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März 2015 - Lebenshilfewerk Marburg

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Wahrscheinlichkeitstheorie
Aufgaben mit L¨osungen
J¨org Gayler, Lubov Vassilevskaya
i
Inhaltsverzeichnis
1
2
Kombinatorisches Rechnen
1
1.
Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.
Fakult¨at n!: Definition, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.
Permutationen: Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.
Rechnen mit Binomialkoeffizienten: Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
L¨osungen
6
1.
Fakult¨at: L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.
Permutationen: L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.
Rechnen mit Binomialkoeffizienten: L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
ii
Kapitel 1
Kombinatorisches Rechnen
1.
Formelsammlung
1. n-Fakult¨at: n!
Die Fakult¨at einer nat¨urlichen Zahl n ist das Produkt aller nat¨urlichen Zahlen von 1 bis n, falls
n 0 und n 1.
n! = 1 · 2 · 3 . . . (n − 1) · n,
n ∈ N.
2. Permutation
(a) Permutation mit n verschiedenen Elementen:
Eine Anordnung von n verschiedenen Elementen in einer bestimmten Reihenfolge heißt
eine Permutation P (n) dieser n Elemente. Die Anzahl der m¨oglichen Reihenfolgen von n
verschiedenen Elementen, Permutationen ohne Wiederholung, ist:
P (n) = n · (n − 1) · (n − 2) . . . 2 · 1 = n!
(1.1)
(b) Permutation mit n Elementen, k davon sind gleich:
Die Anzahl der Permutationen von n Elementen, von denen k gleich sind, ist
P(n, k) =
n!
k!
(1.2)
Die Anzahl der Permutationen von n Elementen, von denen jeweils k1 , k2 , . . . , kr gleich
sind, ist
P(n, k1 , k2 , . . . , kr ) =
n!
,
k1 ! k2 ! . . . kr !
3. Binomialkoeffizienten
Unter dem Binomialkoeffizienten Cnk =
genden Ausdruck:
Cnk =
n
k
k1 + k2 + . . . kr = n.
(1.3)
(gesprochen: n u¨ ber k) versteht man den fol-
n
n · (n − 1) · (n − 2) . . . (n − (k − 1)) n · (n − 1) · (n − 2) . . . (n − (k − 1))
=
=
,
k
1 · 2 · 3...k
k!
n
= 1,
0
n
n
=
= n,
1
n−1
mit n, k ∈ N,
1
n
k.
(1.4)
Die Definition eines Binomialkoeffizienten kann mithilfe der Fakult¨atsschreibweise in einer
anderen Form geschrieben werden, indem wir den Z¨ahler und Nenner von von (1.4) mit (n − k)!
multiplizieren.
Cnk =
n
n · (n − 1) · (n − 2) . . . (n − (k − 1)) · (n − k)!
n!
=
=
k
1 · 2 · 3 . . . k · (n − k)!
k! · (n − k)!
2
(1.5)
2.
Fakult¨at n!: Definition, Beispiele
Definition 1: n Fakult¨at
n! (gesprochen n Fakult¨at) ist eine Funktion, die einer nat¨urlichen Zahl n das Produkt dieser
Zahl mit allen kleineren nat¨urlichen Zahlen zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen (“!”) abgek¨urzt.
n! = 1 · 2 · 3 . . . (n − 1) · n,
n ∈ N.
(1.6)
Definition 2: n Fakult¨at
Die Fakult¨at einer nat¨urlichen Zahl n ist das Produkt aller nat¨urlichen Zahlen von 1 bis n, falls
n 0 und n 1.
Die Notation der Fakult¨at wurde erstmals 1808 von Mathematiker Christian Kramp (1760–1826)
verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung “F¨ahigkeit” daf¨ur einf¨uhrte.
Eigenschaften:
n! = (n − 1)! · n,
0! = 1,
1! = 1.
(1.7)
F¨ur die Zahlen 0 und 1 wird ihr Fakult¨at festgelegt.
