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Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das

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Ich scheue mich nicht, dem Leser zu gestehen, daß die Bestimmung des Begriffes der Größe ... mir in der That mehr Mühe
verursacht habe, als die Erklärung aller übrigen Begriffe in dieser Wissenschaft; daß ich auch nirgends so oft meine Meinung
geändert.
BERNARD BOLZANO
Was sind und was sollen die Zahlen? ... Die Zahlen sind freie
Schöpfungen des menschlichen Geistes.
RICHARD DEDEKIND
Wir glauben an die PEANOschen Axiome und sind davon überzeugt, daß wir, von 1 angefangen, so weit zählen könnten wie
wir wollten, wenn wir nur genug Zeit (und Lust) dazu hätten.
Nicht nur ein paar hundert blütenweiße Schäfchen vor dem
Einschlafen, nicht nur einige tausend Aufsätze über zahlentheoretische Probleme oder andere Belustigungen des Verstandes
und des Witzes, sondern Millionen und Milliarden.
HELMUT KRACKE
10. Was sind Zahlen?
HEINRICH WILHELM KRAUSHAAR schreibt in seinem Versuch einer festen philosophischen Bestimmung der ersten Vorstellungen und Grundbegriffe der Größenlehre
(1814), daß die arithmetische Einheit bloß in der Vorstellung existiere und daß es
dem Mathematiker unmöglich sei, selbige zu definieren. MARTIN OHM, im Versuch
eines vollkommen consequenten Systems der Mathematik (1822), stimmt dem bei:
Der Begriff der Zahl ist ein einfacher Begriff und uns gegeben. Und auch WILHELM
TRAUGOTT KRUG sieht weder Erklärungsbedarf noch die Möglichkeit dazu. Im
Allgemeinen Handwörterbuch der philosophischen Wissenschaften (1827) liest man,
Einheit sei ein so einfacher Begriff, daß er nicht erklärt werden könne und Größe sei
eine Eigenschaft, die jedem Dinge zukommt, sobald sich an ihm irgend ein Mannigfaltiges unterscheiden läßt. AUGUST CRELLE definiert in seinem Buch Rechnen mit
veränderlichen Größen (1813) die Größe lediglich als den Begriff des Teilbaren.
IMMANUEL KANT erklärt in der Kritik der reinen Vernunft die Größe als die Eigenschaft
eines Dinges, wodurch gedacht werden kann, wievielmal Eines in ihm gesetzt wird.
BERNHARD FRIEDRICH THIBAUT sagt in den Grundregeln der Mathematik (1809), daß
sich der Begriff der Größe gar nicht auf andere zurückführen, d. h. aus ihnen zusammensetzen lasse und nur durch das mittelbare Vorstellen seines Gegenstandes verständlich gemacht werden könne. BERNARD BOLZANO definiert: "Alle Vielheiten derselben Art sind auch als Größen ein und derselben Art zu betrachten" [BOL75, p. 225].
Abweichend vom Zahlbegriff des klassischen Altertums schließt er ausdrücklich die
Einheit ein: "Ganz aus demselben Grunde aus welchem jede Vielheit einer gewissen
Art als eine Größe dieser Art betrachtet werden darf, kann auch die Einheit selbst als
eine Größe dieser Art angesehen werden" [BOL75, p. 226]. Es gibt einfache, wirkliche, gegenstandlose und unmögliche oder bloß eingebildete Größen.
127
RICHARD DEDEKIND gibt in der Einleitung zu seiner Schrift Was sind und was sollen
die Zahlen? zwar eine Antwort, allerdings mehr in Form einer Umschreibung, als
einer Definition "Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage
lautet: die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als
ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen"
[DED88, p. III].
GEORG CANTOR hat 1895 erstmals die natürlichen Zahlen auf mengentheoretischer
Basis begründet [CAN32, p. 289 ff]. § 5 seiner Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre trägt den Titel Die endlichen Kardinalzahlen und verspricht, "die
natürlichste, kürzeste und strengste Begründung der endlichen Zahlenlehre [zu] liefern" (s. Kasten 10.1).
Kasten 10.1: Die Konstruktion der natürlichen Zahlen nach CANTOR.
Wir zitieren nachfolgend CANTOR in gekürzter und bezüglich der verwendeten Symbole und Bezeichnungen modernisierter Form [CAN32, p. 289 ff].
Einem einzelnen Ding e0, wenn wir es unter den Begriff einer Menge E0 = {e0} subsummieren, entspricht als Kardinalzahl das, was wir "Eins" nennen und mit 1 bezeichnen; wir haben 1 = |E0|. Man vereinige nun mit E0 ein anderes Ding e1, die Vereinigungsmenge heiße E1, so daß E1 = {E0, e1} = {e0, e1}. ({{e0}, e1} schreibt CANTOR
noch nicht; auch verwendet er runde Klammern.) Durch Hinzufügung neuer Elemente erhalten wir die Folge der Mengen E2 = {E1, e2}, E3 = {E2, e3}, ... welche in unbegrenzter Folge uns sukzessive die übrigen, mit 3, 4, 5, ... bezeichneten, sogenannten
endlichen Kardinalzahlen liefern. Die hierbei vorkommende hilfsweise Verwendung
derselben Zahlen als Indizes rechtfertigt sich daraus, daß eine Zahl erst dann in
dieser Bedeutung gebraucht wird, nachdem sie als Kardinalzahl definiert worden ist.
ν = |Eν-1|
Eν = {Eν−1, eν} = {e0, e1, ..., eν}
|Eν| = |Eν−1| + 1
Jede endliche Kardinalzahl (außer 1) ist die Summe aus der nächst vorhergehenden
und 1. Bei unserem Gedankengange treten nun folgende drei Sätze in den Vordergrund (zwecks eines Vergleichs mit vorher von CANTOR formulierten Forderungen,
die an Kardinalzahlen zu stellen sind):
A. Die Glieder der unbegrenzten Folge endlicher Kardinalzahlen 1, 2, 3, ..., ν, ... sind
alle untereinander verschieden.
B. Jede dieser Zahlen ν ist größer als die ihr vorangehenden und kleiner als die auf
sie folgenden.
C. Es gibt keine Kardinalzahlen, welche ihrer Größe nach zwischen zwei benachbarten ν und ν + 1 lägen.
128
ERNST ZERMELO als Herausgeber von CANTORs Werken merkt dazu an: "Die hier entwickelte Theorie der endlichen Kardinalzahlen ist, an modernem Maßstabe gemessen, wenig befriedigend, da die notwendige Grundlage einer solchen Theorie, eine
scharfe begriffliche Definition der endlichen Mengen, noch fehlt und wohl überhaupt
erst auf einer höheren Stufe der allgemeinen Theorie, z. B. mit Hilfe der Wohlordnung gewonnen werden kann" [CAN32, p. 352].
