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April 2015 - Evangelische Kirchengemeinde Schloß Neuhaus

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Dr. Anja Fischer
Wintersemester 2014/15
¨
2. Ubung
zur Vorlesung
Diskrete Mathematik
Abgabe: bis 4.11.2014, 14 Uhr im Briefkasten Nummer 50 oder pers¨onlich bei Frau Fischer
1. Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass n genau dann eine ungerade Anzahl an Teilern hat, wenn
(1 Punkt)
2. Bestimmen Sie die Anzahl der geordneten Paare (A, B) mit A ⊆ B ⊆ {1, . . . , n}.
n
k
3. Zeigen Sie, dass f¨
ur die Binomialkoeffizienten
n
0
<
n
1
< ... <
√
n ∈ N.
(2 Punkte)
, n, k ∈ N0 , die folgenden Beziehungen gelten
n
=
n
2
n
> ... >
n
2
n
.
n
(3 Punkte)
4. Zeigen Sie, dass f¨
ur n, r, k ∈ N0 die folgende Beziehung gilt:
n
r
r
k
=
n
k
n−k
.
r−k
Folgern Sie daraus, dass
m
k=0
n
k
n−k
m−k
= 2m
n
.
m
(2 Punkte)
5. Wie viele M¨
oglichkeiten gibt es, k identische T¨
urme auf einem Schachbrett der Gr¨oße n × n
zu platzieren, ohne dass diese sich gegenseitig schlagen (T¨
urme k¨onnen beliebig viele Felder
senkrecht und waagerecht ziehen.). Wie viele T¨
urme k¨onnen maximal aufgestellt werden?
(3
Punkte)
6. Die Zahlen An,k seien gleich der Anzahl der Permutationen π von {1, . . . , n} mit k Anstiegen,
d. h. mit k verschiedenen Stellen i ∈ {2, . . . , n}, so dass π −1 (i − 1) < π −1 (i). Zeigen Sie, dass die
folgende Rekursion gilt:
A0,0 = 1,
A0,k = 0, k > 0,
An,k = (n − k)An−1,k−1 + (k + 1)An−1,k , n ∈ N
(3 Punkte)
7. Beim Lotto werden 6 Zahlen aus {1, . . . , 49} gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass die gezogene Menge zwei Zahlen mit Differenz 1 enth¨alt.
(3 Punkte)
8. Ein Zufallsgenerator zieht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit unabh¨angig voneinander n > 1
Zahlen aus {1, . . . , 9}. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt dieser n Zahlen
durch 10 teilbar ist?
(3 Punkte)
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