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Lösung 2

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Ubungen
zur Physik I PHY 111 und PHY 116, HS 2014
Abgabe: Dienstag, 07. Oktober 1200
Serie 2
Allgemeine Fragen
1. Was misst eine Federwaage: Kr¨
afte oder Massen?
Antwort:
Die Federwaage misst Kr¨
afte, keine Masse.
2. Kommentieren Sie, welche der folgenden Kr¨aftepaare Beispiele f¨
ur actio = reactio im Sinne des dritten
Newton’schen Prinzips sind:
(a) Die Erde zieht den Fussball an; der Fussball zieht die Erde an.
(b) Die Erde zieht den Fussball runter an den Boden; der Boden dr¨
uckt auf den Ball mit einer gleich
grossen, entgegengesetzten Kraft nach oben.
(c) Ein Flugzeugpropeller beschleunigt Luft gegen das hintere Flugzeugende; die Luft schiebt das Flugzeug vorw¨
arts.
(d) Ein Pferd zieht einen Wagen, ohne ihn zu bewegen; der Boden, auf dem der Wagen steht, u
¨bt eine
gleich grosse und entgegengesetzte Reibungskraft auf den Wagen aus.
(e) Ein Pferd zieht einen Wagen und beschleunigt ihn; der Wagen zieht am Pferd.
Antwort:
(a) Richtig.
(b) Falsch.
(c) Richtig.
(d) Falsch.
(e) Richtig.
3. Welche Kr¨
afte wirken auf einen Basketballspieler w¨ahrend des Absprungs, Aufstiegs, Ballabgabe, R¨
uckkehr
zum Boden und beim Abfedern? Sind Aufstiegszeit (mit Ball) und Fallzeit (ohne Ball) gleich gross?
Antwort:
Absprung Gewichtskraft und Normalkraft
Aufstieg Gewichtskraft
Ballabgabe Gewichtskraft und actio = reactio zwischen Ball und Spieler
Abstieg Gewichtskraft
Absprung Gewichtskraft und Normalkraft.
Die Fallzeit h¨
angt davon ab, ob der Ball nach oben, unten, oder horizontal weggeworfen wird. Entsprechend
ist die Fallzeit k¨
urzer, l¨
anger oder gleich.
4. Dimensionsanalyse ist eine n¨
utzliche Methode sich davon zu u
¨berzeugen, dass eine physikalische Gleichung
Sinn macht. Wenn wir mit kg, m und s die Dimensionen der Masse, L¨ange und Zeit bezeichnen, und die
Dimensionen von Kraft (F ) und Energie (E), kg m/s2 bzw. kg m2 /s2 sind, dann k¨onnen wir von den folgenden Gleichungen einige als unphysikalisch aussondern (x, v, a, t und m bezeichnen Ort, Geschwindigkeit,
Beschleunigung, Zeit und Masse). Welche?
1
(a)
(b)
(c)
(d)
F = ma
x = at3
E = 21 mv
E = max
(e)
(f)
(g)
(h)
v = F x/m
a = v 2 /x
x = v/a
x = vt
(i) x = vt sin t
(j) x = vt sin vt
(k) x = (at2 ) sin(vt/x)
Antwort:
richtig: (a), (d), (e), (f), (h), (k)
falsch:
(b), (c), (g), (i), (j).
Aufgaben
1 Beschleunigung und Kr¨
afte [2P]
Ein Affe mit einer Masse von 10 kg klettert ein masseloses Seil
hinauf, das reibungsfrei u
auft und am anderen Ende
¨ber einen Ast l¨
mit einer Bananenkiste mit einer Masse von 15 kg verbunden ist.
(a) [1P] Wie gross muss die minimale Beschleunigung sein, die
der Affe haben muss, um die Kiste vom Boden abzuheben?
(b) [1P] Sollte der Affe nach dem Abheben der Kiste anhalten
und sich nur am Seil festhalten, so wird die Kiste wieder
fallen. Wie gross ist dann seine Beschleunigung und die Seilkraft?
L¨
osung
Angaben
mA = 10 kg, mK = 15 kg, amin := minimale Beschleunigung. Die Erdbeschleunigung sei immer g = 9.81 m/s2 ,
falls nicht anders angegeben.