Einige Beispiele sind:
2! = 1! · 2 = 2,
3! = 2! · 3 = 1 · 2 · 3 = 6,
10! = 3.628.800 = 3.6288 · 10 6 ,
20! = 2.432.902.008.176.640.000
4! = 3! · 4 = 1 · 2 · 3 · 4 = 24,
15! = 1.307.674.368.000 = 1.307674368 · 10 12 ,
2.432902008 · 10 18 .
Man sieht, dass die Fakult¨aten sehr schnell ansteigen. Bei 60! versagen bereits die meistens Taschenrechner.
Fakult¨at: Aufgaben
A 1 Berechnen Sie 5! und 7!.
A 2 9! = 362880. Berechnen Sie 10!.
A 3 Schreiben Sie in Form einer Fakult¨at auf
7! · 8 · 9,
12! · 13 · 14 · 15,
5! · 7,
6! · 9,
19! · 20 · 24.
A 4 Berechnen Sie
3! + 4!,
2! + 5!,
1! + 2! + 3! + 4! + 5!
A 5 Berechnen Sie
(2 + 3)!,
(7 − 4)!,
3
(11 − 9)!
A 6 Berechnen Sie
7!
,
5!
10!
,
8!
19!
,
18!
6!
,
2! · 4!
9!
,
4! · 6!
12!
,
10! · 2!
17!
.
14! · 3!
A 7 Richtig oder falsch? Beweisen Sie.
a)
6!
6
=
!,
3!
3
b)
10
10!
=
!
5!
5
A 8 Berechnen Sie
3! · 3!,
0!
.
0!
5!
,
0!
4! · 0!,
A 9 Schreiben Sie folgende Produkte durch Fakult¨at auf
3 · 4 · 5 · 6 · 7,
8 · 9 · 10 · 11 · 12.
A 10 Berechnen Sie
a)
b)
(n + 2)!
,
n!
n (n + 1)!
,
(n − 1)!
(n + 2)!
(n + 2)!
,
,
(n + 1)!
(n − 1)!
(n − 2)! (n + 1)!
.
(n!)2
(n − 1)!
,
(n + 1)!
(n + 2)!
,
n · (n − 2)!
A 11 Drucken Sie folgende Terme durch n-Fakult¨at aus
a) (n + 1)!,
1
b)
,
(n + 1)!
(n + 3)!,
1
,
(n − 1)!
(n − 1)!,
n
,
(n − 2)!
(n − 3)!,
1
1
−
.
(n − 1)! (n + 1)!
A 12 Berechnen Sie
(n − m − 1)! (n − m),
(n − m − 3)! (n − m − 2).
¨
A 13 Andere
den Bruch so, dass im Z¨ahler eine 1 steht
6
,
6!
19
,
19!
m−1
,
(m − 1)!
n−m
.
(n − m)!
A 14 Berechnen Sie
9! − 7!
,
7! − 6!
n! − (n − 2)!
.
(n − 2)! − (n − 3)!
4
3.
Permutationen: Aufgaben
A 15 Auf wie viele Arten k¨onnen sich 3 Menschen hintereinander aufstellen?
A 16 Wie viele verschiedene f¨unfstellige Zahlen kann man mit 2 Vieren und 3 Sechsen zusammensetzen? Bestimmen Sie die Anzahl der Permutationen mit Hilfe der Formel (1.3) und best¨atigen
Sie das Ergebnis, indem Sie alle Permutationen aufschreiben.
¨
A 17 Eine Mutter hat zwei Apfel,
zwei Birnen und eine Nektarine. An allen 5 Wochentagen gibt sie
dem Kind eine Frucht in die Schule mit. Auf wie viele Arten kann sie das machen?
A 18 Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes rennen zu Folgen von 6 Buchstaben
anordnen?
A 19 Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes Schifffahrt zu Folgen von 11 Buchstaben anordnen?
A 20 Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes Schneeeule zu Folgen von 10 Buchstaben anordnen?
A 21 Auf wie viele Arten kann man jeweils die Buchstaben der W¨orter Mississippi, Flusssenke, Kontrolllampe, Seeelephant, Wettturnier anordnen?
4.
Rechnen mit Binomialkoeffizienten: Aufgaben
A 22 Bestimmen Sie folgende Binomialkoeffizienten
7
,
2
7
,
5
9
,
9
6
,
0
12
,
7
22
.
