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Aktuelle Gottesdienstordnung bis 29.03.2015

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K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik karsten.eppler@tu-dresden.de
Mathematik I fu
¨ r das MW und VIW
Karsten Eppler
Technische Universit¨
at Dresden
Institut fu
¨ r Numerische Mathematik
karsten.eppler@tu-dresden.de
http://www.math.tu-dresden.de/∼eppler
Vorlesungsassistent: Dr. Vanselow
http://www.math.tudresden.de/∼vanselow/Lehre WiS201415/. . .
K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik karsten.eppler@tu-dresden.de
Organisatorische Hinweise I
• K. Eppler: Willersbau, Zi.: C 318, Tel.: (463) 37584
– Sprechzeit: Di. 13-14.00 Uhr
¨ W. vom 13.-17.10.14, Aufgaben aus (s. unten) Heft U1:
¨
• 1. U.:
¨ 2.1.1, 2.1.2
1.3, 1.8, 1.9., 2.2 (d,f), 2.3 (b,c); 2.4 (a,d); Heft U3
• Klausur(en): Februar 2015
– Pru
¨fungsklausur Grundlagen d. Mathematik“ MW
”
– Pru
¨fungsklausur Mathematik I“ VIW
”
• Literatur: Ba¨rwolf Ho
¨here Mathematik fu
¨r
”
Naturwissenschaftler und Ingenieure“ (Spektrum);
¨
¨ U2);
¨
Wenzel/Heinrich Ubungsaufgaben
zur Analysis“ (U1+
”
¨
Pforr/Oehlschlaegel/Seltmann Ubungsaufgaben
zur linearen
”
¨
Algebra und linearen Optimierung (U3)
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Organisatorische Hinweise II
•
Lehrbegleitende Skripte:
– Mathematik I, II, III (ehem. Skript VIW)
– erh¨altlich in: Copy Cabana, Helmholtzstr. 4
• Weitere detailliertere Hinweise zu:
– Klausuren
¨
– Ubungen
– Vorlesungsinhalt(e)
– Anku
¨ndigungen, Informationen und Hinweise
demn¨achst auf meiner Homepage
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Inhaltsu
¨ bersicht WS14/15
• Zahlsysteme (natu
¨rliche, ganze, rationale, reelle, komplexe
Zahlen)
• Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen:
– Grundbegriffe, Definitionen, Grenzwerte und Stetigkeit,
Differentialrechnung
• Integralrechnung (eine reelle Variable)
– unbestimmtes und bestimmtes Integral, uneigentliche
Integrale, Anwendungen
• Lineare Algebra
– Vektorra¨ume, Matrizen, Lineare Gleichungssysteme,
Determinanten, Eigenwerte
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Natu
¨ rliche Zahlen (Buch, Kap. 1.4)
Peano Axiome zur Charakterisierung der Menge N der
natu
¨ rlichen Zahlen
1) 1 ist eine natu
¨rliche Zahl.
2) Jede natu
¨rliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n’
(Schreibweise 2=1’, 3=2’ usw.).
3) 1 ist kein Nachfolger einer natu
¨rlichen Zahl.
4) Die Nachfolger zweier verschiedener natu
¨rlicher Zahlen sind
voneinander verschieden.
(⇒ jede natu
¨rliche Zahl außer 1 hat genau einen Vorg¨anger)
5) Induktionsprinzip: Sei A ⊆ N mit
(i) 1 ∈ A,
(ii) n ∈ A =⇒ n ∈ A.
Dann ist A = N.
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Satz 1.1: Prinzip der vollst¨
andigen Induktion
Seien n0 ∈ N und A(n) eine Aussageform fu
¨r jedes n ∈ N mit
n ≥ n0 .
Wenn die beiden Aussagen
1) A(n0 ) ist wahr,
2) fu
¨r alle k ∈ N, k ≥ n0 : A(k) ist wahr ⇒ A(k + 1) ist wahr
gelten, dann ist die Aussage A(n) fu
¨r alle n ∈ N mit n ≥ n0 wahr.
Bemerkung: In N findet man eine L¨
osung x von n + x = m nur,
wenn m > n gilt.
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Ganze Zahlen (Buch, Kap. 1.5)
Z = {0, +1, −1, +2, −2, +3, −3, . . . }
• In Z hat die Gleichung n + x = m (n, m ∈ Z) die L¨osung
x := m − n.
