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Kenntnisse zur Analysis (ohne Gewähr für Vollständigkeit) 1. Wie

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Kenntnisse zur Analysis (ohne Gewähr für Vollständigkeit)
1. Wie wende ich die Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten- und Kettenregel) an? Was
sind Änderungsraten?
2. Wie und wann wendet man die Integrationsverfahren (partielle Integration, Integration
durch Substitution, logarithmische Integration) an?
3. Wie berechnet man das Volumen von Rotationskörpern?
4. Was sind uneigentliche Integrale, wann treten sie auf und wie werden sie berechnet?
5. Wie lauten die Tangenten- und die Normalengleichung?
6. Fragen zur Kurvendiskussion:
a) Was ist unter Definitions- und Wertebereich, Asymptote, Grenzverhalten, Symmetrie zu verstehen und wie bestimme ich diese Eigenschaften?
b) Wie bestimme ich die Monotonie, die Links- oder Rechtskrümmung sowie die
Nullstellen einer Funktion (inklusive Polynomdivision)?
c) Wie begründe ich das Vorhandensein eines Extremums oder eines Wendepunkts
mit dem Nachweis eines Vorzeichenwechsels?
d) Welche Besonderheiten weisen die einzelnen Funktionstypen (ganzrationale, gebrochen rationale, trigonometrische, Exponential-, Logarithmus- sowie Wurzelfunktionen) auf?
7. Wie wird die Umkehrfunktion gebildet?
8. Wie werden Parameter (in Funktionstermen) bestimmt („Rekonstruktionsproblem“)
und wie modelliere ich eine Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften?
9. Wie löse ich Extremwertaufgaben?
10. Wie bestimmt man Grenzwerte (mit der Regel von de l’Hospital)?
11. Wie untersuche ich Graphen einer Funktionenschar f k für allgemeines k?
12. Was ist eine Ortskurve und wie wird sie bestimmt?
13. Wie weise ich nach, dass alle Graphen der Funktionenschar f k einen Punkt (zwei
Punkte) gemeinsam haben?
14. Wie ermittle ich ein k, für dass das Minimum von f k auf einer gegebenen Geraden
(x-Achse) liegt?
15. Wie untersuche ich / bestimme ich Parameter für senkrechtes Schneiden oder Berühren
von Graphen?
16. Wie bestimme ich Parameter (in der Funktionsgleichung bzw. bei Grenzen), für die
Integrale vorgegebene Werte annehmen?
17. Wie wird Stetigkeit und Differenzierbarkeit (an einer Stelle) untersucht?
18. Wie berechnet man Steigungs- und Schnittwinkel von Funktionen?
19. Welche Wachstumsarten unterscheidet man und wie berechne ich charakteristische
Fuktionswerte (Verdoppelungszeit, Wachstumsgrenze, . . . )?
20. Grundwissen: Sätze von Pythagoras und Thales, Strahlensätze, binomische Formeln, Lösung quadratischer und biquadratischer Gleichungen, Additionstheoreme, trigonometrischer Pythagoras, Wurzel-, Logarithmen- und Potenzgesetze, Umschreiben von Wurzeln in Potenzschreibweise, Newtonverfahren . . .
Kenntnisse zur Analytischen Geometrie (ohne Gewähr für Vollständigkeit)
1. Welche Beziehung besteht zwischen den Richtungsvektoren einer Ebene und einer dazu
parallelen Geraden?
2. Drei Punkte A, B und C sind gegeben. Wie erhalte ich die
a) Parameterform,
b) Normalenform (auch HNF),
c) die Koordinatenform,
d) Achsenabschnittsform der Ebenengleichung?
3. Wie untersuche ich die Lagebeziehung von Punkten, Geraden, Ebenen und Kugeln
untereinander? Welche Fälle sind jeweils möglich und was ergibt die Rechnung dann?
4. Wie fertige ich ein Schrägbild an?
5. Was sind ein Lotfußpunkt, ein Spurpunkt, eine Spurgerade?
6. Was ist eine geometrische, was eine rechnerische Begründung?
7. Wie berechne ich den Winkel zwischen
a) Geraden,
b) Ebenen,
c) Gerade und Ebene,
d) zwei aneinanderstoßenden Kanten eines Körpers?
8. Wie berechne ich den Abstand
a) zweier Punkte,
b) eines Punktes zu einer Ebene,
c) eines Punktes zu einer Geraden,
d) zweier windschiefer Geraden (einschließlich Fußpunkte),
e) zweier paralleler Geraden?
