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2.2 Systeme des Bestandsmanagements Wie kommt es - WINFOR

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2.2 Systeme des Bestandsmanagements
Wie kommt es zu Lagerbeständen?
Was ist Bestandsmanagement?
Grob gesagt, wird im Bestandsmanagement festgelegt,
welche Mengen eines Produktes zu welchem Zeitpunkt
zu bestellen sind
Hierdurch wird der Bestand eines bestimmten
Produktes im Lager determiniert
Qualität des Bestandsmanagements
Diese treten dann auf wenn die Stückkosten mit der
Produktions-, Transport- oder Bestellmenge zurückgehen
Beispiel Abfüllanlagen für Softdrinks
Unsicherheit
Unsicherheit ist ein weiterer Grund für Lagerbestände
Erhöhte Lagerbestände dienen dabei der Vermeidung von
Fehlmengen bei steigender Nachfrage
178
Gründe für Lagerbestände
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
179
2.2.1 Klassisches Bestellmengenproblem
Dieses ist das bekannteste Modell zum
Bestandsmanagement
Es geht auf Harris zurück und wurde bereits im
Jahre 1915 entwickelt
Folgende (restriktive) Annahmen liegen diesem
einfachen Modell zu Grunde
Transportzeiten
Des weiteren werden durch entstehende
Transportzeiten Lagerbestände notwendig
So führen signifikante Transportzeiten zu erheblichen
Kapitalbindungen
Weitere Faktoren
Gegebener Gesamtbedarf im Planungszeitraum
Konstante Bedarfsrate µ je ZE
Unendliche Liefergeschwindigkeit je ZE
Konstanter Beschaffungspreis je FE
Fehlmengen sind unzulässig
Keine Ressourcenbeschränkungen
Spekulationen auf Preisschwankungen
Langfristige Bindungen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Skaleneffekte
– Hohe Reinigungskosten treten beim Wechsel von Produkten auf
– Daher ist die Abfüllung einzelner Flaschen zu ineffizient
– So werden durch die Herstellung großer Mengen einzelner
Drinks Skaleneffekte erzielt und damit die Stückkosten reduziert
Kann entscheidend für den Wettbewerbserfolg sein
In Deutschland beträgt der Gesamtwert des
Lagerbestandes, die irgendwo gelagert sind und „auf
Nachfrage warten“ ungefähr 500 Milliarden Euro
Irgendwie nicht so richtig effizient, oder?
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Am Besten wir bestellen nur wenn Bedarf vorliegt
oder klar absehbar ist
Problemfelder
180
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
181
Betrachtete Kostenarten
Optimaler Bestellpunkt r
Variable Bestellkosten
Gibt die Höhe des Lagerbestandes an, bei dem eine
Bestellung in Höhe der optimalen Bestellmenge x getätigt
werden soll
Die Bestimmung hängt von der Liefergeschwindigkeit ab
Im klassischen Bestellmengenproblem lässt sich der
optimale Bestellpunkt sehr einfach ermitteln
Kosten, die pro Einheit der Bestellmenge auftreten
Proportional zur Bestellmenge
z.B. Transportkosten, Beschaffungskosten pro Einheit
Fixen Bestellkosten
Treten fix (d.h. unabhängig von der gewählten Bestellmenge) bei jeder
ausgeführten Bestellung auf
Fallen also bei x>0 genau einmal pro Bestellung an
So sind zunächst Fehlmengen verboten, weshalb nur ein
Bestellpunkt größer oder gleich Null in Frage kommen kann
Daneben führt – aufgrund der unendlichen Liefergeschwindigkeit
– ein Bestellpunkt größer als Null lediglich zu höheren
Lagerbeständen – und damit höheren Lagerkosten – weshalb r im
klassischen Bestellmengenproblem grundsätzlich auf Null zu
setzen ist
Bestellkosten
Summe aus fixen und variablen Bestellkosten
Damit gilt
 0 falls x = 0
C (x ) = 
k + c ⋅ x sonst
Lagerhaltungskosten
Fallen je gelagerte Einheit pro Zeiteinheit an
Wir benötigen für ihre Bestimmung also die durchschnittliche Menge an
Produkten, die im Planungszeitraum auf Lager ist
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
182
Beobachtung
183
Variablen / Parameter des Modells
Wir haben mit den Bestell- und Lagerkosten zwei
konfliktäre Zielgrößen
Dabei ist zu beachten, dass die Bestellmenge x
keinen Einfluss auf die gesamten variablen
Bestellkosten hat
Deshalb sind diese Kosten
entscheidungsirrelevant und deshalb nicht weiter
zu berücksichtigen, d.h. wir können unsere
Zielfunktion entsprechend vereinfachen
Damit ergibt sich das folgende einfache Modell
zur Bestimmung einer wirtschaftlichen
Bestellmenge
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Variable:
x
die zu bestellende Menge je Bestellvorgang, in [FE]/[Best.]