19
A 23 Zeigen Sie, dass
4
3
3
=
+
.
2
1
2
A 24 Berechnen Sie Binomialkoeffizienten der zehnten Zeile:
10
,
0
10
,
1
10
,
2
10
, ...
3
A 25 Entwickeln Sie
a) (a + b) 7 ,
b) (x − y) 8 ,
c) (x + 2) 5 .
k
k−1 und b) C k = C k+1 − C k+1 .
A 26 Zeigen Sie, dass a) Cnk = Cn−1
+ Cn−1
n
n
n+1
k−1 .
A 27 Zeigen Sie, dass k Cnk = n Cn−1
A 28 Zeigen Sie, dass folgende Rekursionsformel (innerhalb einer Zeile) gilt:
n
n−k+1
n
=
·
.
k
k
k−1
5
Kapitel 2
L¨osungen
1.
Fakult¨at: L¨osungen
L 1 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120,
7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.
L 2 Da n! = n · (n − 1), ist 10! = 9! · 10 = 3628800
L3
7! · 8 · 9 = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 9!,
12! · 13 · 14 · 15 = 15!,
7 · 8 6! · 7 · 8 · 9
9!
6 5! · 6 · 7 7!
= ,
6! · 9 = 6! · 9 ·
=
=
,
5! · 7 = 5! · 7 · =
6
6
6
7·8
7·8
7·8
21 · 22 · 23 20! · 21 · 22 · 23 · 24
24!
19! · 20 · 24 = 20! · 24 = 20! · 24 ·
=
=
.
21 · 22 · 23
21 · 22 · 23
21 · 22 · 23
L4
3! + 4! = 1 · 2 · 3 + 1 · 2 · 3 · 4 = 6 + 24 = 30,
2! + 5! = 1 · 2 + 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 2 + 120 = 122,
1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1! + 2! + 5! + (3! + 4!) = 1 + 2 + 120 + 30 = 153.
L5
(2 + 3)! = 5! = 120,
(7 − 4)! = 3! = 6,
(11 − 9)! = 2!02.
L6
7!
10!
= 6 · 7 = 42,
= 9 · 10 = 90,
5!
8!
9!
12!
11 · 12
= 21,
=
= 66,
4! · 6!
10! · 2!
2
6
19!
6!
= 19,
= 15,
18!
2! · 4!
17!
= 680.
14! · 3!
L7
6! 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6
=
= 4 · 5 · 6 = 120,
3!
1·2·3
a)
6
! = (3)! = 3! = 1 · 2 · 3 = 6,
3
120
6,
6
6!
=
! − falsch,
3!
3
10! 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10
=
= 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 30 240,
5!
1·2·3·4·5
10
10
10!
=
! = (5)! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120,
30 240 120,
! − falsch.
5
5!
5
L8
3! · 3! = 6 · 6 = 36,
4! · 0! = 4! · 1 = 24,
5! 5!
=
= 120,
0!
1
0! 1
= = 1.
0! 1
L9
3·4·5·6·7=
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 7! 7!
=
= ,
1·2
2!
2
8 · 9 · 10 · 11 · 12 =
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 12!
=
.
1·2·3·4·5·6·7
7!
L 10
a)
(n + 2)! n! · (n + 1) · (n + 2)
=
= (n + 1) · (n + 2),
n!
n!
(n + 2)! (n + 1)! · (n + 2)
=
= n + 2,
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 2)! (n − 1)! · n · (n + 1) · (n + 2)
=
= n · (n + 1) · (n + 2),
(n − 1)!
(n − 1)!
(n − 1)!
1
(n − 1)!
=
=
,
(n + 1)! (n − 1)! · n · (n + 1) n · (n + 1)
b)
(n + 2)!
(n − 2)! (n − 1) n (n + 1) (n + 2)
=
= (n − 1) (n + 1) (n + 2),
n · (n − 2)!
n · (n − 2)!
n (n + 1)! n (n − 1)! n (n + 1)
=
= n2 (n + 1),
(n − 1)!
(n − 1)!
(n − 2)! (n + 1)! (n − 2)! (n + 1)!
(n − 2)!
n! (n + 1)
n+1
=
·
=
·
=
.
