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9. Übung (KW 3 und 4, 2005)

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Me II 04/05
¨ 9, KW 3,4
UB
Version 13. Januar 2005
Freie Longitudinalschwingungen
Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk
Assistenten: L¨
owis / Putzar
— Tutorium —
EAρ
1. Ein schwingungsf¨
ahiges System wird wie skizziert durch eine
Punktmasse und einen massebehafteten Dehnstab und das
Fundament durch eine einfache linear-elastische Feder modelliert. Es sollen die longitudinalen Eigenschwingungen des
so idealisierten Systems um die spannungsfreie Ausgangslage untersucht werden.
k
m
x, u
L
(a) Gib f¨
ur das System die Differentialgleichung f¨
ur die Verschiebung u(x, t) an!
(b) Leite aus dem Ansatz u(x, t) = X(x) cos(ωt + ϕ) die allgemeine L¨osung von X(x) her!
(c) Formuliere die Randbedingungen f¨
ur die Amplitudenfunktion X(x)!
(d) Gib die Eigenwertgleichung des Systems an!
Geg.: ρ, E, A, L, m, k
Literatur: [1, S. 211] Abschnitt 4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen, [2] Bewegungsgleichung der freien, unged¨
ampften Schwingung Kap. 8.2.1 Abs. 3a) Longitudinalschwingungen
S.624, L¨
osung nach Bernoulli Kap. 8.2.3 S.631
2. F¨
ur den homogenen skizzierten Dehnstab (Masse m, Querschnittfl¨ache A, Elastizit¨atsmodul E) ermittle man die Eigenkreisfrequenzen und die Eigenfunktionen
der Longitudinalschwingungen.
x, u
l
Geg.: m, A, E, l
— HA —
3. Zwei St¨
abe (L¨
angen L1 , L2 L¨
angssteifigkeiten KL1 , KL2 ,
Massenbelegungen mx1 , mx2 ) sind wie skizziert miteinander
verbunden und links fest eingespannt. Das System schwingt
ausschließlich in L¨
angsrichtung.
x1
x2
✁✂✄☎✆✝✞
KL1 , mx1 , L1
KL2 , mx2 , L2
¨
(a) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen sowie die Rand- und Ubergangsbedingungen
f¨
ur die Stabl¨
angsschwingungen? Benutze die eingezeichneten Koordinaten x1 und x2 .
Hinweis: Beachte, daß die St¨
abe unterschiedliche Dehnsteifigkeiten haben.
(b) L¨ose die partiellen Differentialgleichungen jeweils mit einem Ansatz der Form u j (xj , t) =
ˆj (xj ) cos(ωt + Ψ) und formuliere das Eigenwertproblem.
U
(c) Wie lautet die Frequenzgleichung? Hinweis: Die Frequenzgleichung braucht nicht gel¨
ost
zu werden.
(d) Zeige, daß man bei Aneinanderkopplung zweier identischer St¨abe auf das bekannte Erπc
gebnis ω1 = 2L
kommt, wobei L = L1 + L2 und c die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit
ist. (So kann das Ergebnis von Teil (c) kontrolliert werden!)
4. F¨
ur den skizzierten homogenen Dehnstab (Dichte ρ, Querschnittfl¨ache A, Elastizit¨atsmodul E) ermittle man die Eigenkreisfrequenzen und die Eigenfunktionen
der Longitudinalschwingungen.
Geg.: ρ, A, E, l
x, u
l
Zusatzaufgabe: Vergleichen Sie die Eigenfrequenzen mit denen des diskreten Ersatzsystems in
¨
Aufgabe 1 des vorigen Ubungsblattes!
Me II 04/05
¨ 9, KW 3,4
UB
Version 13. Januar 2005
Freie Longitudinalschwingungen
Kursleiter: Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk
Assistenten: L¨
owis / Putzar
5. Ein mit Masse belegter Stab ist an einem Ende unverschieblich gelagert,
an dem anderen mit einer Feder befestigt. Der Stab schwingt nach
geeigneten Anfangsbedingungen l¨
angs.
x
l
E, A, ρ
(a) Wie lautet die Differentialgleichung, die die Schwingung f¨
ur kleine
Auslenkungen beschreibt?
(b) Forme die partielle Differentialgleichung um in zwei gew¨ohnliche
Differentialgleichungen.
c
(c) Wie lauten die allgemeinen L¨osungen dieser gew¨ohnlichen Differentialgleichungen?
(d) Formuliere die geometrischen und dynamischen Rand- und
¨
Ubergangsbedingungen.
(e) Stelle die Frequenzgleichung auf, und l¨ose sie grafisch.
Gegeben seien die Gr¨
oßen: l, c, E, A, ρ.
— Tutorium —
6. Berechne die Eigenfrequenzen der Lufts¨aule in einem Eisenbahntunnel der L¨ange L!
Hinweis: Wie bei einem freien Stabende muß am offenen Ende die erste Ortsableitung der
Verschiebung verschwinden.
Geg.: Schallgeschwindigkeit a
7. Im folgenden sollen die L¨
angsschwingungen eines einseitig eingespannten Stabes untersucht werden. Die Querschnitte sind
kreisf¨ormig, der Radius r verl¨auft linear. Es seien linearelastisches Material, ein eindimensionaler Spannungszustand,
u
ange l konstante Dichte ρ und E-Modul E voraus¨ber die Stabl¨
gesetzt. Die Radien an den Enden sind gegeben: r(x = 0) = r0
und r(x = l) = r1 . Zudem gilt r
l.
x
l
r(x)
(a) Leite die (partielle) Bewegungsdifferentialgleichung her!
