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Das Kreuzweg Journal 2015 - der Evangelisch

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Computerphysik WS 2014/2015
Prof. Dr. Roland Netz, FU Berlin
Übungsblatt 2: Ableitung und
Nullstellenberechnung
Julian Kappler, Christopher Mielack
23. Oktober 2014
Allgemeine Hinweise
Abgabetermin für die Lösungen ist
• Sonntag, 2.11., 24:00 Uhr.
Aufgabe 2.1: Auslöschung (2 Punkte)
Erkläre in eigenen Worten welche numerischen Probleme bei der Berechnung der Funktion
f (x) = 1 − cos2 (x),
(1)
auftreten können. Für welche x-Werte sind die Fehler am größten? Durch welche trigonometrische
Funktion sollte die Funktion f ersetzt werden? (Bei dieser Aufgabe ist kein Programm zu schreiben.
Eine schriftliche Antwort können Sie dem IPython Notebook als ”Markdown”-Zelle hinzufügen.)
Aufgabe 2.2: Differenzenquotient (6 Punkte)
Numerisch lässt sich die Ableitung einer Funktion f (x) über den Differenzenquotienten nähern:
f (xn ) ≈
f (xn+1 ) − f (xn−1 )
yn+1 − yn−1
=
xn+1 − xn−1
xn+1 − xn−1
(2)
• 2.2.1 (2 Punkte): Schreiben Sie eine Funktion zur Berechnung der ersten Ableitung, welche für
zwei als Argument übergebene Arrays {x0 , x1 , ..., xN , xN +1 } und {y0 , y1 , ..., yN , yN +1 } die erste
Ableitung an den Stellen {x1 , x2 , ..., xN −1 , xN } zurück gibt. Verwenden Sie hierzu Objekte vom
Typ numpy.array.
• 2.2.2 (2 Punkte): Wir nehmen im Folgenden einen konstanten Gitterabstand ∆x = xn+1 −xn =
2π/2k an. Bestimmen Sie das kleinste k ∈ N, sodass der (punktweise) absolute Fehler bei der
Berechnung der ersten Ableitung von f (x) = sin(x) auf dem Intervall [−π, π] kleiner als 0.01
ist.
• 2.2.3 (2 Punkte): Verwenden Sie Ihre in (a) geschriebene Funktion um die erste und daraus
in einem zweiten Schritt die zweite Ableitung von f (x) = sin(x) auf dem Intervall [−π, π]
zu berechnen. Verwenden Sie hierzu den in (b) bestimmten Gitterabstand. Stellen Sie Ihre
Ergebnisse zusammen mit f (x) und −f (x) in einem Plot dar (vergessen Sie bei Ihrer Grafik
die Legende nicht!).
1
Aufgabe 2.3: Nullstellenberechnung (12 Punkte)
• 2.3.1 (6 Punkte): Schreiben Sie Funktionen, die die Nullstellen einer Funktion f (x) : R → R
mit den folgenden Verfahren bestimmen:
Bisektionsverfahren, Fixpunktverfahren, Newtonverfahren
Als Argumente sollten die Funktionen f und die den Verfahren entsprechenden Parameter
übergeben werden. Die Funktionen sollen jeweils die bestimmte Nullstelle sowie die benötigte
Anzahl an Iterationsschritten zurückgeben. Für die Berechnung der Ableitung einer Funktion
können Sie scipy.misc.derivative() verwenden.
• 2.3.2 (2 Punkte): Ermitteln Sie mit den drei Verfahren die Nullstelle folgender Funktionen im
Intervall [−1; 1] mit der Genauigkeit ∆x = 0.01:
f (x) = cos(x)2 − x + 0.2
2
g(x) = x − x − 0.2
(3)
(4)
Verwenden Sie als Startwert für Fixpunkt- und Newtonverfahren x0 = 0 und für die Bisektion
die Intervallgrenzen.
• 2.3.3 (2 Punkte): Wieviele Interationsschritte n benötigen Sie um Genauigkeiten ∆x = [2−1 , 2−2 , ..., 2−20 ]
zu erreichen?
Plotten Sie n(∆) für alle Verfahren in je einem doppellogarithmischen Graphen für f (x) und
g(x).
• 2.3.4 (2 Punkte): Erklären Sie warum sich das Fixpunktverfahren für g(x) deutlich besser
verhält als für f (x).
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