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1 PV - Hausaufgabe Nr. 49 02.06.2003 Wie lautet die

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1
PV - Hausaufgabe Nr. 49
02.06.2003
Wie lautet die Differentialgleichung und deren Lösung für den mechanisch reibungslosen Fall
im Reellen ?
Machen Sie die Probe.
Lösungs – Pkte.: 1
Die Differentialgleichung für den mechanisch reibungslosen Fall lautet:
..
x (t ) +
k
k
k
t + B ⋅ cos
t
⋅ x (t ) = 0; deren Lösung : x (t ) = A ⋅ sin
m
m
m
Die Probe lautet :
x (t ) = A ⋅ sin
..
x (t ) = − A ⋅
•
k
k
k
k
k
k
t + B ⋅ cos
t ∧ x (t ) = A ⋅
t - B⋅
t∧
⋅ cos
⋅ sin
m
m
m
m
m
m
k
k
k
k
t - B ⋅ ⋅ cos
t
⋅ sin
m
m
m
m
Damit folgt durch Einsetzen :
−A⋅
k
k
k
k
k
k
k
t - B ⋅ ⋅ cos
t + ⋅ A ⋅ sin
t + B ⋅ cos
t =0
⋅ sin
m
m
m
m
m
m
m
2
PV - Hausaufgabe Nr. 50
2. Juni 2003
Zeigen Sie, daß die Differentialgleichung: y’’( x ) + a y’( x ) + b y ( x ) = 0 gelöst wird durch:
y (x ) = e x ⋅ [Asin( ⋅ x) + Bcos( ⋅ x) ] ∧ = −
a
∧ =
2
a2
−b .
4
Lösungs – Pkte.: 1
Die Lösung muß zweimal differenziert in die gegebene Differentialgleichung:
y’’( x ) + a y’( x ) + b y ( x ) = 0 eingesetzt werden wie folgt :
a
a2
∧ = b−
→
2
4
⋅ Asin( ⋅ x) + ⋅ Bcos( ⋅ x) + A ⋅ cos( ⋅ x) - B ⋅ sin( ⋅ x)] =
y (x ) = e x ⋅ [Asin( ⋅ x) + Bcos( ⋅ x) ] ∧ = −
y'(x ) = e x ⋅ [
→ y'(x ) = e x ⋅ [( ⋅ A - ⋅ B) ⋅ sin( ⋅ x) + ( ⋅ B + ⋅ A ) ⋅ cos( ⋅ x) ]
y''(x ) = e x ⋅
[(
2
⋅A-2⋅ ⋅ ⋅B-
2
⋅ A ) ⋅ sin( ⋅ x) + (
2
⋅B+ 2⋅ ⋅ ⋅A −
Durch Einsetzen in die DGL. folgt :
ex⋅
[(
2
⋅A -2⋅ ⋅ ⋅B-
2
⋅ A ) ⋅ sin( ⋅ x) + (
2
⋅B+ 2⋅ ⋅ ⋅A −
2
2
⋅ B)cos( ⋅ x)
]
]
⋅ B)cos( ⋅ x) +
a ⋅ {e x ⋅ [( ⋅ A - B ) ⋅ sin( ⋅ x) + ( ⋅ B + A ) ⋅ cos( ⋅ x) ]}+ b ⋅ {e x ⋅ [Asin( ⋅ x) + Bcos( ⋅ x) ]} = 0
Nachfolgend kann die Exponentialfunktion fortgelassen werden; die abgekürzten Werte
müssen eingesetzt und die Funktionswerte zusammengefaßt werden, es ergibt sich damit:
[(
]
⋅ A - 2 ⋅ ⋅ ⋅ B - 2 ⋅ A ) ⋅ sin( ⋅ x) + ( 2 ⋅ B + 2 ⋅ ⋅ ⋅ A − 2 ⋅ B)cos( ⋅ x) +
a ⋅ {[( ⋅ A - B ) ⋅ sin( ⋅ x) + ( ⋅ B + A ) ⋅ cos( ⋅ x) ]} + b ⋅ {[Asin( ⋅ x) + Bcos( ⋅ x) ]} = 0 →
2
sin( ⋅ x) ⋅
a2
a2
a2
a2
a2
⋅B- ⋅B-a⋅ b −
⋅B+ b⋅A +
⋅A− b ⋅A+a⋅ b−
4
2
4
4
4
cos( ⋅ x) ⋅
a2
a2
a2
a2
a2
⋅B−b ⋅B+a⋅ b−
⋅A- ⋅B-a ⋅ b −
⋅A + b⋅B = 0
4
4
4
2
4
Die Klammern bei der sin - wie bei der cos – Funktion müssen gleich: „Null“ = 0 sein. Die
algebraische Berechnung nach der Multiplikation führt genau zu diesem Ergebnis.
