close

Anmelden

Neues Passwort anfordern?

Anmeldung mit OpenID

1. (a) (4 Punkte) Wie muss man a ∈ R wählen, so dass die Matrix A

EinbettenHerunterladen
1. (a) (4 Punkte) Wie muss man a ∈ R w¨
ahlen, so dass die Matrix A die Inverse zur Matrix B ist?




−1 1
a2
−3 −1 2
2 −3
−1  B =  5
A= 4 1
−7 −3 5
1 2 2·a−1
 
1
(b) (4 Punkte) Berechnen Sie die L¨
osung f¨
ur Ax = 1.
1
(c) (4 Punkte) F¨
ur welche Werte b ∈ R gibt es f¨
ur die Matrix C eine Inverse?


b 1
1
C = 4 −1 −1
1 2
b
L¨
osung:
(a) a = 1
(b) (−2, 4, −5)T
(c) b ∈ {2, −4}
2. (a) (7 Punkte) L¨
osen Sie:
√
2
ex
≤ ex +4+x
x−4
e
(b) (5 Punkte) Zeichnen Sie die Isoquante zum Wert c = e2 zur Funktion:
√
ex
f (x, y) = x−4
ye
L¨
osung:
(a) ] − ∞, −1, 5] ∪ [0, ∞[
(b) f (x) = e2−x/2
3. Gegeben sei die Funktion
f (x) = x3 − 3x + 1
(a) (3 Punkte) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen, die zugeh¨origen Extremwerte und den Wendepunkt!
(b) (2 Punkte) Skizzieren Sie mit diesen Informationen die Funktion!
(c) (4 Punkte) Auf welcher Teilmenge ihres Definitionsgebiets ist die Funktion f sowohl streng monoton
steigend als auch streng konkav? Belegen Sie Ihre Behauptung analytisch!
(d) (3 Punkte) Die Funktion wird ge¨
andert zu g(x) = x3 − 3x + d. Wieviele Nullstellen hat die Funktion
g(x) wenn d ∈]2, ∞[?
L¨
osung:
(a) Maximum bei (−1, 3), Minimum bei (1, −1), Wendepunkt (0, 1)
(b) .
(c) ] − ∞, −1[
(d) Eine Nullstelle
4. Ein Unternehmen verkauft ein Medikament in den USA und in Europa. Aufgrund seiner Monopolstellung
kann es die Preise in den beiden separierten M¨arkten durch die Mengen beeinflussen, die es dort verkauft. Es
gelten folgende Preis-Absatzfunktionen:
p1 = 10 − x1
1
p2 = 8 − x 2
2
Ferner sei die Gesamtkostenfunktion des Unternehmens
K (x1 , x2 ) = 4 · (x1 + x2 ) .
(a) Bestimmen Sie diejenigen Preise und Mengen, die den Gewinn maximieren.
(b) Angenommen es werden derzeit x1 = 1 und x2 = 2 Einheiten produziert. In welchem Verh¨altnis m¨
ussten
die Produktionsmengen ver¨
andert werden, um maximalen Gewinnzuwachs zu erhalten?
(c) Wie viel Gewinn verliert das Unternehmen, wenn nur noch ein einheitlicher Preis p sowohl in den USA
als auch in Europa verlangt werden kann? Hinweis: bestimmen Sie zun¨achst die Gesamtnachfragemenge
x = x1 + x2 , die in USA und Europa zusammen bei einem einheitlichen Preis p verkauft wird und daraus
dann p (x).
L¨
osung:
(a) x∗1 = 3, p∗1 = 7, x∗2 = 4, p∗2 = 6. Die Hessematrix ist negativ definit, daher liegt ein Maximum vor.
(b) 4:2
(c) Der Gewinn betr¨
agt zuvor 17 Geldeinheiten und danach 49
ohe von
3 Geldeinheiten. Die Differenz in H¨
Geldeinheiten ist der Verlust f¨
ur das Unternehmen durch die Einf¨
uhrung des einheitlichen Preises.
2
3
5. (a) (6 Punkte) Pr¨
ufen Sie auf Konvergenz:
an =
(n − 1) · (n + 2)
2n
(Hinweis: Pr¨
ufen Sie auf Monotnonie und Beschr¨anktheit)
(b) (2 Punkte) Berechnen Sie
4
2
i·j
i+j
i=0 j=3
j−i−1
(c) (4 Punkte) Bestimmen Sie
200
i=100
i
1
q
und vereinfachen Sie dabei soweit wie m¨oglich. F¨
ur welche q ∈ R ist diese Summe endlich?
L¨
osung:
(a) Folge ist monoton fallend f¨
ur n ≥ 3 und nach unten beschr¨ankt durch die 0. Daher ist die Folge
konvergent.
(b)
1117
300
(c)
1
q
100
−
1−
Die Summe ist endlich f¨
ur alle q ∈ R\{0}
1
q
1
q
201
Document
Kategorie
Gesundheitswesen
Seitenansichten
8
Dateigröße
40 KB
Tags
1/--Seiten
melden