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F Dreiec ke und Vierecke mit K reisen 1. Um kreis Wie k önn en S

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Umkreis
1.
1
Æ siehe dynamische Lernumgebungen
In der ersten Lernumgebung experimentieren die Schüler mit fertigen Konstruktionen, in der zweiten konstruieren sie selbst.
Wie können Schüler einen Zugang zum Thema „Umkreis“ finden?
Wie kann der Unterricht didaktisch gestaltet werden?
Dreiecke und Vierecke mit Kreisen
F
2
Beweis
Wir betrachten ein Dreieck ∆ABC. Die Mittelsenkrechte mC ist die
Symmetrieachse zu den Punkte A und B. Alle Punkte auf mC sind also
von A und B gleich weit entfernt.
Analog ist mA die Symmetrieachse zu B und C. Alle Punkte auf mA
sind also von B und C gleich weit entfernt.
Sei M der Schnittpunkt von mA und mC. Für ihn gilt also
MA = MB = MC .
Damit liegt M auf der Symmetrieachse von A und C, d.h. auf mB.
Satz: Schnitt der Mittelsenkrechten
Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Ergebnisse:
3
b) Informieren Sie sich über den „Fermat-Punkt“ eines Dreiecks.
a) Diskutieren Sie die Aufgabe.
Dieser Aufgabentyp findet sich in vielen „Verpackungen“ in verschiedenen Schularten und vielen Bundesländern.
(aus: Lambacher Schweizer, Mathematik für Gymnasien, Bayern,
Klett Verlag, Stuttgart 2006)
Die Indianer wollen ihr Lagerfeuer so anlegen, dass es von jedem
der drei Zelte gleich weit entfernt ist. Ermittle die Stelle des Lagerfeuers.
Eine beliebte Einstiegs-/Motivations-/Übungsaufgabe zum Thema:
Anwendung
Beweis
Der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten hat von allen drei Eckpunkten den gleichen Abstand (siehe obiger Beweis). Ein Kreis mit dem
Mittelpunkt M, der durch einen Eckpunkt verläuft, geht damit auch
durch die beiden anderen Eckpunkte.
Satz: Umkreis
Zu jedem Dreieck gibt es einen Kreis, auf dem alle drei Ecken liegen.
Er heißt Umkreis.
Inkreis
4
Æ siehe dynamische Lernumgebung
Wie können Schüler einen Zugang zum Thema „Inkreis“ finden? Wie
kann der Unterricht didaktisch gestaltet werden?
2.
Satz des Thales
5
Æ siehe dynamische Lernumgebung
Wie können Schüler einen Zugang zum Thema „Satz des Thales“ finden? Wie kann der Unterricht didaktisch gestaltet werden?
3.
Beweis
Der Schnittpunkt W der Winkelhalbierenden hat von allen drei Seiten
den gleichen Abstand (siehe obiger Beweis). Ein Kreis mit dem Mittelpunkt W, der eine Seite berührt, berührt damit auch durch die beiden anderen Seiten.
Satz: Inkreis
Zu jedem Dreieck gibt es einen Kreis, der alle drei Seiten berührt. Er
heißt Inkreis.
Beweis
Wir betrachten ein Dreieck ∆ABC. Die Winkelhalbierende wγ ist die
Symmetrieachse zu den Seiten a und b. Alle Punkte auf wγ sind also
von a und b gleich weit entfernt.
Analog ist wα die Symmetrieachse zu b und c. Alle Punkte auf wα sind
also von b und c gleich weit entfernt.
Sei W der Schnittpunkt von wα und wγ. Für ihn sind also die Abstände
zu den Seiten a, b und c gleich.
Damit liegt W auf der Symmetrieachse von a und c, d.h. auf wβ.
Satz: Schnitt der Winkelhalbierenden
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem
Punkt.
Ergebnisse:
6
Formulieren und beweisen Sie die Umkehrung des Satzes des Thales!
Beweis
Die Dreiecke ∆AMC und ∆MBC sind
gleichschenklig. Also sind die Basiswinkel
gleich groß:
α = MAC = ACM,
β = CBM = MCB.
Damit ist γ = α + β.
Aufgrund der Innenwinkelsumme im Dreieck ist α+β+γ = 180°, also 2γ = 180° und
damit γ = 90°.
Satz des Thales
Ein Dreieck, dessen Ecken so auf einem Kreis liegen, dass eine Seite
Kreisdurchmesser ist, besitzt einen rechten Winkel.
Ergebnis:
Umfangswinkelsatz
7
Beweis
Wir lassen uns vom Beweis des Satzes des Thales inspirieren und
zeichnen analog die Strecke [MC]. So erhalten wir drei gleichschenklige Dreiecke, in denen jeweils die Basiswinkel gleich groß sind:
Satz vom Umfangswinkel (1)
Liegen Umfangs- und Mittelpunktswinkel auf derselben Seite einer
Sehne, so ist der Umfangswinkel stets halb so groß wie der Mittelpunktswinkel:
φ=½µ
Der Winkel φ heißt Umfangswinkel, der Winkel µ Mittelpunktswinkel. Experimentell entsteht die Vermutung:
Verallgemeinerung von Bekanntem:
Beim Satz des Thales ist eine Seite Kreisdurchmesser. Wir variieren
die Situation und experimentieren mit dynamischer Geometrie:
4.
µ = 2δ + 2ε = 2 φ.
8
Gibt es auch eine Aussage, wenn der Punkt C auf dem „anderen“ Teil
der Kreislinie liegt?
Dieser Beweis nutzt, dass M im Inneren des Dreiecks ∆ABC liegt.
Übertragen Sie ihn auch auf die anderen Fälle.