Parameter:
µ
Gesamtbedarf an einer Materialart im Planungszeitraum, in
[FE]/[PZE]
k
Bestellfixe Kosten, in [GE]/[Best.]
h
Lagerhaltungskosten, in [GE]/([FE] . [PZE])
q
Beschaffungspreis der Materialart, in [GE]/[FE]
184
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
185
Kostenfunktion
Verlauf des Lagerbestandes
Man erkennt, dass gerade die Hälfte der gewählten Bestellmenge x
durchschnittlich auf Lager liegt
Damit können wir x/2 als durchschnittlichen Bestand ansetzen:
Die zu minimierenden Kosten betragen somit in
Abhängigkeit von der gewählten Bestellmenge
Z (x ) =
µ
x
Lagerbestand
⋅ k + ∅B( x ) ⋅ h
Wir sehen, dass wir noch den durchschnittlichen
Bestand benötigen, um die Formel zu
komplettieren
Dies ist aber sehr leicht möglich, wie die folgende
Abbildung veranschaulicht
x/2
t
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
186
Gesamtkosten
Z (x ) =
µ
⋅k
x
{
Summe fixe Bestellkosten
Einheiten:
( GE / Best .)⋅(( FE / PZE ) /( FE / Best .))
= GE / PZE
+
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
187
Bestimmung der optimalen Bestellmenge
Z (x ) =
1
⋅ x⋅h
2
123
Summe Lagerkosten
Einheiten:
( Best .)⋅(( FE / Best .)⋅( GE /( FE ⋅ PZE )))
=GE / PZE
µ
1
⋅k + ⋅ x⋅h
x
2
∂Z (x )
∂
µ 1
∂Z (x )
∂x = 2 ⋅ k ⋅ µ > 0 ∀x ∈ IR
= − k ⋅ 2 + ⋅ h;
+
x
x3
2
∂x
∂x
µ 1
µ 1
∂Z (x )
= 0 ⇔ −k ⋅ 2 + ⋅ h = 0 ⇔ k ⋅ 2 = ⋅ h
x
x
2
2
∂x
+
µ
µ
2⋅k ⋅
⇔ 2 ⋅ k ⋅ = x2 ⇔ x =
−
h
h
x = 2⋅k ⋅
µ
wird als wirtschaftliche Beschaffungsmenge
h
oder optimale Bestellmenge bezeichnet
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
188
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
189
Einheiten
x = 2⋅k ⋅
Klassische Bestellmenge – Beispiel
µ
h
Einheiten :
 FE 
2
 1   GE 
 PZE  = 2 ⋅ k  GE  ⋅ µ  FE 
k
⋅
⋅
2
 Best.2  h  GE 
 Best.   Best.  h  GE 


 FE ⋅ PZE 
µ
= 2⋅k ⋅
µ  FE 2 
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
⇒ x = 2 ⋅120
18000
= 5760000 = 2400 [kg / Best.]
0,75
µ  FE 
= 2⋅k ⋅ 

2
h  Best. 
h  Best. 