• Addition, Subtraktion und Multiplikation fu
¨hren nicht aus Z
heraus.
• Die Division allerdings gelingt in Z nur in Spezialf¨allen.
Die Gleichung nx = m (n, m ∈ Z) hat nur dann eine Lo¨sung
x ∈ Z, wenn n Teiler von m ist.
Man hat also Grund, den Zahlbereich Z zu erweitern.
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Rationale Zahlen (Buch, Kap. 1.5)
a
, a, b ∈ Z, b = 0, a, b teilerfremd}
b
• Z ⊂ Q (man setze b := 1).
Q := {q | q =
• In Q hat die Gleichung qx = p, (p, q ∈ Q, q = 0) die Lo¨sung
x := pq .
• Doch es gibt kein Quadrat mit Fl¨
acheninhalt 2, dessen
Seitenl¨ange s eine rationale Zahl ist, d.h. die Gleichung
x2 = 2
hat keine L¨osung in Q (Q hat L¨
ocher“).
”
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Reelle Zahlen (Buch, Kap. 1.5)
R := {x | x ist unendlicher Dezimalbruch}
• Q enth¨alt die periodischen Dezimalbru
¨che.
• die nichtperiodischen Dezimalbru
¨che bilden die Menge R \ Q
der irrationalen Zahlen.
• Beim numerischen Rechnen mit solchen nichtperiodischen
Dezimalbru
¨chen benutzt man im Allgemeinen N¨aherungswerte
in Form endlicher Dezimalbru
¨che. Zum Beispiel sind
1, 41 ; 1, 414 ;
√
N¨
aherungen fu
¨r 2 ∈ R.
1, 4142 ;
1, 41421 . . .
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Problem: R ist nicht algebraisch abgeschlossen
Besitzt eine beliebige algebraische Gleichung mit reellen
Koeffizienten eine L¨
osung in R?
x2 + 4x − 5 = 0
⇒
x1 = −5, x2 = 1
aber
x2 + 4x + 5 = 0
⇒
keine Lo
¨sung in R
Sinngema¨ß gu
¨ltig fu
¨r beliebige algebraische Gleichungen
Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
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y
y
10
−5
5
−5
x
y = x2+4x+5
5
2
y = x +4x−5
= (x+5)(x−1)
−10
−5
5
x
Abbildung 1.22: Quadratische Gleichungen mit und ohne
L¨osungen in R (Buch, Kap. 1.7)
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Definition 1.5: komplexe Zahlen (Buch, Kap. 1.7)
1) Unter einer komplexen Zahl z ∈ C versteht man einen
Ausdruck der Form
z := a + b i mit a, b ∈ R.
a ∈ R heißt Realteil von z :
b ∈ R heißt Imagin¨
arteil von z :
i heißt imagin¨
are Einheit
Re z := a
Im z := b
2) Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sowohl Realteil als
auch Imagina¨rteil u
¨bereinstimmen. Insbesondere ist
a + bi = 0 ⇐⇒ a = 0 ∧ b = 0 .
3) Ist z = a + b i, so heißt z := a − b i die zu z konjugiert
komplexe Zahl.
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4) Unter dem Betrag |z| einer komplexen Zahl z = a + b i
√
versteht man die nichtnegative reelle Zahl |z| = a2 + b2 .
Rechenregeln
Seien z := a + bi, w := c + di, α ∈ R . Dann definiert man
• z ± w := (a ± c) + (b ± d)i
• αz := αa + (αb)i
• z · w := ac − bd + (bc + ad)i Festlegung!
•
1
z
:=
z·w
¯ Folgerung!
2
w
|w|
Weitere Folgerung:
i2 = −1
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Weitere Eigenschaften komplexer Zahlen
• Die Operationen + und · sind kommutativ und assoziativ
• 0 := 0 + 0i ist das neutrale Element bzgl. der Addition
• 1 := 1 + 0i ist das neutrale Element bzgl. der
Multiplikation
• z + (−z) = 0 fu
¨r alle z ∈ C Inversion bzgl. Addition
1
= 1 fu
¨r alle z ∈ C mit z = 0 Inversion bzgl.
z
Multiplikation
• z·
• Es gelten die Distributivgesetze
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 ,
fu
¨r alle z1 , z2 , z3 ∈ C
(z1 + z2 ) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3
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⇒
C ist damit (wie R und Q) ein (Zahl-)K¨
orper
Schreibweise
• Anstelle von 0 + bi schreibt man kurz bi ( rein imagin¨ar“)
”
• Anstelle von a + 0i schreibt man kurz a ( rein reell“, R ⊂ C)
”
• Anstelle von a + bi schreibt man auch (a, b)
• i ist eine Abku
¨rzung fu
¨r 0 + 1i bzw. fu
¨r (0, 1).
