close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

Ad 3.11 (a): Wir wollen uns überlegen, wie wir mit Hilfe eines

EinbettenHerunterladen
Ad 3.11 (a):
Wir wollen uns u
¨berlegen, wie wir mit Hilfe eines einseitigen Konfidenzintervalls feststellen k¨onnen, ob die l¨andliche Bev¨olkerung eine negativere
Meinung u
¨ber B¨aren besitzt als die st¨adtische, ob also µ1 < µ2 ist.
¯ − Y¯ . Angenommen µ1 =
Idee: Wir sch¨atzen zun¨achst µ1 − µ2 durch X
µ2 , dann sprechen Daten, f¨
ur die x
¯ − y¯ weit links von 0 liegt, gegen diese
Annahme und daf¨
ur, dass µ1 < µ2 .
Statistische Formulierung: Wir wollen eine Schranke K finden, sodass
¯ − Y¯ ≤ K) = α
P{µ1 =µ2 } (X
(1)
¯ − Y¯ − K)) = 1 − α.
P{µ1 =µ2 } (µ1 − µ2 = 0 ∈ (−∞, X
(2)
oder ¨aquivalent
Sind die Daten X1 , . . . , Xn identisch N (µ1 , σ 2 )-verteilt (mit unbekannter Varianz σ 2 ) und unabh¨angig von den Daten Y1 , . . . , Ym , die selbst unabh¨angig
N (µ2 , σ 2 )-verteilt sind, dann folgt
¯ − Y¯ − (µ1 − µ2 )
X
S
1
n
+
1
m
einer t-Verteilung mit n + m − 2 Freiheitsgraden, wobei
S=
n
i=1 (Xi
¯ 2 + n (Yi − Y¯ )2
− X)
i=1
n+m+2
die gepoolte Varianz ist. Das verwenden wir jetzt, um K auszurechnen:


¯ ¯
¯ − Y¯ ≤ K) = P{µ =µ }  X − Y ≤
P{µ1 =µ2 } (X
1
2
1
S n1 + m
S
t
= Fn+m−2
(K/S
K
1
n
+
1
m

1/n + 1/m)
Wegen Gleichung (1) muss also
t
Fn+m−2
(K/S
1/n + 1/m) = α
t
sein. Wende auf beiden Seiten die Quantilsfunktion Qtn+m−2 = Fn+m−2
an und multipliziere anschließend mit S
K = Qtn+m−2 (α)S
1
n
+
1
m.
−1
Das ergibt
1
1
+
= −Qtn+m−2 (1 − α)S
n m
1
1
+ .
n m
Setzt man dies in Gleichung (2) ein, so erh¨alt man
¯ − Y¯ + Qtn+m−2 (1 − α)S
P{µ1 =µ2 } 0 ∈ (−∞, X
1/n + 1/m) = 1 − α.
(3)
¯ − Y¯ +Qt
Das einseitige Intervall (−∞, X
n+m−2 (1−α)S
also mit Wahrscheinlichkeit 1 − α die Null.
1/n + 1/m) enth¨alt
Interpretation fu
ur konkrete Datenpunkte berech¨ r gegebene Daten: F¨
net man entsprechend (−∞, x
¯ − y¯ + Qtn+m−2 (1 − α)S 1/n + 1/m).
1. Wenn 0 nicht im ausgerechneten Intervall liegt, dann folgert man auf
Basis der vorhandenen Daten, dass µ1 < µ2 , da ja unter der Annahme
µ1 = µ2 die Wahrscheinlichkeit, Intervalle zu beobachten, die 0 nicht
enthalten, nach (3) α, also sehr klein, ist.
2. Ist 0 in diesem Intervall enthalten, dann schließt man dass µ1 = µ2
ist.
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
2
Dateigröße
51 KB
Tags
1/--Seiten
melden