190
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Illustration der Kostenverläufe
191
Robustheit der Lösung
25000
20000
15000
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Gesamtkosten
Fixe Bestellkosten
Lagerkosten
10000
5000
Die Frage stellt sich, in welchem Ausmaß
Abweichungen von der optimalen Bestellmenge
Auswirkungen auf die entstehenden
Gesamtkosten haben
Um dies zu untersuchen, wollen wir im
Folgenden die doppelte und die halbierte
Bestellmenge ansetzen und die sich ergebenden
Kosten betrachten
Dies erfolgt auf der nächsten Folie
0
1
5
9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
192
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
193
Variation der Bestellmenge
Man sieht…
x
Z(x)
fixe Bestellkosten
Lagerkosten
1100
2376,136364
1963,636364
412,5
1200
2250
1800
450
1300
2149,038462
1661,538462
487,5
2200
1806,818182
981,8181818
825
2300
1801,630435
939,1304348
862,5
2400
1800
900
900
2500
1801,5
864
937,5
2600
1805,769231
830,7692308
975
4700
2222,074468
459,5744681
1762,5
4800
2250
450
1800
4900
2278,316327
440,8163265
1837,5
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
dass die Gesamtkostenfunktion im Optimum sehr
flach verläuft und sich deshalb sehr unsensitiv
gegenüber Veränderungen verhält
Eine Verdopplung oder Halbierung der
Bestellmenge hat eine Kostensteigerung um
lediglich 25 Prozent zur Folge
194
2.2.2 Modellerweiterungen
195
Berücksichtigung von Lieferzeiten
Im Folgenden stellen wir uns die Frage, wie sich die
Lösung verändert, wenn eine bestimmte Lieferzeit
gegeben ist
Das heißt, wir haben nun eine Transport- oder
Auslieferungszeit zu berücksichtigen
Damit lässt sich natürlich ein Bestellpunkt Null nicht mehr
halten
Allerdings hat die isolierte Berücksichtigung von
Lieferzeiten keine Auswirkungen auf die Höhe der
optimalen Bestellmenge
Vielmehr ist lediglich der Bestellpunkt entsprechend zu
modifizieren
So ist jeweils die Lagermenge zu finden bei der eine
Bestellung auszulösen ist, damit diese genau bei
Lagerstand Null eintrifft
Wir erweitern nun das klassische Problem um
verschiedene praxisrelevante Merkmale wie
Lieferzeiten,
endliche Lieferraten oder
Rabatte
Bisher wurde vereinfacht davon ausgegangen, dass
keine Lieferzeiten auftreten, d.h. wir können beliebige Mengen
ohne Zeitverzug beschaffen,
uns jeweils die gesamte Beschaffungsmenge in einer Lieferung
erreicht und
keine Rabattmöglichkeit gegeben ist
Diese Annahmen werden nun nacheinander aufgehoben
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
196
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
197
Bestimmung des Bestellpunktes
Damit: Berechnung des Bestellpunktes
Die Frage ist nun, bei welchem Lagerbestand
eine Bestellung auszulösen ist
Dieser Lagerbestand leitet sich aus der Menge
her, die während der Lieferzeit verbraucht wird
Da µ Produkteinheiten im jeweiligen
Planungszeitraum verbraucht werden, ist nach
dem Verhältnis von T und LT zu fragen
Wir können somit festhalten
r ∗ = (LT modulo T ) ⋅ µ
Diese Formel gilt insbesondere auch für den Fall
LT>T
T: Definiert die Zeitspanne in der eine komplette
Bestellung der Größe x verbraucht wird, d.h. dies ist
die Dauer zwischen zwei Bestellungen
LT: Lieferzeit für eine Bestellung
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
198
Berechnung des Bestellpunktes – Beispiel
199
Berücksichtigung von endlichen Lieferraten
Seien x=40 [PE], µ=20 [PE]/[Woche] gegeben
Damit gilt T=40/20 [PE]/[PE]/[Woche]=2
[Wochen]
LT sei 1,4 [Wochen]
Damit gilt r*=(1,4 modulo 2).20=1,4.20=28 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 28 PE muss bestellt
werden
Bei einer endlichen Lieferrate treffen die Lieferungen nicht
komplett sondern in Raten ein
