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1. a) Wie ist das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich der x

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1.
a) Wie ist das Tr¨
agheitsmoment eines K¨orpers bez¨
uglich der x-Achse definiert?
b) Gegeben sei der Quader Q = {(x, y, z) ∈ R3 : −a ≤ x ≤ a, −b ≤ y ≤ b, −c ≤ z ≤ c}.
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Tr¨agheitsmomentes bei Drehung um die z-Achse?
c) Gegeben sei die Halbkugel K = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 z ≥ 0}.
Wie lautet die Formel zur Berechnung des Tr¨agheitsmomentes bei Drehung um die y-Achse?
2
Formel: J = K¨
orper r⊥ dV wobei r⊥ den Abstand zur Drehachse bezeichnet.
Kugelkoordinaten: x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤
0 ≤ r ≤ 2.
π
2,
2.
a)
Vertausche bei dem Integral die Integrationsreihenfolge. Tipp: Skizziere dir das Integrationsgebiet.
√
1
y
x
1
z(x, y)dxdy =
(1)
z(x, y)dydx
y
0
x2
0
b)
Integriere die Funktion f (x, y) u
¨ber den an der Tafel skizzierten Bereich und vertausche dann
die Integrationsreihenfolge.
1
x
x2
2
f (x, y)dydx +
0
x2
√
y
1
1
x
0
y
1
f (x, y)dxdy +
f (x, y)dydx =
y
0
√
f (x, y)dxdy (2)
y
3.
Gegeben sei eine Punktladung q im Koordinatenursprung. Diese erzeugt also ein elektrisches
→
−
−
→→
q
→
r
Feld E (−
r ) = c · |→
, wobei c = 4π
und −
r = (x1 , x2 , x3 ) ist. Die Ladungsdichte ρ ist durch
−
r |3
die Gleichung
−
→
ρ = c · div( E )
gegeben.
→
a) Berechne die Ladungsdichte f¨
ur −
r = 0.
b) Berechne die Ladungsdichte im Ursprung.
zu a)
−
→→
F¨
ur E (−
r ) = 0 gilt
3
→
−
→−
div E ( ) = c
i=1
→
→
→
|−
r |3 − 3ri2 |−
r|
3|−
r |2 − 3
=
c
→
→
|−
r |6
|−
r |5
ri2
= 0.
(3)
zu b)
Betrachte f¨
ur R > 0 das Integral
−
→ −
E ·→
n dA =
−
→
div E dV =
ρ=
∂BR
BR
=c
∂BR
dA
c
= 2
−
→
2
|r|
R
−
→
−
→
r
r
c−
·
dV
→
−
→
3
|r|
∂B | r |
dA = q.
∂BR
(4)
Lasse jetzt R gegen 0 gehen. Obiges Integral a¨ndert sich nicht. Den Grenzwert obigen Integrals
−
→
liefert uns die Divergenz von E im Ursprung.
4.
Seien A1 , A2 , ... σ-Algebren u
¨ber der Menge X. Zeige, dass A := ∩∞
n=1 An wieder eine σAlgebra ist.
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Gesundheitswesen
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