Also
Aufgrund der Innenwinkelsumme im Dreieck ∆ABM ist
µ + 2ω = 180°.
Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck ∆ABC ist
2δ + 2ε + 2ω = 180°.
9
Wir formulieren unsere bisherigen Resultate unter einer etwas anderen
Perspektive und schließen dabei auch die Umkehrung des Satzes vom
Umfangswinkel (1) ein:
Beweis
Wir wählen den Punkt D so, dass die Strecke [CD] ein Kreisdurchmesser ist. Im Viereck ACBD sind die Innenwinkel bei A und B nach
dem Satz von Thales rechte Winkel. Da die Summe der Innenwinkel
im Viereck 360° beträgt, folgt φ + ψ = 180°.
Satz vom Umfangswinkel (2)
Die Umfangswinkel auf verschiedenen Seiten einer Sehne ergänzen
sich zu 180°:
φ + ψ = 180°
10
Für Punkte außerhalb der Kreisbogenfigur erscheint die Strecke unter einem Winkel, der kleiner als φ
ist. Für alle Punkte im Inneren der
Kreisbogenfigur erscheint sie unter
einem Winkel größer als φ. (Warum?)
Beweis
Wir konstruieren die beiden Kreisbögen, für die φ Umfangswinkel
ist. Für alle Punkte auf diesen
Kreisbögen erscheint die Strecke
[AB] unter dem Winkel φ.
Satz von den Fasskreisbögen
Die Menge aller Punkte, für die
eine gegebene Strecke [AB] unter
einen festen Winkel φ erscheint, ist
ein Paar von Kreisbögen
(Fasskreisbögen).
11
Wenn wir die Diagonalen im Viereck einzeichnen, sehen wir den Zusammenhang zum Umfangswinkelsatz:
(3) ⇒ (2): Sei α + γ = 180°. Wir zeichnen den Umkreis zum Dreieck
∆ABD. Damit haben wir gleichzeitig einen Fasskreisbogen über [BD]
zum Winkel 180° – α. Da dies gleich γ ist, liegt der Punkt C auf diesem Fasskreisbogen.
Definition
Ein Viereck, bei dem die vier Seiten Sehnen eines Kreises sind, heißt
Sehnenviereck.
(2)
⇔
12
(5): Überlegen Sie dies selbst!
(3) ⇔ (4): Diese Äquivalenz folgt z.B. aus dem Satz über die Innenwinkelsumme im Viereck.
(2) ⇒ (3): Wenn wir die Diagonale [BD] einzeichnen, folgt dies unmittelbar aus dem Satz vom Umfangswinkel.
Die Untersuchung von Beispielen und Gegenbeispielen führt zu folgender Begriffsbildung:
Satz über Sehnenvierecke
Für ein Viereck sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) Das Viereck ist ein Sehnenviereck.
(2) Das Viereck besitzt einen Umkreis.
(3) Für die Innenwinkel gilt α + γ = 180°.
(4) Für die Innenwinkel gilt β + δ = 180°.
(5) Die Mittelsenkrechten der vier Seiten schneiden sich in einem
Punkt.
Beweis
(1) ⇔ (2): Diese Äquivalenz ist nach Definition offenkundig.
Sehnenvierecke
Anknüpfen an Bekanntes:
ƒ Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Gilt dies auch für jedes
Viereck?
ƒ Gibt es überhaupt Vierecke mit einem Umkreis?
ƒ Welche Vierecke besitzen einen Umkreis, welche nicht?
ƒ Kann man die Eigenschaft eines Vierecks, einen Umkreis zu besitzen, anders charakterisieren?
ƒ Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem
Punkt. Gilt dies auch für Vierecke?
5.
Tangentenvierecke
13
Wie lassen sich Tangentenvierecke charakterisieren?
Definition
Ein Viereck, bei dem die vier Seiten Tangenten an einen Kreis sind,
heißt Tangentenviereck.
Die Untersuchung von Beispielen und Gegenbeispielen führt zu folgender Begriffsbildung:
Anknüpfen an Bekanntes:
ƒ Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis. Gilt dies auch für jedes Viereck?
ƒ Gibt es überhaupt Vierecke mit einem Inkreis?
ƒ Welche Vierecke besitzen einen Inkreis, welche nicht?
ƒ Kann man die Eigenschaft eines Vierecks, einen Inkreis zu besitzen, anders charakterisieren?
ƒ Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem
Punkt. Gilt dies auch für Vierecke?
6.
⇔
(4): Überlegen Sie dies selbst!
14
Warum wurde obiger Satz nur für konvexe Vierecke formuliert?
(2)
(3) ⇒ (2): Überlegen Sie dies selbst!
(Siehe z.B. Barth, E. u. a.: Anschauliche Geometrie 8, Ehrenwirth
Verlag, München)
(2) ⇒ (3): Wir zeichnen
zu den vier Seiten die
Punkte ein, in denen die
Seiten den Kreis berühren. Diese Punkte teilen
die Vierecksseiten jeweils in zwei Abschnitte.
Aufgrund von Achsensymmetrie sind jeweils
zwei in einer Ecke zusammenstoßende
Abschnitte gleich lang (siehe Skizze).
Damit gilt für die Vierecksseiten:
a + c = u + y + x + v = b + d.
Beweis
(1) ⇔ (2): Diese Äquivalenz ist nach Definition offenkundig.
Satz über Tangentenvierecke
Für ein konvexes Viereck sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) Das Viereck ist ein Tangentenviereck.
(2) Das Viereck besitzt einen Inkreis.
(3) Für die Seitenlängen gilt a + c = b + d.
(4) Die Winkelhalbierenden der vier Innenwinkel schneiden sich
in einem Punkt.
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