Dies bedeutet, dass wir im Folgenden eine kontinuierliche
Lieferrate λ (ähnlich zum kontinuierlichen Bedarf µ)
unterstellen
Es gilt: λ≥µ
Andernfalls läge eine unlösbare Problemstellung vor
Wir können prinzipiell die für den Standardfall hergeleitete
Lösungsformel weiter verwenden
Allerdings ist zu beachten, dass durch das schrittweise
Füllen des Lagers geringere Lagerkosten auftreten, da
die Bestände geringer sind als im klassischen Modell
Falls nun LT 2,6 [Wochen]
Dann gilt r*=(2,6 modulo 2).20=0,6.20=12 PE
Sinkt der Lagerbestand auf 12 PE muss bestellt
werden
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
200
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
201
Bestandsverlauf bei endlicher Lieferrate
Durchschnittlicher Lagerbestand
Lagerbestand
Da der Verlauf wiederum linear ist, brauchen wir
nur den Höchst- und den Mindestbestand zu
betrachten
Damit erhalten wir
x
=TP.µ
=TP.λ
∅I ( x ) =
=
T
TP
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
1  µ
⋅ 1 − 
λ3
2
24
14
1
 µ
⋅ x ⋅ 1 −  = x ⋅
2
 λ
Anteil der Bestellmenge x, der im
Planungszeitraum
durchschnittlich auf Lager ist
Zeit
202
Neue Kostenfunktion
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
203
Modifizierte optimale Bestellmenge
Wir ersetzen in der Formel
Wir erhalten somit die folgende Kostenfunktion
x = 2⋅k ⋅
µ
1
 µ
K ( x ) = k + ⋅ x ⋅ 1 −  ⋅ h
x
2
 λ
Wir können nun zur Ermittlung der optimalen
Bestellmenge die Ableitung bilden und deren
Nullstelle ermitteln
Allerdings lässt sich die bereits hergeleitete
Formel verwenden, da wir es nur mit
modifizierten Lagerkosten zu tun haben, der Rest
aber unberührt bleibt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
1
x 
1 
⋅ (( x − TP ⋅ µ ) + 0 ) = ⋅  x − ⋅ µ 
λ 
2
2 
204
µ
h
 µ
h durch 1 −  ⋅ h
 λ
und erhalten
x = 2⋅k ⋅
µ
2⋅k ⋅µ
=
 µ
 µ
1 −  ⋅ h
1 −  ⋅ h
 λ
 λ
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
205
Modifizierte Bestellmenge – Beispiel
Einbeziehung von Rabatten
Daten:
µ=18.000 kg/Jahr
λ=36.000 kg/Jahr
k=120,00 €/Bestellung
h=0,75 €/(kg.Jahr)
Vielfach ist es in der Praxis möglich,
mengenabhängige Rabatte zu erhalten
Das heißt, eine größere Bestellmenge kann sich
durch geringere variable Beschaffungskosten
auszeichnen
Damit wird diese Kostenkategorie erstmals
entscheidungsrelevant!
43200000
18000
=
0,375
 18000 
0,75 ⋅ 1 −

 36000 
= 10733,12629 [kg / Best.]
⇒ x = 2 ⋅120
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
206
Bekannte Rabattarten
207
Rabattarten
Rabatt
Einzelbestellmengenbezogene versus Zeitraum
bezogene Rabatte
Einzelbestellmengebezogenen Rabatten:
ist ein mengen- oder wertabhängiger Abschlag von
einer bestimmten Ausgangsgröße
Mengenabhängige versus wertabhängige
Rabatte
Pro einzelnem Auftrag / einzelner Bestellung wird
jeweils entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird
Mengenabhängig:
Bei Abnahme von mehr als x Stück wird ein Rabatt von
y Prozent gewährt
Wertmäßig:
Bei Erwerb von mehr als x DM Wert wird ein Rabatt
von y Prozent gewährt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
208
Zeitraumbezogene Rabatten:
Bezogen auf das Auftragsverhalten in einem Zeitraum
wird entschieden, ob ein Rabatt gewährt wird (Durch
den Lieferanten wird ein bestimmtes Kundenverhalten
angestrebt)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
209
Angestoßener Rabatt
Illustration – Angestoßener Rabatt
Angestoßener Rabatt
…
K
Es werden hierbei t Rabattklassen definiert, die bestimmten
Mindest- und Höchstmengen als zulässige Intervalle besitzen.
Rabattklasse I: a0 ≤ x < a1
Rabattklasse II: a1 ≤ x < a2
Rabattklasse III: a2 ≤ x < a3
Rabattklasse IV: a3 ≤ x < a4
Rabattklasse k:
ak-1 ≤ x < ak
Beachte: Es werden nur die Mengen in den jeweiligen
Klassen mit dem entsprechenden Rabatt berücksichtigt.