Das ist in gewissem Maße zwar berechtigte, allerdings auch zu kritisierende Kritik,
denn wie wir in Kapitel 7 feststellen mußten, gibt ZERMELO selbst im ZF-Axiomensystem überhaupt keine Definition dessen, was eine Menge zu nennen sei. Und die
wesentliche Bildung der natürlichen Zahlen aus Mengen im Stile von ZERMELO selbst
oder V. NEUMANN (s. Kasten 7.11) hat CANTOR hier zweifellos bereits weitgehend
antizipiert. Was in ein Axiomensystem hineinzuschreiben ist, hängt erfahrungsgemäß
sehr vom Zeitgeschmack ab. Ohne die Verwendung von Buchstaben und Grundbegriffen ist die Erklärung von Buchstaben und Grundbegriffen nicht möglich. Selbst
das heute allgemein als vorbildlich anerkannte Axiomensystem der natürlichen Zahlen nach PEANO (s. Kasten 1.1) bildet da keine Ausnahme. Es macht von der Kenntnis der natürlichen Zahlen insofern bereits Gebrauch, als in Axiom 2 die "natürliche
Zahl a" und in Axiom 5 eine "Menge von natürlichen Zahlen" vorkommt. Jede
natürliche Zahl a hat einen bestimmten Nachfolger. Aber wann ist a eine natürliche
Zahl? Das eben soll durch die Axiome erst festgelegt werden. Was der wichtige
Begriff eines "Nachfolgers" bedeutet, wird überhaupt nicht gesagt. Wegen dieser
ungeklärten Nachfolgeregelung kommt ebenso der nächst kleinere Stammbruch wie
die nächst größere Primzahl in Frage. Ohne eine intuitive Vorkenntnis des Begriffs
"natürliche Zahl" oder ein zu wählendes Modell werden lediglich Folgen aus paarweise verschiedenen Gliedern wie
1, 1/2, 2/3, 3/4, ...
oder
1, 2, 4, 8, ...
durch die PEANO-Axiomen beschrieben, die zwar isomorph zur Folge der natürlichen
Zahlen sind, aber eben nicht identisch mit ihr.
Eine axiomatische Definition der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Operation "+1" zur
Konkretisierung der Nachfolgeregelung setzt zwar die Kenntnis dieser Addition
bereits voraus, doch ist das ein vertretbarer Standpunkt, wie er auch bei RICHARD
DEDEKIND zum Ausdruck kommt. "Ich sehe die ganze Arithmetik als eine notwendige
oder wenigstens natürliche Folge des einfachsten arithmetischen Aktes, des Zählens, an, und das Zählen selbst ist nichts anderes als die sukzessive Schöpfung der
unendlichen Reihe der positiven ganzen Zahlen, in welcher jedes Individuum durch
das unmittelbar vorhergehende definiert wird; der einfachste Akt ist der Übergang
von einem schon erschaffenen Individuum zu dem darauffolgenden neu zu erschaffenden" [DED72, p. 5].
Die Addition von 1 ist zwar zunächst nicht definiert, jedoch darf sie als die elementare in jeder Urintuition verankerte Rechenoperation gelten, ohne die Rechnen überhaupt unmöglich ist und natürliche Zahlen sinnlos sind. Ist weiters die Kenntnis der
Begriffe Menge und Durchschnittsbildung bekannt, so liefern die folgenden Axiome
eine präzise Eingrenzung der Menge der natürlichen Zahlen (vgl. S. 2):
129
1) 1 œ M.
2) n œ M fl n + 1 œ M.
3) Ù ist Durchschnitt aller Mengen M, die (1) und (2) erfüllen.
Die Definition einer Zahl sagt aber noch nichts darüber aus, ob diese Zahl tatsächlich
existiert. Nach einem formalistischen Ansatz ist dazu lediglich die Widerspruchsfreiheit im verwendeten Axiomensystem erforderlich. Es gibt demnach zwar keine
natürliche Zahl zwischen 1 und 2 und keine reelle Wurzel aus einer negativen Zahl.
Was aber zu keinem Widerspruch führt, das existiert. Dieser sogenannte Realismus
als philosophische Richtung in der Mathematik, wie er von POINCARÉ und HILBERT
vertreten wurde, trägt seinen Namen zu Unrecht. Er nimmt auf reale Gegebenheiten
überhaupt keine Rücksicht, lehnt jeden Bezug auf physikalische Einschränkungen ab
und weigert sich anzugeben, wie die Existenz der widerspruchsfreien Größen
ontologisch zu verstehen sei. Diese Richtung sollte daher besser nur als PLATONismus bezeichnet werden.
Existiert aber alles, was nicht zu Widersprüchen führt. Existiert jede natürliche Zahl?
Und GOTT sprach: Es werde Licht. Und es ward Licht. Auf diese Weise scheinen
auch Axiome eine unendliche Menge von Zahlen zu erzeugen. Doch profanen Creationen sind Grenzen gesetzt. Die Existenz aller natürlichen Zahlen wird nicht durch
Axiome oder andere Forderungen gesichert. Aber um diese Frage hier erörtern zu
können, muß zunächst der Begriff Existenz definiert werden. Das ist im Grunde eine
schwierige philosophische Frage, deren Antworten einen weiten Bogen zwischen
Materialismus und Solipsismus spannen. Doch zum Glück benötigen wir nur die
Antwort in Bezug auf die Existenz von Ideen. Und dieses Problem läßt sich leichter
lösen. Eine Idee existiert als eine eigenständige Entität, wenn sie eindeutig individuell
identifizierbar, d. h. von jeder anderen Idee unterscheidbar ist. Ein noch ungeschriebenes Gedicht, das als Idee schon im Geiste des Dichters existiert, eine Vorstellung,
ein Gefühl, ein mathematisches Problem: das alles sind Ideen.
Auch Zahlen gehören zu den Ideen, aber für sie gilt ein noch strengeres Existenzkriterium. Eine Zahl n kann wie eine gewöhnliche Idee durch eine Bezeichnung, einen
Namen individualisiert werde. Doch ist die Existenz als Zahl noch nicht durch einen
Namen wie "2" oder "π" gesichert. "Zahl" ist ein Adelsbrief im Reiche der Ideen, der
nur solchen Ideen zukommt, deren Größe oder Wert verglichen mit der Einheit, x/1,
exakt oder zumindest mit jeder beliebigen Genauigkeit bestimmt werden kann. (Es
gibt Erweiterungen des Zahlbegriffs, z. B. Vektoren, Matrizen oder Tensoren, die
zwar aus Zahlen gebildet, aber selbst keine Zahlen mehr sind, wenn auch manche
von ihnen noch als Zahlen bezeichnet werden, wie die komplexen Zahlen oder die
CAYLEY-Zahlen. Ihre Existenz im hier diskutierten Sinne hängt davon ab, ob ihre
Komponenten als Zahlen existieren.)
