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1 | Strom-Strom Greensche Funktion mit Störstellen (6 Punkte) Wie

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¨ r Technologie
Karlsruher Institut fu
¨ r theoretische Festko
¨ rperphysik
Institut fu
¨
UBUNGSBLATT
NR. 5
Theorie der kondensierten Materie II,
SS 2012
Prof. Dr. Gerd Sch¨
on
Dr. Michael Marthaler, Dr. Jens Michelsen
Ausgabe 25.05.12
Besprechung 01.06.12
http://www.tfp.kit.edu/studium-lehre_444.php
1|
Strom-Strom Green’sche Funktion mit St¨
orstellen
(6 Punkte)
Wie in der Vorlesung gezeigt wurde, kann die Strom-Strom Green’sche Funktion durch die
2-Teilchen Green’sche Funktion ausgedr¨
uckt werden,
′ ′
Gjj
αβ (r, τ ; r , τ ) =
2e2
(∇2′ β − ∇1′ β ) (∇2α − ∇1α ) G2 (2, 2′ ; 1, 1′ )
4m2
′
τ2′ =τ1−
;r ′2 =r ′1
τ2 =τ1− ;r 2 =r 1
(1)
und effektiv G2 (2, 2′ ; 1, 1′ ) = G(2, 1′ )G(2′ , 1). Betrachten Sie ein Elektronengas mit zuf¨alligen
St¨orstellen, und benutzen Sie die N¨
aherung G(2, 1′ )G(2′ , 1) = G(2, 1′ ) G(2′ , 1) mit
G(2, 1) = G(2 − 1) um die Fourier-Transformation
Gjj
αβ (q, iωm ) =
2e2 1
m2 V
k
1
β
kα kβ G(k −
ωm
q
q
, iωn )G(k + , iωn + iωm )
2
2
(2)
zu bekommen.
Anmerkung: Hier haben wir ωm = 2πm/β da Gjj ein geradzahliges Produkt von FermiOperatoren ist) und ωn = (2n + 1)π/β.
2|
Elektron-Elektron Streurate
(14 Punkte)
F¨
ur ein Elektronengas mit (abgeschirmter) Coulombwechselwirkung ist die Selbstenergie
in der RPA-N¨
aherung gegeben durch
(Anmerkung: Der Hartree-Term verschwindet weil V (q = 0) = 0 angenommen ist.)
V˜ (q; iωm )
=−
Σ(k, iωn ) =
G0 (k + q; iωm + iωn )
1
β
ωm
1
V
V˜ (q, iωm )G0 (k + q; iωn + iωm ) (3)
q
¨
wobei (wie in dem letzten Ubungsblatt
gezeigt)
ε(q, iωm ) = 1 − V (q)χ0 (q, iωm )
V (q)
V˜ (q, iωm ) =
,
ε(q, iωm )
χ0 (q, iωm ) =
1
V
k′
nF (ξk′ ) − nF (ξk′ +q )
iωm − (ξk′ +q − ξk′ )
die abgeschirmte Coulombwechselwirkung darstellt, und
ωn =
(2n + 1)π
,
β
ωm =
Die Elektron-Elektron Streurate ist definiert durch
1
= −2ImΣR (k, ξk )
τk
¨
Ubungsblatt
Nr. 5
2πm
.
β
(5)
(6)
Seite 1 von 2
wobei ΣR (k, ω) = Σ(k, iωn → ω + iδ) durch analytische Fortsetzung von Gl. (3) geben ist.
a) (3 Punkte) F¨
uhren Sie die Summation u
¨ber die Bosonischen Frequenzen durch eine Konturintegration aus. Beachten Sie dabei, dass der Integrand u
¨berall analytisch ist, ausser
bei z = ξk+q − iωn und auf der reellen Achse. Sie sollten auch sicher stellen, dass Sie bei
der Wahl der Kontur nicht die Frequenz ωm = 0 vergessen.
Die Antwort die Sie bekommen sollten, lautet
Σ(k, iωn ) = −
1
V
1
−
V
∞
P
−∞
q
dǫ
nB (ǫ) V˜ (q, ǫ + iη)G0 (k + q, iωn + ǫ) − (η → −η)
2πi
(7)
nF (ξk+q )V˜ (q, ξk+q − iωn )
q
wobei P den Hauptwert darstellt und η → 0.
b) (3 Punkte) Jetzt wo die Frequenzsummation durchgef¨
uhrt ist, k¨onnen Sie die analytische
Fortsetzung durchf¨
uhren. Benutzen Sie dabei die Relationen [V˜ (q, ǫ − iη)]∗ = V˜ (q, ǫ + iη)
und ImGR
0 (k + q; ǫ + ω) = −πδ(ǫ + ω − ξk+q ).
Zeigen Sie, dass die folgende Streurate gegeben ist durch
2
1
= −2ImΣR (k, ξk ) = −
τk
V
[nB (ξk+q − ξk ) + nF (ξk+q )] Im V˜ (q, ξk+q − ξk + iη)
q
(8)
c) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass
Im V˜ (q, ξk+q − ξk + iη) ≡ Im
= V˜ (q, ξk+q − ξk )
2
1
V
V (q)
εR (q, ξk+q
− ξk )
(9)
nF (ξk′ ) − nF (ξk′ −q ) πδ(ξk′ − ξk′ −q − ξk+q + ξk )
k′
d) (5 Punkte) Benutzen Sie die Relationen nB (ǫ1 − ǫ2 )[nF (ǫ2 ) − nF (ǫ1 )] = nF (ǫ1 )[1 − nF (ǫ2 )]
und nF (ǫ1 ) − nF (ǫ2 ) = nF (ǫ1 )[1 − nF (ǫ2 )] − nF (ǫ2 )[1 − nF (ǫ1 )] um die Streurate auf die
Form (nk = nF (ξk ))
2π
1
=− 2
τk
V
2
V˜ (q, ξk+q − ξk ) δ(ξk′ − ξk′ −q − ξk+q + ξk )×
(10)
q,k′
× −n (1 − nk+q ) 1 − n
k′
k′ −q
− (1 − n ) nk+q n
k′
k′ −q
zu bringen. Vernachl¨assigen Sie nun die Frequenzabh¨angigkeit der abgeschirmten Coulombwechselwirkung und versuchen Sie, diesen Ausdruck zu interpretieren. Zeigen Sie, dass die
Lebensdauer von Quasiteilchen mit Energien ξk → 0 (Fermienergie) bei T = 0 divergiert.
¨
Ubungsblatt
Nr. 5
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