Gelenk 2
(Rotation)
Gelenk 3
(Translation)
P(xp, yp, zp)
y
d1
Gelenk 1
(Translation)
zp
a) Direktes Problem
Gegeben:
d1 = 3, d3 = 4, α = 30°
Gesucht: Position von P
Lösung:
xP = 3,464
yP = 2,0
zP = 3
b) Inverses Problem:
Gegeben:
xP, yP, zP , Werte wie a)
Gesucht: d1, d3, α
Lösung: siehe a)
yp
α
xp
Festpunkt
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x
Robotertechnik
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Folie 69
Nur für Lehrzwecke
Aus drucktechnischen Gründen leere Folie!
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Folie 70
Nur für Lehrzwecke
5. Koordinatentransformation
• Grundlagen
• Position und Orientierung eines Körpers im Raum
• Rotationen
• Homogene Koordinaten und Transformationen
• Denavit-Hartenberg-Verfahren (direktes kinemat. Problem)
• Beschreibung nach DH
• Bezeichnungen nach DH
• DH-Transformation für Translation und Rotation
• Bestimmung der DH-Parameter
• Anwendung von DH auf Industrieroboter
• DH am Beispiel eines SCARA-Roboters
• Übungsaufgaben
• Inverses kinematisches Problem
• Analytisches Verfahren von Paul
• Numerische Verfahren
• Beispiel: SCARA
• Übungsaufgaben
• Singularitäten
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Folie 71
Robotertechnik
Nur für Lehrzwecke
Position und Orientierung eines Körpers im Raum
ezK
e = Einheitsvektoren
K
dK
ezB
eyB
B
exB
eyK
p
P
exK
Es wird unterschieden:
• Bezugskoordinatensystem (base frame);
fixiert, ortsfest,
z.B. am Boden festgeschraubter Roboter
• Körperkoordinatensystem (body base
frame); angesiedelt in einzelnen Körpern,
bei Robotern z.B. fixiert im Gelenk oder im
Schwerpunkt des Arms oder in „günstigen
geometrischen Punkten“
Nächster Schritt:
Position und Orientierung bezogen auf Frame B unter
zu Hilfenahme von Frame K des Körpers beschreiben
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Folie 72
Nur für Lehrzwecke
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