Die grundlegende und zuverlässigste Methode, um die Existenz einer Zahl zu
sichern, besteht in der Bestimmung der Fundamentalmenge. Die römischen Zahlzeichen erinnern an diese Methode. Während "2" nur ein Name ist, ist "II" sowohl ein
Name als auch ein Element der Fundamentalmenge
130
2 = {alle Paare wie II, du & ich, Mutter & Vater, Sonne & Mond, ...}.
2 ist diejenige Eigenschaft, die allen Elementen der Fundamentalmenge gemein ist.
Natürlich setzt diese Realisierung der Zahl 2 einiges a priori Wissen voraus, aber hier
analysieren wir nur die Existenz der Zahl, nicht ihre Definition innerhalb eines Axiomensystems. Dieselbe Methode führt zur Existenz der Zahl 3
3 = {alle Tripel wie III, Sonne & Erde & Mond, Vater & Sohn & Geist, ...}.
Diese einfache Methode wurde bereits von FREGE [FRE84, § 68], [FRE93, § 42] und
RUSSELL [RUS03, § 111] vorgeschlagen: Die Kardinalzahl |n| der Menge n ist die
Menge aller Mengen, die zu n äquivalent sind. Hier tritt das Problem einer "Menge
aller Mengen" auf. In einer modernen Axiomatik von QUINE wird es umgangen, so
daß dort die Fundamentalmenge wieder Verwendung findet [QUI63]. Doch gab es
auch vorher kein wirkliches Problem: Alle Mengen mit n Elementen, die im Universum existieren, existieren sicher im Universum. Sie sind die Fundamentalmenge von
n. Ob der Fundamentalmenge eine Kardinalzahl bezüglich der Anzahl ihrer Elemente
zukommt oder nicht, ist in diesem Zusammenhang ganz ohne Belang (und auch
grundsätzlich, wie sich am Ende dieses Kapitels zeigen wird).
HRBACEK und JECH behaupten zwar "The set of all molecules in a drop of water is not
the same object as that drop of water. The human mind possesses the ability to
abstract, to think of a variety of different objects as being bound together by some
common property, and thus to form a set of objects having that property" [HJ84, p. 1].
Doch diese Aussage ist falsch. Wenn es die Menge aller Moleküle dieses Wassertropfens gibt, so existiert sie genau als dieser Tropfen. Zu den definitorischen Eigenschaften dieser Menge gehören nämlich die Positionsbeziehungen der Moleküle
untereinander, um die gleichartigen Moleküle zu unterscheidbaren Objekten zu
machen - und diese Beziehungen kann selbst der schärfste Geist nicht alle gleichzeitig kennen. Ein Argument gegen die Fundamentalmenge läßt sich daraus in keinem Falle ableiten, aber aus einem anderen Grund: Obwohl IIII noch leicht erkennbar ist und Tauben sogar auf Anhieb IIIIIII Zeichen unterscheiden können, wird die
Methode für größere Zahlen unpraktikabel. Die Römer hörten bekanntlich schon bei
III damit auf. Und größere Zahlen möchte wohl niemand als Kerben in einer Tontafel
oder in V. NEUMANNs Schreibweise darstellen und erkennen müssen.
Positionssysteme, z. B. in dezimaler oder binärer Form, besitzen den großen Vorzug,
Zahlen sowohl zu definieren als sie auch in eine Ordnung mit anderen Zahlen einzugliedern - und das bei geringem Aufwand an Symbolen. Existiert die Fundamentalmenge für 4711? Wir vermuten es, aber wir wissen es nicht. Doch existierte sie
zumindest im Köln des beginnenden 19. Jahrhunderts in Form einer Menge von Häu1000
sern. Eine Menge mit 10
Elementen existiert definitiv nicht (wie gleich gezeigt
1000
wird). Trotzdem existieren 4711 und 10
als natürliche Zahlen. Ihre Größe bezüglich der Einheit ist genau bekannt.
Es ist jedoch unmöglich, diese Bedingung für alle natürlichen Zahlen zu erfüllen,
denn dafür wären unbeschränkte Ressourcen erforderlich. Aber unser Universum ist
endlich, zumindest der uns zugängliche Teil. Ein paar einfache Beispiele mögen die
Implikationen verdeutlichen:
131
Stellen wir uns einmal vor, wir hätten zum Rechnen nur sieben Speicherplätze zur
Verfügung, zum Beispiel sieben Kästchen, deren jedes eine Dezimalziffer aufnehmen könnte. Dann könnten wir alle Zahlen von 0 bis 9999999 aufschreiben. Mit Hilfe
von Sonderzeichen ließen sich auch größere Zahlen wie 9[8∗]12 = 9999999912 oder
die im ersten Kapitel schon behandelte meßbare Unendlichkeit 9^9^9^9 darstellen.
Dazwischen würden aber immer größere Lücken klaffen. Eine elfstellige Zahl könnte
nach dem Muster 123[9∗] = 12333333333 maximal drei verschiedene Ziffern aufweisen. Zahlen wie p = 31415926 ließen sich überhaupt nicht mehr darstellen, sondern
nur noch grob durch 313[6∗] < p < 314[6∗] abschätzen.
Als nächstes untersuche man, wieviel verschiedene natürliche Zahlen auf einer 10
GB Festplatte gespeichert werden können. Dann erweitere man den Horizont Schritt
für Schritt bis zu den 1011 Neuronen unseres Gehirns, zu den 1028 Atomen unseres
Körpers, zu den 1050 Atomen unserer Erde, zu den 1068 Atomen unserer Galaxis
und schließlich zu den 1078 Protonen des Universums. Im Prinzip könnte das ganze
Universum in einen riesigen Computer umgewandelt werden, doch mit weitaus weniger Ressourcen als gemeinhin gedankenlos angenommen wird.
Alle Wissenschaften benötigen Mathematik. Doch benötigt die Mathematik wirklich
nichts außer Logik und etwas Intelligenz? Existiert eine Zahl auch dann, wenn wir sie
nicht kennen und auch nicht mehr über sie wissen können, als daß es eine ganze
Zahl ist? Existiert ein Gedicht, wenn niemand etwas darüber weiß, außer daß es aus
80 Buchstaben besteht? Die folgenden Verse aus GOETHEs Faust existieren:
Weh! weh!
Du hast sie zerstört,
Die schöne Welt,
Mit mächtiger Faust,
Sie stürzt, sie zerfällt!
Wir können uns an dieser Kette aus 80 Zeichen erfreuen, sie lesen, lieben, lernen,
vergessen, diskutieren oder kritisieren. Das ist aber nicht möglich für die große Mehrzahl solcher Zeichenketten, insbesondere für die bisher noch ungeschriebenen - und
dieser Zustand ist unveränderlich, denn nicht einmal alle diese kurzen Zeichenketten
könnten aufgeschrieben werden. Hier steht eine Zahl, die mit Sicherheit existiert
12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
und jede Dezimalzahl mit 80 Ziffern könnte auf ein kleines Stück Papier geschrieben
werden. Doch alle können nicht einmal als individuelle Ideen gleichzeitig existieren.