(a) Kr¨
aftepaare auf das Seil S, verursacht von der Kiste K und dem Affe A.
FSA = FAS
FSK = FKS
FSA = FSK ⇐= weil das Seil masselos ist.
Gesucht ist das Gleichgewicht der Kr¨
afte im Moment da die Kiste den Boden nicht mehr ber¨
uhrt;
FK = mK · g = FA + FAS = mA · g + mA · amin
amin =
(mK −mA )·g
mA
= 4.9 sm2
(b) Gesucht ist die Beschleunigung des Systems atot wenn der Affe sich nur noch am Seil festh¨alt (aA = 0):
mtot · atot = −FA + FK
atot =
(mK −mA )·g
mtot
=
(mK −mA )·g
mA +mK
=2
m
s2
Die Seilkraft T kann durch die Betrachtung aller Kr¨afte auf der Kiste bestimmt werden:
Ftot,K = FK − T
Ftot,K = mK · atot
=⇒ T = mK · (g − atot ) = 120 N
2
2 Schiefer Wurf 2 [3P]
Von einem h = 25 m hohen Turm wird ein Stein mit v0 = 15 m/s unter dem Winkel α0 = 40◦ gegen¨
uber der
Horizontalen geworfen.
(a) [0.5P] Zeichnen Sie ein v-t Diagramm f¨
ur die vx - und vy -Komponenten.
(b) [1P] Nach welcher Zeit und in welcher Entfernung vom Turm trifft der Stein auf dem Boden auf?
(c) [1.5P] Unter welchem Winkel m¨
usste der Stein unter sonst gleichen Bedingungen geworfen werden, um
die gr¨
osstm¨
ogliche Weite vom Turm zu erreichen? (W¨ahle den Koordinatenursprung im Abwurfpunkt,
dann gilt f¨
ur den Auftreffpunkt y = −h; differenziere die Gleichung f¨
ur den schiefen Wurf nach α, beachte
dx
= 0
dabei, dass auch die Wurfweite x von α abh¨angt, und verwende, dass f¨
ur die maximale Weite dα
gelten muss.)
L¨
osung
(a) Horizontal wirkt keine Kraft, daher ist die Horizontalkomponente vx = v0 cos α0 konstant. In vertikaler
Richtung wird der Stein konstant mit g beschleunigt, d.h. vy = v0 sin α0 − gt (siehe Abb. 1).
Abbildung 1: Geschwindigkeitskomponenten des schiefen Wurfs bei einem Wurfwinkel von α = 40◦ .
(b) F¨
ur die Berechnung der Zeit k¨
onnte man x(t) und y(t) berechnen oder man geht von der aus der Vorlesung
bekannten Gleichung f¨
ur den schiefen Wurf aus:
x
2
y(x) = x · tan α0 −
g
2
vx,0
= x · tan α0 −
g
2
x
v0 cos α0
2
.
(2.1)
Gesucht ist x1 . Setze daf¨
ur y(x1 ) = −h, den Auftreffpunkt auf dem Boden, wenn als Koordinatenursprung
der Abwurfpunkt gew¨
ahlt wurde, und l¨ose nach x auf:
2v02
g
x2 − x tan α0 − h = 0
cos2 α0
3
Dies ist eine quadratische Gleichung in x f¨
ur welche die L¨osungen sind:
tan α0 ±
x1,2 =
gh
tan2 α0 + 4 2v2 cos
2α
0
0
v02
⇒
(2.2)
g
cos2 α0
x1 ≈ 39.6 m
[x2 < 0] .
Die Zeit bis zum Auftreffen l¨
asst sich beispielsweise aus der Komponente in x-Richtung berechnen:
x(t) = vx t
⇒
x1
v0 cos α0
≈ 3.45 s.
t1 =
(c) Man geht wieder von Gl. (2.1) f¨
ur den schiefen Wurf aus. Nur sind jetzt Wurfweite x und Abwurfwinkel
α0 ver¨
anderlich. Gliedweises Differenzieren nach α0 ergibt (beachte dabei, dass x implizit von α0 abh¨
angt)
0=
dx
dx
x
g
1
tan α0 +
− 2 2x
cos2 α0 − 2 cos α0 (− sin α0 ) x2
.
dα0
cos2 α0
2v0
dα0
cos4 α0
Wir suchen die gr¨
osste Weite xmax , also muss die Extremwertbedingung
dx
dα0
= 0 erf¨
ullt sein.