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Die GAUSSsche Zahlenebene (Buch, Kap. 1.7.2)
Im z
1
0
z=2+i
2 Re z
Abbildung 1.23: Komplexe Zahl z = 2 + i in der Zahlenebene
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Polarkoordinaten (goniometrische Form)
Im z
z=a+bi
r
φ
0
a
b
Re z
Abb. 1.24: a + bi = r(cos φ + i sin φ)
(r, φ) heißen Polarkoordinaten von z
(a, b) heißen kartesische Koordinaten von z
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Im z
Im z
-2+i
0
r= 5
φ = 1 5 3,4 4 °
φ=− 45°
1
Re z
1
r= 2
-2
Re z
1-i
√
a 2 + b2
r
–
Betrag der komplexen Zahl z: r = |z| =
φ
–
Argument der komplexen Zahl z: φ ist der Winkel,
um den man den Strahl durch (0, 0) und (1, 0) drehen
muss, um den Strahl durch (0, 0) und (a, b) zu erhalten
φ>0
⇔ Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn
φ<0
⇔ Drehung im Uhrzeigersinn
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Argument und Hauptwert
(r, φ)
und
(r, φ + 2kπ)
stellen die gleiche komplexe Zahl z dar
(fu
¨r beliebiges k ∈ Z)
Falls
−π < φ ≤ π,
so heisst φ auch Hauptwert von z
φ ∈ (−∞, ∞)
Argument von z
argz
φ ∈ (−π, π]
Hauptwert von z
Arg z
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Hauptwerte und GAUSSsche Zahlenebene
a<0 Im z
b>0
π/2<φ<π
φ=π
a<0
b<0
−π<φ<−π/2
a>0
b>0
0<φ<π/2
φ=π/2
φ=0
Re z
φ= −π/2
a>0
b<0
−π/2<φ<0
Abb. 1.26: Werte von φ := Arg z in den 4 Quadranten
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EULERsche Formel
eiφ := cos φ + i sin φ,
speziell: eiπ = −1
Folgerung
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ) = |z|eiφ
(Exponentialform)
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Multiplikation komplexer Zahlen
(in goniometrischer Form)
Es seien z := reiφ und w := ρeiψ gegeben. Dann gilt
z · w = reiφ · ρeiψ = rρei(φ+ψ)
z
reiφ
r i(φ−ψ)
= iψ = · e
w
ρe
ρ
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Im z
zw
φ+ψ
z=3+i
w=i
ψ
0
φ
1
Re z
Abb. 1.30: Multiplikation komplexer Zahlen
• multiplizieren: Betr¨
age multiplizieren, Argumente addieren,
• dividieren: Betr¨
age dividieren, Argumente subtrahieren,
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Potenzieren und Radizieren
z n := z · z · . . . · z
mal
heißt n − te Potenz von z ∈ C
n
zn
Eine Zahl z ∈ C heißt n-te Wurzel der Zahl w ∈ C, falls
zn = w
Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen sinnvollerweise in
der goniometrischen Form (Polarkoordinaten) unter Benutzung des
Satzes von Moivre (Buch, Kap. 1.7.3)
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Satz 1.3: (de MOIVREsche Formeln) Sei n ∈ N, dann gilt
a) Die n-te Potenz von z = a + bi = r(cos φ + i sin φ) = reiφ ergibt
sich zu
z n = rn (cos(nφ) + i sin(nφ)) = rn einφ .
b) Fu
¨r jede komplexe Zahl w = reiφ = 0 hat die Gleichung z n = w
genau n verschiedene Lo
¨sungen, na
¨mlich die n n-ten Wurzeln
zk
=
√
n
√
φ
k2π
φ k2π
φ k2π
i( n
n
r(cos( +
) + i sin( +
)) = re + n )
n
n
n
n
fu
¨r k = 0, 1, . . . , n − 1.
√
Die n-ten Wurzeln liegen auf einem Kreis mit dem Radius n r um
den Nullpunkt der Gaußschen Zahlenebene und bilden ein
regelm¨aßiges n-Eck.
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Seele and Geist
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