Beispiel: a2 ≤ x < a3
Nur für die x – a2 vielen Mengeneinheiten erhält man
einen Rabatt.
Somit lohnt es sich nie mehr als benötigt zu beschaffen
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
x
x1
210
Durchgerechneter Rabatt
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
211
Beispiel zur Überbestellung
Preis pro Stück:
Vernichtungskosten:
Durchgerechneter Rabatt:
Hier gilt der Rabatt jeweils für alle bestellten Einheiten
Hier kann es sich u. Umständen lohnen mehr als
benötigt zu bestellen (und zu vernichten)
Beispiel: Es gelte ein durchgerechneter Rabatt von 10
Prozent bei Abnahme von über 1.001 Stück
x Stück seien zu beschaffen mit x ≤ 1.000
1.000 €/Stck
10 €/Stck
Überbestellung lohnt sich bei:
(1001 – x).10 + 1001.900 – x.1000 ≤ 0
Damit gilt:
10010 – 10.x + 900.900 – 1000.x ≥ 0
Somit:
910910 – 1010 x ≤ 0
Und deshalb folgt für die benötigte Menge x
x ≥ 901,8910891
Frage ist nun:
„Für welche x lohnt sich die „Überbestellung“ wenn die
folgenden Angaben gelten?“
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
x3
212
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
213
Manche nutzen einfach jeden Rabatt
Bestimmung optimaler Bestellmengen
„Frau Lamprecht, Sie haben da nicht den
Überblick…“
„…der blattweise Einkauf von
Schreibmaschinenpapier ist betriebswirtschaftlich
nicht sinnvoll…“
„…und Sie sorgen dafür, dass das hier
weggeräumt wird…“
Zeitraumbezogener Rabatt:
Gewährung des Rabattes in Abh. der Menge R, die in gesamten
Zeitraum beschafft wird.
r(µ): Reduktion des Beschaffungspreises in Abhängigkeit des
Gesamtbedarfs
q0: Beschaffungspreis ohne Rabatt
q(µ): Beschaffungspreis mit Rabatt abhängig von µ
Auswirkung hat eine solche Rabattform dann auf die
optimale Bestellmenge, wenn der Lagerkostensatz eine
wertmäßige Komponente enthält, d.h. es gilt:
(µ ) +
h(µ ) = q{
Wertmäßige
Komponente
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
214
Modifizierte Bestellmenge
, mit q( µ ) : Beschaffungspreis
Mengenabhängige
Komponenten
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
215
Ergebnis
D.h. je größer der Rabatt, desto größer die optimale
Bestellmenge, da der Lagerkostenbeitrag in diesem Fall
sinkt.
Es gilt somit (die Mengenkomponente wird
hierbei durch die Wertkomponente miterfasst):
2⋅k ⋅ µ
2⋅k ⋅ µ
x =
=
q( µ )
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
*
1
Damit gilt
2⋅k ⋅ µ
1
2⋅k ⋅ µ
1
=
⋅
= x0∗ ⋅
x =
q0 ⋅ [1 − r ( µ )]
1 − r(µ)
q0
1 − r(µ)
*
1
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
(µ )
m
{
216
r(µ)
x1* − x0*
⋅ 100
x0*
5%
2,6 %
10 %
5,4 %
15 %
8,5 %
20 %
11,8 %
25 %
15,5 %
30 %
19,5 %
62 %
62,2 %
70 %
82,6 %
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
217
Optimale Bestellmenge bei
Grundlegende Erkenntnis
Einzelbestellmengenbezogenem Rabatt
Hierbei ist nun die Rabatthöhe abhängig vom
gewählten x
Dabei gilt:
Es gilt:
*
Optimale Bestellmenge xi von K i ist immer
vorteilhafter als alle Bestellmengen von K 0 bis K i −1
Problem ist aber:
falls
a0 = 0 ≤ x < a1
 q0

qi =  q0 (1 − ci ) falls ai ≤ x ≤ ai +1 , ∀ i ∈ {1, ..., I − 1}
q (1 − c ) falls
x ≥ aI
I
 0
Liegt diese Bestellmenge im erforderlichen Intervall,
d.h. gilt für diese Bestellmenge die Intervall-Bedingung
ai ≤ x* (qi ) < ai +1
bei insgesamt I+1 Rabattstufen
Beachte:
Gesamtkostenfunktion hat mehrere Sprünge
Nur abschnittsweise differenzierbar.