Schon der Versuch, jede Zahl mit 80 Ziffern durch ein einziges Proton zu markieren
oder auf einer gegebenen Skala anzuzeigen, würde mehr Protonen erfordern, als
das ganze Universum enthält. Gesetzt den Fall, daß auch Photonen und Leptonen
zur Speicherung von Binärziffern (bits) nutzbar sind und daß die mysteriöse dunkle
Materie aus Teilchen besteht, die ebenfalls als Speichermedium herangezogen
werden können, so wird es trotzdem für immer unmöglich bleiben, die Zahlenwerte
von 10100 natürlichen Zahlen zu codieren, um sie gleichzeitig verfügbar zu haben.
(Eine genauere Abschätzung gestützt auf die PLANCK-Länge führt auf maximal 10205
im Universum verfügbare Elementarzellen, auf die 10100 Teilchen verteilt werden
132
können. Doch selbst wenn 10100.000 Teilchen und ähnlich viele Elementarzellen zur
Verfügung ständen, so bliebe der damit konfigurierbare Speicherplatz doch beschränkt. Weil aber die konkrete Anzahl der bits ganz unwesentlich ist, wollen wir
weiterhin das runde Googol 10100 benutzen.)
Blicken wir zurück auf Tabelle 1.1 und den Spaziergang, der uns im ersten Kapitel
ins Land der großen Zahlen führte. Mit Hilfe von Zehnerpotenzen und Logarithmen
gelangten wir zu ungeahnten Zahlengrößen. Jetzt erkennen wir, daß ein beschaulicher Spaziergang, Schritt für Schritt zum Googolplex, bereits weit vor dem Ziel an
unüberwindlichen Hindernissen hätte scheitern müssen. Wir könnten gar nicht jede
Station des Weges beschreiten - und das nicht nur aus Zeitgründen, sondern weil
alle im Universum verfügbaren Mittel nicht ausreichen, einige der benötigten Zahlen
selbst in kürzester Repräsentation von anderen Zahlen eindeutig zu unterscheiden.
Es handelt sich bei diesen (Un-) Zahlen um solche, die sehr groß sind und keine
regelmäßige Ziffernfolge aufweisen. Eine Zahl, die aus einem Googol von identischen Bausteinen der Form 344 besteht
344344344...344 [10100 mal],
kann, wie hier geschehen, mit 25 und könnte mit noch weniger Zeichen beschrieben
werden, in der weiter oben bereits benutzten Konvention z. B. als (344)[(10^100)∗].
Unter einer regellosen Zahl wollen wir dagegen eine solche verstehen, deren kürzeste Beschreibung bereits die Angabe ihrer gesamten Ziffernfolge erfordert. Eine
solche Zahl kann nur dann codiert werden, wenn im darstellenden System für jede
ihrer Ziffern mindestens ein Speicherplatz, z. B. ein Atom oder ein Elementarteilchen
zur Verfügung steht. Im ganzen Universum gibt es aber weniger als 1080 Atome und
sicher weniger als 10100 Elementarteilchen überhaupt, die im Prinzip zum Codieren
von Ziffern benutzt werden könnten. Daher ist und bleibt es unmöglich - unabhängig
von der Entwicklungsstufe einer Zivilisation - eine natürliche Zahl mit mehr als einem
Googol regellos aneinandergefügter Binärziffern zu codieren. Schon regellose Zah100
können niemals erdacht, konstruiert oder gespeilen in der Größenordnung 210
chert werden, denn auch Kopf, Gehirn, Geist und Denkvermögen eines jeden Mathematikers gehören zum Inventar des Universums.
Um mögliche Mißverständnisse zu vermeiden, sei nochmals betont: Es gibt gewiß
keine größte natürliche Zahl. (Allerdings ist diese Meinungen nicht ganz unwidersprochen, s. z. B. [WET75].) Durch Abkürzungen wie 101010... und noch wirkungsvollere
kann jede vorgegebene Schranke überschritten werden. Doch jede Zahl muß beschrieben werden können, sie muß identifizierbar und vor allem mit anderen Zahlen
bezüglich der Größe vergleichbar sein. Dazu muß man nicht immer wieder von 1 zu
zählen beginnen und auch nicht die Fundamentalmenge heranziehen. Man kann
etablierte Abkürzungen benutzen. Aber es gibt keine Möglichkeit, eine Zahl "aus dem
Regal" zu nehmen, insbesondere keine sehr große regellose Zahl. Solche Zahlen
müssen in irgendeinem System dargestellt werden. Dazu eignen sich das Dezimalund das Binärsystem. Aber es wird niemals möglich sein, alle Ziffern der natürlichen
Zahl
P = [πÿ1010100]
133
anzugeben, die aus der Ziffer 3 und den ersten 10100 Nachkommaziffern der Zahl π
besteht (vorausgesetzt, daß π wirklich eine regellose Zahl ist, also eine sogenannte
normale irrationale Zahl, die kein erkennbares Muster der Ziffernfolge aufweist).
Auch eine kürzlich entdeckte Methode, hexadezimale Ziffern von Irrationalzahlen
ohne Kenntnis der vorhergehenden auszurechnen, versagt in diesem Bereich
[BBP97]. P wird jedenfalls niemals vollständig verfügbar sein. Doch was ist das
Wesen einer natürlichen Zahl, die nirgend anders als in einem Intellekt existiert,
deren Bestimmungsstücke aber auch dort prinzipiell niemals vollständig bekannt sein
können? P ist eine Idee, aber keine Zahl, und kann im Gegensatz zu einer beliebigen
80-ziffrigen Zahl auch niemals eine Zahl sein. (Trotzdem wollen wir zum Zweck einer
einfachen Sprache weiterhin die Bezeichnung "Zahl" verwenden.) Sei P' die Zahl, die
aus P entsteht, wenn deren letzte Ziffer durch 5 ersetzt wird. Dann wird es niemals
möglich sein, zu entscheiden, welche der drei Relationen gilt:
P < P' oder P = P' oder P > P'
Doch selbst wenn es möglich wäre, die letzte Ziffer zu berechnen, so wäre dennoch
die Kenntnis sämtlicher anderen Stellen erforderlich, um P von allen ähnlichen Zahlen 314...dn... zu unterscheiden, wo dn eine beliebige Ziffer an der n-ten Stelle von P
ersetzt. P und einige dieser Zahlen gehorchen nicht der Trichotomie. Und warum
sollten wir uns überhaupt schon beim Googol zufrieden geben?
Aufgrund der natürlichen Beschränkung des Speichemediums ist es ebenso unmöglich, eine regellose Zahl mit 10100 Stellen darzustellen, wie es unmöglich ist, gleichzeitig alle 10100 nichtnegativen ganzen Dezimalzahlen mit 100 Ziffern (einschließlich
führender Nullen) darzustellen. Es ist demnach ganz ausgeschlossen, die ersten
10100 natürlichen Zahlen aufzuschreiben oder auf irgendeine andere Art im
Universum zu speichern - und das gilt erst recht für noch größere Zahlenmengen.