3
PV - Hausaufgabe Nr.
51
Montag, 2. Juni 2003
Lösen Sie mit Proben: y’ ’ + 2 y’ + 5 y = 0 ; und: y ( 0 ) = 1 und: y’ ( 0 ) = 5 .
Lösungs – Pkte.: 1
Das ist eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, dessen
allgemeine und spezielle Lösung gesucht wird.
Mittels des üblichen Lösungsansatzes ergibt sich das charakteristische Polynom und daraus
die allgemeine Lösung wie folgt:
2
+2 +5= 0→
1,2
= −1 ± 1 − 5 = −1 ± i ⋅ 2;
damit die allgemeine Lösung :
y (x ) = e −x ⋅ [A ⋅ sin2x + B ⋅ cos2x ] = Allgemeine Lösung.
Die Ableitung lautet : y'(x ) = e − x ⋅ [- A ⋅ sin2x − B ⋅ cos2x + 2A ⋅ cos2x − 2B ⋅ sin2x ].
Einsetzen von : y(0) = +1 ∧ y'(0) = +5 ergeben :
y (0 ) = +1 = e −0 ⋅ [A ⋅ sin0 + B ⋅ cos0] = B ∧ y'(0) = +5 = [− B ⋅ cos0 + 2A ⋅ cos0] → A = 3 →
y (x ) = e −x ⋅ [3 ⋅ sin2x + cos2x ] = Spezielle Lösung.
Probe 1 :
y (x ) = e −x ⋅ [A ⋅ sin2x + B ⋅ cos2x ] ∧ y'(x ) = e − x ⋅ [(2A - B) ⋅ cos2x - (A + 2B) ⋅ sin2x ] ∧
y''(x ) = e −x ⋅ [(4B - 3A ) ⋅ sin2x − (4A − 3B) ⋅ cos2x ].
Das Einsetzen ergibt :
e − x ⋅ {[(4B - 3A ) ⋅ sin2x − (4A − 3B) ⋅ cos2x ] + 2 ⋅ [(2A - B) ⋅ cos2x - (A + 2B) ⋅ sin2x ]} +
e − x ⋅ 5 ⋅ [A ⋅ sin2x + B ⋅ cos2x ] = 0
Probe 2 :
y (x ) = e −x ⋅ [3 ⋅ sin2x + cos2x ] ∧ y'(x ) = e − x ⋅ [5 ⋅ cos2x - 5 ⋅ sin2x ] ∧
y''(x ) = e −x ⋅ [− 5 ⋅ sin2x − 9 ⋅ cos2x].
Das Einsetzen ergibt :
e − x ⋅ {[− 5 ⋅ sin2x − 9 ⋅ cos2x ] + 2 ⋅ [5 ⋅ cos2x - 5 ⋅ sin2x ] + 5 ⋅ [3 ⋅ sin2x + cos2x ]} = 0
4
PV - Hausaufgabe Nr.
52
Montag, 2. Juni 2003
Lösen Sie analytisch: max G = 12x 1 + 15x 2
15 20
x1
6000
⋅
≤
∧ x1; x 2 ≥ 0 !