2
n!
n!
(n − 2)! (n − 1) n
n!
n (n − 1)
(n!)
L 11 Um die gegebenen Terme durch n-Fakult¨at auszudrucken, werden wir die Eigenschaft (1.7) be-
7
nutzen:
a) (n + 1)! = n! (n + 1),
(n + 3)! = n! (n + 1) (n + 2) (n + 3),
n (n − 1)! n n!
(n − 1)! = (n − 1)! · =
= ,
n
n
n
(n − 2) (n − 1) n (n − 3)! (n − 2) (n − 1) n
n!
(n − 3)! = (n − 3)! ·
=
=
,
(n − 2) (n − 1) n
(n − 2) (n − 1) n
n (n − 1) (n − 2)
1
1
1
n
n
b)
=
,
=
= ,
(n + 1)! n! · (n + 1)
(n − 1)! n (n − 1)! n!
n
n · (n − 1) n
n2 · (n − 1)
=
=
,
(n − 2)! (n − 2)! (n − 1) n
n!
1
n
1
1
1
1 n2 + 2 − 1
1
−
=
−
=
n−
=
·
.
(n − 1)! (n + 1)! n! n! · (n + 1) n!
n+1
n!
n+1
L 12
(n − m − 1)! (n − m) = (n − m)!
(n − m − 3)! (n − m − 2) = (n − m − 2)!
L 13
6
1
1
6
=
=
= ,
6! 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 1 · 2 · 3 · 4 · 5 5!
19
19
1
1
=
=
=
,
19! 1 · 2 · 3 · 4 . . . 17 · 18 · 19 1 · 2 · 3 · 4 · . . . · 17 · 18 18!
m−1
m−1
=
=
(m − 1)! 1 · 2 · 3 · . . . · (m − 3) · (m − 2) · (m − 1)
1
1
n−m
1
=
=
,
=
.
1 · 2 · 3 · . . . · (m − 3) · (m − 2) (m − 2)!
(n − m)! (n − m − 1)!
L 14
9! − 7! 6! · 7 · 8 · 9 − 6! · 7 6! · 7 · (8 · 9 − 1) 7 · (8 · 9 − 1) 497
¯
=
=
=
=
= 82.83,
7! − 6!
6! · 7 − 6!
6! · (7 − 1)
6
6
n! − (n − 2)!
(n − 3)! · (n − 2) · (n − 1) · n − (n − 3)! · (n − 2)
=
=
(n − 2)! − (n − 3)!
(n − 3)! · (n − 2) − (n − 3)!
(n − 3)! · ((n − 2) · (n − 1) · n − (n − 2)) (n − 3)! · (n − 2) · ((n − 1) · n − 1)
=
=
=
(n − 3)! · (n − 2 − 1)
(n − 3)! · (n − 3)
=
2.
(n − 2) · (n2 − n − 1)
.
n−3
Permutationen: L¨osungen
L 15 Auf 3! = 1 · 2 · 3 = 6 Arten k¨onnen sich 3 Menschen hintereinander aufstellen.
8
L 16 Aus f¨unf Zahlen (n = 5), wovon zwei und drei gleich sind (k1 = 2, k2 = 3), kann man 10 Zahlen
zusammensetzen.
P(n, k1 , k2 )
n=5, k1 =2, k2 =3
= P(5, 2, 3) =
5!
1·2·3·4·5
4·5
=
=
= 2 · 5 = 10.
2! 3! (1 · 2) · (1 · 2 · 3)
2
Diese zehn Zahlen sind
44666, 46466, 46646, 46664, 64466, 64646, 64664, 66446, 66464, 66644.
¨
L 17 Von f¨unf Fr¨uchten, n = 5, sind zwei Apfel,
k1 = 2, und zwei Birnen, k2 = 2. Die Anzahl der
Permutationen mit Wiederholung ist somit
P (n, k1 , k2 )
n=5, k1 =2, k2 =2
5!
1·2·3·4·5
=
= 2 · 3 · 5 = 30.
2! 2!