Die Elemente einer Menge müssen aber durch mindestens eine Eigenschaft definiert
und paarweise voneinander unterschieden und damit unterscheidbar sein. Dafür
stehen maximal 10100 Unterscheidungsmerkmale zur Verfügung. Daher kann im
ganzen Universum überhaupt keine Menge mit mehr als 10100 Elementen existieren.
Gott hat nicht alle ganzen Zahlen geschaffen. Dies ist unsere wichtigste Erkenntnis
zur Unendlichkeit.
Die Behauptung der "Existenz" unendlich vieler natürlicher Zahlen erinnert an die
Großmutter aus WILLEs bekannter Geschichte [WIL82], die steif und fest davon
überzeugt ist, es gäbe unendlich viele Mücken auf der Erde, und sich selbst von
einem Beweis, der mit minimaler Mückenmasse von einem Proton und maximaler
Erdmasse geführt wird, nicht beirren läßt. Derselbe Beweis, umformuliert auf die
minimalen Informationseinheit von 1 bit und die maximale Informationsmenge von
10100 bit im Universum, scheint auf eben dasselbe Unverständnis zu treffen.
Nebenbei sei hier ein zweites Argument gegen die Existenz gewisser Zahlen und
Mengen diskutiert, nämlich das der mangelnden Zeit, das oft als absurd hingestellt
wird: "to write down say 101010 in decimal notation would require to follow 1 by 1010
zeros, which would take 300 years of continuous work at a rate of a zero per second"
134
[HJ84, p. 4]. In einem offenen Universum wäre die Zeit zwar nicht limitiert. Trotzdem
ergäben sich auch in der Ewigkeit Existenzbeschränkungen für gesetzlose Zahlen.
Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb einer bestimmten Minute einen tödlichen Unfall zu
erleiden, ist eine gut bestimmbare Größe. Nehmen wir sie für einen Menschen mit
10-10 an. Gegenwärtig existieren ca. 6 Milliarden Menschen. Die Wahrscheinlichkeit,
daß alle innerhalb einer Minute unabhängig voneinander sterben, ist 10-6.1010. Dabei
sind irdische oder kosmische Katastrophen nicht berücksichtigt. Selbst wenn das
individuelle Risiko auf 10-1000 gesenkt und die Population auf 1077 Individuen gesteigert werden könnte, so wäre die Wahrscheinlichkeit für ein schlagartiges Ende allen
Lebens im Universum 10-1080, also eine positive Zahl. Das durch sie beschriebene
Risiko wird sicher in endlicher Zeit eintreten.
Die hier vertretene Ansicht, wonach die Existenz mathematischer Objekte von ihrer
physikalischen Realisierbarkeit abhängt, besitzt übrigens durchaus Vorläufer im
Bereich der mathematischen Logik. So lehnten es WHITEHEAD und RUSSELL ab, die
logischen Äquivalente des Unendlichkeitaxioms und des Auswahlaxiom (Axiome 7
und 8 in Kasten 7.10) in die Principia Mathematica (PM) aufzunehmen [WR10]. "The
authors of PM, however, were very reluctant about taking this step since the content
of this axiom, i.e. the existence of an infinity of individuals, had a definite factual look,
indeed so much so that not only its logicality but even its truth was in doubt: whether
the universe was composed of a finite or infinite number of ultimate particles - taking
these particles to be the 'individuals' of the system of PM, which was indeed one of
the explicitly admitted interpretations - seemed to be a question which could be
answered, if at all, only by physics" [FBL84, p. 185].
Es war nicht nur "eine explizit erlaubte Interpretation", sondern es ist eindeutig so:
Wenn nur endlich viele Teilchen im zugänglichen Universum vorhanden sind, dann
ist es unmöglich unendlich viele Elemente einer Menge unterscheidbar zu kennzeichnen. Die Verwendung des dubiosen Symbols "..." ist eine unbedachte oder vorsätzliche Selbsttäuschung, wenn bekannt ist, daß die Folge nicht stets wie definiert fortgesetzt werden kann, weil die nötigen Mittel fehlen, sie zu denken, aufzuschreiben
oder sonst in irgendeiner Form zu speichern. Gäbe es im Universum keine Materie,
so gäbe es weder Zeit noch Raum - und auch die Mathematik wäre nicht, "... denn
auch der 'Geist' gehört mit zur Natur" [CAN91, p. 459]. Es gibt keine Möglichkeit,
diesen Schluß zu umgehen: Was die Mathematiker der 19. Jahrhunderts noch nicht
wissen konnten und was die Mathematiker des 20. Jahrhunderts verdrängt haben,
sollte im 21. Jahrhundert endlich klar ausgesprochen werden: Mengen mit mehr als
10100 Elementen existieren nicht (und das Supremum ist sicherlich viel kleiner).
Es ist offensichtlich, wie sich die oben diskutierten Beschränkungen auf die Menge
der rationalen Zahlen auswirken. Rationale Zahlen können als Äquivalenzklassen
von Paaren natürlicher Zahlen verstanden werden. Daher ist die Menge der existierenden rationalen Zahlen ebenfalls beschränkt.
Multiplizieren wir eine rationale Zahl mit ihrem Nenner, so erhalten wir eine natürliche
Zahl. Eine natürliche Zahl mißt eine Größe in der Einheit 1, eine rationale Zahl mißt
eine Größe in der Einheit des Kehrwertes ihres Nenners. "Der Aspekt des Zählens ist
bei den rationalen Zahlen noch vorhanden, 2/3 bedeutet, 2 mal die Einheit 1/3 zu
nehmen, aber er tritt in den Hintergrund" [LAU86, p. 16].
135
Alle rationalen Zahlen haben eine abbrechende n-adische Darstellung. Im ternären
System ist 1/3 = 0,1 (vergl. Kasten 7.5 für eine analoge Erklärung des Binärsystems.)
In anderen Systemen besitzen rationale Zahlen periodische Darstellungen (s. Kapitel
3). Falls die abbrechende Darstellung oder die Periode zu lang ist, können die
entsprechenden Zahlen nicht mehr identifiziert werden. Dann wäre es verfehlt, sie für
existent zu halten. Insbesondere existiert keine rationale Zahl, welche die Zahl π
genauer als auf 1/210100 approximiert, also auf mehr als 10100 Binärziffern.
Damit erhebt sich die Frage nach der Existenz irrationaler Zahlen, die wir in Kapitel 3
als aktual unendlich lange Zeichenfolgen dargestellt haben. HIPPASOS VON METAPONT
stellte fest, daß es Verhältnisse gibt, die nicht durch ganze Zahlen ausgedrückt werden können. Doch impliziert das automatisch die Existenz irrationaler Zahlen? Sollte
man nicht als Faktum anerkennen, daß es Dinge gibt, die nicht durch Zahlen ausgedrückt werden können? Wer wäre erstaunt darüber, daß gewisse Emotionen nicht in
die Menge der Zahlen einzufügen sind? Wer würde heute noch die pythagoreische
Ansicht vertreten, Gerechtigkeit sei mit der Zahl 4 zu identifizieren?
