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3.6 Aufgaben wie im Abitur

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3.6 Aufgaben wie im Abitur
3.6 Aufgaben wie im Abitur
1. Bei einem Glücksspiel muss eine Münze viermal geworfen und anschließend mit
einem Spielwürfel gewürfelt werden. Erhält man genau zweimal Wappen, so muss
man nur noch einmal würfeln, sonst noch zweimal.
Ein Spieler gewinnt im einen Fall, wenn er eine 4 würfelt und im anderen, wenn
das Produkt der Augenzahlen 4 ergibt.
a)Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn.
b)Das ganze Spiel wird n-mal durchgeführt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
P0, kein einziges Spiel zu gewinnen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit P1 gewinnt
man bei n Spielen mindestens einmal? Wie lange muss man spielen, damit P1
größer ist als P0?
A
1. Problemanalyse
a)Zweistufiges Zufallsexperiment, Zufallsvariable, Binomialverteilung,
­Baumdiagramm, Pfadregel
b)n-stufiges Zufallsexperiment, Pfadregel, Gegenwahrscheinlichkeit,
­Exponentialungleichung
Lösung
a)Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der Wappen, die Zufallsvariable Y
das Produkt der Augenzahlen. Dann ist
_2 _2
__
__
3
3 __
1 _
1
  ​ = ​  8 ​, P (Y = 4) = ​ 36  ​ = ​  12  ​.
P (X = 2) = ​ 4​​2   ​ ​ ​ · ​​ ​ 21 ​   ​​ ​ · ​​ ​ 21 ​   ​​ ​ = 6 · ​ 16
Man definiert folgende Ereignisse:
A: Beim viermaligen Werfen einer Münze tritt genau zweimal Wappen auf.
B: Beim Würfeln erscheint die 4.
C: Beim zweimaligen Würfeln ist das Produkt der Augenzahlen 4.
_1
Hiermit erhält man für das zweistufige Zufalls­
6
experiment das folgende Baumdiagramm:
A
3
_
5
_
8
Nach der Pfadregel findet man
6
_ _ _ __ __
11
1
__
  ​ ≈ 0,1146.
P (Gewinn) = ​ 83 ​ · ​  61  ​ + ​ 85 ​ · ​ 121  ​ = ​ 96
L
(  ) (  ) (  )
(  )
(  )
__
__
__
85 n
85 n
85 n
⇔ 1 – (​​ ​ 96
 ​  )​​ ​> (​​ ​ 96 ​  )​​ ​ ⇔ 1 > 2 · (​​ ​ 96 ​  )​​ ​ P1 > P0 _
log ​ 21 ​ 
_
__
____
85 n
⇔ ​  21 ​ > (​​ ​ 96
 ​  )​​ ​ ⇔ n > ​  __
  ​ ≈ 5,7 ⇒ n = 6.
log ​  85 ​ 
__
__
85 n
85 n
 ​   ​​ ​, P1 = 1 – ​​ ​ 96 ​   ​​ ​
b)P0 = ​​ ​ 96
96
Man muss also mindestens sechsmal spielen.
5
_
8
A
B
B
12
C
11
__
12
C
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Sport
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