2·2
= P (5, 2, 2) =
L 18 Das Wort “rennen” hat 5 Buchstaben n = 5, die man auf 5! M¨oglichkeiten anordnen kann. Das
Wort enth¨alt aber zwei gleiche Buchstaben e, k1 = 2, und zwei gleiche Buchstaben n, kn = 2.
Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung ist somit
P(n, k1 , k2 )
n=5, k1 =2, k2 =2
= P(5, 2, 2) =
5!
1·2·3·4·5
=
= 2 · 3 · 5 = 30.
2! 2!
2·2
L 19 Unter den n = 11 Buchstaben des Wortes “Schifffahrt” sind zwei h, k1 = 2, und drei f, k2 = 3.
Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung ist somit
P (n, k1 , k2 )
n=11, k1 =2, k2 =3
= P (11, 2, 3) =
4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11
11!
=
=
2! 3!
2
= 102 · 6 · 7 · 8 · 9 · 11 = 3 326 400.
L 20 Das Wort “Schneeeule” hat insgesamt 10 Buchstaben n = 10, davon aber vier gleiche Buchstaben
e, k1 = 4. Die Anzahl der Permutation mit Wiederholung ist somit
P (n, k1 )
L 21 3.
n=10, k1 =4
= P (10, 4) =
10!
= 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 151 200.
4!
Rechnen mit Binomialkoeffizienten: L¨osungen
L 22 Wir bestimmen die Binomialkoeffizienten mit Hilfe der Formel (1.5).
7
7!
=
= 21,
2
2! · 5!
6
6!
=
= 1,
0
0! · 6!
7
7!
=
= 21,
5
5! · 2!
12
12!
=
= 792,
7
5! · 7!
9
9!
=
= 1,
9
0! · 9!
22
22!
=
= 1540.
19
3! · 19!
L 23
3
3
3!
3!
2 · 3!
2 2 · 3!
4 · 3!
4!
4
+
=
+
=
= ·
=
=
=
.
1
2
1! · 2! 2! · 1! 1! · 2! 2 1! · 2! 2! · 2! 2! · 2!
2
9
L 24
10
10
=
= 1,
0
10
10
10
=
= 10,
1
9
10
10
=
= 120,
3
7
10
10
=
= 210,
4
6
10
10
=
= 45,
2
8
10
= 252.
5
L 25
a) (a + b) 7 = a7 + 7a6 b + 21 a5 b2 + 35 a4 b3 + 35 a3 b4 + 21 a2 b5 + 7a b6 + b7 ,
b) (x − y) 8 = x8 − 8 x7 y + 28 x6 y2 − 56 x5 y3 + 70 x4 y4 − 56 x3 y5 + 28 x2 y6 − 8 xy7 + y8 ,
c) (x + 2) 5 = x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32.
L 26
k
k−1
a) Cnk = Cn−1
+ Cn−1
⇔
n
n−1
n−1
=
+
,
k
k
k−1
(n − 1)!
n−1
n−1
(n − 1)!
+
=
+
=
k! (n − 1 − k)! (k − 1)! (n − 1 − (k − 1))!
k
k−1
= (n − 1)!
1
1
+
=
k! (n − 1 − k)! (k − 1)! (n − 1 − (k − 1))!
=
(n − 1)! n
k
(n − k)
+
n
k! (n − 1 − k)! (n − k) k (k − 1)! (n − k)!
=
k
n!
n
n!
n
n!
n−k
+
=
·
=
=
.
n k! (n − k)! k! (n − k)!
n k! (n − k)! k! (n − k)!
k
k+1
b) Cnk = Cn+1
− Cnk+1
⇔
n
n+1
n
=
−
,
k
k+1
k+1
L 27 Um die Gleichung zu beweisen, werden wir die linke Seite auf die Form der rechten Seite bringen
k−1
k Cnk = n Cn−1
k·
n
k
⇔
k·
n
n−1
=n·
,
k
k−1
= k·
n!
(n − 1)! n
(n − 1)! n
=k·
=
=
k! (n − k)!
(k − 1)! k (n − k)! (k − 1)! (n − k)!
= n·
(n − 1)!
(n − 1)!
n−1
=n·
=n·
.
(k − 1)! (n − k)!
(k − 1)! ((n − 1) − (k − 1))!
k−1
L 28
10
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