Die Aufgabe, das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser des Kreises zu
finden, ist eine Idee. EULER nannte die Lösung p als Abkürzung für Perimeter oder c
als Abkürzung für Circumferenz bis π allgemein akzeptiert wurde, nicht zuletzt durch
EULERs Adaption der von JONES eingeführten Bezeichnung. Aber ist diese Idee π
eine existierende Zahl? Wo, wie, in welcher Form könnte sie existieren?
Das stärkste Argument liefert an dieser Stelle die Geometrie des idealen Kreises.
Doch wo existiert ein idealer Kreis? In der externen Realität ganz sicher nicht, denn
um einen Kreis zu erzeugen bzw. zu markieren, wird mehr Masse benötigt, als ein
EUKLIDischer Raum tolerieren kann, ohne sich zu deformieren. Ungeachtet dessen
verhindert schon der Wellencharakter aller Materie eine scharfe Berandung materieller Objekte. Wellen besitzen keine festen Grenzen. Auf der anderen Seite kann sich
kein Mathematiker einen Kreis präzise genug vorstellen, um die Zahl π auch nur auf
zwei Dezimalstellen daraus zu bestimmen. Wenige sind in der Lage, mehr als fünf
Dezimalstellen von π im Kopf auszurechnen, unabhängig vom gewählten Algorithmus, und noch weniger wissen mehr als 50 Stellen auswendig - obwohl HIDEAKI
TOMOYORI sogar die ersten 40.000 Stellen aus dem Kopf aufgesagt hat.
CAUCHY, WEIERSTRASS, MERAY, HEINE, CANTOR und DEDEKIND haben versucht,
irrationale Zahlen zu definieren, die im 19. Jahrhundert durchaus nicht unumstritten
waren, denn Symbole wie π sind zwar Namen aber keine Zahlen. Wie bereits in Kapitel 3 dargelegt, vertritt auch CANTOR diesen Standpunkt: "◊3 ist also nur ein Zeichen
für eine Zahl, welche erst noch gefunden werden soll, nicht aber deren Definition.
Letztere wird jedoch in meiner Weise etwa durch (1,7, 1,73, 1,732, ...) befriedigend
gegeben" [CAN89]. Diese später von CANTOR Fundamentalreihen genannten Folgen
werden erstmals im Aufsatz Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der
trigonometrischen Reihen eingeführt [CAN72]. "Als abstrakte Gedankendinge sind
sie nur Größen im uneigentlichen oder übertragenen Sinne des Wortes. Für entscheidend muß hier angesehen werden, daß man, wie jeder mit meiner Theorie Vertraute weiß, mit Hilfe dieser abstrakten Größen ... eigentliche konkrete Größen, z. B.
geometrische Strecken usw., quantitativ genau zu bestimmen imstande ist" [CAN89].
136
Auch das zweite und das dritte Kapitel dieses Buches enthalten zahlreiche Möglichkeiten, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit auszurechnen. Ist diese Aussage aber
korrekt? CANTOR geht, wie wir in Kapitel 8 gesehen haben, von der "aktualunendlichen Zahl der geschaffenen Einzelwesen ... selbst in jedem noch so kleinen,
ausgedehnten Teil des Raumes" aus [CAN32, p. 399]. Unter dieser Prämisse liefert
die Anwendung des CAUCHYschen Konvergenzkriteriums (3.7) für seine Fundamentalreihen tatsächlich das erwünschte Ergebnis: "Wenn ich von einer Zahlengröße im
weiteren Sinne rede, so geschieht es zunächst in dem Falle, daß eine durch ein
Gesetz gegeben unendliche Reihe von rationalen Zahlen a1, a2, ... an, ... vorliegt,
welche die Beschaffenheit hat, daß die Differenz an+m - an mit wachsendem n unendlich klein wird, was auch die positive ganze Zahl m sei, oder mit anderen Worten,
daß bei beliebig angenommenem (positiven, rationalen) ε eine ganze Zahl n1 vorhanden ist, so daß Ian+m - anI < ε, wenn n ¥ n1 und wenn m eine beliebige positive ganze
Zahl ist" [CAN32, p. 92 f].
Bei bekanntem Grenzwert ◊3 kann die Konvergenz auch mit Hilfe von (3.6) festgestellt werden. Die Ungleichung
Ian - ◊3I < ε
muß für jede noch so kleine positive Zahl ε erfüllbar sein. Das ist aber nach unseren
vorausgegangenen Überlegungen nicht möglich. Es ist verständlich, daß CANTOR
und seine Zeitgenossen die prinzipiellen Grenzen ihres Ansatzes nicht erkennen
konnten. Jeder moderne Wissenschaftler sollte aber wissen, daß nicht für jedes
positive ε eine rationale Zahl an konstruierbar ist, welche die Irrationalzahl ◊3 mit der
geforderten Präzision approximiert. Dies ist nicht genauer möglich als bis auf eine
100
Unsicherheit von Δ ¥ 1/210 , weil die Ressourcen des Universums nicht einmal
ausreichen, um die ersten 10100 Binärziffern darzustellen.
100
Eine Ausnahme machen selbstverständlich kleine Irrationalzahlen wie ◊3/210 ,
was aber ebenso selbstverständlich ihre Existenz nicht begründet. Ohne Einschränkung gilt der Satz: Jede Approximation einer normalen Irrationalzahl ξ ist mit einer
Unsicherheit von
Δ ¥ ξ/210100
behaftet. Deswegen muß der Anspruch einer beliebig genauen Approximierbarkeit in
dezimaler, binärer und auch in jeder anderen n-adischen Darstellung unerfüllt bleiben. Doch gerade dieser Anspruch ist das Fundament, auf dem der Zahlencharakter
der irrationalen Zahlen ruht. Ohne diesen Anspruch definieren die irrationalen Zahlen
lediglich Intervalle der Größe Δ.
LAUGWITZ bemängelt mit Recht "den logischen Kurzschluß, der darin liegt, daß man
das potentielle Unendlich der unbegrenzt wachsenden Stellenzahl zu einem aktualen
Unendlich macht und ◊2 der 'nicht abbrechenden Dezimalzahl' 1,4142...gleich setzt"
[LAU86, p. 15].
137
Wie steht es mit den anderen in Kapitel 2 behandelten Darstellungsformen wie
Kettenbruchentwicklung, Folgen, Reihen, modularen Identitäten zur Darstellung von
irrationalen Zahlen "mit beliebiger Genauigkeit"? All diese Methoden, die entwickelt
wurden, um die entsprechende Zahl mit der Einheit zu vergleichen oder durch die
Einheit auszudrücken, versagen notwendig, weil die ununterbrochene Folge der
natürlichen Zahlen bis zu beliebiger Größe herangezogen werden muß, um die
Rechnungen durchzuführen und die rationalen Approximationen darzustellen. Diese
Folge ist aber nicht verfügbar.