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
218
Optimales Vorgehen
Optimales Vorgehen
1. Bestimme zunächst
x* (qI ) =
2.
2⋅k ⋅ µ
, mit hI (wertmäßiger)
hI
Lagerkostensatz für Rabattstufe I
a) Gilt nun:
a I ≤ x* (q I ) ⇒ x* (qI ) ist optimal!
Gehe rückwärts alle Rabattstufen durch
j=I–1, I–2, ...,…
Prüfe ob gilt: aj≤x*(qj)
Ja, dann setzte i0=j und j=j-1
Bei j=0 gilt immer a0=0≤x*(q0)
Bei Stufe i0 scheiden sofort alle kleineren Stufen
komplett aus!
Warum? Es gilt:
∀j ∈ {i0 + 1, ..., I }: x* (q j ) < a j . Wegen x* (q j ) =
sonst gilt : aI > x* (qI )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
219
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
2 KB ⋅ R
hj
∧ h j ≤ h j −1 ≤ h j − 2 ≤ ... ≤ h1 gilt : ∀j ∈ {i0 + 1, ..., I }: x* (q j ) ≤ x* (q j +1 )
220
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
221
Und somit gilt für i0
( )
Und erhalten schließlich
Da nun für die Abschnitte c=i0+1, i0+2, ...,I der
optimale Punkt überschritten ist, ist jeweils die
Bestellmenge ac zu wählen (untere Grenze)
Wähle schließlich unter diesen Kandidaten die
Bestellmenge aus
( )
− 1}: Z (x (q )) ≥ Z (x (q ))
⇒ x* qi0 ≤ x* (q j ) < a j ∧ x* qi0 ≥ ai0
⇒ ai0 ≤ x* (q j ) < ai0 +1 ∧ ∀i ∈ {0,1,..., i0
*
*
i
i0
{x (q ), a
*
i0 +1
i0
, ai0 + 2 , ..., aI
}
mit minimalen Kosten
{ ( ( ))
( )
}
min K i0 x* qi0 , K i0 +1 ai0 +1 , ... K I (aI )
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
222
Beispiel
223
Wir betrachten nun die Stufe 2
Wir betrachten die folgende einfache Konstellation
Die optimale Bestellmenge lautet dort
Stufe 0:
Bei Bestellmengen zwischen 0 und <200 Stück ergibt sich
ein Beschaffungspreis von 16 €/Stück
Stufe 1:
Bei Bestellmengen zwischen 200 und <500 Stück ergibt
sich ein Beschaffungspreis von 15 €/Stück
Stufe 2:
Bei Bestellmengen größer oder gleich 500 Stück ergibt
sich ein Beschaffungspreis von 14 €/Stück
Weitere Daten sind
µ=1.000 Stück/Jahr
k=50,00 €/Bestellung
hi=0,1.ci €/(kg.Jahr)
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
224
x* (q2 ) =
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 267 < 500
1,4
Damit berechnen wir die Kosten der unteren
Grenze, also
K (500 ) = 1000 ⋅14 +
1000
500
⋅ 50 +
⋅1,4 = 14.450
500
2
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
225
Wir betrachten nun die Stufe 1
Ergebnis
Die optimale Bestellmenge lautet dort
x* (q1 ) =
Aufgrund der geringeren Gesamtkosten
realisieren wir die Bestellmenge 500 Stück
Dies entspricht der unteren Schranke der
höchsten Rabattstufe
2 ⋅1000 ⋅ 50
= 258 ≥ 200 ⇒ i0 = 1
1,5
Damit ist die Betrachtung weiterer Stufen unnötig
und wir berechnen die Kosten der optimalen
Bestellmenge der Stufe 1
K (258) = 1000 ⋅15 +
1000
258
⋅ 50 +
⋅1,5 = 15.387
258
2
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
226
Wirtschaftsinformatik und Operations Research
227
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Gesundheitswesen
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