(b) Bestimme daraus mit einem geeigneten Ansatz die (gew¨ohnliche) Differentialgleichung
f¨
ur die Amplitudenfunktion und gib die dazugeh¨origen Randbedingungen an!
— HA —
8. Wie lang muß ein an einem Ende geschlossenes Rohr sein, damit man damit durch geschicktes
Anblasen den Kammerton a’ mit 440 Hz erzeugen kann?
Hinweis: Es ist i.a. am einfachsten, die erste Eigenfrequenz anzuregen. Wie bei einem freien
Stabende muß am offenen Rohrende die erste Ortsableitung der Verschiebung verschwinden.
Geg.: Schallgeschwindigkeit in Luft a = 340 m/s
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l
9. Der abgebildete Stab (L¨
ange l, Querschnittsfl¨ache A, Massebelegung µ) f¨
uhrt ausschließlich L¨
angsschwingungen u(x, t) aus. Der
Stab ist aus viskoelastischem Material, das dem folgenden Materialgesetz gehorcht.
σ = E(ε + τ ε)
˙
µ, A, E, τ
m
(a) Leite an einem infinitesimalen St¨
uck des Stabes die Bewegungsdifferentialgleichung f¨
ur
die L¨
angsschwingungen u(x, t) her. Hinweis: Beachte das oben angegebene Werkstoffgesetz.
ˆ (x)eαt eine gew¨ohnliche Differentialglei(b) Leite mit einem Ansatz der Form u(x, t) = U
ˆ (x) her!
chung f¨
ur die Amplitudenfunktion U
(c) Wie lauten die Randbedingungen f¨
ur das System?
Folgende Konstanten sind gegeben: l, µ, A, m, E, τ
10. Es soll das Eigenschwingverhalten des Systems F¨orderkorb/Seil einer Schachtanlage untersucht werden. Seil und F¨orderkorb schwingen in guter N¨
aherung nur in vertikaler Richtung.
g
(a) Stelle das zweite Newtonsche Gesetz f¨
ur ein infinitesimales
Seilst¨
uck auf. Die lokale Verschiebung des Seils in x-Richtung
sei u(x, t). Leite dann mit dem Hookeschen Materialgesetz EA, ρ
ur das darN = EA ∂u
∂x die Bewegungsdifferentialgleichung f¨
m
gestellte System her.
(b) Gib die Randbedingungen f¨
ur das System an!
(c) Bestimme die statische Ruhelage u0 (x) des Systems!
(d) Wie lauten die Differentialgleichung und die Randbedingungen mit der neuen Variablen u
˜ = u − u0 ?
(e) Wie groß sind die ersten beiden Eigenfrequenzen des Systems, wenn der in den Tiefen l = L, l = 2L und l = 5L haltende F¨
orderkorb in Schwingung ger¨at? Verwende die Gleichungen aus Teil (d)!
Geg.: L, E, A, ρ, m, g
x, u
l
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11. F¨
ur den dargestellen am einen Ende eingespannten Stab im Schwerefeld (E, A, ρ gegeben) sollen die Eigenschwingungen untersucht
werden. Zur Anfangszeit t = 0 sind L¨angsverschiebung und Geschwindigkeit vorgegeben als
u(x, t = 0) =
g
1
πx
(− x2 + Lx) + u0 sin
c2 2
2L
∂u
|x,t=0 = 0
∂t
x, u, u
˜
E, A, ρ
L
Die Differentialgleichung, die das Problem beschreibt, lautet
2
∂2u
2∂ u
=
c
+g
∂t2
∂x2
mit
E
c =
ρ
g
2
(a) Geben Sie alle Randbedingungen f¨
ur u an.
(b) Bestimmen Sie die statische Ruhelage ustat , d.h. diejenige L¨angsverschiebung, die sich
einstellen w¨
urde, wenn das System in Ruhe w¨are. Benutzen Sie die Randbedingungen.
(c) Wie lautet die Differentialgleichung f¨
ur u
˜, und wie lauten die Randbedingungen f¨
ur u
˜,
wenn man u
˜ = u − ustat definiert?
(d) Ein Produktansatz liefert nach Einsetzen die allgemeine L¨osung
∞
(Ak cos
u
˜(x, t) =
k=1
ωk
ωk
x + Bk sin x)(Ck cos ωk t + Dk sin ωk t)
c
c
Bestimmen Sie die unendlich vielen Eigenfrequenzen ωk mithilfe der Randbedingungen
f¨
ur u
˜.
(e) Zur weiteren Anpassung (und zur L¨osung des Anfangs-Randwertproblems) betrachten
Sie nun die modifizierten Anfangsbedingungen: Wie groß ist u
˜(x, t = 0)? Und wie groß
˜(x, t) durch Anpassen an die Anfangsbedingungen.
ist ∂∂tu˜ |x,t=0 ? Bestimmen Sie die u
Literatur
[1] Gross, Dietmar, Werner Hauger, Walter Schnell und Peter Wriggers: Technische
Mechanik, Band 4 Hydromechanik, Elemente der H¨oheren Mechanik, Numerische Methoden.
Springer, 2. Auflage, 1995.
[2] Gummert, Peter und Karl-August Reckling: Mechanik. Vieweg, vierte Auflage, 2000.
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