Abgesehen davon würde auch die Auswertung der Zwischenergebnisse im Laufe
des Rechenprozesses grundsätzlich an eine Grenze stoßen, weil das Maß der im
Universum handhabbaren Information endlich und durch den verfügbaren Speicherplatz beschränkt ist. Jede regellose irrationale Zahl (nicht ihre Bezeichnung und auch
nicht die Definition der Aufgabe, als deren Lösung sie gesucht wird) stellt aufgrund
ihres Charakters eine aktual unendliche Informationsmenge dar.
Aber eine Irrationalzahl muß doch einen bestimmten Wert besitzen? Dazu eine
Analogie: Das Verhältnis aller grünen zu allen gelben Blättern in einem Herbstwald
ist kaum genau bestimmbar, weil ein so schneller Wechsel erfolgt, daß eine Abzählung praktisch unmöglich ist und außerdem die Grenze zwischen "noch grün" und
"schon gelb" unbestimmt ist. In diesem Beispiel wäre es natürlich möglich, durch
verstärkte Beobachtungsbemühungen und verschärfte Farbdefinitionen eine sehr
gute Approximation, vielleicht sogar genau das zu einem bestimmten Zeitpunkt tatsächlich vorliegende Verhältnis zu bestimmen. Im Falle der Irrationalzahl ist den
"verstärkten Bemühungen" eine natürliche Grenze gesetzt: Der endliche Speicherplatz im Universum. Und von einer "tatsächlichen" oder wenigstens objektiv präziseren Existenz außerhalb des Intellektes als innerhalb desselben kann nicht gesprochen werden. Daher existieren irrationale Zahlen nur als Ideen. Irrationale Zahlen
sind genaugenommen keine Zahlen.
Hier begegnen sich auch die unterschiedlichen Charaktere von rationalen und irrationalen Zahlen. Eine rationale Zahl mit mehr als 10100 regellos angeordneten nichtperiodischen Ziffern vor Beginn der Periodizität oder mit einer Periodenlänge von
mehr als 10100 regellos angeordneten Ziffern ist ebenfalls nicht mehr exakt darstell100
wie jede irrationale Zahl. Jenbar. Sie besitzt dieselbe Unbestimmtheit Δ ¥ 1/210
seits dieser Grenze sind beide Zahlenarten nur noch durch Existenzbeweise unterscheidbar.
Mit den irrationalen Zahlen fällt selbstverständlich auch die Lehre von den unendlichen Mengen. Das hat CANTOR zutreffend vorausgesehen: "Die transfiniten Zahlen
sind in gewissem Sinne selbst neue Irrationalitäten und in der Tat ist die in meinen
Augen beste Methode, die endlichen Irrationalzahlen zu definieren, ganz ähnlich, ja
ich möchte sogar sagen im Prinzip dieselbe wie meine oben beschriebene Methode
der Einführung transfiniter Zahlen. Man kann unbedingt sagen: die transfiniten
Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen Irrationalzahlen; sie gleichen einander
ihrem innersten Wesen nach; denn jene wie diese sind bestimmt abgegrenzte
Gestaltungen oder Modifikationen (αϕωρισμενα) des aktualen Unendlichen" [CAN32,
p. 395 f].
138
"ω ist in demselben Sinne die Grenze von ν, wenn ν über alle Grenzen wächst, wie 0
die Grenze von 1/ν .... Hier sehen Sie auch, warum meine Zahl ω dieselbe Existenzberechtigung, ja dieselbe Existenz hat wie etwa ◊2. Ebensowenig wie wir ω erreichen können durch Wachsenlassen von ν, ebensowenig können wir ◊2 erreichen,
indem wir uns dieser Zahl mit rationalen Näherungsbrüchen beliebig annähern. Alles,
was also gegen die Existenz und Realität von ω sich sagen ließe, genau dasselbe
läßt sich in bezug auf ◊2 behaupten" [CAN91, p. 139].
Deswegen muß die Idee der aktual unendlichen CANTORschen Mengen revidiert
werden. Selbst die kleinste, die Menge der natürlichen Zahlen, gibt es nicht - und erst
recht nicht die Menge aller reellen Zahlen. In einem physikalisch-realistischen
Ansatz, dem einzigen, der die Bezeichnung Realismus verdient, den ich aber zur Unterscheidung vom "Realismus" des philosophisch-mathematischen Sprachgebrauchs
als Mathe-Realismus bezeichnen möchte, müssen drei "Mengen" oder Kollektionen
natürlicher Zahlen unterschieden werden [MUE05]:
(1) Alle natürlichen Zahlen, die man zum Rechnen benutzen kann, gehören zu der
Menge Ù*. Diese Erklärung einschließlich des "man" ist bewußt vage gewählt. Die
Existenz einer natürlichen Zahl hat relativistische Aspekte. Die Frage nach der Existenz oder Nichtexistenz wird von verschiedenen Individuen und zu verschiedenen
Zeiten verschieden beantwortet werden. Als ein Beispiel betrachten wir ein Gedicht,
das für den Dichter, der es gerade niedergeschrieben hat, existiert, aber für niemanden sonst. Ein anderes Beispiel ist die Menge der im Jahre 3000 von Menschen
entdeckten Primzahlen. Die Menge existiert sicher jetzt noch nicht. Es ist unbekannt,
wieviel Elemente sie enthält, ob sie überhaupt Elemente enthält, ja ob es dann noch
Menschen gibt. Die Menge Ù* aller natürlichen Zahlen, die relativ zu einem "Beobachter" existieren, kann zunehmen und abnehmen. Daher ist es nicht leicht, ihre
Kardinalzahl zu bestimmen. Aber mit Sicherheit ist sie nicht unendlich, denn
|Ù*| < 10100.
(2) Alle natürlichen Zahlen, die jemals existiert haben und jemals existieren werden,
bilden keine Menge im CANTORschen Sinne, denn sie sind nicht alle gleichzeitig
verfügbar und vor allem nicht gleichzeitig unterscheidbar. Einige von ihnen existieren
noch nicht, wie manche Gedichte mit 80 Buchstaben. Andere existieren nicht mehr,
so wie die Texte des ARISTARCH VON SAMOS zum heliozentrischen System vermutlich
für ewig verloren sind. Die Menge dieser Zahlen kann grundsätzlich niemals, weder
jetzt, noch zu irgendeinem anderen Zeitpunkt vollständig bekannt sein. Ihre Anzahl
ist unbeschränkt, also potentiell unendlich, aber in keinem Falle erreicht sie ¡0.
(3) Die Menge Ù = {1, 2, 3, ...} aller natürlichen Zahlen existiert nicht. Sie ist einfach
nicht verfügbar. Doch das ist nicht leicht zu erkennen, denn in der Regel werden
einige vergleichsweise kleine Zahlen als Beispiele herangezogen und die Verallgemeinerung auf alle natürlichen Zahlen mit den dubiosen drei Pünktchen angedeutet.