20 10
x2
4000
Lösungs – Pkte.: 1
Dies stellt ein zweidimensionales LOP dar, welches mittels E Simplex berechenbar ist,
nachdem anfangs das primäre Simplex – Tableau erstellt wird, errechnet man durch
zweimalige Iteration das endgültige Tableau wie folgt ( Pivotelemente sind fett ):
b
x
y s1 s2
Q
x
20 1 0 6000 300
15
3/ 4
→
25/2
20
10 0 1 4000 400
− 12 − 15 0 0
0
− 3/ 4
x
0
1
0
b
y
s1
s2
Q
1 1 / 20 0 300 400
→
0 − 1 / 2 1 1000 80
0 3 / 4 0 4500
b
y
s1
s2
Q
1 2 / 25
3 / 50
240
0 − 1 / 25 − 2 / 25 80
0 18 / 25
3/ 4
4560
Diesem endgültige Tableau sind die gesuchten Werte für: x und: y und für die Zielfunktion: z
zu entnehmen: x = 80 und: y = 240 und: z = 4560.
5
PV - Hausaufgabe Nr. 53
02.06.2003
Mittels des Simplex – Algorithmus ist zu lösen:
g = 10x 1 + 20x 2 ∧ x 1 ; x 2 ≥ 0 ∧ 3x 1 + 4x 2 ≤ 24 ∧ x 1 + 4x 2 ≤ 16 ∧ 2x 1 + x 2 ≤ 12 !
Lösungs – Pkte.: 1
Nach dem Erstellen des primären Simplex – Algorithmus wird mit den üblichen Routinen der
maximale wert wie folgt errechnet ( Pivotelemente sind fett ) :
x1
x2 x3
3
4
1
1
4
0
2
1
0
- 10 - 20 0
x1
1
→ 0
0
0
x2
0
1
0
0
x4
0
1
0
0
x5 b Q
x1 x 2
0 24 6
2
0
0 16 4 → 1/4 1
1 12 12 7/4 0
0 0
-5 0
x3
1
0
0
0
x4 x5 b Q
-1
0 8 6
1/4 0 4 4
- 1/4 1 8 12
5
0 80
x3
x 4 x5
b Q
1/2 - 1/2 0
4
- 1/8 3/8 0
3
- 7/8 5/8 1
1
0
5/2 0 100
Die optimale Lösung lautet somit und ist aus dem finalen Simplex - Tableau ablesbar :
x 1 = 4; x 2 = 3 → G = 100
Natürlich kann die grafische Lösung ebenfalls angegeben werden.
6
PV - Hausaufgabe Nr.
54
Montag, 2. Juni 2003
Berechnen Sie mittels des Dual – Prinzips:
K = 200y1 + 120y 2 + 240y 3 ∧ y1 ; y 2 ; y 3 ≥ 0 ∧ 2y1 + y 2 + y 3 ≥ 20 ∧ y1 + y 2 + 3y 3 ≥ 30 !
Lösungs – Pkte.: 1
Das duale Maximierungsproblem lautet ( Pivotelemente sind fett ):
G = 20x 1 + 30x 2 ∧ x 1 ; x 2 ≥ 0 ∧ 2x1 + x 2 ≤ 200 ∧ x 1 + x 2 ≤ 120 ∧ x 1 + 3x 2 ≤ 240
damit folgt für das erste und die folgenden Simplex - Tableaus :
x1
x2 x3
2
1
1
1
1
0
1
0
3
- 20 − 30 0
x1
0
1
0
0
x2
0
0
1
0
x3
1
0
0
0
x4
0
1
0
0
x5
Q
x1 x 2
b
0 200 200
5/3 0
0 120 120 → 2/3 0
1 240 80
1/3 1
0
0
- 10 0
x3
1
0
0
0
x4
0
1
0
0
x5
Q
b
− 1 / 3 120 72
60 →
− 1 / 3 40
1/ 3
80 240
10
2400
x4
x5
Q
b
20
− 5 / 2 1/ 2
3 / 2 − 1 / 2 60
60
− 1/ 2 1/ 2
15
5
3000
Die optimale Lösung ergibt sich, ablesbar aus dem finalen Simplex - Tableau unter
Berücksich tigung eines dualen Problems wie folgt :
x 4 = +15; ∧ x 5 = +5 mit : K = 3.000 ( z. B. Geldeinhei ten ).
Diese Lösung kann natürlich auch noch grafisch gefunden werden.
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