α0 =αmax
Man erh¨
alt
xmax
g sin αmax 2
− 2
x
cos2 αmax
v0 cos3 αmax max
v02
.
=
g tan αmax
0=
bzw.
xmax
Dies f¨
ur x in die Ausgangsgleichung (2.1) eingesetzt, ergibt
sin αmax =
⇒
v0
2 (v02 + gh)
αmax = 29.3◦ .
Der optimale Abwurfwinkel ist also deutlich geringer als 45◦ , was nur bei einem ebenen“ Wurf die gr¨
osste
”
Weite bringt. Man erh¨
alt aus Gl. (2.2) die maximale Weite
xmax ≈ 40.9 m.
3 ICE3-Zug [3P]
Der ICE3 erreicht auf der Neubaustrecke K¨
oln-Rhein/Main eine H¨ochstgeschwindigkeit von vmax = 300 km/h.
Das ICE Gesamtgewicht mit rund 400 Fahrg¨
asten sei m = 443 t und der Zug beschleunigt mit a = 0.65 m/s2 .
(a) [0.5P] Welche Kraft wird zur Beschleunigung ben¨otigt, und wie lange dauert die Beschleunigung von der
Ruhe bis zum Erreichen der H¨
ochstgeschwindigkeit? Welche Gesamtstrecke legt der Zug dabei zur¨
uck?
4
(b) [1P] Wenn der Zug mit der H¨
ochstgeschwindigkeit in eine ebene Kurve f¨ahrt und die maximal zul¨
assige
Beschleunigung auf die Passagiere auf n · g mit n = 0.05 begrenzt sein soll, wie gross ist dann der minimal
tolerierbare Kurvenradius? Wie hoch darf die Geschwindigkeit des ICE3 maximal sein, wenn der Radius
nur 1 km ist?
(c) [1.5P] Das Gleis einer Kurve sei nun unter dem Winkel von α = 6◦ zur Horizontalen geneigt. Welchen
Radius soll die Kurve haben, um es f¨
ur die H¨ochstgeschwindigkeit von 300 km/h so auszulegen, dass
keine ’seitlichen’ Beschleunigungen auf die Insassen auftreten? Als ’seitlich’ ist hier die Beschleunigung
in Richtung der Neigung gemeint, also 6◦ zur Horizontalen. Wie schnell k¨onnte der ICE3 in dieser Kurve
fahren, wenn eine seitliche Beschleunigung von n · g mit n = 0.05 zugelassen wird?
L¨
osung
Angaben:
vmax = 300
m = 443 t
a = 0.65 sm2
g = 9.81 sm2
n = 0.05
km
h
(a) Die Kraft wird aus F = m · a berechnet, und die Zeit t und die Strecke x bekommt man aus der Bewegungsgleichung. Anfangsgeschwindigkeit v0 und Position x0 sind null.
F = m · a = 2.88 · 105 N
vmax = a · t =⇒ t = vmax
= 128.2 s
a
1 v2
1 2
x = 2 at = 2 a = 5.34 km
(b) Die maximal zul¨
assige Beschleunigun ist
amax = n · g = 0.49 sm2 .