9. Was beinhalten die Begriffe: kollinear, komplanar, linear abhängig, linear unabhängig?
10. Wie bestimme ich den Schnittpunkt von Gerade (Ebene, Kugel) und Gerade?
11. Wie wird ein Punkt (eine Gerade, eine Ebene, eine Kugel) an einer Ebene gespiegelt?
12. Wie erhalte ich die Kugelgleichung aus Mittelpunkt M und Radius r (aus vier Punkten)
und umgekehrt?
13. Wie bestimme ich Radius R und Mittelpunkt M eines Schnittkreises K von Ebene
und Kugel?
14. Was ist eine Tangentialebene und wie bestimme ich die Gleichungen der beiden Tangentialebenen an eine vorgegebene Kugel?
15. Wie berechne ich die Fläche eines Dreiecks, eines Parallelogramms, eines Trapezes,
einer Raute, eines Drachens?
16. Wie weise ich Gleichseitigkeit, Rechtwinkligkeit, (echte) Parallelität nach?
17. Wie berechne ich das Volumen
a) eines Spats, eines Prismas,
b) einer Pyramide (mit dreieckiger oder rechteckiger Grundfläche)?
18. Wie kann die Schnittgerade einer Ebenenschar ermittelt werden? Wie bestimmt man
eine Ebene, die nicht zur Schar gehört, aber die Schnittgerade enthält?
19. Welche Fragestellungen können elementargeometrisch (mit Differentialrechnung, mit
Vektorrechnung) bearbeitet werden, falls z.B. Abstände, Winkel, Flächen oder Volumina in Abhängigkeit eines Parameters gegeben sind.
20. Grundwissen: Länge eines Vektors, Vektoraddition, Unterschied zwischen Stütz- und
Richtungsvektor), Bilden eines Einheitsvektors, Gleichungen der Koordinatenebenen
und -achsen, Skalar- und Kreuzprodukt, Lineare Gleichungssysteme lösen, Berechnung
von Quader-, Pyramiden- und Kugelvolumen (elementargeometrisch), . . .
Kenntnisse zur Stochastik (ohne Gewähr für Vollständigkeit)
1. Begriffe: absolute und relative Häufigkeit, Laplace-Experiment und -Wahrscheinlichkeit, Gegenereignis, Bernoulli-Experiment und -kette, mindestens, höchstens, genau,
(nicht) mehr/weniger als, bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastisch unabhängig
2. Darstellen von Zufallsexperimenten auf verschiedene Weise (Ergebnismengen, Verteilungen, Tabellen, Bäume); kombinatorische Hilfsmittel, Urnenmodelle, Baumdiagramme und Vierfeldertafeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten anwenden.
3. Baumdiagramme, Zweig- und Pfad- und absolute Wahrscheinlichkeit, Pfadregeln, Ziehen mit und ohne Zurücklegen, inverses und reduziertes Baumdiagramm, Satz von
Bayes, bei unbekannten Zweigwahrscheinlichkeiten nutzen: P (E) = p ⇒ P (E) = 1 − p
4. Wahrscheinlichkeiten aus Tabellen (Binomial-, kumulierte Binomial- und Standardnormalverteilung) entnehmen können, Bedeutung der Schreibweisen B(n; p; k), F (n; p; k),
Φ(z), P (X ≤ k), P (X ≥ k), P (k 1 ≤ X ≤ k 2 ) kennen und diese verwenden.
5. Binomialverteilung, Bernoulli-Formel für nicht in Tabellen vorhandene n bzw. p
anwenden können, ggfs. einfachere Berechnung über Gegenereignis,
6. Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung (Erwartungswert E(X) = µ,
Varianz V (X) und Standardabweichung V (X) = σ) allgemein und für die Binomialverteilung (E(X) = µ = n · p; V (X) = n · p · (1 − p))
7. Tschebyschew-Ungleichung: Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten für symmetrisch
um µ liegende Intervalle bei unbekannter Wahrscheinlichkeitsverteilung
8. Wahrscheinlichkeiten von σ-Umgebungen und nσ -Umgebungen, Konfidenzintervalle exakt und näherungsweise berechnen können
9. Nullhypothese H 0 , Alternativhypothese H 1 , berechnen und bewerten von Fehlern 1.
und 2. Art in Anwendungssituationen, Abhängigkeit des Fehlers 1. und 2. Art vom
Signifikanzniveau
10. Laplace-Bedingung kennen und anwenden, Berechnung von z und Bestimmung von
Φ(z) ≈ F (n; p; k) = P (X ≤ k) für näherungsweise normalverteilte Zufallsgrößen mittels Näherungsformel von Laplace und de Moivre
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