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Die Entführung

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Stochastische Finanzmärkte
WS 14/15
Vorlesung: Prof. Dr. Thorsten Schmidt
Übung: Dipl.-Math. oec. Yves Läßig
www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima
Übung 2
Abgabetermin Hausaufgaben: 27.10.2014
(im Büro Reichenhainer Str. 41/716 oder – deutlich markiert – im Briefkasten von Frau Schönyan
neben Büro 41/713)
Aufgabe 1. Wiederholen Sie die Auszahlungsprofile für den Kauf und Verkauf von europäischen
Call- bzw. Put-Optionen.
Stellen Sie folgende Auszahlungsprofile als Kombinationen von Calls und Puts dar:
(a) Bull-Call-Spread
(b) Strangle
CT
CT
K1
K2
ST
K1
K2
ST
Aufgabe 2. Wir bezeichnen mit πCK den Preis eines Calls mit Ausübungspreis K in einem
arbitragefreien Marktmodell.
Zeigen Sie durch Arbitrageüberlegungen, dass für K1 < K2 folgende Aussagen gelten:
(a) πCK1 ≥ πCK2 ,
(b)
1
1+r (K2
− K1 ) ≥ πCK1 − πCK2 für r > −1,
(c) λπCK1 + (1 − λ)πCK2 ≥ πλK1 +(1−λ)K2 für alle λ ∈ [0,1].
Aufgabe 3. Wir betrachten einen einperiodigen Finanzmarkt, bestehend aus einer risikolosen
Anlage mit festem Zins r = 0,25 und einer risikobehafteten Anlage mit Preis π1 = 49 an t = 0.
Zur Zeit t = 1 sind folgende zwei Szenarien für die risikobehaftete Anlage möglich
S1 =
35
70
mit Wahrscheinlichkeit p,
mit Wahrscheinlichkeit 1 − p,
deren Eintrittswahrscheinlichkeiten p ∈ (0,1) unbekannt sind.
Bewerten Sie eine europäische Put-Option mit Strike K = 55 risikoneutral.
Aufgabe 4. Es sei ein einperiodiges Marktmodell mit einer einzigen risikobehafteten Anlage S
gegeben, die auf einem endlichen W-Raum (Ω, F, P) definiert ist. Dabei soll P (ω) > 0 für alle
ω ∈ Ω gelten. Der Preis der Anlage sei π und der risikolose Zinssatz sei r > −1. Wir definieren
a := max S(ω)
ω∈Ω
und
b := min S(ω).
ω∈Ω
Zeigen Sie, dass das Modell genau dann arbitragefrei ist, wenn b < π(1 + r) < a gilt.
Hausaufgabe 1. (Fin+Math) 3 Punkte. Stellen Sie folgende Auszahlungsprofile als Kombinationen von Calls und Puts dar:
(a) Bear-Put-Spread
(b) Butterfly
CT
CT
K1
K2
ST
K1
K2
ST
Hausaufgabe 2. (Fin+Math) 5 Punkte. Eine Gießerei nutzt Erdgas für das Heizen ihrer
Hochöfen. Aktuell kostet eine Kilowattstunde Erdgas am Markt 2,5 ct. Im Rahmen der internen Produktionsplanung für das kommende Jahr möchte sich die Gießerei gegen stark steigende
Erdgaspreise absichern und kauft Call-Optionen mit einer Laufzeit von einem Jahr und einem
Strike-Preis von 3 ct/kWh.
Für die Marktentwicklung des Gaspreises S im Folgejahr sind zwei Szenarien mit positiver Wahrscheinlichkeit denkbar
2, falls ω = ω1
S(ω) =
4, falls ω = ω2 .
Der risikolose Zinssatz für ein Jahr betrage 10%.
(a) Bestimmen Sie ein replizierendes Portfolio für die Call-Option und damit den fairen Preis
für diese.
Welche Menge an Gas kann die Gießerei aktuell absichern, wenn dafür 2.000 e zur Verfügung stehen?
(b) Ist dieses Vorgehen bei der Optionspreisbewertung auch auf Strommärkten sinnvoll?
Begründen Sie Ihre Antwort und beschreiben Sie welche Voraussetzungen an das gehandelte
Underlying gestellt werden sollten, um Optionen nach diesem Schema bewerten zu können.
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