Die Beschleunigung amax gibt die maximale Zentripetalbeschleunigung vor, und somit bekommt man den
kleinsten Radius der Kurve:
m · amax = m ·
v2
rmin
=⇒ rmin =
v2
amax
= 14.1 km
Mit der gleichen Formel und dem gegebenen Radius r = 1 km kann die maximale Geschwindigkeit berechnet werden:
v=
√
a · r = 22.1
m
s
= 79.7
km
h
(c) Hat die Kurve eine Neigung (α = 6◦ ) zur Horizontalen ergibt sich eine zus¨atzliche Kraftkomponente FS
zwischen Schiene und Zug (Zwangsbedingung): diese verhindert dass der Zug bei zu langsamer Fahrt nach
unten und bei zu schneller Fahrt nach oben rutscht (Abb. 2). Im ersten Fall ohne seitliche Belastung der
Passagiere (FS wird gerade Null) wirken nur die Gewichtskraft FG und die Normalkraft N , wobei die
resultierende Kraft die Zentripetalkraft ist. Man erh¨alt folgendes allgemeines Gleichungssystem f¨
ur die
radiale und die z Komponente:
m · v2
r
N · cos(a) − FS · sin(a) − mg = 0
−N · sin(α) − FS · cos(a) = −
5
(3.1)
(3.2)
Die zweite Gleichung fixiert die unbekannte Normalkraft N . Nach N aufgel¨ost und in die radiale Gleichung
eingesetzt, kann die erste Gleichung nach dem Radius r aufgel¨ost werden. Dabei wird die Bedingung FS
= 0 N verwendet, da keine seitlichen Kr¨afte auftreten.
r=
2
vmax
= 6735m.
g · tan(α)
(3.3)
Nun wird eine seitliche Beschleunigung der Passagiere von aP = n · g mit n = 0.05 erlaubt. Damit wird
Fs = m · aP . Die z-Koordinaten Gleichung wird wieder nach N aufgel¨ost und in die erste Gleichung
eingesetzt. Wir l¨
osen nach der Geschwindigkeit auf und erhalten:
v=
g · r (n · (sin(a) · tan(α) + cos(α)) + tan(a)) = 101
m
km
= 364
.
s
h
(3.4)
Abbildung 2: Kr¨afte, die in der Kurve wirken.
4 Kr¨
afte im Lift [1P]
Ein Fahrstuhlk¨
afig mit einer Masse von 3120 kg wird mit einem Kabel bei einer Beschleunigung von 1.2 m/s2
nach oben gezogen.
(a) [0.5P] Zeichnen Sie in einer Skizze alle relevanten Kr¨afte ein.
(b) [0.25P] Berechnen Sie die Zugkraft auf das Kabel.
(c) [0.25P] Wie gross ist diese Kraft, wenn der nach oben fahrende Fahrstuhl mit dem gleichen Betrag der
Beschleunigung abbremst?
L¨
osung
Angaben: m = 3120 kg, a = 1.2
m
,
s2
g = 9.81
m
s2
(a) Abbildung 3 zeigt die Kr¨
afte, die auf den Fahrstuhl wirken.
6
Abbildung 3: Kr¨aefte, die auf den Fahrstuhl wirken.
(b) Z = a · m + g · m = 34351 N
(c) Z = g · m − a · m = 26863 N
5 Kreisbewegung [2P]
Ein hypothetischer Satellit soll sich unmittelbar u
¨ber der Oberfl¨ache der Erde mit so hoher Geschwindigkeit
bewegen, dass die Erdbeschleunigung (g = 9.81m/s2 ) gerade die notwendige Zentripetalbeschleunigung f¨
ur eine
Kreisbewegung um die Erde liefert. Der Radius der Erde ist RE = 6378 km. Berechnen Sie Geschwindigkeit,
Umlaufzeit, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit f¨
ur diese Kreisbewegung. (Annahme: keine Luftreibung).
L¨
osung
Angaben:
RE = 6378 km
g = 9.81 sm2
2
m vr = ma
mω 2 r = ma
T = 2RvE π = ν1
m · ω 2 RE = m · a
Mit den Formeln in den obigen Angaben k¨
onnen alle Fragen beantwortet werden:
√
v2
m
a = g = RE ⇐⇒ v = RE g = 7910 s
T = 2RvE π = 5066 s = 1.41 h
g
RE
ω=
ν=
ω
2π
= 1.24 · 10−3
rad
s
= 1.97 · 10−4 Hz
6 Looping [1P]
Mit welcher Mindestgeschwindigkeit muss eine Achterbahn beim Looping im h¨ochsten Punkt der Kreisbahn
(Radius = 8 m) fahren, damit die Fahrg¨
aste nicht hinausfallen?
7
L¨
osung
Angaben: r = 8 m
2
√
ma = m vr ⇐⇒ v = gr = 8.9
m
s
14. Oktober 2014
8
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