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1. Wie zeigt man eine Behauptung für alle - TUM M7/Analysis

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1. Wie zeigt man eine Behauptung fu
¨r alle natu
¨rlichen Zahlen?
2. Was sind
n
qk
(a + b)n ?
k=0
3. Wie stellt man Zahlen als Bru
¨che dar? Bsp.: 0.523?
4. Was ist Polarform einer komplexen Zahl?
5. Welche Werte du
¨rfen Hauptwerte annehmen?
6. Wie berechnet man komplexe Wurzeln? Bsp.:
√
2i
7. Wie berechnet man z n , wobei n ∈ N und z ∈ C?
8. Wie lautet die Matrix bez. der kanonischen Einheitsbasis, die eine Drehung um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn beschreibt?
#»
#»
9. Gegeben seien zwei Vektoren #»
a und b . Wie zerlegt man #»
a in seinen zu b parallelen und
orthogonalen Anteil?
10. Was ist ein Untervektorraum?
11. Was ist eine lineare Abbildung?
12. Wie zeigt man, dass {v#»1 , . . . , v#»p } ∈ Rn linear unabha¨ngig ist?
13. Seien v#»1 , v#»2 , v#»3 ∈ R3 mit [v#»1 , v#»2 , v#»3 ] = 0. Was heißt das?
14. Wie bestimmt zu einer linearen Abbildung eine Matrix bez. der kanonischen Einheitsbasis?


13x2 + sin(100)x1

11x1
Beispiel: f : R2 → R3 , xx12 → 
−4x2 + 2x1


10
15. Stelle  5  als Linearkombination der Vektoren
−18
     
2
1
0
 0  ,  3  , −1
−4
−2
2
16. Wie invertiert man eine Matrix A ∈ R2×2 ?
17. Wie bestimmt man Kern und Bild (sowie ihre Dimensionen) einer Matrix?
18. Wie zeigt man, dass eine Abbildung f : Rn → Rm injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?
19. Wie multipliziert man Matrizen?
20. Vervollst¨andige:

 
−2 −4 −4
1 2 2
 0 1 0 =  0
1
0
0 −1 1
0 0 1



21. Wie geht LU-Zerlegung?
22. Ist jede Matrix, die eine symmetrische Matrix S diagonalisiert, auch orthogonal?
23. Was ist lim
n→∞
n
n+1
n
?
24. Was braucht man oft fu
¨r den Winkel zwischen 2 Vektoren?
25. Was ist der Abstand eines Punktes D von einer Ebene?
26. Wie betimmt man die Hesse-Normalform einer Ebene?
27. Wie bestimmt man eine Schnittgerade zwischen 2 Ebenen?
1 2 3
3
6
9
28. 1 1 1 =?? · −1 −1 −1
1 1 1
1
1
1
29. Pivotelement?
30. Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?
31. Was ist ein Skalarprodukt?
32. Was ist die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung?
33. Wie geht Gram-Schmidt?
34. Was ist ein Hauptachsensystem?
35. Definition: positiv definite Matrix?


1 2 3
36. Ist 2 −1 6  positiv definit?
3 6 e3
37. Was ist eine Teilfolge?
38. Wie ist Stetigkeit definiert? ( − δ oder Folgen)
39. Was ist das Vergleichskriterium?
40. Konvergenzkriterium fu
¨r Folgen?
41. Wie bestimmt man die Inverse einer Matrix?
42. Wie zeigt man, dass eine Abbildung ein Skalarprodukt ist?

1
0
43. Was ist 
0
0
0
2
0
0
0
1
2
0
2012
0
0
 ?
0
1
44. Wie bestimmt man den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge?
1
Frage
Wie ist ein Eigenwert und ein Eigenvektor definiert?
Kann ich’s?
Ja
Nein
2
Wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren?
Ja
Nein
3
Gebe eine Matrix A ∈ C3×3 an, die die Eigenwerte
Ja
Nein
2, 2 und i besitzt.
4
Wie berechnet man Hauptvektoren mit Stufe gro¨ßer 1?
Ja
Nein
5
Welche Fallunterscheidung gibt es bei
Ja
Nein
Hauptvektoren 2. Stufe zu beachten?
6
Was heißt “Diagonalisieren” und “Jordan-Normalform”?
Ja
Nein
7
Wie diagonalisiert man? Wie bestimmt man eine JNF?
Ja
Nein
8
Welche Eigenschaften besitzen orthogonale Matrizen?
Ja
Nein
Sei A ∈ Cn×n diagonalisierbar, d.h. S −1 AS = D, wobei D
Ja
Nein
diagonal. Ist S automatisch orthogonal?
Ja
Nein
10
Was ist ein Hauptachsensystem?
Ja
Nein
11
Was ist eine Orthonormalbasis?
Ja
Nein
12
Wie orthonormiert man eine beliebige Basis?
Ja
Nein
13
Wie k¨onnte man Ak , k ∈ N, von einer Matrix A berechnen?
Ja
Nein
Fu
¨r welche A geht das?
Ja
Nein
Welche Informationen liefern mir die algebraische und die geometrische
Ja
Nein
Warum heißen sie orthogonal?
9
14
Vielfachheit eines Eigenwerts bei einer JNF?
15
Wie viele Jordan-Bl¨ocke der Gr¨oße s gibt es zu einem EW?
Ja
Nein
16
Brauche ich zur Bestimmung einer JNF eine Jordan-Basis?
Ja
Nein
17
Wie lautet die Inverse einer 2 × 2 Matrix?
Ja
Nein
18
Welche ‘Struktur’ besitzt eine allgemeine
Ja
Nein
19
Was heißt komplex konjugieren?
Ja
Nein
Ja
Nein
Fu
¨r welche Matrizen gilt: Eigenvektoren zu unterschiedlichen EWen
Ja
Nein
stehen senkrecht zueinander?
Ja
Nein
Was sind
20
i
i2
und 4 − 2i komplex konjugiert?
Warnungen:
Inoffizielle Materialien - nicht autorisiert durch HM1-Team kein Anspruch auf Korrektheit und Vollsta¨ndigkeit - Verwendung auf eigene Gefahr
Autor: Yuen Au Yeung
Stand: 07.02.2012
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