Die natürlichen Zahlen, die man sich gewöhnlich gedankenloserweise als lückenlose
Folge vorstellt, kommen nicht daher wie die glänzenden Wagen eines ICE. Die Folge
weist Lücken auf. Dieser Makel läßt sich nicht beseitigen. Das mag bedrückend sein,
doch dafür verschwinden alle Ungereimtheiten, Paradoxien und Antinomien der Mengenlehre, die mit dem aktual Unendlichen verbunden sind.
139
CANTORs "unendliche Menge endlicher Zahlen" ist ein Selbstwiderspruch. Das
genaue Gegenteil ist richtig: Die Menge Ù* der im Universum gleichzeitig realisierbaren natürlichen Zahlen ist endlich, aber ihre Elemente können beliebig groß
werden - beschränkt lediglich durch Mangel an Erfindungsreichtum oder Interesse;
eine prinzipielle Schranke für die Darstellung großer Zahlen mit endlichem Speicherplatz ist nicht erkennbar. Deswegen liefern die natürlichen Zahlen bezüglich ihrer
Größe - neben der Ewigkeit und der vermutlich grenzenlosen Expansion des Universums - das klassische Beispiel für potentielle Unendlichkeit.
Für GÖDEL war es ein Graus, daß die Kontinuumhypothese in der ZFC-Mengenlehre
nicht entscheidbar ist, denn für einen PLATONisten muß die Realität eine und nur eine
Lösung des Problems bereit halten. "Only someone who (like the intuitionist) denies
that the concepts and axioms of classical set theory have any meaning (or any welldefined meaning) could be satisfied with such a solution, not someone who believes
them to describe well-determined reality. For in this reality CANTOR's conjecture must
be either true or false, and its undecidability from the axioms as known today can
only mean that these axioms do not contain a complete description of this reality"
[GOE47]. Die Antinomie der Menge aller Mengen führt auf ein ähnliches Dilemma.
Die Elemente dieser Menge existieren bestimmt alle, sofern sie selbst im Universum
existierende Mengen sind. Das Dilemma läßt sich nur vom Standpunkt eines potentiell sich Entwickelnden plausibilisieren: "a reasonable way to make this conform to a
PLATONistic point of view is to look at the universe of all sets not as a fixed entity but
as an entity capable of 'growing', i.e. we are able to 'produce' bigger and bigger sets"
[FBL84, p. 118].
Was hindert uns aber, diesen Standpunkt schon hinsichtlich der Zahlenmengen einzunehmen? Diejenige natürliche Zahl, die wir benötigen, wird, sofern dies möglich ist,
erzeugt und in die "wachsende" Menge integriert.
LORENZEN spricht in seiner Elementargeometrie [LOR83] von jeweils einer Menge der
reellen Zahlen, die wir gerade brauchen, und nicht von der Menge aller reellen
Zahlen. Er vermeidet die Paradoxien der Überabzählbarkeit, indem er nur konstruierbare Zahlen und Funktionen verwendet, die man also kennt.
Als Argument für die Notwendigkeit einer gesicherten Existenz der Menge aller reellen Zahlen wird häufig angeführt, daß wichtige mathematische Sätze anders nicht
beweisbar wären. Ein solcher Satz ist die Äquivalenz von Folgenstetigkeit und ε-δStetigkeit, dessen Beweis zumindest in einer Richtung die Vollständigkeit von —
erfordert. Auch der Satz von BOLZANO-WEIERSTRASS, wonach jede beschränkte,
monotone Folge konvergiert, und der Zwischenwertsatz, der für eine kontinuierliche
reelle Funktion mindestens eine Nullstelle zwischen einem negativen und einem
positiven Funktionswert sicherstellt, und andere wichtige Sätze lassen sich ohne die
vollständige Menge aller reellen Zahlen nicht beweisen. Das kann aber doch kein
Grund sein, die Existenz aller reellen Zahlen wider besseres Wissen zu behaupten!
Die Nullstelle, der Grenzwert, die Wurzel und π existieren als Ideen, die durch Zahlen
eingegrenzt werden können, nicht beliebig genau zwar, aber mit jeder nachprüfbaren
Genauigkeit. Diese Auffassung ändert an der bestehenden Mathematik überhaupt
nichts - mit einer Ausnahme: Die in einer Liste verzeichneten Ideen ermöglichen die
Bildung einer Diagonalzahl nicht.
140
"Zuletzt wollen wir wieder unseres eigentlichen Themas gedenken und über das
Unendliche das Fazit aus allen unseren Überlegungen ziehen: Das Gesamtergebnis
ist dann: das Unendliche findet sich nirgends realisiert; es ist weder in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig - eine
bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und Denken" [HIL25, p. 190]. Diese
Gedanken äußerte HILBERT, wohl als Kontrapunkt zu seiner sonstigen Wertschätzung
der Mengenlehre, und resümiert: "Die Rolle, die dem Unendlichen bleibt, ist vielmehr
die einer Idee" [HIL25, p. 190]. Dieser Mangel schadet der Mathematik aber nicht,
denn, wie schon ARISTOTELES wußte "die Mathematiker benötigen und benutzen das
Unendliche nicht" - jedenfalls nicht das aktuale, wie hinzuzufügen wäre. Sie meinten
nur, sie täten es, und zwar besonders im 20. Jahrhundert, "als die Mitläufer BOURBAKIs das Sagen in der Mathematik hatten mit dem Schlachtruf: Alle Mathematik ist
Mengenlehre. ... Diese Auffassung von der Mathematik beherrschte aber bisher nur
eine relativ kurze Episode von einem Jahrhundert in der langen Geschichte der
Mathematik. Seit der Antike ist Mathematik immer die Lehre vom Beweisen mathematischer Sätze gewesen" [LAU86, p. 99]. Möge sie wieder zu einer nüchternen,
klaren und zweifelsfreien Wissenschaft werden, ohne dubiose Dogmen und daraus
erwachsende Glaubenskämpfe.
Das Unendliche ist jedem profanen Interessenten zugänglich. Wir betreten es schon,
wenn wir nur 1, 2, 3, ... zu zählen beginnen. Aber es geht uns nicht wie der
Goldmarie, die im Märchen von Frau Holle in einen Brunnen fällt und sich in einem
zauberhaften Land mit sprechenden Bäumen und Backöfen wiederfindet. Das
Unendliche ist kein Heiligtum, kein "ganz besonderer Zustand, in dem andere
Gesetze gelten". Wir können zählen und zählen, wir gelangen zu größeren und
größeren Zahlen, einige müssen wir wohl überspringen, weil wir sie nicht benennen
können, doch weiter ereignet sich in diesem Prozeß nichts. Um ihn sinnvoll zu
bezeichnen, benötigen wir keine Alephs und keine Omegas - dafür genügt das von
WALLIS eingeführte Symbol
¶.
141
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Seele and Geist
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